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UNIFRA MESTRADO DE ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICAFundamentos de MatemáticaOS ESTUDANTES PROPÕE UM PROBLEMA:uma possibilidade favorecida por ambientes computacionais informatizadosEstela Torroba, Marisa Reid,Nilda Etcheverry e Monica Villarreal,[object Object],Noélli Ferreira ,[object Object]
Primeiro encontro:,[object Object],Seja uma função quadrática da forma y=ax²+bx, achar o coeficiente b em função de a, de maneira que a área da região formada pela curva y com o eixo x tenha um valor constante.,[object Object],Prof: Como deve ser a e b?,[object Object],Alunos: O coeficiente a tem que ser menor que zero (a<0) para que a concavidade seja para baixo e b pode ser negativo ou positivo.,[object Object],Alunos: Por que a tem que ser menor que zero? Para que seja a região formada com a curva e o eixo x.,[object Object]
	A professora sugere o uso do software para a construção de alguns gráficos.Y=-x²+bx o bvariando de -7 a 9 (intervalo 4) b=-7, b=-3 , b= 1, b=5, b=9.,[object Object]
Alunos: Observamos que as parábolas passam pela origem. Todas elas cortam o eixo x em dois pontos, falta achar o valor do outro ponto.,[object Object],	Resolvendo a equação algebricamente: ax²+bx=0 (colocando  x em evidencia) obteremos x=0 e x=-b/aque são as raízes desta equação.,[object Object],Prof: O que significa que as áreas devem ser constantes?,[object Object],Alunos: Vale sempre o mesmo valor, por exemplo, três.A área baixo da curva é uma integral?,[object Object],Lembrando: área sobre uma curva A=,[object Object]
	A área pode ser calculada através da integral definida, cujos limites de integração são as raízes calculadas anteriormente.,[object Object], Resolvendo algebricamente a integral:,[object Object]
	Igualando esta expressão, por exemplo, a três.,[object Object],	Resolvendo através do software encontra-se ,[object Object],	  =3, logo b=  							 (resposta do problema dado, em ,[object Object],particular no caso onde a área é igual a 3) logo, Y=ax² +		  x,[object Object], ,[object Object],Os estudantes se aprofundaram e vão alem da exploração,[object Object]
	Observando os gráficos desta função quadrática para distintos valores negativos de a. a=-5, a=-1, a=-2, a=-3, a=-4,[object Object]
Alunos: Para que a área seja sempre a mesma, quando a base (raízes distintas de cada parábola) AUMENTA e a altura (ordenada do vértice) deve DIMINUIR.,[object Object],		A professora propõe que marquem os vértices das parábolas. Os alunos preferem achar as coordenadas dos vértices através da forma canônica: f(x)=a(x-m)²+k ,[object Object],		Então Y=a(x-(b/2a))²+b²/4(-a) logo os vértices serão : v=(-b/2a, -b²/4a) substituindo 	b=		   nas coordenadas do vértice temos:,[object Object]
Posteriormente marcam-se os vértices sobre as parábolas mostradas anterior.,[object Object]
Alunos: Podemos encontrar a equação dessa curva?De qual?A curva que passa por todos os vértices?,[object Object],Prof.:Qual é a expressão da coordenada x?,[object Object],Alunos: X=-b/2a, como b=   		    substituindo em x teremos x= 	      (x se refere (Xv) em função de a),[object Object],Achar y do vértice em função de a y=-b²/4a achamos y= -,[object Object],  Temos que achar y em função de x:,[object Object],	Como x= isolando a temos: a=,[object Object]
 	Como agora temos o valor de y e a calculando algebricamente obtemos: y= -,[object Object]
Usando o software os alunos também obtém a equação: f(x)= ,[object Object],Fazendo o gráfico da função hiperbólica teremos:,[object Object]
Segundo encontro:,[object Object],	Ob da equação do problema inicial poderia tomar valores positivos ou negativos. Agora utilizaremos valor negativo para b.,[object Object],				para uma área = 3.,[object Object],b= -   ,[object Object],Y= ax²- 	   	 x,[object Object],Assinalando valores negativos para a. a =-10, a=-8, a=-6, a=-4, a=-2,[object Object]
Marcando os vértices inserindo a função f(x) =-  (muda o sinal porque b é negativo),[object Object],Observamos que os vértices das parábolas encontram no ramo da hipérbole.,[object Object]
Generalizando o problema usando o software: ,[object Object],K= área ,[object Object],Y= ax²+ 		   x,[object Object], ,[object Object],F(X) =	função que passa pelos vértices das parábolas em caso de b positivo.,[object Object],Segundo os autores do artigo este resultado dificilmente seria conseguido sem a ajuda do recurso tecnológico. ,[object Object]

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