Matematicas i grado en econom - desconocido

1. Matrices y Vectores

Matem´ticas I
a
Grado en Econom´
ıa
Curso 2010-2011

1.1 Definiciń y operaciones con matrices. Tipos de matriz
o
1.2 Determinante y rango de matrices
1.3 Matriz inversa
1.4 Definiciń y operaciones con vectores
o
1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales

UniversidaddeValladolid
Departamento de
Economía Aplicada

1. Matrices y vectores

o

Definiciń de matriz
o

o

Definiciń de matriz
o
Definiciń
o

Definiciones

Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo orden son iguales si los
elementos que ocupan el mismo lugar son iguales, es decir, si aij = bij
para cada lugar ij.

Se llama matriz de orden m × n a un conjunto de m × n elementos,
dispuestos en m filas y n columnas.
Se llama elemento de lugar (i, j) o ij de una matriz A al elemento que
est´ situado en la intersecciń de la fila i-´sima y la columna j-´sima.
a
o
e
e
Denotando por aij a este elemento,

a11 a12
 a21 a22

A= .
.
.
.
 .
.

Observaciń
o

la matriz se representa por

· · · a1n
· · · a2n 

.  = (aij ) .
..
.
.
. 

am1 am2 · · ·

Dep. Econom´ Aplicada (UVA)
ıa


Matem´ticas I
a

El concepto de matriz se define de forma general tomando sus elementos
en un conjunto cualquiera. Sin embargo, a lo largo de este curso nos
limitaremos a usar matrices de n´meros reales.
u
Notaciń
o

amn

El conjunto formado por todas las matrices de orden m × n con elementos
en R se denota por Mm×n (R) o simplemente Mm×n .
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o


Tipos de matrices

Tipos de matrices

Definiciones

o

Definiciones

1

Una matriz A de orden m × n se dice que es cuadrada si m = n.
Nos referiremos a las matrices cuadradas de orden n × n como
matrices de orden n y escribiremos A ∈ Mn (R).

1

Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada A = (aij ) de
orden n al conjunto de los elementos que tienen iguales sus sub´
ındices
de ordenaciń, es decir, a11 , a22 , . . . , ann .
o

2

Una matriz A de orden m × n se dice que es rectangular si m = n.
Cuando m = 1 se dice que A es una matriz fila, y si n = 1 que A es
una matriz columna.

2

Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si todos los
elementos situados por debajo de su diagonal principal son nulos.
Cuando todos los elementos situados por encima de su diagonal
principal son nulos se denomina triangular inferior.

3

Se denomina matriz nula de orden m × n y se denota por Om×n , O u
(0) a aquella cuyos elementos son todos iguales a 0 ∈ R.

3

Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si los elementos no
diagonales son nulos. Si adem´s los elementos diagonales son iguales
a
entre s´ se denomina matriz escalar.
ı

4

Se llama matriz identidad de orden n y se denota por In o I a la
matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a
1 ∈ R.

4

Dada una matriz A ∈ Mm×n (R), una submatriz de A es una matriz
obtenida a partir de A eliminando una o varias filas y/o una o varias
columnas.

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o

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o

Operaciones con matrices


Suma de matrices

Producto de un escalar por una matriz

Definiciń
o

Definiciń
o

Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo orden m × n, se
llama suma de A y B a la matriz A + B = (aij + bij ) de orden m × n.

Dadas una matriz A = (aij ) de orden m × n y un escalar λ ∈ R, se llama
producto del escalar λ por A a la matriz λA = (λaij ) de orden m × n.

Propiedades
Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C del mismo orden m × n
se verifica

Propiedades
Para cualesquiera que sean las matrices A y B del mismo orden m × n y
para cualesquiera escalares λ, µ ∈ R, se verifica

1

Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.

1

λ(A + B) = λA + λB.

2

Conmutativa: A + B = B + A.

2

(λ + µ)A = λA + µA.

3

La matriz nula es el elemento neutro.

