Raciocínio lógico e matemática msgás - completa

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  1. 1. Neon Concursos Ltda Atividade Econômica: educação continuada, permanente e aprendizagem profissional Diretora: Maura Moura Dortas Savioli Empresa fundada em janeiro de 1998 ANO XVIII – Av. Mato Grosso, 88 – Centro – Campo Grande – Mato Grosso do Sul Fone/fax: (67) 3324 - 5388 www.neonconcursos.com.br Aluno(a): ______________________________________________________________________ Período: _______________________________ Fone: __________________________________ Equipe Técnica: John Santhiago Arlindo Pionti Johni Santhiago Mariane Reis PROFESSOR: Ronaldo Garcia TEORIA, 11 PROVAS IESES - 57 QUESTÕES MATERIAL CONTENDO MSGÁS - 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR
  2. 2. SUMÁRIO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS.................................................................................................................................05 2. CONJUNTOS (DIAGRAMAS).............................................................................................................................06 3. RAZÃO, REGRAS E PROPORCÃO .....................................................................................................................08 4. PORCENTAGEM .................................................................................................................................................16 5. JUROS SIMPLES...................................................................................................................................................27 6. JUROS COMPOSTOS..........................................................................................................................................28 7. DESCONTO SIMPLES ..........................................................................................................................................30 8. DESCONTO COMPOSTO ...................................................................................................................................32 9. TAXAS .................................................................................................................................................................33 10. AMORTIZAÇÃO..................................................................................................................................................35 11. CUSTO REAL E EFETIVO DAS OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO ...................................................................42 12. EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO.....................................................................................................................46 13. NOÇÕES DE LÓGICA ........................................................................................................................................48 14. ESTRUTURA LÓGICA...........................................................................................................................................54 15. DIAGRAMAS LÓGICOS.....................................................................................................................................61 16. LÓGICA ARGUMENTATIVA ...............................................................................................................................64 PROVAS DE CONCURSOS  IESES  2015 A 2012 ..................................................................................77 GABARITOS ..........................................................................................................................................................89
  3. 3. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 5 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA 1 − CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 NÚMEROS NATURAIS: { },...3,2,1,0=Ν 1.2 NÚMEROS INTEIROS: { },...3,2,1,0,1,2,3, −−−=Ζ  { },...3,2,1,1,2,3, −−−=Ζ∗  1.3 NÚMEROS RACIONAIS: São números da forma q p , com Ζ∈p e ∗ Ζ∈q . 1.4 NÚMEROS REAIS: 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼 1. O valor da expressão ( ) 0 3 2 3 1 9 8 2 2 27   − − +     − + − 2 1 1 1 6 3 1 1 3 6 2 2   − −      + +    é: 2. O valor de � 9 7 . � 3 2 + 2 3 − 5 6 − 2 12 8 5 . 3 8 ÷2+1+ 1 2 � + 1 3 . 0,5� é: a) -1 b) -1/6 c) 0 d) 1/6 e) 1 3. Qual o valor de ( ) 0 3 2 3 1 9 8 2 2 27   − − +     − + − 4. Calcule o valor numérico de −𝑥2+𝑥𝑦 𝑦 , para x = -0,1 e y = 0,001 5. O valor da expressão �7 + 1 5 � : 12 35 − �30. 1 2 � + � 3 4 � 2 . � 2 3 � 3 + 70 é: a) 17/6 b) 23/6 c) 27/6 d) 34/6 e) 43/6
  4. 4. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 6 6. O valor numérico da expressão 103 2 32 − +− xxx para 8 1 =x é: Resp: 89/4 7. O valor da expressão       ++      −+⋅ 3 1 1 5 3 : 5 3 1 64 49 7 4 é: a) 0,4 b) 2,5 c) 1/3 d) 1,5 e) 1 2 − CONJUNTOS (DIAGRAMAS) 1. (UFU) Num grupo de estudantes, 80% estudam inglês, 40% estudam francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é: a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30% Resp.: E 2. (UFPR) Trinta alunos vão participar de uma gincana esportiva por determinada escola. Dentre eles, sabe-se que 20 vão participar jogando basquete, 12, jogando vôlei e 5 não vão jogar nem basquete, nem vôlei. O número de alunos que vão jogar basquete e vôlei, pela escola, é: a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 7 3. (UFPB) Em uma enquete, várias pessoas foram entrevistadas acerca de suas preferências em relação a três esportes, vôlei (V), basquete(B) e tênis (T), cujos dados estão indicados na tabela a seguir. Esporte Número de pessoas V 300 B 260 T 200 V e B 180 V e T 130 B e T 100 V, B e T 50 nenhum 40 De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa enquete, o número de pessoas entrevistadas foi: a) 400 b) 440 c) 490 d) 530 e) 570 Resp.: B
  5. 5. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 7 4. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais a A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é: a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600 Resp.: D 5. Uma população utiliza 3 marcas diferentes de refrigerantes: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, coletaram-se os resultados tabelados abaixo: Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhuma delas Número de consumidores 120 110 100 35 38 45 17 10 Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é: a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79 Resp.: D 6. (UEL) Uma pesquisa foi feita com 40 pessoas. As questões foram as seguintes: 1. Você consome o produto A? 2. Você consome o produto B? 3. Você consome o produto C? Feito o levantamento de dados, constatou-se que: • 19 pessoas consomem A • 20 pessoas consomem B. • 19 pessoas consomem C. • 7 pessoas não consomem A, nem B e nem C. • 10 pessoas consomem tanto A como C. • 12 pessoas consomem tanto B como C. • 11 pessoas consomem tanto A como B. O número de pessoas que não consomem C é: a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21 Resp.: E
  6. 6. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 8 7. Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker,wafer e recheados. Os resultados indicaram que: • 65 pessoas compram cream crackers. • 85 pessoas compram wafers. • 170 pessoas compram biscoitos recheados. • 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. • 50 pessoas compram cream crackers e recheados. • 30 pessoas compram cream crackers e wafers. • 60 pessoas compram wafers e recheados. • 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. Determine quantas pessoas responderam essa pesquisa. a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530 3 − RAZÃO, REGRAS E PROPORCÃO 3.1. Razão: è dita uma razão de a em b, ao quociente b a , com a e b números inteiros e b diferente de zero. 3.2. Proporção: Dizemos que existe uma proporção entre duas razões guando, d c b a = , com a,b,c,d números inteiros com b e d diferentes de zero. Propriedade 1: a.d = b.c 3.3. Regra de três simples: é um processo prático para resoluções de problemas envolvendo apenas duas grandezas proporcionais. 3.4. Regra de três composta: é um processo prático para resoluções de problemas envolvendo acima de duas grandezas proporcionais. RAZÃO E PROPORÇÃO 1. Calcule a quarta proporcional dos números dados: a) 2; 5 e 10 b) 3; 4 e 5 c) 1/2; 1/3 e 1/4 2. Calcule a terceira proporcional dos números dados: a) 3 e 6 b) 4 e 12 c) 1/2 e 1/4 3. Calcule a média proporcional entre os números dados: a) 3 e 12 b) 6 e 24 c) 1/2 e 128
  7. 7. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 9 4. Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que a soma deles é 48. 5. Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 unidades. 6. A razão entre dois números é igual a 4/5. Determine-os sabendo que eles somam 72. 7. A razão entre dois números é igual a 4/5. Determine-os sabendo que o segundo supera o primeiro em 12 unidades. 8. Determine dois números na proporção de 2 para 7 sabendo que o dobro do primeiro mais o triplo do segundo resulta igual a 100. 9. Determine dois números na proporção de 2 para 7 sabendo que o quíntuplo do primeiro supera o segundo em 48 unidades. 10. Dois números positivos encontram-se na proporção de 11 para 13. Determine-os sabendo que a soma de seus quadrados resulta igual a 29.000. 11. Dois números negativos encontram-se na proporção de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado do primeiro supera o quadrado do segundo em 360. 12. Dois números inteiros encontram-se na proporção de 3 para 5. Determine-os sabendo que o produto deles é igual a 60. 13. Encontre os três números proporcionais a 5, 6 e 7, sabendo que a soma dos dois menores é igual a 132. 14. Encontre os três números proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a diferença entre o maior deles e o menor é igual a 40. 15. Três números proporcionais a 5, 6 e 7 são tais que a diferença do maior para o menor supera em 7 unidades a diferença entre os dois maiores. Quais são estes números? 16. Três números são tais que o primeiro está para o segundo assim como 2 está para 5 enquanto a razão do terceiro para o primeiro é 7/2. Quais são estes números, se a soma dos dois menores é igual a 49? 17. Para usar certo tipo de tinta concentrada, é necessário diluí-la em água na proporção de 3 : 2 (proporção de tinta concentrada para água). Sabendo que foram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta serão obtidos após a diluição na proporção recomendada? 18. Três números são proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabendo que o quíntuplo do primeiro, mais o triplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles? 19. Dois números estão entre si na razão inversa de 4 para 5. Determine-os sabendo que a soma deles é 36. 20. A diferença entre dois números é 22. Encontre estes números, sabendo que eles estão entre si na razão inversa de 5 para 7. 21. Três números são tais que o primeiro está para o segundo assim como 7 está para 3, enquanto o segundo está para o terceiro assim como 4 está para 5. A soma dos três é igual a 165. Quais são eles? 22. Três números são tais que o primeito está para o segundo assim como 2 está para 3 e o terceiro está para o primeiro assim como 1 está para 3. Determine-os sabendo que a diferença do maior deles para o menor resulta em 35 unidades. 23. Quatro números apresentam as seguintes proporções: o primeiro está para o segundo assim como 1 para 2; o terceiro está para o quarto assim como 3 para 4 e o primeiro está para o quarto assim como 1 para 3. O dobro do maior deles supera a soma dos três outros em 12 unidades. Qual é o valor de cada um deles?
