Este documento presenta un problema de flujo de agua a través de una red de tuberías entre 4 nodos (A, B, C, D). Se debe modelar matemáticamente mediante un sistema de ecuaciones lineales (SEL) y determinar los flujos en cada tramo. El SEL planteado tiene infinitas soluciones dependiendo del valor de la variable libre f4. Se analizan casos particulares para verificar la solución y responder preguntas adicionales sobre los flujos.

1. Actividad N° 2
Alumnos: Novillo, Pablo.
Bonet, Javier.
Parte C.
Enunciado 2
Analice la figura donde se detallan los flujos de una red de
tuberías de agua con flujos medidos en litros por minuto. En
cada nodo–nombradosconletras A,B,C, D se conservael flujo,
es decirlo que entra es igual a lo que sale.Se necesitaconocer
la cantidad de flujo que circula en cada tramo por hora.
Entonces:
a) Plantee el SELque permite darconlosvaloresde losflujosf
de 1 a 5. Esto es, modelice matemáticamente la situación. En
particular y previamente explicite datos conocidos y datos
desconocidos,explicitelasvinculacionesentre datosconocidosydesconocidosque danorigen
a cada EL.
b) Resuelvael SELpor métodode Gauss-JordanusandolospaquetesinformáticosOnlineMSchool
http://es.onlinemschool.com/math/assistance/,WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1,wiris
https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA ytambién
http://www.wiris.net/demo/wiris/es/.Analicelosresultadosobtenidos.
c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones de los
parámetros en el contexto del problema.
d) Analice si esposibledeterminargráficamente lasolución.Explique sus conclusiones,grafiquesi
es posible.
e) Identifique una solución particular. Verifique.
f) ¿Es posible para 1 100f  ? Respondaestapreguntaprimerohaciendoreferenciaasu solución
en el inicio b) y luego directamente de la figura.
g) Si 4 0f  ¿cuál será la amplitud de flujo en cada una de las otras ramas?
h) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de insercióny embébalo en el
forode laactividad.Asícompartirácon sus pareslarespuesta.Cuide de comunicarasegurando
que el mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.

2. Resolución.
a)
Datos:
En la figura se observan 4 Nodos, nodo A, nodo B, nodo C y nodo D. A estos los
definiremos como: NA, NB, NC, ND.
NA= Nodo A.
NB= Nodo B.
NC= Nodo C.
ND= Nodo D.
También se observan 4 flujos que entran y salen a los respectivos nodos, estos están
medidos en litros sobre minuto (l/m). A estos los definiremos como: f1, f2, f3, f4.
f1= Flujo numero 1 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NA y NB.
f2= Flujo numero 2 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NA y ND.
f3= Flujo numero 3 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NC y NB.
f4= Flujo numero 4 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NC y ND.
En cada nodo NA, NB, NC, ND se conserva el flujo, es decir lo que entra es igual a lo que
sale.
Con esta consigna podemos representar las ecuaciones correspondientes:
En el NA la suma de los flujos entrantes (10,10) es igual a la suma de los flujos
salientes (f1, f2)
NA 10 + 10 = f1 + f2
f1 + f2 = 20
En el NB la suma de los flujos entrantes (f1, f3) es igual a la suma de los flujos
salientes (20, 5)
NB f1 + f3 = 20 + 5
f1 + f3 = 25
En el NC la suma de los flujos entrantes (15, 15) es igual a la suma de los flujos
salientes (f3, f4)
NC 15 + 15 = f3 + f4
f3 + f4 = 30

3. En el ND la suma de los flujos entrantes (f2, f4) es igual a la suma de los flujos
salientes (10, 15)
ND f2 + f4 = 10 + 15
f2 + f4 = 25
El conjunto de ecuaciones queda planteado de esta manera:
{
( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐) 𝒍/𝒎 = 𝟐𝟎 𝒍/𝒎
( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑) 𝒍/𝒎 = 𝟐𝟓 𝒍/𝒎
( 𝒇𝟑 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎 = 𝟑𝟎 𝒍/𝒎
( 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎 = 𝟐𝟓 𝒍/𝒎
Ya que la consigna nos pide que planteemos el flujo que circula por cada nodo y lo
expresemos en l/h. Procedemos a multiplicar por 60 cada flujo ya que 1 hora
equivale a 60 minutos.
{
𝟔𝟎(( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟐𝟎 𝒍/𝒎)
𝟔𝟎(( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟐𝟓 𝒍/𝒎)
𝟔𝟎(( 𝒇𝟑 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟑𝟎 𝒍/𝒎)
𝟔𝟎(( 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟐𝟓 𝒍/𝒎)
Nos queda.
{
𝟔𝟎( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒍/𝒉
𝟔𝟎( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒍/𝒉
𝟔𝟎( 𝒇𝟑 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒍/𝒉
𝟔𝟎( 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒍/𝒉

4. b)
Teniendo las ecuaciones armadas formulamos el SEL.
{
𝟔𝟎𝒇𝟏 + 𝟔𝟎𝒇𝟐 = 𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟔𝟎𝒇𝟏 + 𝟔𝟎𝒇𝟑 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟔𝟎𝒇𝟑 + 𝟔𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟔𝟎𝒇𝟐 + 𝟔𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
Operamos con el método Gauss- Jordan en OnlineMSchool.