3

λ(µA) = (λµ)A.

4

Dada A = (aij ), la matriz −A = (−aij ) es su elemento opuesto.

4

1A = A.

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o


o



Producto de matrices

Producto de matrices. Propiedades
1

Definiciń
o
Dadas las matrices A = (aij ) de orden m × n y B = (bij ) de orden n × p,
se llama producto de A por B a la matriz A · B o AB de orden m × p
cuyo elemento de lugar ij es

2
3

n

ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj =

Asociativa: A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R) y
∀C ∈ Mp×q (R).
NO conmutativa.
Siempre que los ´rdenes de las matrices permitan realizar las
o
operaciones se verifica

aik bkj .

A(B + C) = AB + AC

y

(B + C)D = BD + CD.

k=1
4

Ejemplo
5


1 -1 2
2 3 0


2 5
 1 1 =
3 2

ıa

1·2−1·1+2·3 8
7
13

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λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R) y
∀λ ∈ R.
Puede ser AB = (0) sin ser A = (0) o B = (0).
Dada A ∈ Mm×n (R), se verifica A · In = Im · A = A.
La matriz identidad es el elemento neutro para el producto en el
conjunto Mn (R).

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o

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Determinante de una matriz cuadrada

Trasposiciń de matrices
o

Definiciń
o

Definiciones
1

Dada una matriz A ∈ Mm×n (R), se llama traspuesta de A a la
matriz At cuyo elemento de lugar ij es el elemento de lugar ji de A.

2

Una matriz A ∈ Mn×n (R) es sim´trica si coincide con su traspuesta
e
(A = At ) y es antisim´trica si coincide con la opuesta de su
e
traspuesta (A = −At ).

Propiedades
1

(A + B)t = At + B t , ∀A, B ∈ Mm×n (R).

3

(λA)t = λAt , ∀A ∈ Mm×n (R) y ∀λ ∈ R.

4

(AC)t = C t At , ∀A ∈ Mm×n (R) y ∀C ∈ Mn×p (R)

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det

a11 a12
a21 a22

=

a11 a12
a21 a22

= a11 a22 − a12 a21 .

Definiciń
o
La expresiń del determinante de una matriz de orden 3 se conoce como
o
regla de Sarrus y es la siguiente:

(At )t = A, ∀A ∈ Mm×n (R).

2

El determinante de una matriz de orden 2 es el n´mero real obtenido de la
u
siguiente forma:

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
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= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
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Desarrollo por los elementos de una fila o columna

Desarrollo por los elementos de una fila o columna

Nota
Para calcular el determinante de matrices cuadradas de orden superior a 3
necesitamos introducir algunos conceptos previos.

Nota
1

Definiciń
o

El valor del determinante de una matriz cuadrada A coincide con la
suma de los productos de los elementos de una fila, o columna, por
sus respectivos adjuntos.
n

Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (R), el menor complementario del
elemento aij es el determinante de la matriz de orden n − 1, que resulta
de eliminar en la matriz A, la fila i-´sima y la columna j-´sima. Se denota
e
e
por Mij .
Definiciń
o
El adjunto del elemento aij es el producto del menor complementario de
aij por (−1)i+j . Se denota por Aij .
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2

3

4

5

6

7

2

akj Akj

La forma de escritura del determinante que aparece en la nota
anterior se conoce como desarrollo del determinante por los elementos
de esa fila, o columna.

Definiciń
o
Dada una matriz cuadrada A, el n´mero real obtenido mediante
u
desarrollos sucesivos por los elementos de una fila o columna se denomina
determinante de A y se denota por det(A) o |A|.
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Propiedades de los determinantes

Si una matriz cuadrada tiene una fila, o columna, cuyos elementos
son todos cero, entonces su determinante es cero.
Si se intercambian dos filas, o columnas, de una matriz cuadrada, su
determinante cambia de signo.
Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, su
determinante vale cero.
El determinante del producto de matrices cuadradas, es el producto
de los determinantes, es decir, |AB| = |A||B|.
El determinante de la suma NO es la suma de los determinantes.
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columna j : |A| =
k=1


det(A) = det(At ), para cada matriz cuadrada A.
Si todos los elementos de una fila, o columna, estń multiplicados por
a
un escalar, ´ste puede salir multiplicando al determinante. Por tanto,
e
se verifica
|α · A| = αn · |A|, si A ∈ Mn×n (R).

