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PLANO
NUMÉRICO
Sección : 0101
Pnf : Turismo
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA
ANDRÉS ELOY BLANCO
BARQUISIMETO-IRIBARREN- EDO. LARA
Profesor : Nelson Torcate.
Estudiante : Natasha Hurtado.
Plano numérico
Tuvo su origen de la mano de
René Descartes (1596-1650).
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Ecuación vectorial Sea un punto A( a, b) de la
recta, cuyo vector directriz es
. Si tomamos un punto genérico
de la recta P( x, y) se tiene:
Ecuaciones
Que es la ecuación vectorial de la
recta. Siendo l un parámetro, tal que
al ir tomando los distintos valores
de R nos va dando los distintos
puntos P de la recta.
Ecuaciones paramétricas
Si expresamos la ecuación vectorial en
sus dos coordenadas, tenemos las
ecuaciones paramétricas de la recta:
Una recta pasa por el punto
y tiene un vector director
Escribir sus ecuaciones paramétricas.
Sabemos que
además
por lo que:
Y su gráfica sería:
Ecuación continua
Despejando l en las
ecuaciones de arriba, e
igualando se tiene la
ecuación continua de la
recta:
Ejemplo:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3)
y tiene un vector director = (2,5).
Escribir su ecuación continua.
Ecuación continua
de la recta que pasa
por dos puntos
Dados dos puntos del plano
la ecuación de la recta que pasa por
estos dos puntos es:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por
Ejemplo
Y
Sustituimos los valores en la forma continua:
Entonces, la ecuación de la recta es:
Ecuación segmentaria
Sean los puntos
la ecuación viene dada por
donde
Ecuación funcional
Para una circunferencia de
radio R centrada en el
origen de coordenadas:
Siendo m el valor de
tg a (también llamada
"pendiente" de la
recta), b el punto de
corte del eje y.
y = m x + b
Ecuación cartesiana
a x + b y + c = 0
Ecuaciones de la
circunferencia
Ecuación de la circunferencia centrada en el
origen
x2 + y2 = R2
Ecuación de la
circunferencia
centrada en otro
punto
Para una circunferencia
de radio R centrada en un
punto P( a, b):
Para una circunferencia de
radio R centrada en el origen::
(x - a)2 + (y – b)2 = R2
Ecuaciones
paramétricas de la
circunferencia
x = R cos j
y = R sen j
En el caso de que la circunferencia esté
centrada en un punto distinto del origen,
digamos en P( a, b), las ecuaciones
paramétricas quedan:
x = a + R cos j
y = b + R sen j
Ecuación de la elipse
centrada en el origen
Sea una elipse centrada en O, y
cuyos semiejes sean a, b. Esta
elipse tiene por ecuación en
coordenadas cartesianas:
Ecuaciones de la
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en el origen
Ecuación de la
parábola
Ecuación de la parábola
Dada la parábola calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Secciones cónicas y
formas estándar de las
ecuaciones
Es la intersección de un plano y un cono
recto circular doble. Por el cambio del
ángulo y la ubicación de la intersección,
podemos producir diferentes tipos de
cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos
, elipses , hipérbolas y parábolas . Ninguna
de las intersecciones pasara a través de los
vértices del cono.
La ecuación general para cualquier sección
cónica es
donde A, B, C, D, E y F son constantes
FORMAS ESTÁNDAR DE
LAS ECUACIONES DE
SECCIONES CÓNICAS
Círculo ( x – h ) 2 + ( y – k )
2 = r 2
El centro es ( h, k ).
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Elipse con el eje horizontal
mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es 2
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La longitud del eje menor es 2
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La distancia entre el centro y
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Elipse con el eje vertical
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y cualquier foco es c con
c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.
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horizontal transversal
El centro es ( h, k ).
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vértices es 2 a
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LAS ECUACIONES DE LAS
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transversal
El centro es ( h, k ).
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La distancia entre los focos es 2 c .
c 2 = a 2 + b 2
Parábola con el eje horizontal
( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h + p, k ).
La directriz es la recta x = h –
p.
El eje es la recta y = k.
Parábola con el eje vertical ( x –
h ) 2 = 4 p ( y – k ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h, k + p ).
La directriz es la recta y = k – p .
El eje es la recta x = h.
Bibliografía
Varsity tours
"Secciones cónicas y formas estándar
de las ecuaciones“
https://www.varsitytutors.com/hotmath/
hotmath_help/spanish/topics/conic-
sections-and-standard-forms-of-
equations
Nociones preliminares de
Matemáticas
"Ecuaciones en el plano“
http://www.ehu.eus/juancarlos.gor
ostizaga/apoyo/geometr0.htm
Super prof
18 Diciembre, 2020
"Coordenadas del punto medio en un
segmento"
https://www.superprof.es/apuntes/esco
lar/matematicas/analitica/vectores/co
ordenadas-del-punto-medio-de-un-
segmento.html
Ecu red
"Distancia entre dos puntos"
https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos
_puntos
Bibliografía
Definición ABC
Florencia Ucha
Septiembre 2009
“Definición de plano cartesiano “
https://www.definicionabc.com/general/
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  • 1. PLANO NUMÉRICO Sección : 0101 Pnf : Turismo REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA ANDRÉS ELOY BLANCO BARQUISIMETO-IRIBARREN- EDO. LARA Profesor : Nelson Torcate. Estudiante : Natasha Hurtado.