  8. 8. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 10 24. A maquete de um pequeno avião foi feita na escala de 1 : 30. Qual é, em metros, o comprimento real da aeronave se o comprimento do modelo é de 20cm? 25. Em que escala deve ser feita a planta de uma residência se uma sala com 8m de comprimento deve ter esta medida representada na planta por apena 20cm? 26. Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é de 480m² ( área da parte fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto? 27. Numa proporção o primeiro termo excede o segundo em 13 unidades, enquanto o terceiro excede o quarto em 6 unidades. A soma dos três últimos termos é 56. Qual é o primeiro termo desta proporção? 28. Um pintor comprou 20 litros de uma tinta que vem de fábrica numa concentração de uma parte de água para quatro partes de tinta pura. Necessitando diluí-la ainda mais, o pintor resolve acrescentar à tinta que comprou uma certa quantidade de água de tal modo a obter uma mistura na proporção de uma parte de água para duas partes de tinta pura. Quantos litros de água o pintor deverá juntar à tinta que comprou para conseguir a nova proporção desejada? GABARITOS 1. a) 25; b) 20/3; c) 1/6 2. a) 12; b)36; c) 1/8 3. a) 6; b)12; c) 8 4. 18 e 30 5. 90 e 150 6. 32 e 40 7. 48 e 60 8. 8 e 28 9. 32 e 112 10. 110 e 130 11. -21 e -9 12. 6 e 10 ou -6 e -10 13. 60, 72 e 84 14. 60, 80 e 100 15. 35, 42 e 49 16. 14, 35 e 49 17. 15 litros 18. 10 19. 20 e 16 20. 77 e 55 21. 84, 36 e 45 22. 30, 45 e 10 23. 14, 32, 36 e 48 24. 6m 25. 1: 40 26. 1:200 27. 39 28. 4 litros
  9. 9. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 11 REGRA DE TRÊS 1. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custarão 5 kg deste queijo? 2. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30? 3. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca serão necessários para produzir 300 kg de arroz sem casca? 4. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários para pintar o mesmo prédio? 5. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas. Quanto tempo levaria outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade média de 80 km/h? 6. Uma roda d’agua dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e meia? 7. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes. Quantas voltas terá dado a menor quando a maior der 10 voltas? 8. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estava vertical de 1,5m projeta uma sombra de 0,5m? 9. Se um relógio adianta 18 minutos por dia, quanto terá adiantado ao longo de 4h 40min? 10. Um relógio que adianta 15 minutos por dia estava marcando a hora certa as 7h da manhã de um certo dia. Qual será a hora certa quando, neste mesmo dia, este relógio estiver marcando 15h 5min? 11. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00 enquanto a outra , 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida? 12. Um navio tinha víveres para uma viagem de 15 dias. Três dias após o início da viagem, contudo, o capitão do navio recebe a notícia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atrasá-la em mais 4 dias. Para quanto terá de ser reduzida a ração de cada tripulante? 13. Um rato está 30 metros à frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 11m. Qual a distância que o gato terá de percorrer para alcançar o rato? 14. Um gato está 72m à frente de um cão que o persegue. Enquanto o gato corre 7m, o cão corre 9m. Quantos metros o cão deverá percorrer para diminuir a metade da terça parte da distância que o separa do gato? 15. Um gato persegue um rato. Enquanto o gato dá dois pulos, o rato dá 3, mas, cada pulo do gato vale dois pulos do rato. Se a distância entre eles, inicialmente, é de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato terá dado até alcançar o rato? 16. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? 17. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, então quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia? 18. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídos 7 toneladas de carvão? 19. Dois cavalos, cujos valores são considerados como diretamente proporcionais às suas forças de trabalho e inversamente proporcionais às suas idades, têm o primeiro, 3 anos e 9 meses e o segundo, 5 anos e 4 meses de idade. Se o primeiro, que tem 3/4 da força do segundo, foi vendido por R$ 480,00, qual deve ser o preço de venda do segundo? 20. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formato retangular medindo 450m de comprimento por 200m de largura, quantos operários serão necessários para construir outro parque, também retangular, medindo 200m de comprimento por 300m de largura, em 18 dias e trabalhando 8 horas por dia?
  10. 10. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 12 21. Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto, fizeram somente1/3 da obra. Com quantos operários a turma original deverá ser reforçada para que a obra seja concluída no tempo fixado? 22. Um artesão, trabalhando 6 horas por dia, levou 20 dias para fazer 200 potes. Quantos dias serão necessários para que ele faça 100 potes, se estes apresentam dificuldade 1/3 maior que os primeiros e a jornada de trabalho for aumentada para 8 horas por dia? 23. As dificuldades de dois trabalhos estão entre si na razão inversa de 4 para 3. Um operário faz 60m do mais difícil em 5 horas. Quantos metros do mais fácil faria em 7 horas? 24. Um automóvel poderia rodar 6 horas consecutivas, sem ser reabastecido, se partisse com um tanque de gasolina completo. Entretanto, tendo partido com um vazamento no tanque, rodou somente por 4 horas, logo após ter completado o tanque. Quanto tempo foi necessário para que 1/20 da gasolina fosse perdido pelo vazamento? 25. Na reforma de um edifício trabalhavam, inicialmente, 6 homens durante 9 dias. Logo depois, foram contratados mais 3 homens e todos trabalhavam mais 2 dias para terminar a reforma. Em quanto tempo a reforma teria sido executada se todos os homens tivessem trabalhado juntos desde o início? 26. Uma torneira enche um tanque em 3h enquanto a outra faria o mesmo em 4 horas. Em quanto tempo as duas torneiras, juntas, encheriam o tanque? GABARITOS 1. R$ 41,00 2. 6,5kg 3. 312,5kg 4. 5 dias 5. 1h 30min 6. 2.700 voltas 7. 65 voltas 8. 36m 9. 3 min 30s 10. 15h 11. 60 metros 12. Para 3/4 da quantidade original 13. 110m 14. 54m 15. 120 pulos 16. 3 minutos 17. 21 dias 18. 45 dias 19. R$ 450,00 20. 30 operários 21. 39 operários 22. 10 dias 23. 112m 24. 36 minutos 25. 8 dias 26. 2h 24 min
  11. 11. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 13 PROPORCIONALIDADE 1. Determinando os valores de X, Y e Z de modo que as sucessões (15,X,Y,Z) e (3,8,10,12) sejam diretamente proporcionais, encontraremos, respectivamente: a) 40, 50 e 60 b) 60, 50 e 40 c) 30, 40 e 50 d) 50, 40 e 30 e) 20, 30 e 40 2. (MACK) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2,3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28 3. (UFRJ) Duas cidades A e B distam 600 km,e a distância entre suas representações, num certo mapa, é de 12 cm. Se a distância real entre duas outras cidades C e D é de 100 km, qual será a distância entre suas representações no mesmo mapa? 4. (PUC-SP) Para que se verifique a igualdade 9 𝑦 = 𝑥 8 = 5 20 , os valore de x e y devem ser, respectivamente: a) 2 e 5 b) 1/4 e 1/5 c) 2 e 36 d) 5 e 35 e) 1 e 5 5. (UFRN) Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada por 1,2 m de largura. O comprimento correspondente será: a) 0,685 m b) 6,85 m c) 2,1 m d) 1,35 m e) 0,135 m 6. (EMPO) Uma revista foi impressa com 100 páginas, tendo 36 linhas por página. Se a revista for impressa com 16 linhas a menos em cada página, qual será o número de páginas? 7. (EMPO) Oito máquinas produzem 16 000 peças durante 8 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por 4 máquinas, durante 10 horas por dia? 8. (UPF) Um veículo de transporte coletivo tem capacidade para transportar 30 adultos ou 36 crianças. Se 20 adultos já estão no coletivo, quantas crianças a viatura ainda poderá transportar? a) 18 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16
  12. 12. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 14 9. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria: a) 1 000 b) 2 000 c) 4 000 d) 5 000 e) 8 000 10. (FMJ) A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é: a) 9 b) 15 c) 24 d) 30 e) 40 11. (ESPM) Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma habilidade digitaram o equivalente a 324 páginas. Nas mesmas condições, se o número de secretárias fosse 50, em quantos minutos, teoricamente, elas digitariam 6 000 páginas? a) 10 min b) 45 min c) 5 min d) 5 min 24 s e) 34 min 29 s 12. (FAE) Pensando em um investimento a longo prazo, três irmãos compraram um terreno há três anos. O mais velho investiu R$22 000,00 nessa compra, o segundo investiu R$17 000,00 e o caçula, apenas R$11 000,00. O terreno está sendo vendido a R$ 65 000,00. Quanto cabe ao irmão mais velho receber, sabendo que os três dividiram o valor da venta em partes diretamente proporcionais ao capital que cada um investiu? a) R$ 14 300,00 b) R$ 21 600,00 c) R$ 22 100,00 d) R$ 27 000,00 e) R$ 28 600,00 13. (EMPO) Os números x, y e z são diretamente proporcionais aos números 2,3 e 5 respectivamente. Se x + y + z = 50, então 4x – 3y + 2z é igual a: a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 45 14. (PUCCAMP) Sejam x, y e z números reais inversamente proporcionais aos números 1/2, 2 e 6, respectivamente. Se x + y + z = 128, então: a) X = 8 b) Y = 12 c) Y = 20 d) Z = 92 e) X = 96