5. Operamos en WolframAlpha.

6. Operamos en Wiris.
Se puede observar que en todos los paquetes informáticos la solución es la misma.
Las variables quedan definidas por el valor de f4, es decir, matemáticamente el SEL
tiene infinitas soluciones.
c)
Conjunto solución.
S = {(f1, f2, f3, f4) / f1 = t - 5, f2 = -t + 25, f3 = -t + 30, f4 = t, t ∈ }
La solución general es el conjunto de soluciones particulares. Una solución
particular se obtiene asignando a la VL (Variable Libre) f4 un valor real cualquiera, y
las otras variables quedan definidas en términos de ella.
En el contexto del problema los flujos deben ser positivos o nulos, es decir, la suma
de los flujos que entran es igual a la suma de los que salen, por esto debemos tener
en cuenta que el valor de f4 no debe ser menor que 5 ni mayor que 25, es decir, el
SEL se satisface con valores entre 5 y 25 incluidos. Si f4 es menor a 5, el valor de f1
va a ser negativo y si f4 es mayor a 25 el valor de f2 va a ser negativo, y un flujo
negativo no puede ser posible en el contexto del problema.

7. f4 ≥ 5 ^ f4 ≤ 25
Ejemplo: f4 = 5
ND (Nodo D).
60f2 + 60f4 = 1500
60f2 = 1500 – 60*5
f2 = (1500/60) – 300/60
f2 =25 – 5
f2 =20
NC (Nodo C).
60f3 + 60f4 = 1800
60f3 = 1800 – 60*5
f3 = (1800/60) – (300/60)
f3 = 30 – 5
f3 = 25
NB (Nodo B)
60f1 + 60f3 = 1500
60f1 = 1500 – 60*25
f1 = (1500/60) – (1500/60)
f1 = 25 – 25
f1 = 0
NA (Nodo A).
60f1 + 60f2 = 1200
60*0 + 60*20 =1200
1200 = 1200

8. f4 = 6
ND (Nodo D).
60f2 + 60f4 = 1500
60f2 = 1500 – 60*6
f2 = (1500/60) – 360/60
f2 =25 – 6
f2 =19
NC (Nodo C).
60f3 + 60f4 = 1800
60f3 = 1800 – 60*6
f3 = (1800/60) – (360/60)
f3 = 30 – 6
f3 = 24
NB (Nodo B)
60f1 + 60f3 = 1500
60f1 = 1500 – 60*24
f1 = (1500/60) – (1440/60)
f1 = 25 – 24
f1 = 1
NA (Nodo A).
60f1 + 60f2 = 1200
60*1 + 60*19 =1200
60 + 1040 = 1200
1200 = 1200
d) No es posible graficar ya que el SEL posee 4 variables. Si se pudieran graficar
se intersecarían en una recta porque la solución es monoparamétrica.

9. e) Solución Particular.
f4 = 7
ND (Nodo D).
60f2 + 60f4 = 1500
60f2 = 1500 – 60*7
f2 = (1500/60) – 420/60
f2 =25 – 7
f2 =18
NC (Nodo C).
60f3 + 60f4 = 1800
60f3 = 1800 – 60*7
f3 = (1800/60) – (420/60)
f3 = 30 – 7
f3 = 23
NB (Nodo B)
60f1 + 60f3 = 1500
60f1 = 1500 – 60*23
f1 = (1500/60) – (1380/60)
f1 = 25 – 23
f1 = 2
NA (Nodo A).
60f1 + 60f2 = 1200
60*2 + 60*18 =1200
120 + 1080 =1200
1200 = 1200

10. Valor de los flujos.
f4 = 7
f2 =18
f3 = 23
f1 = 2
(60f1 + 60f2) = 1200 (l/h)
(60f1 + 60f3) = 1500 (l/h)
(60f3 + 60f4) = 1800 (l/h)
(60f2 + 60f4) = 1500 (l/h)
Reemplazamos el valor de los flujos en cada tramo.
Flujo en el Nodo A (60*2 + 60*18) = 1200 (l/h)
Flujo en el Nodo B (60*2 + 60*23) = 1500 (l/h)
Flujo en el Nodo C (60*23 + 60*7) = 1800 (l/h)
Flujo en el Nodo D (60*18 + 60*7) = 1500 (l/h)
f)
Si el valor de f1 = 100. Matemáticamente satisface las ecuaciones.

11. En la figura el valor de f1=100 no satisface las ecuaciones por las restricciones
mencionadas anteriormente, es decir, f1 debe ser menor que 25 ya que los flujos
deben ser positivos o nulos.
g)
f4 = 0
ND (Nodo D).
60f2 + 60f4 = 1500
60f2 = 1500 – 0
f2 = (1500/60) – 0
f2 =25 – 0
f2 =25
NC (Nodo C).
60f3 + 60f4 = 1800
60f3 = 1800 – 0
f3 = (1800/60) – 0
f3 = 30 – 0
f3 = 30
NB (Nodo B)
60f1 + 60f3 = 1500
60f1 = 1500 – 60*30
f1 = (1500/60) – (1800/60)
f1 = 25 – 30
f1 = -5

12. NA (Nodo A).
60f1 + 60f2 = 1200
60*(-5) + 60*25 = 1200
-300 + 1500 = 1200
1200 = 1200
El flujo en las ramas es igual:
En la rama A-B.
f1 = -5*60 = -300 l/h
En la rama B-C.
f3 = 30*60 = 1800 l/h
En la rama C-D.
f4 = 0 l/h
En la rama D-A.
f2 = 25*60 = 1500 l/h