  • 2. Plano numérico Tuvo su origen de la mano de René Descartes (1596-1650). Con la idea de plasmar su pensamiento filosófico, construyó un plano con dos rectas que se cruzaban en un punto de forma perpendicular. A la recta vertical la llamó eje de ordenadas y a la recta horizontal de eje de abscisas. Es una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente en los casos bidimensionales.
  • 3. Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =
  • 4. Punto medio Se hace buscando puntos del eje de simetría de los elementos dados en cada caso. Si no son simétricos se hacen aproximaciones mediante arcos o paralelas para hallar los puntos medios o equidistantes según el caso. Es aquel punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
  • 5. Consideremos el segmento AB con extremos en los puntos A(x_1, y_1) y B(x_2, y_2) de la siguiente figura: Ejemplo El punto medio es aquel punto M que está en el segmento AB y que hace que el segmento AM mida lo mismo que el segmento MB, es decir, El punto medio se calcula con la siguiente fórmula: Se dice que el punto es simétrico de respecto a si es el punto medio del segmento
  • 6. Ecuación vectorial Sea un punto A( a, b) de la recta, cuyo vector directriz es . Si tomamos un punto genérico de la recta P( x, y) se tiene: Ecuaciones Que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo l un parámetro, tal que al ir tomando los distintos valores de R nos va dando los distintos puntos P de la recta.
  • 7. Ecuaciones paramétricas Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director Escribir sus ecuaciones paramétricas. Sabemos que además por lo que: Y su gráfica sería:
  • 8. Ecuación continua Despejando l en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación continua de la recta: Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.
  • 9. Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos Dados dos puntos del plano la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es: Hallar la ecuación de la recta que pasa por Ejemplo Y Sustituimos los valores en la forma continua: Entonces, la ecuación de la recta es:
  • 10. Ecuación segmentaria Sean los puntos la ecuación viene dada por donde
  • 11. Ecuación funcional Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas: Siendo m el valor de tg a (también llamada "pendiente" de la recta), b el punto de corte del eje y. y = m x + b Ecuación cartesiana a x + b y + c = 0 Ecuaciones de la circunferencia Ecuación de la circunferencia centrada en el origen x2 + y2 = R2
  • 12. Ecuación de la circunferencia centrada en otro punto Para una circunferencia de radio R centrada en un punto P( a, b): Para una circunferencia de radio R centrada en el origen:: (x - a)2 + (y – b)2 = R2 Ecuaciones paramétricas de la circunferencia x = R cos j y = R sen j En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto distinto del origen, digamos en P( a, b), las ecuaciones paramétricas quedan: x = a + R cos j y = b + R sen j
  • 13. Ecuación de la elipse centrada en el origen Sea una elipse centrada en O, y cuyos semiejes sean a, b. Esta elipse tiene por ecuación en coordenadas cartesianas:
  • 14. Ecuaciones de la hipérbola centrada en el origen Ecuación de la parábola
  • 15. Ecuación de la parábola Dada la parábola calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
  • 16. Secciones cónicas y formas estándar de las ecuaciones Es la intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el cambio del ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos , elipses , hipérbolas y parábolas . Ninguna de las intersecciones pasara a través de los vértices del cono. La ecuación general para cualquier sección cónica es donde A, B, C, D, E y F son constantes
  • 17. FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE SECCIONES CÓNICAS Círculo ( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2 El centro es ( h, k ). El radio es r . Elipse con el eje horizontal mayor El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a . La longitud del eje menor es 2 b . La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.
  • 18. FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE LAS SECCIONES CÓNICAS Elipse con el eje vertical mayor El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a . La longitud del eje menor es 2 b . La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0. Hipérbola con el eje horizontal transversal El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2 a La distancia entre los focos es 2 c . c 2 = a 2 + b 2
  • 19. FORMAS ESTÁNDAR DE LAS ECUACIONES DE LAS SECCIONES CÓNICAS Hipérbola con el eje vertical transversal El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2 a La distancia entre los focos es 2 c . c 2 = a 2 + b 2 Parábola con el eje horizontal ( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), p ≠ 0 El vértice es ( h, k ). El foco es ( h + p, k ). La directriz es la recta x = h – p. El eje es la recta y = k. Parábola con el eje vertical ( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), p ≠ 0 El vértice es ( h, k ). El foco es ( h, k + p ). La directriz es la recta y = k – p . El eje es la recta x = h.
  • 20. Bibliografía Varsity tours "Secciones cónicas y formas estándar de las ecuaciones“ https://www.varsitytutors.com/hotmath/ hotmath_help/spanish/topics/conic- sections-and-standard-forms-of- equations Nociones preliminares de Matemáticas "Ecuaciones en el plano“ http://www.ehu.eus/juancarlos.gor ostizaga/apoyo/geometr0.htm Super prof 18 Diciembre, 2020 "Coordenadas del punto medio en un segmento" https://www.superprof.es/apuntes/esco lar/matematicas/analitica/vectores/co ordenadas-del-punto-medio-de-un- segmento.html Ecu red "Distancia entre dos puntos" https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos _puntos
  • 21. Bibliografía Definición ABC Florencia Ucha Septiembre 2009 “Definición de plano cartesiano “ https://www.definicionabc.com/general/ plano-cartesiano.php