  13. 13. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 15 15. (PUCCAMP) Considere o número D de dias que N máquinas, de igual rendimento R, funcionando ininterruptamente durante H horas por dia, levariam para produzir P peças iguais. Se K é uma constante real, É verdade que: a) D = K/(HNPR) b) D = (KP)/(HNR) c) D = (KNP)/(HR) d) D = (KHP)/(NR) e) D = (KPR/(HN) 16. (UEL) José limpa um vestiário de um clube de futebol em 30 minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa o vestiário em 45 minutos. Quanto tempo levarão os dois para limpar o vestiário juntos? a) 15min 30s b) 18min c) 20min d) 36min e) 37min30s 17. (COLÉGIO NAVAL) Certa máquina, trabalhando 5 horas por dia, produz 1 200 peças em 3 dias. O número de horas que deverá trabalhar no 6° dia para produzir 1 840 peças, se o regime de trabalho fosse 4 horas diárias, seria: a) 18h b) 3,75h c) 2h d) 3h e) Nenhuma hora 18. (UNIOESTE) Um prêmio de R$ 2 000,00 deve ser dividido entre os três primeiros colocados em um concurso, de forma proporcional à pontuação obtida. Se o 1° colocado obteve 90 pontos, o 2° colocado 83 pontos e o 3° colocado 77 pontos, a diferença, em reais, entre os prêmios a que têm direito o 1° e o 2° colocado é igual a: 19. (UFPE) Se x2 gatos caçam x3 ratos em x dias, em quantos dias 10 destes gatos caçam 100 ratos? a) 1 dia b) 10 dias c) 20 dias d) 30 dias e) 40 dias 20. (ESAF) Se 8 homens, trabalhando 10 dias, durante 8 horas diárias, fazem 2/5 de uma obra, quantos dias serão necessários para 10 homens, trabalhado 6 horas por dia, terminarem o resto da obra? a) 16 b) 12 c) 14 d) 13 e) 9 21. (ESAF)A sucessão x,y, z é formada com números inversamente proporcionais a 12, 8 e 6, e o fator de proporcionalidade é 24. O valor de x, y e z è: a) 2,3,6 b) 3,5,7 c) 2,4,6 d) 3,6,8 e) 2,3,
  14. 14. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 16 GABARITOS 1. A 2. A 3. 2 cm 4. C 5. C 6. 180 7. 10.000 8. D 9. C 10. C 11. A 12. E 13. E 14. E 15. B 16. B 17. D 18. 56 19. B 20. 21. E 4 − PORCENTAGEM • O símbolo x% significa x/100. • Calcular x% de y significa multiplicar x/100 por y. Exemplos: a) 20% de 200 b) 80% de 500 c) 75% de 450 d) 15% de 80 1. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01. %40 %2 %80 = 02. 09,0%)30( 2 = 04. As promoções do tipo “ leve 5 e pague 4”, ou seja, levando-se um conjunto de 5 unidades, paga-se o preço de 4, acenam com um desconto sobre cada conjunto vendido de 25%. 08. Uma pedra semipreciosa de 20 gramas caiu e se partiu em dois pedaços de 4 g e 16 g. Sabendo-se que o valor, em uma certa unidade monetária, desta pedra é igual ao quadrado de sua massa expressa em gramas, a perda é de 32% em relação ao valor da pedra original. 16. Um quadro cujo preço de custo era R$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Neste caso, o lucro obtido na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%. Resp.:
  15. 15. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 17 2. (PUC-RJ) 30% de 30% são: a) 3 000% b) 300% c) 900% d) 9% e) 0,3% Resp.: D 3. (FUVEST) Uma loja vende suas mercadorias com 30% de desconto no pagamento à vista. Na compra com o cartão, existe um acréscimo de 10%. Se, à vista, uma mercadoria custa R$ 7 000,00, no cartão custará, em reais: a) 10 000 b) 11 000 c) 7 700 d) 9 100 e) 8 000 Resp.: 4. (UECE) Uma pessoa investiu R$ 3 000,00 em ações. No primeiro mês de aplicação, ela perdeu 30% do valor investido. No segundo me, ela recuperou 40% do que havia perdido. Em porcentagem, com relação ao valor inicialmente investido, ao final do segundo mês houve um: a) Lucro de 10% b) Prejuízo de 10% c) Lucro de 18% d) Prejuízo de 18% 5. (UNISINOS) Colocando-se 27 litros de gasolina no tanque de um carro, o ponteiro do marcador, que indicava 1/4 do tanque, passa a indicar 5/8. A capacidade total desse tanque de gasolina é: a) 66 litros b) 68 litros c) 70 litros d) 72 litros e) 74 litros Resp.: D 6. (COVEST) As bebidas L, V e R possuem teores alcoólicos de 24%, 44%, e 36%, respectivamente. Qual o teor de um coquetel consistindo de 50 ml de L, 25 ml de V, 25 ml de R e 100 ml de água? a) 15% b) 20% c) 16% d) 17% e) 19% Resp.: C 7. (UTP) Num certo grupo, 10% dos meninos praticam futebol e natação, 55% praticam natação, 35% praticam futebol e 12 meninos não praticam nenhum dos dois esportes. O número de meninos do grupo é: a) 72 b) 80 c) 48 d) 60 Resp.: D
  16. 16. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 18 8. (COVEST) Determinadas frutas frescas contêm 70% de água e, quando secas, apresentam 20% de água. Quantos quilogramas dessas frutas frescas são necessários para que se obtenham 30 kg de frutas secas? a) 80 b) 60 c) 64 d) 70 e) 75 Resp.: A 9. (UFMS-PÚBLICO) Um cliente de um supermercado comprou uma mercadoria cujo preço mostrado na prateleira era de x reais. Ao efetuar o pagamento o caixa cobrou-lhe 25% a mais o preço que estava estipulado na prateleira. O cliente exigiu que o preço a ser pago fosse o indicado na prateleira e solicitou um desconto sobre o novo preço. Neste caso, o desconto, em termos percentuais, exigido pelo cliente foi: a) 25 b) 24 c) 22,5 d) 22 e) 20 Resp.: 10. (UEMS) Têm-se três tipos de chocolates A, B e C. O preço do chocolate tipo B é 20% maior que o de tipo A e 20% menor que o de tipo C. Sabe-se que a soma dos preços dos três tipos de chocolates é R$ 37,00. Ache o preço do chocolate tipo B. a) R$ 6,00 b) R$ 8,00 c) R$ 10,00 d) R$ 12,00 e) R$ 15,00 Resp.: D 11. (UFMG) Uma prova de triatlo compreende três etapas: natação, ciclismo e corrida. Em uma dessas provas, dos 170 atletas que iniciaram a competição, dez a abandonaram na etapa de natação; dos que continuaram, 1/4 desistiu ao longo da etapa de ciclismo; e, dos que começaram a terceira e última etapa, 20% abandonaram a corrida. Apenas N atletas completaram a prova. Então é correto afirmar que a soma dos algarismos do número N é: a) 16 b) 13 c) 14 d) 15 Resp.: D 12. (UFPel) Para obter 80 litros de leite com 2,25% de gordura, foram misturados 2 tipos de leite: o A, com 3% de gordura, e o B, com 2%. Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que foram misturados: a) 60 litros de leite tipo B e 20 litros de tipo A b) 71 litros de leite tipo B e 9 litros tipo A c) 50 litros de leite tipo B e 30 litros de tipo A. d) 60 litros de leite tipo A e 20 litros de leite tipo B e) 71 litros de leite tipo A e 9 litros de tipo B Resp.: A
  17. 17. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 19 13. (ACAFE) Uma pessoa utiliza 50% de seu salário para o pagamento de uma prestação do seu apartamento. Do restante, 50% são gastos com alimentação, 40% do que sobre é aplicado na poupança, restando R$ 300,00 que são utilizados com outras despesas. Com base no texto exposto, é correto afirmar que: a) Essa pessoa aplica na poupança R$ 200,00 b) O seu salário é de R$ 1 000,00. c) A prestação do apartamento é de R$ 500,00. d) Os gastos com alimentação são de R$ 400,00. e) Os gastos com outras despesas correspondem a 10% do salário. Resp.: A 14. (ESAF) No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial de 75%. Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em novembro, qual deve ser a porcentagem de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida? a) 30% b) 40% c) 55% d) 65% e) 75% Resp.: B 15. (ESAF) O medicamento A, usado para engorda de bovinos, é ineficaz em cerca de 20% dos casos. Quando se constata sua ineficácia, pode-se tentar o medicamento B, que é ineficaz em cerca de 10% dos casos. Nessas condições, é verdade que a) O medicamento B é duas vezes mais eficaz que o medicamento A. b) Numa população de 20.000 bovinos, A é ineficaz para exatamente 4.000 indivíduos. c) Numa população de 16.000 bovinos, B é ineficaz em cerca de 12.800 indivíduos. d) A aplicação de A e depois de B, se o A não deu resultado, deve ser inefiza para cerca de 2% dos indivíduos. e) Numa população de 20.000 bovinos, A é eficaz para cerca de 18.000 indivíduos. Resp.: D EXERCICIOS COMPLEMENTARES 1. (Pucrj 2015) Dois descontos sucessivos de 3% no preço de uma mercadoria equivalem a um único desconto de: a) menos de 6% b) 6% c) entre 6% e 9% d) 9% e) mais de 9% 2. (Enem 2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era a) R$166,00. b) R$156,00. c) R$84,00. d) R$46,00. e) R$24,00.