ıa

n

aik Aik
k=1


Propiedades de los determinantes
1

fila i : |A| =

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1

Dada una matriz A = (aij ) de orden m × n con filas F1 , F2 , . . . , Fm ,
se llama combinaciń lineal de las filas i1 , . . . , is a la fila
o
λ1 Fi1 + λ2 Fi2 + · · · + λs Fis de elementos
λ1 ai1 1 + λ2 ai2 1 + · · · + λs ais 1

...

λ1 ai1 n + λ2 ai2 n + · · · + λs ais n

con λ1 , λ2 , . . . , λs ∈ R.
Si a una fila, o columna, de una matriz cuadrada, se le suma una
combinaciń lineal de las otras, el valor de su determinante no var´
o
ıa.
2

Si en una matriz cuadrada, una fila, o columna, es combinaciń lineal
o
de las otras, su determinante es cero.

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Rango de una matriz

Rango de una matriz

Definiciń
o

C´lculo del rango de una matriz como el orden del mayor menor no
a
nulo
El procedimiento para calcular el rango de una matriz hallando el mayor
menor no nulo es el siguiente:

Dada una matriz A de orden m × n, se llama menor de orden p de A al
determinante de una submatriz cuadrada de orden p de A.

1

El rango de una matriz A de orden m × n es el orden del mayor menor no
nulo de A. Se denota rg(A).

Se elige un elemento no nulo. Si no existe, la matriz es la matriz nula
y su rango es 0.

2

Se busca una submatriz de orden 2 que contenga el elemento anterior
y cuyo determinante sea no nulo. Si no existe el rango es 1.

3

Definiciń
o

Se busca una submatriz de orden 3 que contenga (que orle) la
submatriz anterior y cuyo determinante sea no nulo. Si no existe el
rango es 2.

4

Y as´ sucesivamente hasta que no sea posible encontrar una submatriz
ı
que orle la del paso anterior con determinante no nulo. En ese caso,
el rango de la matriz corresponde al del ultimo menor no nulo hallado.
´

Teorema
Sea A ∈ Mm×n (R). Considerando las filas de A como vectores de Rn y
sus columnas como vectores de Rm , el rango de A coincide con el m´ximo
a
n´mero de vectores fila linealmente independientes, y con el m´ximo
u
a
n´mero de vectores columna linealmente independientes.
u
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Rango de una matriz

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Operaciones y matrices elementales

Propiedades
1

El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.

Definiciń
o

2

El rango no var´ si a una fila o columna se le suma una combinaciń
ıa
o
lineal del resto.

Se llaman operaciones elementales en una matriz a las siguientes:
1

Permutar dos filas, o columnas.

3

El rango de una matriz no var´ si se suprime una fila que es
ıa
combinaciń lineal de las otras.
o

2

Multiplicar por un escalar α ∈ R no nulo, los elementos de una fila, o
columna.

4

El rango de una matriz no var´ si una fila se multiplica por un escalar
ıa
no nulo.

3

Sumar a una fila, o columna, otra multiplicada por un escalar.

5

El rango de una matriz no var´ si se permutan dos filas entre s´
ıa
ı.

