Geometria no-espac3a7o

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MAT A 11

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Geometria no-espac3a7o

  1. 1. 'Í 2 Considere, num referencial o. n. Oxyz, os pontos A(5 , 0, O) e B(0, 3 , 1). 1.1 Mostre que a recta AB está contida no plano de equa- ção x+2y-z=5 . 1.2 Determine as coordenadas de um ponto C , pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triân- gulo [ABC] seja rectângulo em C . 1.3 Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox. Exames oñ: , Considere, num referencial o. n. Oxyz , uma pirâmide triangular não regu- lar [OPQV] . Tem-se que: o o vértice O da pirâmide é a origem do referencial; v o vértice V tem coordenadas (0 , 4 , 2); o o vértice Q pertence ao plano xOy ; v uma equação do plano OPQ é x - y = 0 ; o uma equação do plano PQV é x + y+z= 6 g o uma 'equação do plano OPV é x + y - Zz = O . 2.1 Mostre que o ponto P tem coordenadas (2 , 2 , 2) e que o ponto Q tem coordenadas (3 , 3 , O). 2.2 Mostre que o ângulo OPQ é recto. 2.3 justifique que a recta PV é perpendicular ao plano OPQ e utilize este facto para determinar o volume da pirâmide [OPQV] . Exames oñci; Considere, num referencial o. n. Oxyz : ~ospontos A(10, 0, 0); B(0, 2, 1) e C(O, 5, 0); as rectas AB e BC. 3.1 justifique que as rectas AB e BC são complanares e mostre que o plano a por elas definido admite como equação x + 2y + 6z = 10 . 3.2 Determine uma equação vectorial da recta de inter- secção do plano a com o plano xOz . 3.3 Calcule o volume da pirâmide [OBCA] . Exames oñci;
  2. 2. Na figura estão representados três pontos, num referencial o. n. Oxyz . o o ponto A , que tem coordenadas (0 , 5 , 2) ; o o ponto B , que pertence ao plano xOz ; o o ponto C , que pertence ao plano xOy . A recta BC tem equação vectorial (x, y, z)= (5, 4, -1)+k(1, 2, -1), IzGIR. 4.1 Mostre que o ponto B tem coordenadas (3 , 0 , 1) e que o ponto C tem coordenadas (4 , 2 , O) . 4.2 Mostre que o triângulo [ABC] é rectângulo em C . 4.3 Considere a superfície esférica de centro em A , cuja intersecção com o plano xOy é uma circunferência de raio 3 . Determine uma equação dessa superficie esférica. l Exames oficiais 5 Na figura esta representada, num referencial o. n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: o a base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no plano xOy; o os pontos A e C pertencem ao eixo Ox; o os pontos B e D pertencem ao eixo Oy; o o ponto P pertence ao eixo Oz . 5.1 Sabendo que uma equação do plano ABP é 2x + Zy + z = 6 , determine o volume da pirâmide. 5.2 justifique que a recta definida pela condição à: à: : z é perpendicular ao plano ABP e contém a origem do referencial. 5.3 Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial e que e tangente ao plano ABP . Exames oficiais
  3. 3. 5 Na figura está representada, num referencial o. n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular. = A base da pirâmide é paralela ao plano xOy . í' O ponto A tem coordenadas (8 , 8 , 7) . 0 ponto B pertence ao plano yOz. O ponto C pertence ao eixo Oz. é O ponto D pertence ao plano xOz. O ponto E é o centro da base da pirâmide. › O vértice V da pirâmide pertence ao plano xOy . 6.1 Determine o perímetro de uma face lateral da pirâmide. 6.2 Determine a amplitude do ângulo B VD . Apresente o resultado em graus, com aproximação à décima de grau. 6.3 Seja a o plano que contém o ponto E e é paralelo ao plano AVB . Mostre que o eixo Ox está contido em a . Exames oñciais 7 Na figura está representado, num referencial o. n. Oxyz , um cone de revolução. Sabe-se que: I I z a base do cone esta contida no plano xOy e tem o seu centro V na origem do referencial; ç 5 ›[AC] e [BD] são diâmetros da base; ~ o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox ; ~ o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy ; › o vértice V pertence ao semieixo positivo Oz . 7.1 Sabendo que uma equação do plano ABV é 4x + 4y + 3z = 12 , mos- tre que o comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone ê 4 . 7.2 Determine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto V e cuja intersecção corri o plano xOy é a base do cone. 7.3 Designando por a a amplitude do ângulo DVB , determine o valor de sin a. Exames oficiais
