1.
Derivada de una función
“Aplicaciones de la
derivada ”

2.
Destinatarios
• Alumnos de 5º año del nivel secundario de
la Escuela de Enseñanza Técnica

3.
Objetivos
Que el alumno logre:
• Resolver problemas de optimización mediante la
aplicación de la derivada.
• Utilizar la planilla de cálculo Excel para
determinar valores máximos y mínimos de la
función que nos permite representar la situación
problemática planteada.
• Graficar una función mediante la aplicación de
herramientas estudiadas en análisis matemático

4.
Contenidos Previos
Extremos locales o relativos
 f(c.) es un mínimo local (o relativo) de f si existe un
intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≤f(x)  x  I
 f(c) es un máximo local (o relativo) de f si existe un
intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≥f(x)  x  I

5.
Ejemplo
y
f(c1)
f(c2)
0 1 c1 c2
x
( ) ( )
I1 I2



6.
Observaciones:
Un extremo local no tiene porque ser
absoluto.
 f(c1) es un máximo
local, no absoluto.
 f(c2) es un mínimo
local, no absoluto
0 c1 c2 x
y
f(c1)
f(c2)


f(x)

7.
Si f está definida en [a;b], los extremos
locales no pueden ser ni f(a) ni f(b).
0 a b x
[ ]
y
f(b)
f(a)


f(x)
f(a) mínimo absoluto, no relativo,
ya que no existe un intervalo
abierto I que contenga a a, tal que
f(a)  f(x)  x  I
f(b) máximo absoluto, no relativo,
ya que no existe un intervalo
abierto I que contenga a b, tal que
f(b)  f(x)  x  I

8.
Todo extremo absoluto que una función
presenta en un punto “interior” de su
dominio es también extremo local.
0 a c d b x
y
f(c)
f(d)
f(x)




 f(c) es máximo absoluto y
relativo.
 f(d) es mínimo absoluto y
relativo.
[a c d b]

9.
Extremos absolutos
Los extremos absolutos
se producen en puntos
donde hay extremos
locales o en los extremos
del intervalo de definición.



a b
x
0
c
m=
f(c)
M=
f(b)
y
f(x)

10.
Extremos locales y derivada
a e f0
y
f ’(a) = 0
f ’(e) = 0
no  f ’(f)
f(x)

11.
Teorema del Extremo Interior
Si f tiene un extremo local en
x=c  f´(c)= 0 ó no existe f´(c)
Observación:
El proposición recíproca no es válida.

12.
y
0 c x 0 c x
y
f ’(c) = 0 o f ’(c)  f(c) es extremo

13.
Número crítico
Si f está definida en c, se dice que c es un
número crítico si f´(c)= 0 ó no existe f´(c).
(Es decir un número crítico, es un posible
extremo relativo)
Observación: Con esta definición el teorema
anterior se puede expresar:
“Si f tiene un extremo relativo en x=c,
entonces c es un número crítico de f ”

14.
Crecimiento
Si f es una función continua en [a;b] y derivable en (a;b),
entonces:
a) f’(x) > 0  x en (a;b)  f es creciente en [a;b]
b) f’(x) < 0  x en (a;b)  f es decreciente en [a;b]
c) f’(x) = 0  x en (a;b)  f es constante en [a;b]



x
y

15.
Determinación de los extremos
relativos
Hemos visto que el signo de la derivada primera
de una función determina los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la misma.
Esta información nos permite detectar los valores
de la variable donde se producen los extremos
locales de la función.

16.
Ejemplos
y y
0 c1 x 0 c2
x
f(x) g(x)
creciente decreciente decreciente creciente
máximo local en c1 mínimo local en c2

17.
Y y y
0 c1 x 0 c2 x
h(x) t(x)
creciente decreciente decreciente creciente
máximo local en c1 mínimo local en c2

18.
Teorema
Criterio de la derivada primera para la
determinación de extremos locales
Consideremos una función f continua en [a;b] y derivable
en (a;b) excepto quizás en c  (a;b).
a) Si f´(x) > 0 en (a;c) y f´(x) < 0 en (c;b) entonces f
tiene un máximo local en c.
b) Si f´(x) < 0 en (a;c) y f´(x) > 0 en (c;b) entonces f
tiene un mínimo local en c.