  18. 18. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 20 3. (Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará a) XY X Y %. 100   + +    b) X Y XY %. 100 +  +    c) X Y XY %. 100 + +      d) (X Y)%.+ e) (XY)%. 4. (Espm 2014) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de largura numa extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas por 2 m , podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente: a) 70 mil b) 60 mil c) 40 mil d) 30 mil e) 50 mil 5. (Cefet MG 2014) Para um evento com a duração de 3h40min foram tocados, sem repetição, dois gêneros musicais: clássico e popular (MPB). A duração de cada música clássica foi de 5min e a de MPB, 4min. Sabendo-se que 40% das músicas selecionadas são clássicas, então o total de músicas populares tocado foi de a) 20. b) 23. c) 26. d) 30. e) 33. 6. (Upe 2014) Uma loja de vestuários recebeu um volume de 250 bermudas e 150 camisetas da fábrica que produz suas peças. Dessas peças, o controle da loja identificou que estavam com defeito 8% das bermudas e 6% das camisas. Do volume recebido pela loja, o total de peças com defeito representa uma porcentagem de a) 2,75% b) 4,4% c) 5,6% d) 6,75% e) 7,25% 7. (Uel 2014) Uma das tentativas para minimizar os congestionamentos de trânsito nas metrópoles é o rodízio de veículos. Na cidade de São Paulo, isso se faz de acordo com o final das placas. Na segunda-feira, não circulam os veículos com placas de final 1 e 2; na terça-feira, com finais 3 e 4; na quarta-feira, com finais 5 e 6; na quinta-feira, com finais 7 e 8 e na sexta-feira, com finais 9 e 0. Com esse tipo de rodízio, supondo uma distribuição uniforme de finais de placas, somente 80% da frota de veículos circulam diariamente. Considere outro rodízio de veículos como descrito na tabela a seguir. Nova proposta de rodízio Dia da semana Finais de placas que NÃO podem circular segunda-feira 0, 1, 2, 3 terça-feira 2, 3, 4, 5 quarta-feira 4, 5, 6, 7 quinta-feira 6, 7, 8, 9 sexta-feira 8, 9, 0, 1
  19. 19. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 21 Supondo uma distribuição uniforme de finais de placas, a partir da configuração proposta nessa tabela, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o percentual da frota que circulará diariamente. a) 40% b) 55% c) 60% d) 65% e) 70% 8. (Uerj 2014) O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou seja, 5000%. Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros. O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a: a) 2,50 b) 2,75 c) 3,00 d) 3,25 9. (G1 - cps 2014) Uma pessoa viajará para o exterior e levará dois mil dólares para suas despesas. No dia em que comprou essa quantia no banco, a cotação do dólar era de R$ 2,10. Além de pagar pela compra de dólares, também pagou o Imposto sobre Operações Financeiras (IOF), que corresponde a 0,38% do valor pago pela compra. Assim sendo, para efetuar o total da compra, essa pessoa gastou a) R$ 3.043,48. b) R$ 3.546,54. c) R$ 4.035,42. d) R$ 4.215,96. e) R$ 4.796,00. 10. (Uerj 2014) Observe o anúncio abaixo, que apresenta descontos promocionais de uma loja. Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência: - primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria; - segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro desconto; - desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo desconto. Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, após os três descontos, é igual a R$710,00.
  20. 20. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 22 11. (G1 - cftmg 2014) Em um campeonato de atletismo, entre duas cidades vizinhas A e B, 60% dos atletas são homens, 25% das mulheres, competem pela cidade B, e a cidade A tem 24 atletas do sexo feminino. O número total de competidores masculinos é a) 36. b) 48. c) 60. d) 80. 12. (Enem 2014) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, 1. 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. 2. 33% são utilizados em descarga de banheiro. 3. 27% são para cozinhar e beber. 4. 15% são para demais atividades. No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades. Atividade Consumo total de água na atividade (em litros) Tomar banho 24,0 Dar descarga 18,0 Lavar as mãos 3,2 Escovar os dentes 2,4 Beber e cozinhar 22,0 Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água, a) 30,0. b) 69,6. c) 100,4. d) 130,4. e) 170,0. 13. (Espm 2014) Apenas dois candidatos se apresentaram para a eleição ao cargo de prefeito de uma pequena cidade do interior. O candidato A recebeu 60% dos votos, sendo 70% de mulheres. O candidato B recebeu 35% dos votos, sendo 60% de homens. Sabendo-se que 620 pessoas votaram em branco ou anularam o voto, podemos avaliar que o número de mulheres que votaram em A ou em B foi: a) 7 816 b) 6 338 c) 8 116 d) 7 228 e) 6 944 14. (G1 - cftmg 2014) Uma concessionária anunciou um veículo no valor de R$30.000,00 à vista. Após negociação, um cliente adquiriu o veículo pagando R$20.000,00 de entrada e R$11.200,00 após 30 dias. A taxa mensal de juros cobrada nessa venda foi de a) 4%. b) 6,6%. c) 11,2%. d) 12%.
  21. 21. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 23 15. (Enem 2014) Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão: Valor do kWh (com tributos) consumo (em kWh) Cosip× + O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. Faixa de consumo mensal (kWh) Valor da Cosip (R$) Até 80 0,00 Superior a 80 até 100 2,00 Superior a 100 até 140 3,00 Superior a 140 até 200 4,50 Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador? a) 134,1 b) 135,0 c) 137,1 d) 138,6 e) 143,1 16. (Fgv 2014) Toda segunda-feira, Valéria coloca R$ 100,00 de gasolina no tanque de seu carro. Em uma determinada segunda-feira, o preço por litro do combustível sofreu um acréscimo de 5% em relação ao preço da segunda-feira anterior. Nessas condições, na última segunda-feira, o volume de gasolina colocado foi inferior ao da segunda-feira anterior. É correto afirmar que pertence ao intervalo a) [4,9; 5,0[ b) [4,8; 4,9[ c) [4,7; 4,8[ d) [4,6; 4,7[ e) [4,5; 4,6[ 17. (Ufrgs 2014) Na compra de três unidades idênticas de uma mesma mercadoria, o vendedor oferece um desconto de 10% no preço da segunda unidade e um desconto de 20% no preço da terceira unidade. A primeira unidade não tem desconto. Comprando três unidades dessa mercadoria, o desconto total é a) 8%. b) 10%. c) 22%. d) 30%. e) 32%. 18. (G1 - ifsp 2014) Senhor Gustavo está com uma idade avançada e resolveu dividir sua fortuna entre seus filhos e netos. Após pensar muito, decidiu guardar 10% para sua velhice e dar a cada um de seus três filhos quantias iguais e aos seis netos a metade do que cada pai receberá. É correto afirmar que a parte da fortuna do senhor Gustavo que cada neto irá receber é a) 10,0%. b) 7,5%. c) 5,0%. d) 4,5%. e) 2,5%. x% x
  22. 22. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 24 19. (Uece 2014) Um comerciante comprou um automóvel por R$ 18.000,00, pagou R$ 1.000,00 de imposto e, em seguida, vendeu-o com um lucro de 20% sobre o preço de venda. O lucro do comerciante foi a) R$ 3.750,00. b) R$ 4.050,00. c) R$ 4.350,00. d) R$ 4.750,00. 20. (G1 - ifce 2014) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 670,00 mais uma comissão de 8% sobre a quantidade de vendas. Em um determinado mês, ele vendeu R$ 12.000,00. Ele recebeu de salário bruto, nesse mês, a) R$ 1.630,00. b) R$ 1.560,00. c) R$ 1.730,00. d) R$ 1.500,00. e) R$ 1.600,00. GABARITOS: Resposta da questão 1: [A] x é o valor da mercadoria. Com dois descontos sucessivos de 3%, temos: 3 x (0,97) 0,9409x,⋅ = ou seja um desconto de 0,0591x. Portanto, menos de 6%. Resposta da questão 2: [B] Seja q a quantidade que era comprada antes do aumento. Assim, temos 1,2 10 (q 2) 10 q 6 2q 30 q 15⋅ ⋅ − = ⋅ + ⇔ = ⇔ = e, portanto, a quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era 10 15 6 R$ 156,00.⋅ + = Resposta da questão 3: [A] A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por Y X X 1 Y 1 . 100 100     + ⋅ +        Logo, o resultado pedido é Y X X 1 Y 1 X Y X Y XY100 100 100% 1 1 100% X Y 100 100 10000 XY X Y %. 100     + ⋅ + − ⋅         ⋅ = + + + − ⋅ ⋅     = + +    Resposta da questão 4: [C] O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida pela taxa de ocupação, ou seja, 1500 18 1,5 40500 40.000.⋅ ⋅= ≅
  23. 23. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 25 Resposta da questão 5: [D] Sejam c, p e t, respectivamente, o número de músicas clássicas, o número de músicas populares e o total de músicas. Como c 0,4t= e p 0,6t,= vem 5 0,4t 4 0,6t 220 t 50.⋅ + ⋅ = ⇔= Em consequência, o resultado pedido é 0,6 50 30.⋅ = Resposta da questão 6: [E] Do volume recebido pela loja, o total de peças com defeito representa uma porcentagem de 250 0,08 150 0,06 100% 7,25%. 250 150 ⋅ + ⋅ ⋅ = + Resposta da questão 7: [C] Número de algarismos que ocupam o final das placas: 10 Número de algarismos finais que são proibidos de rodar diariamente: 4 Supondo uma distribuição uniforme de finais de placas, o percentual da frota que rodará diariamente será: 10 4 0,6 60%. 10 − = = Resposta da questão 8: [C] x = comprimento do peixe em cm. x + 50x = 153 51x = 153 x = 3 cm O comprimento do peixe é 3 cm. Resposta da questão 9: [D] 0,38 (2000 2,10) 1 4200 1,0038 R$ 4.215,96. 100   ⋅ ⋅ + = ⋅ =    Resposta da questão 10: Considere x o preço inicial da mercadoria, portanto: ( )2 x 0,9 – 100 710 x R$ 1.000,00⋅ = ⇒ = Resposta da questão 11: [B] Seja t o número total de atletas. Como (1 0,25) (1 0,6) t 24 t 80,− ⋅ − ⋅ = ⇔ = segue-se que o resultado pedido é igual a 0,6 80 48.⋅ =
  24. 24. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 26 Resposta da questão 12: [C] Sabendo que são gastos, em média, 200 litros por dia, e que para as atividades que não estão relacionadas na tabela o gasto é de 0,15 200 30⋅ =litros, segue-se que o resultado pedido é dado por 170 (24 18 3,2 2,4 22) 170 69,6 100,4. − + + + + = − = Resposta da questão 13: [E] Seja T o total de eleitores. Sabendo que o candidato A recebeu 0,6 T⋅ votos, o candidato B recebeu 0,35 T⋅ votos e 620 pessoas votaram em branco ou anularam o voto, vem 620 [1 (0,6 0,35)] T 620 T 0,05 T 12400. − + ⋅ = ⇔ = ⇔ = Portanto, o resultado pedido é igual a [0,7 0,6 (1 0,6) 0,35] 12400 0,56 12400 6944. ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⋅ = Resposta da questão 14: [D] Diferença do valor após 30 dias: 11200 – 10000 = R$ 1200,00 Em porcentagem: 1200/10000 = 0,12%. Resposta da questão 15: [C] O valor total da conta de energia elétrica para o consumo de 150 kWh é igual a 0,5 150 4,5 R$ 79,50.⋅ + = Assim, reduzindo em 10% o valor da conta, ele pagará 0,9 79,5 R$ 71,55.⋅ = Seja x o número máximo de kWh que deverão ser consumidos para que o objetivo do morador seja alcançado. Observando que 100 x 140,< < temos 0,5 x 3 71,55 x 137,1kWh.⋅ += ⇔= Resposta da questão 16: [C] Seja o preço do litro de combustível antes do aumento de Tem-se que a variação percentual no volume de gasolina foi de Portanto, pode-se dizer que pertence ao intervalo Resposta da questão 17: [B] Preço da terceira unidade: x Preço da segunda unidade com desconto: x – 0,1x = 0,9x Preço da terceira unidade com desconto: x – 0,2x = 0,8x Preço das três unidades com os descontos: x + 0,9x + 0,7x = 2,7x Valor do desconto em porcentagem: 3x 2,7x 0,3x 0,1 10% 3x 3x − = = = p 5%. 100 100 1,05p p 100% 4,76%. 100 p − ⋅ ≅ − x [4,7; 4,8[.
