Derivada das Funções Trigonométricas Inversas e Identidades Para Funções Trigonométricas Inversas

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Derivada das Funções Trigonométricas Inversas e Identidades Para Funções Trigonométricas Inversas

  1. 1. www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Derivada das Funções Trigonométricas Inversas Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas. Problemas deste tipo envolvem a computação de funções arco, tais como arcsen x, arccos x, arctg x, e assim por diante. Consideremos esta idéia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas. Identidades Para Funções Trigonométricas Inversas Se interpretamos x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se aquele ângulo for não negativo, então podemos representar x como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de tem comprimento x (figura a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo tem comprimento . Além disso, a ângulo oposto a é , uma vez que o co-seno daquele ângulo é x (figura b). Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para . Por exemplo: Analogamente, xe x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na figura c e d. Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo: OBSERVAÇÃO. Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é compreender o método usado para obtê-las. 1/3
  2. 2. www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Exemplo: A figura abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de y = (sen x). Pode se pensar que este gráfico deva ser a reta y = x, uma vez que (sen x) = x. Por que isto não acontece? Solução: A relação (sen x) = x é válida no intervalo ; logo podemos dizer, com certeza, que os gráficos de y = (sen x) e y = x coincidem neste intervalo. Contudo, fora deste intervalo, a relação (sen x) = x não precisa ser válida. Por exemplo, se estiver no intervalo , então a quantidade x - estará no intervalo . Assim Desta forma,usando a identidade sen(x- ) = -sen x e o fato de que é uma função ímpar, podemos expressar (sen x) como Isso mostra que no intervalo , o gráfico de y = (sen x) coincide com a reta y = -(x- ), a qual tem inclinação -1 e um intercepto x em x = , o que está de acordo com a figura. Derivadas De Funções Trigonométricas Inversas Lembre-se que se f for uma função um a um, cuja a derivada é conhecida, então há duas maneiras básicas para obter uma fórmula de derivação para (x), podemos reescrever a equação y = (x) como x = f(y), e diferenciar implicitamente. Usaremos a diferenciação implícita para obter a fórmula de derivação para y = x. Reescrevendo esta equação como x = sen y e diferenciando implicitamente, obtemos 2/3
  3. 3. www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Esta fórmula de derivada pode ser simplificada aplicando-se a fórmula , que foi deduzida a partir do triângulo da figura, resultando: Assim, mostramos que Se u for uma função diferenciável de x, então e a regra da cadeia produzem a seguinte fórmula generalizada da derivada O método usado para obter esta fórmula pode também ser usado para obter fórmulas generalizadas de derivadas para outras funções trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1< u < 1, são 3/3

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