19.
Procedimiento práctico para la
determinación de extremos locales
Obtener los puntos críticos de f.
Aplicar el criterio de la derivada primera
para la determinación de los extremos
locales.

20.
Ejemplos
2x
12x
2x
1
1




x
x
1

Analizaremos el crecimiento de las siguientes funciones y
determinaremos si existen extremos locales.
1) f(x) =
• Dominio
Dom(f) = R – {0}
• Números críticos
f ’(x) =

0

21.
f ’(x) = 0  x = 1  x = -1
números críticos
• Crecimiento
f ’(x) = , el denominador es siempre positivo
por lo tanto el signo de la derivada primera lo determina
el numerador, luego:
 f ’(x)>0  x2-1 > 0  x>1  x<-1
 f ’(x)<0  x2-1 < 0  -1<x<1 y x  0
2
2
x
x 1
0 Dom(f)
1x2

-1 0 1

22.

f’(x)>0 -1 f’(x)<0 1 f’(x)>0
f crece f decrece f crece
en x = -1 hay un
máximo local y
ML= f(-1)=-2
en x =1 hay un
mínimo local y
mL= f(1)=2

23.


-1 0 1 x
Dom(f) = R – {0} Bosquejo de la función
-2
2
f crece   f decrece
f decrece   f crece

24.
2) f(x) = 3x4-8x3+6x2
• Dominio
Dom(f) = R
• Números críticos
f’(x) = 12x3-24x2+12x
f’(x) = 0  12x3-24x2+12x = 0  12x(x2-2x+1) = 0 
 12x(x-1)2 = 0  x = 0  x = 1
números críticos

25.
• Crecimiento
f ’(x) > 0  12x(x-1)2 > 0  x > 0 y x  1
f ’(x) < 0  12x(x-1)2 < 0  x < 0
f ’(x)<0 0 f ’(x)>0 1 f ’(x)>0
f decrece f crece f crece
en x = 0 hay un
mínimo local y
mL= f(0)=0
en x =1 no hay
extremo local

26.


y
0 1 x
Dom(f) = R Bosquejo de la función
f decrece
f crece
f crece

27.
Estrategia para hallar extremos absolutos
de una función continua en un intervalo [a;b]
Hallamos los números críticos c  (a;b).
Calculamos el valor de la función en esos
números y en los extremos del intervalo.
El mayor de esos valores es el máximo y
el menor el mínimo absoluto.

28.
Ejemplos
Sea f(x) = 2x4 - 3x3 en [-1;1], hallemos los extremos
absolutos:
 f ’(x) = 8x3-9x2
• f ’(x) = 0  x2(8x-9) = 0  [ x= 0  x= 9/8 ]
• f ’(x) está definida  x
Luego, el único número crítico en (-1;1) es x = 0

29.
Evaluamos a la función en las abscisas del único punto
crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:
 f(-1)= 5
 f(0) = 0
 f(1) = -1
Finalmente concluimos…
 máximo absoluto es M= f(-1)= 5
 mínimo absoluto es m= f(1)= -1

30.
Veamos otro ejemplo…
Sea f(x) = 3(x-8)2/3 en [7;9], hallemos los extremos
absolutos.
 f ’(x) = 2(x-8) -1/3 =
f ’(x)  0   x en (7;9)
f ’(x) no está definida para x=8
Luego, el único número crítico en (7;9) es x = 8
3
8x
2


31.
f(7) = 3
f(8) = 0
f(9) = 3
Finalmente concluimos……
máximo absoluto es M= f(7)= f(9) = 3
mínimo absoluto es m= f(8)= 0
Evaluamos a la función en las abscisas del único punto
crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:

32.
Integrando conocimientos