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Matrices escalonadas y rango

Algoritmo de eliminaciń gaussiana
o

Definiciń
o
Una matriz se dice que est´ en forma escalonada si el n´mero de ceros
a
u
anteriores al primer elemento no nulo de cada fila, aumenta en cada fila.
Nota
El rango de una matriz escalonada coincide con el n´mero de filas con
u
algń elemento no nulo.
u
Ejemplo
La matriz

3 2
 0 1

 0 0
0 0

Algoritmo de eliminaciń gaussiana
o
1



1 0 −1 2
0 −1 2 3 

2 0
1 0 
0 0
0 0

3

4

es una matriz escalonada y su rango es 3.
ıa

Nota Toda matriz se puede transformar en una matriz en forma
escalonada mediante operaciones elementales. Una forma de hacerlo es
mediante el algoritmo de eliminaciń gaussiana.
o
Adem´s, teniendo en cuenta que las operaciones elementales no modifican
a
el rango de una matriz, este procedimiento nos permite hallar el rango de
la matriz de partida.

2



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Permutar filas y/o columnas de modo que el elemento de lugar (1, 1)
sea no nulo (si esto no es posible tenemos la matriz nula).
Hacer ceros los elementos de la primera columna debajo de ´ste,
e
sumando m´ltiplos adecuados de la primera fila a las restantes.
u
Repetir el proceso con el elemento de lugar (2, 2), haciendo cero los
elementos de la segunda columna debajo del de lugar (2, 2).
Continuar con los elementos de lugar (i, i) con i > 2 mientras existan
elementos no nulos en las filas inferiores a la i.

ıa

1.3 Matriz inversa

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1.3 Matriz inversa

Inversa de una matriz cuadrada

C´lculo de la inversa
a

Definiciones

Definiciń
o
Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz formada
por los adjuntos de los elementos de A. Se denota por Adj(A).

1

2

Se dice que una matriz cuadrada es regular o inversible si posee
elemento inverso para el producto. A su elemento inverso se le
denomina matriz inversa de la de partida. La matriz inversa de la
matriz A se denota por A−1 .
Una matriz cuadrada es ortogonal si es inversible y su inversa coincide
con su traspuesta (A−1 = At ).

Propiedades de la matriz inversa
1 La inversa de una matriz cuadrada, si existe es unica.
´
−1 )−1 = A.
2 Si A es una matriz cuadrada inversible, (A
3 Si A y B son matrices cuadradas inversibles, (A · B)−1 = B −1 · A−1 .
4 Si A y B son matrices cuadradas tales que AB = I, entonces son
inversibles y se verifica A−1 = B y B −1 = A.
5 Si A es una matriz cuadrada e inversible se tiene (A−1 )t = (At )−1 .
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Teorema
Una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y s´lo si |A| = 0.
o
1
Adj(A)t .
Adem´s, si es inversible, su inversa es A−1 =
a
|A|
C´lculo de la inversa de una matriz mediante operaciones
a
elementales
Dada una matriz cuadrada A, si mediante operaciones elementales
aplicadas a las filas y s´lo a las filas (o a las columnas, pero s´lo a las
o
o
columnas), se obtiene la matriz identidad, entonces la matriz es inversible.
Adem´s su inversa es la matriz resultante de aplicar a la identidad las
a
operaciones elementales aplicadas a la matriz A.
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o


Vectores

o

Operaciones con vectores
Suma de vectores
Definiciń
o

Definiciones
1

Un vector de Rn es una n-upla de n´meros reales.
u
Los vectores se suelen denotar con letras min´sculas y con una flecha
u
o una raya encima, x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
¯

2

Los n´meros x1 , x2 , . . . , xn que definen el vector x = (x1 , x2 , . . . , xn )
u
¯
se llaman componentes o coordenadas del vector x.
¯

3

El n´mero n se llama orden o dimensiń de x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
u
o
¯

Dados dos vectores x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) del mismo
¯
¯
orden, se llama suma de x e y al vector
¯ ¯
x + y = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ).
Propiedades
Para cualesquiera que sean los vectores x, y y z del mismo orden se verifica
¯ ¯ ¯
1
2
3
4

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Asociativa: x + (¯ + z ) = (¯ + y ) + z .
¯
y ¯
x ¯
¯
Conmutativa: x + y = y + x.
¯ ¯ ¯ ¯
¯ = (0, 0, . . . , 0) es el elemento neutro.
El vector nulo 0
Dado x = (x1 , x2 , . . . , xn ), el vector −¯ = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ) es
¯
x
su elemento opuesto.