  25. 25. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 27 Resposta da questão 18: [B] Fortuna: F Parte da fortuna que será dividida: 0,9F Cada filho receberá: 2x e cada neto receberá x, portanto temos a seguinte equação: 3 2x 6 x 0,9 F 12x 0,9 F x 0,075 F,⋅ + ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ou seja, 7,5% da fortuna. Resposta da questão 19: [D] V: preço da venda L: Lucro C: Custo V C L V (18000 1000) 0,2V 0,8V 19000 ( 4) 0,2V 4750 L R$4750,00 = + = + + = ÷ = = Resposta da questão 20: [A] Salário bruto no referido mês: 8 670 12000 R$1630,00. 100 + ⋅ = 5 − JUROS SIMPLES J = c.i.t 1. O juro produzido por um capital de R$5.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a: Resp.:R$ 1200,00 2. De quanto será o juro produzido por um capital de R$39.600,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de 15% ao ano? 3. A que taxa anual o capital de R$288,00, em 2 meses e 15 dias, renderia R$6,60 de juros simples? 4. O capital de R$9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a. Após quatro meses, qual é o valor do montante? 5. Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por R$400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período? 6. O juro de uma aplicação de R$1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de: Resp.: R$630,00 7. A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a. para que se obtenha R$1.000,00 no fim de 4 anos é: 8. Um capital aplicado a 5% ao mês a juros simples, triplicará em: Resp.: 40 meses 9. A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um montante de R$15.000,00 é de: Resp.: 5% a.m.
  26. 26. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 28 10. Uma loja oferece um relógio por R$3.000,00 à vista ou 20% do valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de R$2.760,00 após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de: a) 30%a.a. b) 1% a.d. c) 3% a.m. d) 360% a.a e) 12% a.a 11. Calcular os juros simples de R$1.200,00 a 13% a.t. por 4 meses e 15 dias. 12. Calcular os juros simples produzidos por R$40.00,00 aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. 13. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? 14. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 15. Marcinha retirou de uma aplicação o total de R$80.848,00 após decorridas 5 trimestres. O valor dos juros jobtidos foi de R$15.648,00. Qual a taxa de juros a.b.? Resp.: i = 3,2% a.b. 6 − JUROS COMPOSTOS ( )n i1CM += 1. (BANESPA) Qual o montante de R$ 50 000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 3% AM por dois meses? a) R$ 53 045,00 b) R$ 57 045,00 c) R$ 60 000,00 d) R$ 64 750,00 e) R$ 71 000,00 Resp.: A 2. (TCE) O valor do resgate no fim de dois meses de uma aplicação inicial de R$ 10 000,00 a uma taxa composta de 40% am é: a) R$ 18 000,00 b) R$ 19 600,00 c) R$ 22 200,00 d) R$ 27 440,00 Resp.: B 3. (BB) Se aplicarmos R$ 25 000,00 a juros compostos rendendo 7% a cada bimestre, quanto teremos após três anos? a) R$ 25 000,00 x (1,70)6 b) R$ 25 000,00 x (1,07)18 c) R$ 25 000,00 x (0,93)3 d) R$ 25 000,00 x (1,70)3 e) R$ 25 000,00 x (0,07)18 Resp.: B
  27. 27. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 29 4. (CONTADOR-RJ) O valor do resgate, no fim de dois meses, de uma aplicação inicial de R$ 20 000,00 à taxa composta de 10% am é: a) R$ 20 200,00 b) R$ 22 200,00 c) R$ 24 200,00 d) R$ 26 200,00 e) R$ 28 200,00 Resp.: C 5. (MÊTRO) Um capital de US$ 2 000,00 aplicado à taxa racional composta de 5% AM em um ano produz um montante de quantos dólares? Dado: (1,05)12 = 1,79586 a) US$ 3 291,72 b) US$ 3 391,72 c) US$ 3 491,72 d) US$ 3 591,72 Resp.: D 6. (BB) Um investidor dispunha de R$ 300 000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de um mês. Se este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco, foram, respectivamente: a) 148 598,13 e 151 401,87 b) 149 598,13 e 150 401,87 c) 150 598,13 e 149 401,87 d) 151 598,13 e 148 401,87 e) 152 598,13 e 147 401,87 Resp.: A 7. (FR-CAMPOS) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento para hoje, quando uma quantia de R$ 200,00 fará com que, no final do segundo ano, o valor do montante seja de R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa de rentabilidade anual desse investimento é de: a) 5% b) 7,5% c) 10% d) 12,5% e) 15% Resp.: C
  28. 28. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 30 8. (BACEN)Tomar um empréstimo por dois meses, assinando uma promissória com vencimento em dois meses e sendo feito o desconto da mesma por um banco à taxa de desconto bancário ( desconto simples por fora) de 10% ao mês, equivale a pagar juros compostos de taxa bimestral de: a) 20% b) 22% c) 25% d) 28% e) 30% Resp.: C 9. (BACEN) Um capital de R$ 4 000,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera ukm montante de: a) R$ 6 000,00 b) R$ 4 240,00 c) R$ 5 500,00 d) R$ 4 244,00 e) R$ 6 420,00 Resp.: D 10. (BANER) O montante produzido por R$ 10 000,00 aplicados a juros composto, a 1% ao mês, durante três meses, é igual a: a) R$ 10 325,01 b) R$ 10 321,05 c) R$ 10 305,21 d) R$ 10 303,01 e) R$ 10 300,00 Resp.: D 7 − DESCONTO SIMPLES Desconto racional ou por dentro • arac VND −= • in N Va + = 1 • Valor líquido :100%............+d%.........Valor nominal:( 100 + d)% Desconto comercial ou por fora • niNDc ..= • Valor líquido: (100 – d)%.......+ d%......Valor nominal: 100%
  29. 29. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 31 1. Considere um título com valor nominal de R$ 1.000,00 com prazo de vencimento para daqui a 6 meses. Supondo uma taxa de desconto de 5% a.m., qual seria o valor atual racional simples? Qual o valor do desconto respectivo? 2. O valor atual de um título, em reais, no valor nominal de R$5.000,00 , resgatável a 3 meses, sendo de 18% a.a. , a taxa de desconto comercial simples, é de: 3. Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650,00 descontado 2 meses antes do vencimento à taxa de 15% a.m. Resp.: R$ 150,00 4. Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% ao mês, resultou em um valor descontado de R$ 608,00. Resp.: R$ 800,00 5. (BB) Um título de R$ 8 000,00 sofreu um desconto racional de R$ 2 000,00 8 meses antes de seu vencimento. Qual a taxa anual empregada? a) 28% b) 37,5% c) 45% d) 50% e) 52,5% Resp.: D 6. (BB) Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por dentro de R$ 500,00 a 50 dias de seu vencimento à taxa de 3% a.m.? a) R$ 9.500,00 b) R$ 10.000,00 c) R$ 10.500,00 d) R$ 9550,00 e) R$ 10.050,00 Resp.: B 7. (BB) Um título de valor nominal de 12.000,00 sofre desconto, à taxa de 6% a.a., 120 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? a) R$ 240,00 b) R$ 260,00 c) R$ 300,00 d) R$ 853,00 e) R$ 864,00 Resp.: A 8. (BB) Qual o valor nominal de uma nota promissória, a vencer em 30 de maio, descontada por fora no dia 3 de abril do mesmo ano, à taxa de 6% a.m., produziu um desconto de R$ 1.881,00? a) R$ 15.600,00 b) R$ 17.750,00 c) R$ 18.900,00 d) R$ 16.500,00 e) R$ 18.550,00 Resp.: D
  30. 30. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 32 9. Uma nota promissória foi descontada comercialmente à taxa simples de 5% a.m. 15 meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor? Resp.: 20% 10. Uma nota promissória de R$ 18.000,00 foi descontada por fora à taxa de 6% a.a., 90 dias antes de seu vencimento. O desconto sofrido pela mesma, em R$, considerando capitalização simples, foi de: a) 266,00 b) 280,00 c) 258,00 d) 290,00 e) 270,00 Resp.: E 8 − DESCONTO COMPOSTO Desconto racional composto ou desconto composto por dentro • Drc = N - Varc • Varc = N/ (1+i)n Desconto comercial composto ou desconto composto por fora • Dcc = N - Vacc • Vacc = N(1 – i)n 1. Determinar o desconto racional composto sofrido por um título cujo valor nominal é de R$ 16.872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% a.m. e ele for descontado 3 meses antes do seu vencimento. Resp.: R$ 1872,90 2. Um título foi pago dois meses antes do seu vencimento, obtendo, assim, um desconto racional composto à taxa de 20% a.m. Sendo de R$ 1.728,00 o valor nominal do título, quanto foi pago por ele? Resp.: R$ 1.200,00 3. (CEB) Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a.m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título, quanto paguei por ele? a) R$ 21.600,00 b) R$ 21.700,00 c) R$ 21.800,00 d) R$ 21.900,00 Resp.: A 4. Um título de R$ 2.000,00 será resgatado três anos antes do seu vencimento pelo critério do desconto composto comercial à taxa de 20% a.a. com capitalizações semestrais. Qual será o valor líquido? ( dado: (0,9)6 = 0,531441) Resp.: R$ 1.062,88 5. Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto comercial à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. O valor do desconto será: a) R$ 487,50 b) R$ 467,85 c) R$ 512,50 d) R$ 4.512,50 e) R$ 4.535,15 Resp.: A
  31. 31. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 33 9 − TAXAS Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre; 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano. Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 18% ao ano, capitalizados diariamente. Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de sue tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas: 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados anualmente. Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano. A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrônicas. A taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação. Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais. 1. Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% a.b? a) 62,86% b) 61,09% c) 60% d) 58,62% e) 50,07% Resp.: E 2. No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa de 6% a.a, com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é de: a) 1,000025% b) 1,00025% c) 1,0025% d) 1,025% e) 1,25% Resp.: C
  32. 32. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 34 3. Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e a uma inflação de 20% no período? a) 20,96% b) 21,32% c) 18,67% d) 18,02% e) 17% Resp.: A 4. Qual a taxa mensal equivalente para juros compostos a 34% a.s.? a) 0.05% b) 0,5% c) 5% d) 2% e) 1% Resp.: C 5. Qual é a taxa mensal equivalente para juros compostos a 0,005% ao dia? Use: (1,005)30 = 1,0151 a) 0,0151% b) 0,151% c) 1,51% d) 2% e) 2,15% Resp.: C 6. Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalentes à taxa composta de 20% a.m.? Resp.: 72,8% a.t. 7. (AFTN) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% Resp.: D 8. (Banco Central) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% b) 21% c) 22% d) 23% e) 24% Resp.: B 9. (AFTN) Uma empresa aplica R$ 300,00 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60% b) 4,40% c) 5,00% d) 5,20% e) 4,80% Resp.: E
  33. 33. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 35 10. (BB) Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente. a) 13% b) 13,43% c) 12% d) 12,49% e) 12,55% Resp.: E 10 − AMORTIZAÇÃO Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Os principais sistemas de amortização são: 1. Sistema de pagamento único: um único pagamento no final. 2. Sistema de pagamentos variáveis: Vários pagamentos diferenciados. 3. Sistema americano: Pagamento no final com juros calculados período a período. 4. Sistema de amortização constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual a cada período. 5. Sistema Price ou Francês: Os pagamentos ( prestações) são iguais. 6. Sistema de amortização misto (SAM): Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price. 7. Sistema alemão: Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação. Exemplo: Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$ 3000.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa de 4%. Sistema de pagamento único O devedor paga o montante ao final do período. O montante pode ser pela fórmula do juros composto. n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais Uso comum: Letras de câmbio, títulos descontados em bancos, certificados a prazo fixo com renda final.
