Review of usual spot price model for electricity, from mono factor to multi, including jump, hybrid models

1. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Vers la modélisation
des prix spot de l’électricité
Note bibliographique
N.Rouveyrollis
22 Avril 2004
Cerna, Centre d’économie industrielle
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris
60, boulevard Saint Michel
75272 Paris Cedex 06, France
Tél. : 33 (1) 40 51 91 26/ 33 (1) 40 51 90 93 Fax : 33 (1) 44 07 10
46rouveyrollis@cerna.ensmp.fr – http://www.cerna.ensmp.fr
1

2. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Tablle des matiières
Tab e des mat ères
Partie 1 :Faits stylisés et caractéristiques des prix ........................................................ 4
1. Statistiques simples................................................................................................................ 5
2. Retour à la moyenne.............................................................................................................. 6
3. Périodicité et fluctuations ..................................................................................................... 8
4. Pics de prix, et volatilité ...................................................................................................... 11
5. Corrélations ......................................................................................................................... 13
Partie 2 : Les modèles de base ...................................................................................... 18
1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de Black & Sholes................. 19
2. Les processus « Mean-Reverting » ..................................................................................... 22
3. Autour du modèle de Cox-Ingersoll-Ross (1985)............................................................... 24
4. Evaluation des prix Future / Forward................................................................................ 28
Partie 3 : Autour des modèles à 1 facteur ................................................................... 34
1. Modèle à niveau d’équilibre variable ................................................................................. 34
2. Les modèle à un facteur de Lucia-Schwartz ...................................................................... 35
Partie 4 : Les modèles multi-facteurs .......................................................................... 42
1. Modèle à deux facteurs de Lucia-Schwartz........................................................................ 42
2. Le modèle à deux facteur de Pilipovic ................................................................................ 46
3. Le modèle de Gibson & Schwartz ....................................................................................... 47
4. Le modèle à 3 facteurs de Schwartz.................................................................................... 49
Partie 5 : Modèles à sauts ............................................................................................ 50
1. Les modèles à sauts : approche classique........................................................................... 51
2. Première généralisation : les modèles AJD........................................................................ 54
Partie 6 : Une classe générique de modèles multi- facteurs ....................................... 70
1. Le modèle multifacteur de Heath-Jarrow-Morton (HJM) ................................................ 71
2. Le modèle de Cortazar/Schwartz[15] - Les Clewlow/Strikland[12].................................. 73
3. Quelques exemples .............................................................................................................. 74
4. Extension ............................................................................................................................. 76
2

3. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Partie 7 : Les processus de Levy .................................................................................. 78
1. Généralités ........................................................................................................................... 79
2. Représentation en terme d’exposant................................................................................... 80
3. Processus de Levy et Brownien subordonné ...................................................................... 84
4. Exemples d’application ....................................................................................................... 85
Partie 8 : les modèles à volatilité non constante ................................... 105
1. Cas des modèles continus.................................................................................................. 106
2. Modèles discrets................................................................................................................. 119
Partie 9 : les modèles hybrides ................................................................................... 124
1. Les Modèles à changement de régime : approche par chaîne de Markov ...................... 125
2. Autres approches ............................................................................................................... 135
Annexe 1 : Expression analytique dans le Modèle de Black & Scholes ............. 150
Annexe 2 : Modèle du type retour vers une moyenne............................................... 152
Annexe 3 : Calculs autour du processus CIR ............................................................. 155
Annexe 4 : Modèle de Lucia & Schwartz et processus de retour vers une
moyenne............................................................................................................................... 157
Annexe 5 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Lucia & Schwartz ... 158
Annexe 6 : Autour du modèle à deux facteurs de Pilipovic .................................... 162
Annexe 7 : Calculs autour du modèle à deux facteurs de Gibson et Schwartz . 165
Annexe 7b : Modèles multifacteurs et changement de probabilité ....................... 170
Annexe 8 : Un cas simple de diffusion avec sauts ..................................................... 174
Annexe 9 : Exemples de Modèles AJD ......................................................................... 176
Annexe 10 : AJD à deux facteurs ................................................................................... 181
Annexe 11 : AJD et CIR .................................................................................................... 187
Annexe 12 : Autour du modèle de Kellerhals .............................................................. 189
Annexe 13 : GRS et Likelihood ....................................................................................... 201
Annexe 14 : Régression et test .............................................................................................. 204
3

4. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Partie 1 :Faiits stylliisés et caractériistiiques des priix
Fa ts sty sés et caractér st ques des pr x
La première étape dans le processus de modélisation consiste à faire l’inventaire des
caractéristiques de l’information que l’on souhaite modéliser.
Dans cette partie nous mettons en avant les différentes propriétés que l’on peut
observer quand on s’intéresse à la dynamique des prix spot de l’électricité. Ici nous
basons notre analyse sur les données de quatre marchés qui intéressent la
littérature : NordPool, APX, Omel et Powernext.
Les prix de l’électricité dépendant directement de l’offre et de la demande, et celle-ci
ne pouvant pas être stockée de manière efficiente en terme de coût, ce lien est
d’autant plus fort. Il découle alors un fait assez important qui est la complexité de la
dynamique des prix au comptant , on peut observer :
un effet de retour à la moyenne ou «mean reversion » ( Gibson&Schwartz[35]
) : du sans aucun doute à la logique économique sous-jacente à la dynamique
définissant les prix
des fluctuations saisonnières : en effet la demande en électricité suit des
variations apparentées aux saisons
des fluctuations « intra-days » et « intra-hours »: le niveau de la demande en
électricité dépendant de l’activité, les prix ne sont pas uniformes d’un jour à l’autre
et d’une heure à l’autre . En particulier, celle-ci est moins intense durant les
périodes de week-ends ou de vacances …
des pics de prix et une forte volatilité: le prix spot peut par exemple augmenter
de plusieurs centaines de pourcentages en une heure. Cet effet dépend aussi de
la rapidité des producteurs à répondre à des pics de demande, cette vitesse étant
4

5. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
variable selon le type d’électricité produite (Ex : hydroélectricité Vs électricité
nucléaire).
1. Statistiques simples
Les outils statistiques de base que sont la variance, la moyennes et la forme des
distributions donnent rapidement des élément fondamentaux sur la dynamique qui
nous intéresse.
Le graphique qui suit représente la distribution des prix horaires (centrés – réduits)
sur Powernext pour la période allant du 3/12/2001 au 28/09/2003.
2000,00
1800,00
1600,00
1400,00
1200,00
1000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
0,00
0,41
0,83
1,25
1,67
2,09
2,51
2,93
3,35
3,76
4,18
4,60
5,02
5,44
5,86
6,28
6,70
7,12
7,53
7,95
8,37
8,79
9,21
9,63
-0,84
-0,42
-0,01
Figure 1: histogramme des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 8/09/2003, source de
donnée : www.powernext.fr
Cette distribution est caractérisée par :
une non normalité, et une asymétrie
la présence de valeurs extrêmes : assujettie à un risque de prix
une queue épaisse à droite et un effet de rabot à gauche
5

6. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Regardons maintenant l’évolution moyenne du processus de prix et celle de sa
variabilité.
Toujours sur la même période, on calcule les moyennes et variances
hebdomadaires, le graphe suivant représente les semaines 4 à 79.
1.50
Variance Moyenne
1.00
0.50
0.00
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
52
55
58
61
64
67
70
73
76
-0.50
-1.00
Figure 2: Moyenne et variance des prix Powernext entre le 3/12/2001 et le 28/09/2003, source de
donnée : www.powernext.fr
On constate une fluctuation dans le niveau des prix, caractérisée par l’évolution des
moyenne hebdomadaire, autour de ce niveau les prix fluctuent, et cette variabilité
n’est pas constante. Tout laisse à penser une corrélation entre le processus de prix
et sa volatilité : plus les prix sont élevés, plus ils sont volatiles.
2. Retour à la moyenne
Dire qu’un prix suit un processus de « retour à la moyenne » implique que celui-ci
évolue dans une zone de prix significatifs. Cette zone est bornée et possède un
pouvoir attracteur qui va s’exercer dés que le prix va sortir des frontières la
définissant.
6

7. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Ce phénomène peut s’observer sur les courbes agrégées de l’offre et la demande,
dans le tableau suivant est représenté un échantillon de celles disponibles du
marché espagnol (Omel).
12h le 13 Novembre 2003 12h le 12 Novembre 2003 12h le 12 Octobre 2003
~1500 MW/h ~1500 MW/h ~1000 MW/h
Dans ces trois graphiques on constate que le prix à 12h varie faiblement sur un jour
et sur un mois. On peut lire se phénomène directement sur les courbes de prix (ex :
APX), les pics de prix qui surviennent ne sont pas persistants à 100% sur le niveau
d’équilibre à long terme et sont généralement accompagnés d’un retour rapide vers
la position initiale.
Cette propriété est toutefois moins visible sur NordPool (graphique suivant) et
intervient en second plan dans un facteur d’évolution à court terme des prix .
140
120
100
80
60
40
20
0
1
54
107
160
213
266
319
372
425
478
531
584
637
690
743
796
849
902
955
1008
1061
1114
1167
1220
Figure 3: NordPool, moyenne hebdomadaire des prix du 2000-01-01
au 2003-05-07, source de donnée : www.nordpool.no
7

8. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
3. Périodicité et fluctuations
En contraste avec les séries financières, les prix au comptant de l ‘électricité sont
sujet à différentes fluctuations de nature périodiques dépendantes de l’activité
économique et des besoins.
a. Périodicité intra-jour et Fluctuation intra-heure
Le tableau suivant présente une comparaison entre les processus horaires sur les 5
jours ouvrés de deux semaine significatives (en juillet et en novembre), ainsi qu’une
comparaison des processus horaires sur la période allant du 27/11/2001 au
14/11/2003.
Fluctuation horaire (Powernext)
07/11/2003 06/11/2003 05/11/2003 11/07/2003 10/07/2003 09/07/2003
08/07/2003 07/07/2003
04/11/2003 03/11/2003
80
70
70
60
60
50 50
40 40
30 30
20 20
10 10
0 0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
Processus horaires (17j, 19h, 21h, Powernext)
Hour17 Hour19 Hour21
500
400
300
200
100
0
14/11/2003
17/10/2003
19/09/2003
22/08/2003
25/07/2003
27/06/2003
30/05/2003
02/05/2003
04/04/2003
07/03/2003
07/02/2003
10/01/2003
13/12/2002
15/11/2002
18/10/2002
20/09/2002
23/08/2002
26/07/2002
28/06/2002
31/05/2002
03/05/2002
05/04/2002
08/03/2002
08/02/2002
11/01/2002
14/12/2001
source Powernext
8

9. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Sur ces graphes, certains faits sur la variation horaire des prix sont à remarquer:
un niveau bas est observé de 1h à 8h
à partir de 8h jusqu'à 11h, les prix augment jusqu’à un niveau plus ou moins
stable
à12h un maxima peut être atteint
à partir de 17h les prix vont commencer à décroître jusqu’à 4h-5h du matin
entre 17h et 21h à défaut de décroissance, une montée en cloche peut
s’afficher ainsi qu’un pic de prix à 19h
Une certaine stabilité intra-jour est à constater: les processus du lundi, .., et du
vendredi semblent être issus de la même famille. La périodicité intra-jour se défini
alors comme la reproduction, avec plus ou moins de nuances, du processus horaire
du jour précédent.
b. Week-ends et périodicité hebdomadaire
Le graphique qui suit se propose de représenter l’évolution de la moyenne
quotidienne des prix Powernext sur 10 semaines (septembre 2003 – Novembre
2003).
60
50
40
30
20
10
0
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/0 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
/1 03
03
04 /20
06 /20
08 /20
10 20
12 /20
14 20
16 /20
18 /20
20 /20
22 20
24 /20
26 20
28 /20
30 /20
02 /20
04 20
06 /20
08 20
10 /20
12 /20
14 /20
16 20
18 /20
20 20
22 /20
24 /20
26 /20
28 20
30 /20
01 20
03 /20
05 /20
07 /20
09 20
20
9/
9/
9/
9/
0/
0/
0/
0/
0/
0/
1/
1/
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
/0
02
Figure 4: évolution quotidienne des prix 09/2003 - 11/2003, source Powernext
9

10. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Si l’on peut observer un niveau de prix plus ou moins stable pendant les jours
ouvrés, celui baisse considérablement à l’arrivée du week-end et vient se situer en
dessous de la moyenne hebdomadaire durant cette période.
On peut interpréter cet effet des week-ends comme une certaine périodicité
hebdomadaire définie en tant que cassure dans l’évolution du processus de prix.
c. Caractère saisonnier
Les variation saisonnières correspondent aux fluctuations annuelles des prix autour
de sa dérive.
Ce comportement est assez visible sur une longue période de temps, le graphique
suivant représente l’évolution mensuelle des prix moyen sur le système nordique
entre 1996 et 2003 :
prix moyen
600,00
500,00
400,00
300,00
200,00
100,00
0,00
6
7
8
9
0
1
2
3
ja 6
ja 7
ja 8
ja 9
ja 0
ja 1
ja 2
03
-9
9
-9
9
-9
9
-9
9
-0
0
-0
0
-0
0
-0
il-
il-
il-
il-
il-
il-
il-
il-
nv
nv
nv
nv
nv
nv
nv
nv
ju
ju
ju
ju
ju
ju
ju
ju
ja
Figure 5: Moyennes mensuelles des prix (NOK/MWh) NordPool,
source : www.nordpool.no
10

11. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Ce caractère particulier dépend de l’aspect cyclique de la demande et de l’offre, ci-
dessous sont représentées l’évolution mensuelle de la production et de la
consommation d’électricité dans l’union nordique entre le 1er janvier 2000 et le13
Novembre 2003.
Production
18 773
9 018
13 211
315 874 802
Consumption
18 517
9 430
13 225
315 751 301
source : www.statnett.no
4. Pics de prix, et volatilité
En terme de variabilité, on peut mesurer un caractère extrême dans la variabilité des
prix au comptant de l’électricité. Le graphique suivant illustre le calcul d’écarts types
sur différents actifs mesurés entre le 27 novembre 2001 et le 14 février 2003
Ecart Type
30
25
20
15
10
5
0
1
2
1
2
3
xt
x
ix
ap
el
ne
z
z
z
ap
ap
ga
ga
ga
ph
er
sw
sw
w
po
11

12. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
A la vue des valeurs obtenues, les prix spot de l’électricité exhibent une très forte
variabilité en comparaison avec celle des prix d’autres commodité telle que le gaz
naturel et le pétrole.
Un marché électrique très significatif de la forte volatilité qui peut exister dans la
dynamique des prix spot de l’électricité est celui d’Amsterdam. Le marché
d’échanges énergétique d’Amsterdam est sans doute « le phénomène californien »
de l’Europe. Créé en 1999, il a montré rapidement une très forte volatilité et des pics
de prix phénoménaux, comme on peut le constater sur le graphe qui suit, cette
dynamique semble se poursuivre.
700
600
500
400
300
200
100
0
01/01/2001
01/03/2001
01/05/2001
01/07/2001
01/09/2001
01/11/2001
01/01/2002
01/03/2002
01/05/2002
01/07/2002
01/09/2002
01/11/2002
01/01/2003
01/03/2003
01/05/2003
01/07/2003
01/09/2003
Figure 6: Prix quotidiens sur APX du 01/01/2001 au 19/09/2003,
source www.apx.com
Le marché hollandais est très vulnérable, la courte période du 25 juin au 5 juillet
2001 montre l’occurrence de pics réguliers et la présence d’une certaine panique :
Date Hour APX Day-
aheadPrice (€/MWh)
25-Jun-01 17 350
26-Jun-01 15 300
02-Jul-01 11 600
03-Jul-01 12 1,000
04-Jul-01 12 1,201
05-Jul-01 12 495
06-Jul-01 12 1,200
En parallèle avec ce court laps de temps, des problèmes de production survenaient
en Belgique, très interconnectée avec les Pays-Bas à ce moment là. Le risque de
12

13. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
prix très élevés est donc très présent même si le marché exhibe de part les volumes
échangés ( plus du double par rapport au marché français) une certain liquidité.
Malgré tout , chaque année une certaine stabilité existe : entre les mois de janvier et
juin (cf figure 6) , la période restante est plus incertaine et se résume à « que va-t-il
se passer ?».
5. Corrélations
d. Corrélation et variables exogènes
Le fait que l’électricité produite soit aussitôt consommée, implique une dépendance
très forte des prix spot vis à vis des besoins en électricité (demande) et de leur
déterminants (activité de travail, conditions climatiques, températures, durée du jour,
effets calendaires …).
On est donc en droit d’espérer certaines corrélations. Nous donnons dans ce qui suit
quelques exemples possibles.
Les dates d’arrêt / rechargement des centrales nucléaires
La production d’électricité par le nucléaire souffre d’un sérieux défaut : celui de
l’inflexibilité. En effet, le temps de déchargement et rechargement des réacteurs est
de l’ordre de la journée, les centrales nucléaires subissent des révisions périodiques,
enfin la production est moins modulable. Sur le graphique suivant on peut observer
l’évolution quotidienne des centrales nucléaires Allemande sur la période 2001-2003
(Données construites à partir des dates d’arrêt annuel, source Powernews Vol 10)
BIBLIS A BIBLIS B BROKDORF BRUNSBUTTEL
GRAFENRHEINFELD GUNDREMMINGEN B GUNDREMMINGEN C GROHNDE
25000
ISAR 1 ISAR 2 KRUMMEL LIPPE-EMS
NECKARWESTHEIM 1 OBRIGHEIM PHILIPPSBURG 1 PHILIPPSBURG 2
20000 STADE UNTERWESER NECKARWESTHEIM 2
15000
10000
5000
0
01/01/2001
01/03/2001
01/05/2001
01/07/2001
01/09/2001
01/11/2001
01/01/2002
01/03/2002
01/05/2002
01/07/2002
01/09/2002
01/11/2002
01/01/2003
01/03/2003
01/05/2003
01/07/2003
01/09/2003
01/11/2003
13

14. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Ce dernier graphique a surtout la vocation de montrer qu’il peut exister des périodes
de production « critique » quand plusieurs générateurs sont simultanément inactifs.
Les volumes dans les réservoirs hydroélectriques
L’électricité hydraulique représente une part très significative dans l’Union Nordique :
en 2001 la production de celle-ci s’élevait à un total de 212.5 TWh contre 91 TWh
pour l’électricité nucléaire.
Les graphes suivant mettent en parallèle sur chaque semaines de l’année 2002 et
2003, le niveau d’eau dans les barrages ainsi que les prix sur le marché spot.
Comparaison des moyennes hebdomadaires de prix Comparaison des niveaux de l’eau dans les
(Elspot / NordPool) réservoirs (NordPool)
120.00 90
2002 80 2003
100.00
2003 70 2002
80.00 60
60.00 50
40
40.00
30
20.00 20
0.00 10
0
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
Source : NordPool
Si l’on compare par semaines l’évolution moyenne des prix et le niveau d’eau
retenue dans les barrage, une certaine corrélation semble apparaître :
en 2002, les semaines 16 et 17 sont significatives du plus bas niveau d’eau
dans les réservoirs, dans la même période, les prix passent d’une moyenne
hebdomadaire de 17,75€ (semaine 15) à 28.36€ (semaine 16) et 28.85€
(semaine 17)
sur l’année 2003, entre les semaines 1 et 36, le niveau d’eau dans les
réservoir est inférieur d’environ 20% par rapport à celui observé en 2002 sur la
même période, les prix en 2003 sur cet intervalle de temps sont supérieurs au
prix 2002 A noter le phénomène de convergence qui apparaît des deux cotés à
partir de la semaine 41.
14

15. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
à partir de la semaine 36, l’augmentation des prix va de paire avec la
diminution du niveau d’eau
La température
La température est un facteur intéressant car possédant des caractéristiques
communes en terme de saisonnalité avec celles des prix spot de l’électricité et en
particulier :
une composante annuelle due aux saisons
Le graphique ci-dessous représente l’évolution de l’indice NextWeather (obtenu
comme la moyenne pondérée par la population des régions, des températures
moyenne quotidienne des 22 régions françaises), et sa composante annuelle
obtenue par un filtrage adaptatif.
30
temperature
1ere composante
25
20
15
10
5
0
1
40
79
118
157
196
235
274
313
352
391
430
469
508
547
586
625
664
703
742
781
820
-5
-10
Figure 7: Moyenne quotidienne en France (code OMM 07999) 1er janvier 2001-25 Avril 2003,
source de données: http://nextweather.euronext.com
15

16. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
une composante journalière
Le graphique suivant montre l’évolution demi-horaire de la température mesurée à la
Station de Violay (alt 830 m, Loire, France) entre le 1et et le 3 Août 2003
35.0000
30.0000
25.0000
20.0000
15.0000
10.0000
5.0000
0.0000
0:00
3:30
7:00
10:30
14:00
17:30
21:00
0:30
4:00
7:30
11:00
14:30
18:00
21:30
1:00
4:30
8:00
11:30
15:00
18:30
22:00
Source : http://www.chez.com/gagnard/pageweb/violay/tempe_30_mn/sommaire.htm
On peut enfin rajouter une influence en terme de « facteur perturbateur » ou
« stimulus ». A titre d’exemple , on a pu constater pour la France des pics de
demande et de prix durant la journée du 09 Janvier 2003 (100.06 EUR/MWh à 18h et
200.09 EUR/MWh à 19h) entraînant une hausse de la moyenne des prix « day-
ahead »
09/01/2003 08/01/2003
Powernext 50.52 35.26EUR/MWh
day-ahead EUR/MWh
average
Et cet événement correspond à une chute de la température d’environ 5-6° en
dessous de son niveau normal (source météo France).
16

17. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
e. Corrélation entre marchés
Une certaine corrélation entre les différents marchés interconnectés semble exister.
A titre d’exemple dans le graphique qui sut, représentant l’évolution sur une courte
période de 6 indices de prix européens, on peut observer que :
- le pic de prix survenant le 11 / 08 / 2003 sur Powernext, contamine
simultanément ( ?) APX, et affecte le marché Autrichien (EXAA) avec un jour
de retard
- certains marchés ont des variations similaires (ex Phelix et EXAA)
Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 APX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 EXAA
Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 PHELIX Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 NP
Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Powernext Price data from 2001-08-17 to 2003-09-18 Spain
700
600
500
400
300
200
100
0
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
7/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
8/
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
/0
01
03
05
07
09
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
02
04
06
08
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
17

18. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Partie 2 : Les modèlles de base
Les modè es de base
Le but de cette partie est de présenter les modèles de base servant comme « point
de départ » dans tout modélisation financière.
Essentiellement, nous nous intéressons à trois type de modèles célèbres :
- Les processus du type Black & Scholes
- Les processus de retour à la moyenne (Vasicek)
- La famille de processus développée par Cox, Ingersoll et Ross
La dynamique régissant ces modèles est usuellement définie à partir d’équation
différentielle stochastique. Dans chaque cas nous exprimons quand cela est possible
une solution analytique pour le processus des prix Forward.
A partir des représentations analytiques qui sont obtenues pour chaque processus
de prix dans un univers de non arbitrage, les prix Forward vus comme l’anticipation
dans le futur des prix présents sont ensuite calculés.
18

19. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
1. Le mouvement Brownien géométrique (GBM) ou modèle de
Black & Sholes
Le modèle d’évaluation de Black & Scholes, reste aujourd’hui encore, une référence
majeure dans la pratique du pricing d’option. Son utilisation dans la plupart des
marché organisés pour la modélisation d’actifs risqués est tellement répandue, qu’il
est logique de le présenter et dans une certaine mesure, voir si il peut s’adapter au
cas des marchés au comptant de l’électricité en Europe.
Sa forme est donc donné par l’équation différentielle stochastique suivante :
dS (t ) = α S (t )dt + σ S (t )dW (t )
S (0) = S0
où S(t) représente le prix de l’actif à l’instant t, W(t) représente un processus de
Wiener, dW(t) est assimilé à un bruit blanc continu standard.
Les paramètres du modèles : α et σ représentent respectivement la dérive et la
volatilité et sont supposés constants.
La résolution de cette équation différentielle stochastique par le calcul d’ Ito ( Bjork[7]
) permet de faire apparaître la forme exponentielle de ce modèle donné par :
S (t ) = S0 .e(α −0.5σ ²)t +σ W (t ) (cf Annexe 1)
19

20. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Exemples de Simulation
Simulation a1 α = 0.1% σ = 0.001%
. Forme exponentielle
prononcée
. Le paramètre de dérive est
prédominant
Simulation a2 α = 0.1% σ = 0.1%
. le paramètre de dérive reste
prédominant
. la volatilité a été augmentée
Simulation a3 α = 0.1% σ = 1%
. augmentation de la volatilité
. la forme exponentielle à
tendance à disparaître
Simulation a4 α = 1% σ = 1%
. augmentation du paramètre
de dérive
. forme exponentielle
Comme on peut le constater dans ces simulations , le caractère exponentiel de la
tendance peut facilement être masqué en augmentant la volatilité.
20

21. Vers la modélisation des prix spot de d’électricité : note bibliographique
Les principales propriétés de ce modèle sont les suivantes :
simplicité du modèle
calcul analytiques associés pour le pricing d’option
manque de flexibilité
volatilité constante
Visuellement, ce modèle ne semble pas adapté au prix spot de l’électricité, une
raison assez naturelle étant que le marché de l’électricité est actuellement plus un
marché physique que financier et la dynamique des prix doit représenter ce fait, ce
que l’on peut imaginer sur les courbes de l’offre et la demande. Les graphiques ci-
dessous représentent lesdites courbes à 1h sur le marché espagnol (Omel) pour la
date du 17 janvier 2003.
Dans la figure de gauche, si le prix suit une logique économique, celui-ci va plus ou
moins rester dans une zone représentée par le cercle. Dans la figure de droite si prix
a plus tendance à augmenter en suivant une dynamique de taux d’intérêt classique,
alors il peut s’ensuivre aussi un déplacement vers le haut des courbes agrégées de
la demande. Le modèle de Black & Scholes qui a l’avantage d’être simple reste
cependant inadapté dans notre cas.
21