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o

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o

El espacio vectorial Rn

Operaciones con vectores
Producto de un escalar por un vector
Definiciń
o

Nota

Dados un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y un escalar λ ∈ R, se llama
¯
producto del escalar λ por x al vector
¯

El conjunto junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicaciń
o
por un escalar es un espacio vectorial.

λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ).

Al hablar del espacio vectorial Rn , estamos empleando un concepto m´s
a
amplio que no vamos a introducir formalmente. De hecho, el conjunto de
matrices de orden m × n con las operaciones suma de matrices y
multiplicaciń por un escalar (obs´rvense las propiedades que verifican las
o
e
operaciones en uno y otro caso) tambiń es un espacio vectorial.
e

Propiedades
Para cualesquiera que sean los vectores x y y del mismo orden y para
¯ ¯
cualesquiera escalares λ, µ ∈ R, se verifica
1

λ(¯ + y ) = λ¯ + λ¯.
x ¯
x
y

2

(λ + µ)¯ = λ¯ + µ¯.
x
x
x

3

λ(µ¯) = (λµ)¯.
x
x

4

1¯ = x.
x ¯

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Combinaciones lineales



Dependencia e independencia lineales

Definiciń
o
Dados los vectores u1 , u2 , . . . , um de Rn , se dice que un vector v de Rn es
¯ ¯
¯
¯
combinaciń lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , um , si existen escalares
o
¯ ¯
¯
λ1 , λ2 , . . . , λm en R tales que

Definiciones
1

Los vectores u1 , u2 , . . . , um de Rn son linealmente dependientes si
¯ ¯
¯
uno de ellos es combinaciń lineal del resto, o equivalentemente si
o
existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λm en R, no todos nulos, tales que

v = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um .
¯
¯
¯
¯

¯ = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um .
0
¯
¯
¯

Los escalares λ1 , λ2 , . . . , λm son los coeficientes de la combinaciń lineal.
o
2

Propiedad

Un sistema ligado es un conjunto de vectores linealmente
dependientes.

El vector nulo es combinaciń lineal de cualquier conjunto de vectores.
o

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Propiedades
1

Definiciones

Un conjunto de vectores de Rn que contiene al ¯ es ligado.
0

2
1

2

Los vectores u1 , u2 , . . . , um son linealmente independientes si no son
¯ ¯
¯
linealmente dependientes.
En este caso, ninguno de ellos se puede escribir como combinaciń
o
lineal del resto y la unica forma posible de escribir el vector nulo como
´
combinaciń lineal de esos vectores, es con todos los coeficientes
o
nulos, es decir, si ¯ = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λm um , con
0
¯
¯
¯
λ1 , . . . , λm ∈ R, entonces λ1 = · · · = λm = 0.

Matem´ticas I
a

3

Si el conjunto de vectores {¯1 , u2 , . . . , um } es un sistema ligado,
u ¯
¯
entonces
{¯1 , u2 , . . . , um , um+1 , . . . , uq } es un sistema ligado.
u ¯
¯ ¯
¯

Teorema
Sea A ∈ Mm×n (IR). Considerando las filas de A como vectores de IRn y
sus columnas como vectores de IRm , el rango de A coincide con el
m´ximo n´mero de vectores fila linealmente independientes, y con el
a
u
m´ximo n´mero de vectores columna linealmente independientes.
a
u

Un sistema libre es un conjunto de vectores linealmente
independientes.

ıa

Si el conjunto de vectores {¯1 , u2 , . . . , um , . . . , xp } es un sistema
u ¯
¯
¯
libre, entonces {¯1 , u2 , . . . , um } es un sistema libre.
u ¯
¯

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