Este documento presenta un examen de Fundamentos de Matemática que consta de 8 preguntas de opción múltiple y 4 ejercicios. El examen evalúa conceptos como funciones, dominios, imágenes, trigonometría y logaritmos. Los estudiantes deben justificar sus respuestas y se les prohíbe el uso de calculadoras u otros dispositivos electrónicos. El examen dura 120 minutos.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
CURSO DE NIVELACIÓN DE INGENIERÍA Y CIENCIAS
EXAMEN DEL PRIMER BIMESTRE DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FECHA: 15 DE AGOSTO DE 2016
Nombres: Firma: Paralelo:
Instrucciones:
1. En las preguntas de opción múltiple existe una y solo una respuesta correcta.
2. Su respuesta debe ser marcada con una × sobre el literal correspondiente.
3. SE DEBE JUSTIFICAR LA RESPUESTA.
4. Use esferográfico para contestar las preguntas. Si usa lápiz se anula la respuesta.
5. Puede usar lápiz para desarrollar los ejercicios.
6. Las preguntas valen 0,25 puntos cada una y los ejercicios 0,5 puntos cada uno.
7. No se permite el uso de formularios ni CALCULADORA ni CELULARES.
8. Duración del EXAMEN: 120 minutos.
PREGUNTAS:
1. El dominio de la función definida por f (x) =
log2
5
√
x − 2
2x − 8
es:
a) R
b) ]4, +∞[
c) ]0, +∞[ {3}
d) R {3}
2. La imagen de la función definida por f (x) = 3 sen(2x) + 1, con x ∈ R, es:
a) [−2, 4]
b) −π
2 , π
2
c) [−1, 1]
d) R
3. Dadas las funciones definidas por g(x) = |x| + 2x sen2(x) y f (x) = 3
5x + cos(x), se tiene que:
a) f y g son funciones pares
b) f es par y g es impar
c) f es impar y g es par
d) f y g son funciones impares
1

2. 4. Sean a, b ∈ R con a > 0. Si log1
2
(a) = b, entonces el valor de log4(2a2) es:
a)
1
2
− b
b)
b
2
c) 1 + b
d) 1 − b
5. Si sen(α) = −
1
3
con π < α <
3π
2
, entonces el valor exacto de cos
π
4
− 2α es
a)
11
√
2 + 8
18
b) −
7
√
2 + 8
18
c)
7
√
2 − 8
18
d)
7
√
2 + 8
18
6. La expresión expresión
1 − sen(x)
cos(x)
es igual a:
a)
− cos(x)
1 + sen(x)
b)
2 cos(x)
1 + sen(x)
c)
cos(x)
1 + sen(x)
d)
−2 cos(x)
1 + sen(x)
7. Dadas las funciones
f : [4, +∞[ −→ R
x −→ f (x) =
√
2x − 5
y
g: ]−∞, 0[ −→ R
x −→ g(x) = x2
+ 4x − 1,
se tiene que el dominio de f ◦ g es:
a) ∅
b) ]−∞, −5] ∪ [1, +∞[
c) ]−∞, −5]
d) [−5, 0[
8. ¿Para qué valor de a ∈ R, el número
a + 3i32
2 − 3i15
es un imaginario puro?
a)
3
2
b) −
3
2
c) −
9
2
d) 0
2

3. EJERCICIOS:
1. Redefinir la siguiente función para que sea biyectiva y calcular su inversa
f : ]−∞, 0[ ∪ [1, +∞[ −→ R
x −→ f (x) =



|x|
x − 1
si x < 0,
x2 − 1 si x ≥ 1.
2. Hallar el conjunto solución de inecuación
log1
a
x
a
· log1
x
a
x
≥
loga
1
a
loga(a2)
,
donde a es un real tal que 0 < a < 1.
3

4. 3. Hallar el conjunto solución de la ecuación
sen4
(x) − cos4
(x) = cos(x).
4. Determinar la monotonía de la función definida por
f (x) = log1
3
sen2
(x) − sen(x) + 4 ,
con x ∈ 0, π
2 .
4