Relações métricas no triângulo retângulo

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Relações métricas no triângulo retângulo

  1. 1. Relações Métricas noTriângulo RetânguloNeil AzevedoNicolas EidiMarcus ViniciusVictor WallaceRenata
  2. 2. O Triângulo Retângulo O triângulo retângulopossui um ângulo reto, ouseja, um ângulo cujamedida é 90º. Em um triânguloretângulo, o lado oposto aoângulo reto é chamadohipotenusa e os ladosadjacentes ao ângulo retosão os catetos. Eles sãomenores que a hipotenusa.
  3. 3. Teorema A altura relativa àhipotenusa de umtriângulo retângulodetermina dois outrostriângulos retângulos,que são semelhantesao primeiro.
  4. 4. Os triângulos são semelhantes Observando os triângulos ∆ABC, ∆HBA e ∆ HCA, podemosverificar que: ∆ABC ~ ∆HBA (caso A.A.), pois os ângulos A e H sãocongruentes (retos) e o ângulo B é comum aos doistriângulos. Da mesma forma, podemos comparar os triângulos ∆ABC ~∆HCA, também semelhantes pelo caso A.A.
  5. 5. A semelhança entre esses triângulos permite estabelecer importantesrelações métricas no triângulo retângulo.1ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:Podemos então, dizer:Num triângulo retângulo a medida de cada cateto é a média proporcional positivaentre as medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.Relações Métricas
  6. 6. 2ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos HBA e HCA, temos:Podemos, então, dizer:Num triângulo retângulo, a medida da altura relativa à hipotenusa éa média proporcional positiva entre as medidas das projeções dos catetossobre a hipotenusa.3ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:Podemos, então, dizer:Num triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igualao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa àhipotenusa.4ª relação: Teorema de PitágorasComo vimos, para o triângulo retângulo considerado valem asrelações c2 = an e b2 = amSomando-se essas duas relações, membro a membro, vem:
  7. 7. c2 + b2 = an + amc2 + b2 = a( n + m ) colocamos a em evidênciac2 + b2 = a . a substituímos m + n por ac2 + b2 = a2 ou a2 = b2 + c2Podemos, então, enunciar o famoso teorema de Pitágoras:Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual àsoma dos quadrados das medidas dos catetos.ResumoSe um triângulo ABC é retângulo, então são válidas as seguintes relaçõesmétricas:aABA A Aa aB B BC C CCb b b bc cc cnn m mh hb2 = anc2 = amh2 = mn bc= ah a2 = b2 + c2
  8. 8. O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principaisdescobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente notriângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode seridentificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. Otriângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, queconstitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta aoângulo reto.Observe:Catetos: a e bHipotenusa: cO Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual aoquadrado da hipotenusa.”a² + b² = c²Teorema de Pitágoras
  9. 9. Exemplo 1Calcule o valor do segmento desconhecido no triânguloretângulo a seguir.x² = 9² + 12²x² = 81 + 144x² = 225√x² = √225x = 15
  10. 10. Teorema de Pitágoras - Num triângulo retângulo, oquadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados doscatetos.Porquê?A área do quadrado construído sobre a hipotenusa éigual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre oscatetos.

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