  34. 34. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 36 Sistema de pagamentos variáveis O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma: • No final do 1° mês: R$ 30.000,00 + juros • No final do 2° mês: R$ 45.000,00 + juros • No final do 3° mês: R$ 60.000,00 + juros • No final do 4° mês: R$ 75.000,00 + juros • No final do 5° mês: R$ 90.000,00 + juros n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais Uso comum: Cartões de crédito Sistema americano O devedor paga o principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5° período. n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais Sistema de amortização constante (SAC) O devedor paga o principal em n pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema financeiro da habitação. n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais
  35. 35. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 37 Sistema Price ( Sistema Francês) Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado pelo coeficiente k dado pela fórmula 𝑘 = 𝑖(1+𝑖) 𝑛 (1+𝑖) 𝑛−1 onde i é a taxa ao período e n o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece: P = k x Vf = 67.388,13 Uso comum: Financiamento em geral de bens de consumo. n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais Sistema de amortização misto Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no sistemas Price e no sistema de amortização constante Cálculo: Psam = ( PPrice + Psac ) ÷ 2 n Psac Pprice Psam 1 72.000,00 67.388,13 69.694,06 2 69.600,00 67.388,13 68.494,07 3 67.200,00 67.388,13 67.294,07 4 64.800,00 67.388,13 66.094,07 5 62.400,00 67.388,13 64.894,07 n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 0 0 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais Uso comum: Financiamentos do sistema financeiro da habitação Sistema alemão O sistema alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak , k = 1,2,3,...,n. Fórmulas necessárias: 𝑃 = 𝐶𝑖 1−(1−𝑖) 𝑛 𝐴1 = 𝑃(1 − 𝑖) 𝑛−1 𝐴 𝑘 = 𝐴1 (1−𝑖) 𝑘−1
  36. 36. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 38 A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima. 𝑃 = (300.000,00 𝑥 0,04) ÷ [1 − (1 − 0,04)5] = 64.995,80 𝐴1 = 64.995,80 𝑥 (1 − 0,04)4 = 55.203,96 𝐴2 = 55.203,96 ÷ (1 − 0,04) = 57.504,13 𝐴3 = 57.504,13 ÷ (1 − 0,04) = 59.900,13 𝐴4 = 59.900,13 ÷ (1 − 0,04) = 62.395,97 𝐴5 = 62.395,97 ÷ 𝑥 (1 − 0,04) = 64.995,80 n juros amortização do saldo devedor pagamentos saldo devedor 0 300.000,00 1 2 3 4 5 totais SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO – EXERCÍCIOS CONCURSOS SEFAZ/SP 2013 - FCC - Agente Fiscal de Rendas - Tecnologia da Informação 1. Uma dívida no valor de R$ 10.000,00 foi liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 50 prestações mensais consecutivas, vencendo a primeira delas um mês após a data do empréstimo. Se a taxa foi de 2% ao mês, é verdade que: a) a cota de amortização paga na quinta prestação foi de R$ 250,00. b) a cota de juro paga na 10ª prestação foi de R$ 164,00. c) O valor da 15ª prestação foi R$ 340,00. d) O saldo devedor após ser paga a 20ª prestação foi de R$ 6.200,00. e) A cota de juro paga na última prestação foi de R$ 5,00. Resp.: B Banco do Brasil 2013 - FCC - Escriturário 2. Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) à taxa de 4% ao semestre. O quadro demonstrativo abaixo contém, em cada instante do tempo (semestre), informações sobre o saldo devedor (SD), a amortização A, o juro (J) e a prestação (P) referentes a esse empréstimo. Observe que o quadro apresenta dois valores ilegíveis. Se o quadro estivesse com todos os valores legíveis, o valor correto da prestação P, no último campo à direita, na linha correspondente ao semestre 5, da tabela, seria de: a. 167.500,00. b. 166.400,00. c. 162.600,00. d. 168.100,00. e. 170.300,00. Resp.: B
  37. 37. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 39 Polícia Civil/DF 2012 - FUNIVERSA - Perito Criminal - Ciências Contábeis 3. Considere que determinada empresa contraiu empréstimo de R$ 1.000.000,00 para pagamento pelo Sistema de Amortização Constante em 36 prestações mensais e taxa de juros de 1,3% ao mês. No contrato firmado com a instituição financeira, foi prevista uma carência de 6 meses, durante os quais os juros mensais serão integralmente pagos. Nesse caso, a prestação a ser paga no décimo mês de vigência do contrato será: a) maior que R$ 39.000,00. b) menor ou igual a R$ 39.000,00 e maior que R$ 38.000,00. c) menor ou igual a R$ 38.000,00 e maior que R$ 37.000,00. d) menor ou igual a R$ 37.000,00 e maior que R$ 36.000,00. e) menor ou igual a R$ 36.000,00. Resp.: A PEFOCE/CE 2012 - CESPE - Perito Criminal de 1ª Classe - Ciências Contábeis Acerca dos sistemas de amortização SAC (Sistema de Amortização Constante), Sistema Price e SA (Sistema Americano), julgue os itens subsequentes. 4. No SA, em nenhuma prestação há valor a ser amortizado. 5. Ao se efetuar o pagamento de um empréstimo de R$ 100.000,00 pelo sistema SAC, em 10 prestações —mensais, consecutivas e com a 1.ª prestação vencendo um mês após a tomada do empréstimo — e com juros de 10% ao mês, o valor da 5.ª prestação será R$ 16.000,00. 6. No Sistema Price, o valor atual de uma prestação de financiamento, paga n períodos antes do vencimento, corresponde ao valor nominal da prestação dividido por (1 + i)n, em que i é a taxa de juros efetiva do financiamento. Resp,: E C C ARCE 2012 - FCC - Analista de Regulação - Economista 7. No quadro abaixo tem-se o plano de amortização, pelo Sistema Francês, de uma dívida de R$ 4.000,00, a ser paga em 6 parcelas mensais, a primeira delas ao completar 30 dias da data do empréstimo. A taxa de juros é de 4% ao mês. Devido aos arredondamentos, há um saldo devedor de R$ 0,33 após o pagamento da última prestação. Para zerá- lo, fizemos um ajuste no valor da última prestação. Nessas condições, é verdade que: a) x = R$ 630,00. b) y = R$ 138,85. c) z = R$ 2.780,00. d) x + y = R$ 734,00. e) z + y = R$ 2.905,76. Resp,: E TRF 2ª 2012 - FCC - Analista Judiciário - Contadoria 8. Antonio da Silva fez um empréstimo de R$ 300.000,00 para aquisição de casa própria, que deverá ser pago em 120 prestações mensais, à taxa de 1% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). A primeira prestação vence um mês após a data da realização do empréstimo. O valor da 101a prestação, em R$, é igual a: a) 2.950,00. b) 3.000,00. c) 2.975,00. d) 2.500,00. e) 2.575,00. Resp.: B
  38. 38. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 40 TRE/PR 2012 - FCC - Analista Judiciário - Especialidade Contabilidade 9. Uma pessoa fez um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 para adquirir um imóvel. A dívida deverá ser liquidada por meio de 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data em que a pessoa fez o empréstimo. Considerando que se utilizou o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, obtém-se que o valor da 30ª prestação é igual a: a) R$ 3.160,00. b) R$ 3.200,00. c) R$ 3.240,00. d) R$ 3.320,00. e) R$ 3.360,00. Resp.: C TRE/SP 2012 - FCC - Analista Judiciário - Contabilidade 10. Uma dívida referente a um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 30 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da realização do empréstimo. Considerou-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, utilizando o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente para 30 períodos igual a 0,045. Se o valor da amortização incluído na primeira prestação é igual a R$ 650,00, então o valor de cada prestação deste plano é: a) R$ 1.134,00. b) R$ 1.143,00. c) R$ 1.152,00. d) R$ 1.161,00. e) R$ 1.170,00. Resp.: E ARCE 2012 - FCC - Analista de Regulação - Contador 11. Uma financeira emprestou R$ 3.000,00 a serem pagos em 5 parcelas mensais consecutivas, sendo as 3 primeiras no valor de R$ 800,00 cada e as 2 últimas no valor de R$ 750,00 cada. Se a primeira prestação venceu ao completar 60 dias da data do contrato, o fluxo de caixa desse empréstimo, para o tomador do empréstimo, é a) . b) . c)
  39. 39. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 41 d) e) . Resp.: E ARCE 2012 - FCC - Analista de Regulação – Contador 12. Uma dívida, no valor de R$ 1.500,00, foi amortizada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com taxa de 6% ao mês, em 5 parcelas mensais consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar um mês da data do empréstimo. Nessas condições, é verdade que: a) juro pago na segunda prestação foi de R$ 54,00. b) juro pago na quarta prestação foi de R$ 24,00. c) valor da última prestação foi R$ 318,00. d) valor da terceira prestação foi R$ 350,00. e) valor da primeira prestação foi R$ 380,00. Resp.: C C.E.F - (2008) - CESGRANRIO 13. Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor pelo sistema de amortização constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será: a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58 Resp.: D Banco do Brasil – FCC 14. Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui um mês à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o sistema Price e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o fator de recuperação de capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é: a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,60 e) R$ 256,60 Resp.: B
  40. 40. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 42 C.E.F. – Cesgranrio 15. Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira dela paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% a.m. pelo sistema de amortização constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será: a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70 Resp.: C 11 − CUSTO REAL E EFETIVO DAS OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO NOÇÕES BÁSICAS No mundo real, existe uma grande confusão a respeito do significado da ``taxa de juro'' que está sendo utilizada na operação financeira. A taxa de juro que é especificada em contratos nem sempre corresponde à taxa de juro que está sendo efetivamente praticada na operação financeira. Isso ocorre, de um lado porque o procedimento utilizado para definição da operação financeira resulta numa taxa de juro efetiva que pode diferir substancialmente da taxa especificada no contrato. A utilização ou não de valores reais no cômputo dessa taxa efetiva, define se essa taxa efetiva é nominal ou real. Utilizaremos a terminologia introduzida no próximo quadro para distinguir mais claramente as noções existentes.
