1. Elementos, características y procedimientos de la Unidad 3
Olver Enrique Gonzalez Sanchez
Francisco Javier Balero
Grupo-37
Julian Ricardo Gomez
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD
Escuela de Ciencias de la Educación – ECEDU
Programa – Licenciatura en Matemáticas
UDR – Aguachica, Mayo 2022

2. Elementos de la hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamadas focos, es constante.
En una hipérbola se reconocen los siguientes elementos:
Focos: Puntos fijos F y F' mencionados en la definición
Centro: es el punto medio de la distancia entre los focos F y F’
Vértices: Son las intersecciones A y A' de la curva con la recta que contiene a los focos. La distancia del centro a un vértice de llama a.
Eje focal o eje mayor: es la recta que contiene a los focos y a los vértices
Eje menor o eje conjugado: es la perpendicular al eje focal que pasa por el centro.
Asintotas: son las diagonales del rectángulo que se traza para construir la hipérbola.
Ramas: son las dos partes de la curva que constituyen la hipérbola

3. Ecuación canónica con centro (0,0)
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (0,0)
La ecuación canónica de la hipérbola con eje focal sobre el eje x y eje conjugado sobre el eje y es de la forma:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2
Para obtener la expresión analítica de una hipérbola tomamos los ejes x y como ejes de la hipérbola.
Si los puntos F: (c,0) y F´: (-c,0) son los focos de la hipérbola, un punto P: (x,y) será punto de la hipérbola si PF – PF´= ±2𝑎 es decir si:
Para simplificar esta ecuación, se empieza por expresarla en la forma:
Elevamos al cuadrado y se obtiene:
Esto es:
Si, nuevamente elevamos al cuadrado resulta:
Es decir:
Teniendo en cuenta que dividimos por y resulta

4. A continuación se explican dos posibilidades que toma la hipérbola, según sus ramas abarquen al eje x o al eje
y, análogamente a lo expuesto para los lugares geométricos estudiados:
Cuando abarca al eje x. Hipérbola con C: (0,0). Eje mayor sobre el eje x. Focos
Cuando abarca al eje y. Hipérbola con C: (0,0). Eje mayor sobre el eje y. Focos

5. Ecuación canónica con centro (h,k)
La ecuación canónica de una hipérbola con eje focal sobre una paralela al eje x y su centro en un punto (h,k) es:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Ahora consideremos la hipérbola con el centro en el punto (h,k) con el eje focal paralelo al eje x. Los elementos de la hipérbola son:
Centro: C: (h,k), Foco F2: (h-c,k) y Foco F1: (h+c,k)
Punto de la hipérbola: P: (x,y)
vértices del eje mayor: V2: (h-a,k) y V1: (h+a,k)
vértices del eje menor: V4: (h,k-b) y V3: (h,k+b)
Por definición de lugar geométrico de una hipérbola tenemos que: 𝑑 = 𝐹1𝑃 − 𝑑 𝐹2𝑃 = 2𝑎 es decir (𝑥 − ℎ + 𝑐)2 − (𝑥 − ℎ + 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑎
Luego de trasponer el segundo radical a la derecha, elevar ambos miembros al cuadrado, reducir términos semejantes, nuevamente elevar al cuadrado, simplificar
términos para así factorizar, obtenemos: (𝑐2
− 𝑎2
)(𝑥 − ℎ)2
− 𝑎2
(𝑦 − 𝑘)2
= 𝑎2
𝑐2
− 𝑎2
Teniendo en cuenta que 𝑐2
− 𝑎2
= 𝑏2
y dividiendo por 𝑎2
𝑏2
resulta la
ecuación:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Con un desarrollo similar podemos obtener la ecuación de una hipérbola cuyo centro es el punto (h,k) con el eje focal paralelo al eje y. De esa forma, obtendremos la
ecuación:
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
Las rectas 𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) son las asíntotas de la hipérbola y constituyen una guía para su grafica.

6. Ecuación general de la hipérbola
para A,B,C,D,E en {R}, con A y B de diferente signo.
Consideramos el desarrollo de la ecuación de una hipérbola trasladada al centro (h,k) con el eje mayor sobre una paralela al eje x, así:
Si denotamos por:
tendremos la ecuación:
haciendo énfasis en que A y B tienen diferente signo.

7. Elementos de la elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma o sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
En una elipse podemos reconocer los siguientes elementos:
Eje de simetría: rectas que permiten reflejar una mitad de la elipse sobre la otra. Un elipse tiene dos ejes:
Eje mayor o eje focal, sobre el cual se encuentran los focos
Eje menor o eje secundario.
Focos: Puntos fijos F1 y F2 ubicados sobre el eje mayor
Centro: punto medio entre los focos. Es además el punto en donde se intersectan el eje mayor y el eje menor
Vértices: puntos de la elipse que se intersectan con los ejes de simetría. Se les llama:
Vértices menores, a los ubicados sobre el eje menor.
Vértices mayores a los ubicados sobre el eje mayor.
Semiejes: Segmentos que unen el centro con uno de los vértices. Se les llama:
Semieje mayor, si une el centro con un vértice mayor. Es el semieje mas largo y los llamamos a.
Semieje mayor, si une el centro con un vértice menor. Es el semieje mas corto y los llamamos b.
La distancia del centro a un vértice mayor, que llamamos a, es igual a la distancia del foco a un vértice menor.

8. Ecuación canónica con centro (0,0)
La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x y centro (0,0) es:
La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y y centro (0,0) es:
Para obtener la expresión analítica de una elipse, la ubicamos sobre los ejes coordenados. El eje mayor lo haremos coincidir con el eje x y el eje menor coincidir con el
eje y.
Por la definición de elipse sabemos que para cualquier punto P de la elipse se cumple es siempre constante.
En particular para el vértice V_3, por semejanza de triángulos tenemos que (a es la distancia del vértice menor al foco).
Por tanto y en general: para cualquier punto P de la elipse.
De este modo: . La expresamos de la forma:
Elevamos al cuadrado y se obtiene:
Esto es:

9. De la ecuación canónica se puede concluir:
a es la longitud del semieje mayor que coincide con la longitud del segmento que une al foco con un vértice menor.
b es la longitud del semieje menor.
c es la distancia del foco al centro y se puede obtener por el teorema de Pitágoras:

10. Ecuación canónica con centro (h,k)
La ecuación canónica de una elipse con centro en un punto (h,k) y el eje mayor paralelo al eje x es:
Consideremos la elipse con el centro en el punto (h,k) y eje mayor paralelo al eje x. Por la definición de elipse tenemos que:
La ecuación de una elipse con centro en un punto (h,k) y el eje mayor paralelo al eje y es:
De la misma manera que para las elipses con centro (0,0), la ecuación canónica nos permite hallar las longitudes del semieje mayor a y del semieje menor b.

11. Ecuación general de la elipse
La ecuación general de una elipse es:
para A,B,C,D,E en {R}.
Si desarrollamos la ecuación canónica de ka elipse con centro en el punto (h,k) y con eje mayor paralelo al eje x obtenemos:
constantes reales y obtenemos la ecuación de la elipse.
En el caso de la elipse la ecuación general tiene la misma forma para las elipses con ejes mayores paralelos a los ejes x o y, puesto que los coeficientes A y B de 𝑥2
y 𝑦2
siempre son diferentes. De lo contrario estaríamos hablando de una circunferencia.

12. Referencias
linea, B. e. (s.f.). bachilleratoenlinea.com. Obtenido de 10° Matematicas:
https://bachilleratoenlinea.com/educar/course/view.php?id=38
Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria.
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
Real, M. (2010). Secciones Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. Páginas 237 – 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583