  41. 41. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 43
  42. 42. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 44 De um modo geral podemos encontrar a taxa de juros efetiva real a partir da taxa de inflação e da taxa efetiva nominal utilizando o resultado apresentado no próximo quadro. Esse último resultado pode ser facilmente provado por argumentos elementares apresentados a seguir. Se VFR representa o valor final em termos reais em valor do período inicial e VI o valor inicial, temos pela definição de taxa de juro real que mas, se VF representa o valor final em termos nominais, dado que i representa a taxa de inflação do período. Logo mas, por definição, Se substituirmos esse resultado na expressão anterior e re-arranjarmos os termos chegamos ao resultado desejado: DESCONTO DE TÍTULOS Um exemplo comum que ilustra bem a questão associada a juros contratuais e efetivos é o desconto comercial de títulos. É uma prática comercial usual o desconto de títulos correspondentes a um valor a ser recebido em um dado período futuro. Os possuidores desses títulos frequentemente desejam vendê-los no momento presente para investidores/ instituições financeiras que aceitam esperar para recebimento do valor estipulado no título na data do pagamento, o qual é chamado valor de resgate. A compra desses títulos usualmente é efetuada por um valor calculado a partir do valor de resgate do título, do qual é subtraído um desconto, que é freqüentemente calculado em termos percentuais. No desconto comercial ou bancário, também chamado de desconto ``por fora'', que é o mais comumente utilizado no Brasil, a taxa de desconto é calculada sobre o valor de resgate. A taxa efetiva nesse caso é sempre superior à taxa de desconto definida. Um exemplo comum de operações desse tipo é o desconto de ``duplicatas", que correspondem a uma promessa de pagamento de um valor determinado por uma empresa ou pessoa física para um determinado período.
  43. 43. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 45 Deve-se ter cuidado com o desconto de títulos que pressupõem a aplicação dos juros sobre o capital final, como no desconto comercial de duplicatas da forma usual, pois os juros efetivamente pagos são superiores aos estabelecidos nominalmente na operação de desconto. Existe também o conceito de desconto ``racional'', menos utilizado na prática, no qual a taxa de desconto é definida de forma a ser idêntica a taxa efetiva da operação. PRAZOS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS A determinação do prazo considerado para uma operação financeira é algo fundamental para determinação exata dos valores devidos através do processo de capitalização. O leitor deve ter bastante cuidado em examinar a definição do tipo de prazo considerado no contrato associado à operação financeira em questão dada a influência direta deste sobre o computo do juro devido.
  44. 44. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 46 12 − EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO Nesta seção apresentaremos alguns métodos comuns utilizados para o pagamento de dívidas que usualmente refletem empréstimos ou financiamentos. Esses métodos envolvem a aplicação prática de alguns conceitos que desenvolvemos nas seções anteriores. Num contexto simples, uma dívida é constituída, de um lado, do recebimento de uma quantia pelo tomador do empréstimo no início do período inicial, chamado de período 0, quantia essa que chamaremos de capital inicial. De outro lado a dívida é caracterizada pelo método utilizado para reembolso desse valor ao provedor dos recursos através de prestações periódicas. Esse provedor dos recursos é usualmente uma instituição financeira como um banco, por exemplo. Essas prestações são geralmente constituídas de duas parcelas: uma para restituição do capital inicial tomado, a qual é chamada de parcela de amortização, e outra para pagamento do juro sobre o saldo devedor da dívida. Na prática, o ``custo'' do empréstimo ou financiamento pode incluir, além do juro para remuneração do capital, impostos, encargos diversos, seguro e outros custos indiretos (manutenção de um saldo médio em conta corrente, por exemplo). Pode, também, incluir algum processo para correção monetária do saldo devedor.
  45. 45. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 47 Toda a dívida formal contraída junto a uma instituição financeira usualmente envolve um contrato entre as partes envolvidas. Nesse contrato são definidos os procedimentos específicos que deverão ser utilizados para recebimentos e pagamentos. As condições contratuais estabelecidas para definição do método a ser utilizado para pagamentos especificam detalhadamente a operação. Essas condições podem ser relativamente complexas em muitos casos.
  46. 46. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 48 13 − NOÇÕES DE LÓGICA 1. Proposição Os elementos básicos utilizados na linguagem, tanto escrita como falada, para expressar ideias são as proposições ou sentenças. Intuitivamente, pois, proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressam ou declaram uma ideia. 2. Princípios fundamentais da lógica Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser falsa e verdadeira, simultaneamente. Princípio do terceiro excluído: qualquer proposição ou é verdadeira ou é falsa. 3. Valor lógico Pelos princípios adotados, consideraremos apenas as proposições que, além de declarativas, podem ser classificadas em verdadeiros ou falsas e diremos que: • O valor lógico de uma proposição verdadeiro e a verdade (V) • O valor lógico de uma proposição falsa é a falsidade (F) 4. Conectivos lógicos Conectivos lógicos são palavras usadas na formação de outras sentenças. Os usuais são: “não”, “e”, “ou”, “se...então...” e “...se e somente se...” 5. Proposições simples e compostas As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...). As proposições compostas são aquela formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolos P(p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r. Exemplos • São proposições simples: p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O número 2 é par. s: Roma é uma capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2 + 5 = 3 . 4. • São proposições compostas: P(q, r): O número 2 é primo ou é par. Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. • Não são proposições lógicas: a) Roma b) O cão do menino c) 7 + 1 d) As pessoas estudam e) Quem é? f) Que pena!
  47. 47. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 49 6. Tabela-Verdade O valor lógico de uma proposição simples p e V ou F como já foi visto. O valor lógico de uma proposição composta P(p, q, r, ...) depende exclusivamente do valor lógico de p, q, r, ... . Para determinar o valor lógico de P, de maneira prática e organizada, utilizamos a tabela-verdade. Vejamos como construir esta tabelas-verdade a partir da árvore das possibilidades dos valores lógicos de p, q, r, ... e deixando para o próximo item a determinação do valor lógico de P. Tabela-Verdade p q P(p, q) V V ? V F ? F V ? F V ? Tabela-Verdade p q r P(p, q, r) V V V ? V V F ? V F V ? V F F ? F V V ? F V F ? F F V ? F F F ? 7. O conectivo não e a negação A negação de uma proposição p é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando p é falsa e é F quando p é verdadeira. A negação de p é representada pelo símbolo ∼ p que se lê não p e tem a seguinte tabela-verdade: Exemplos: 1. p: 4 é par ∼ P: 4 não é par 2. q: 4 + 3 = 3 ∼ q: 4 + 3 ≠ 5 3. r: Roma é a capital da Itália. ∼ r: Roma não é a capital da Itália. Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a capital da Itália”. Note, porém, que: A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelos menos um brasileiro não é careca”. A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”.
  48. 48. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 50 8. O conectivo "e" e a conjunção A conjunção de duas proposições p e q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando p e q são verdadeiras e é F nos demais casos. A conjunção é representada pelo símbolo p ^ q que se lê p e q e tem a seguinte tabela-verdade: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F Exemplos 1) p: A neve é branca q: 2 > 5 p ^ q: A neve é branca e 2 > 5 2) p: 2 + 5 ≠ 1 + 7 q: 3 é primo p ^ q: 2 + 5 ≠ 1 + 7 e 3 é primo 3) p: Roma é a Capital da França q: Paris é a Capital da Itália p ^ q: Roma é a capital da França e Paris é a capital da Itália. 9. O conectivo "ou" e a disjunção A disjunção de duas proposições p e q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando pelos menos uma das proposições é verdadeira e é F quando as duas são falsas. A disjunção de duas proposições p e q é representada pelo símbolo p v q que se lê p ou q e tem a seguinte tabela-verdade. p q p v q V V V V F V F V V F F F Exemplos 1) p: A neve é branca q: 2 > 5 p v q: A neve é branca ou 2 > 5. 2) p: 2 + 5 ≠ 1 + 7 q: 3 é primo p v q: 2 + 5 ≠ 1 + 7 ou 3 é primo 3) p: 3 + 1 = 7 q: 5 + 4 > 2 p v q: 3 + 1 = 7 ou 5 + 4 > 2 4) p: Roma é a capital da França q: Paris é a capital da Itália p v q: Roma é a capital da França ou Paris é a capital da Itália.
  49. 49. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 51 Observação O conectivo ou, representado pelo símbolo v, é inclusivo e significa pelo menos um. Pode-se, entretanto, atribuir ao conectivo ou o sentido de exclusão. Neste caso o símbolo utilizado é v e significa um só. 10. O conectivo "se... então..." e a condicional A condicional se p então q é uma nova proposição cujo valor lógico é F apenas quando p é verdadeiro e q falsa. É representada pelo símbolo p → q e tem a seguinte tabela-verdade: p Q p → q V V V V F F F V V F F V Exemplos 1) p: 3 + 5 = 8 q: 8 – 3 = 5 p → q: Se 3 + 5 = 8 então 8 – 3 = 5. 2) p: 3 +1 > 7 q: 3 é ímpar p → q: Se 3 + 1 > 7 então 3 é ímpar 3) p: 25 é quadrado perfeito q: 25 é par p → q: Se 25 e quadrado perfeito então 25 é par 4) p: 9 < 1 q: 4 é ímpar p → q: Se 9 < 1 então 4 é ímpar 11. O conectivo "se e somente se" e a Bicondicional A bicondicional p se e somente se q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e é F nos demais casos. É representada pelo símbolo p ↔ q e tem a seguinte tabela-verdade. p Q p ↔ q V V V V F F F V F F F V Exemplos 1) p: A neve é branca. q: Roma é a capital da França. p ↔ q: A neve é branca e se, e somente se, Roma é a capital da França. 2) p: 4 é par q: 4 é divisível por 2 p ↔ q: 4 é par se, e somente se, 4 é divisível por 2. 3) p: 4 é ímpar q: 3 é divisível por 2 p ↔ q: 4 é ímpar se, e somente se, 3 é divisível por 2.
  50. 50. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 52 12. Tautologia, contradição e contingência • Tautologia Uma proposição composta P(p, q, r, ...) é uma tautologia se o seu valor lógico é V, quaisquer que sejam os valores lógicos de p, q, r, ... . As tautologias são também chamadas de proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras e são, em outras palavras, as proposições compostas, cuja “última coluna da tabela-verdade só contém V”. Exemplo 1 A proposição p v (~p) é uma tautologia pois, de acordo com a tabela-verdade, o seu valor lógico é sempre V. Observe! p ∼p p ∨(∼p) V F V F V V Exemplo 2 A proposição (p ∧ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a “última coluna da tabela-verdade só contém V” Observe! p q p ∧ q p ↔ q (p ∧ q) → (p ↔ q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V • Contradição Uma proposição composta P(p, q, r, ...) é uma contradição se o seu valor lógico é F, quaisquer que sejam os valores lógicos de p, q, r, ... . As contradições são também, chamadas de proposições contra válidas ou proposições logicamente falsas e são, em outras palavras, as proposições compostas cuja “última coluna da tabela-verdade só contém F” Exemplo 1 A proposição p ∧ (∼p) é uma contradição, pois de acordo com a tabela–verdade o seu valor lógico é sempre F. O significado desta contradição é: uma proposição não pode ser falsa e verdadeira, simultaneamente. É, em outras palavras, o princípio da não contradição p ∼p p ∧ (∼p) V F F F V F
  51. 51. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 53 Exemplo 2 A proposição ∼ (p v q) ∧ (p ∧ q) é uma contradição, pois “a última coluna da tabela-verdade só contém F”. Observe! p q p v q ∼(p v q) p ∧ q ∼ (p v q) ∧ (p ∧ q) V V V F V F V F V F F F F V V F F F F F F V F F • Contingência Uma proposição composta não tautológica, nem contra válida, é chamada contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada. 13. Implicação lógica Definição A proposição P implica a proposição Q, se, somente se, a condicional P → Q for uma tautologia. Representa-se por P  Q e lê P implica Q. Diferenciação dos símbolos ( →, ) O símbolo → indica uma operação entre as proposição P e Q cujo resultado é a proposição P → Q e tem valor lógico V e F. o símbolo  indica que na tabela-verdade de P → Q “não ocorre V F” ou que o valor lógico da condicional P → Q é sempre V ou, ainda, que P → Q é uma tautologia. 14. Equivalência lógica Definição A proposição P é equivalente à proposição Q se, e somente se, a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou que P e Q tem a tabela-verdade. Representa-se por P  Q e lê-se P é equivalente a Q. Diferenciação dos símbolos (↔,) O símbolo ↔ indica uma operação entre as proposições P e Q cujo resultado é a proposição P ↔ Q e tem valor lógico V ou F. O símbolo  indica que na tabela-verdade de P ↔ Q “ não ocorre VF nem FV” ou que o valor lógico de P ↔ Q é sempre V ou, ainda, que P ↔ Q é uma tautologia. 15. Sentenças abertas Definições Sendo U um conjunto e x um elemento de U, dizemos que: • A proposição p(x) é uma sentença aberta em U se p(a) é verdadeira ou p(a) é falsa, ∀a ∈ U. • U é o conjunto-universo e x a variável. • Se a ∈ U e p(a) é verdadeira então a verifica p(x) ou a é solução de p(x). • O conjunto-verdade ou conjunto-solução de p(X), em U, é o conjunto de todos, e somente, os elementos a ∈ U tais que p(a) é uma sentença verdadeira. Simbolicamente é o conjunto {a ∈ U p(a) é V}
  52. 52. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 54 16. Propriedades Se p e q são duas proposições lógicas ou duas sentenças abertas, são de fácil verificação as seguintes equivalências: p ∧ q  q ∧ p p ∨ q  q ∨ p p ∧ (q ∧ r)  (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r)  (p ∨ q) ∨ r p ∧ (q∨ r)  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q∧ r)  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ∼ (p ∧ q)  (∼p) ∨ (∼q) ∼ (∼p)  p (p → q)  (∼q) → (∼p) 14 − ESTRUTURA LÓGICA 1. Dada as proposições: p: 3 > 2 ; q: 4 é ímpar. Determine o valor lógico das proposições compotas abaixo: a) P: qp ∧ b) Q: qp ∨ c) S: qp → d) T: qp ↔ 2. Construa a tabela-verdade das seguintes proposições compostas. a) P(p,q): ( )↔∧ qp ~p b) Q(p,q): qpqp ∧→∨ 3. Mostre que a proposição é uma tautologia. ( )rqrpqp ∧→∧→→ )( 4. A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.
  53. 53. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 55 5. A negação de “ 2−≥x ” é: a) 2≥x b) 2≤x c) x<-2 d) x<2 e) 2−≤x 6. A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 7. A negação da proposição ( ) rqp →∨ é: a) ( ) r~∧∨ qp b) rqp ∧∧ )( c) r~)( ∨∨ qp 8. Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo, a) Jair não está machucado nem quer jogar. b) Jair não quer jogar nem está machucado. c) Jair não está machucado e quer jogar. d) Jair está machucado e não quer jogar. e) Jair está machucado e quer jogar. 9. Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo, a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória 10. Demonstre a validade para ( ) ( ) ( ) ( )r~p~s~p~ ∨⇒∨∧→∧→ srqp , construindo a tabela-verdade. 11. Se os pais de filhos loiros sempre são loiros, então: a) os filhos de não loiros nunca são loiros. b) os filhos de não loiros sempre são loiros. c) os filhos de loiros sempre são loiros. d) os filhos de loiros nunca são loiros.
  54. 54. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 56 12. Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. Por outro lado, se geografia não é difícil, então lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de lógica, então: a) Se geografia é difícil, então lógica é difícil. b) Lógica é fácil e geografia é difícil. c) Lógica e fácil e geografia é fácil. d) Lógica é difícil e geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou geografia é fácil. 13. Se Iara não fala italiano, então Anna fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala Dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Anna não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Anna fala alemão e Débora fala dinamarquês. 14. Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 15. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo, a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. 16. M = 2x+3y, então M = 4p+3r. Se M = 4p+3r, então M = 2w-3r. Por outro lado, M = 2x+3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, 1HM ≠+ Logo, a) 2w-3r = 0 b) 4p+3 ≠ 2w-3r c) M ≠ 2x+3y d) 2x+3y ≠ 2w-3r e) M=2w-3r.
  55. 55. PROF. RONALDO GARCIA CARGOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR − MSGÁS − 2015 MATEMÁTICA E NOÇÕES DE LÓGICA O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 57 17. Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio: a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio. b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio. c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio. d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio. e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio. 18. No final de semana, Chiquitita na foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dada vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquitita vai ao parque, e sempre que Dada vai à missa. Didi estuda. Então, no final de semana, a) Dada foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquitita foi ao parque. 19. Considere as seguintes premissas • “Se não chover, Cláudia vai ao praia.” • “Se chover, Fábia vai ao clube.” Como choveu o dia inteiro, então: a) “Cláudia não foi á praia.” e “Fábia foi ao clube.” b) “Cláudia e Fábia não foram á praia” c) “Cláudia e Fábia não foram ao clube.” d) “Cláudia foi á praia.” e) “Fábia foi ao clube.” 20. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram. 21. Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo b) Bernardo é barrigudo ou César é careca c) César é careca e Maria é magra Maria não é magra e Bernardo é barrigudo d) Lúcia é linda e César é careca

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