  4. 4. Na figura está representado um cubo, num referencial o. n. Oxyz . Sabe-se que: o a face [OPQR] está contida no plano xOy ; o a face [OSVR] está contida no plano xOz; o a face [OSTP] está contida no plano yOz ; ouma equaçãodoplano VTQ é x+y+z=6. 8.1 Mostre que o volume do cubo é 27 . 8.2 Determine uma equação da superfície esférica tal que: o o centro é o simétrico do ponto U , em relação ao plano xOy ; o o ponto Q pertence a essa superfície esférica. 8.3 Seja a o plano que contém o ponto S e é paralelo ao plano VTQ . Prove que a recta RP está contida em a . Exames oficiais Na figura está representado, num referencial o. n. Oxyz , um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. Sabe-se que: o o vértice O do poliedro é a origem do referencial; o o vértice E do poliedro tem coordenadas (2 , 2 , 2) ; o a altura de cada uma das pirâmides é igual ao compri- mento da aresta do cubo. 9.1 justifique que o ponto F não pertence à superfície esférica de diâmetro [PQ] . 9.2 Mostre que a recta EG é perpendicular ao plano ADQ . 9.3 Determine a área da secção definida no poliedro pelo plano ADQ . Exames oficiais
  5. 5. 'É Ú Na figura ao lado está representada, num referencial o. n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial. V(-2,11,5) , __----~› O vértice P pertence ao eixo Oz . Q . ,/ O vértice R pertence ao plano xOy . O vértice V tem coordenadas (- 2 , 11 , 5) . .. .-: .'-Çl . ... . Uma equação vectorial da recta que contém a altura da pirâmide é: (xa y! Z)= (7›_1›5)+k(6› _83 O); 10.1 Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3x - 4y = 0 . 10.2 justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4 7 3 7 5) - 10.3 Determine o volume da pirâmide. Apresente o resultado na forma de fracção irredutivel. Exames oficiais rj' t' il »l Na figura, estão representados, num referencial o. n. Oxyz , um prisma e uma pirâmide quadrangulares regulares, com a mesma altura. A base do prisma, que coincide com a base da pirâmide, está contida no plano xOy . O vértice P pertence ao eixo Ox . O vértice R pertence ao eixo Oy. O vértice S pertence ao eixo Oz . O vértice U tem coordenadas (2 , 2 , 4) . 11.1 Escreva uma condição que defina a recta TU . 11.2 Calcule a amplitude do ângulo VQW . Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamen- tos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 11.3 Considere o plano de equação x = y . Determine a área da região compreendida entre as secções produzidas, por esse plano, no prisma e na pirâmide. Exames oficiais
  6. 6. Na figura está representado, num referencial o. n. Oxyz , um sólido formado por um paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] e uma pirâmide [ABCDV] . A base [EFGH] do paralelepípedo está contida no plano xOy e a base da pirâmide coincide com a face superior do paralelepípedo. A atesta [GF] está contida no eixo Oy . Uma equação da superfície esférica com centro A (1 , 1 , 1) e que contém G é (x-1)z+(y-1)2+(z-1)2=11. 12.1 Verifique que o ponto H tem coordenadas (1 , - 2 , O) . 12.2 Mostre que uma equação do plano AGH é y - 32 + 2 = 0 . 12.3 Designando por c a cota do ponto V , mostre que o volume do sólido é 2 + c . Exames oficiais Num referencial o. n. Oxyz , considere um paralelepípedo rectângulo [OPQRSTUV] . Os pontos P , R e V pertencem aos semieixos positivos Ox , Oy e Oz , respectivamente. O quadrilátero [ABCD] é a secção obtida no paralelepípedo pelo plano de equação 2x + 3y + z = 22 , que é perpendicular à recta OT . O ponto R tem ordenada 6 . 13.1 justifique que o ponto T tem coordenadas (4 , 6 , 2) . 13.2 Determine uma equação do plano que é paralelo ao plano ABC e que contém o ponto Q . 13.3 Determine as coordenadas do ponto D . Exames oficiais
  7. 7. If-i' Considere, num referencial o. n. Oxyz, duas rectas, r e s, de equações xâl= §=z e (xa y› z)= (1s -1› 1a -1)s respectivamente. 14.1 justifique que as rectas r e s definem um plano. 14.2 Mostre que o plano definido pelas rectas r e s é paralelo ao plano de equação x - y + z = 10 . 14.3 Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s . Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamen- tos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 'Í 5 Considere, num referencial o. n. Oxyz , os pontos A(2, 3, 10) e B(10, 13, 25). Um tiro é disparado de A , de tal forma que o projéctil passa pelo ponto B . 15.1 Pretende-se atingir um alvo situado no ponto C(98 , 123 , 190) . Mostre que, se o projéctil seguir uma trajectória rectilínea, o alvo é atingido. 15.2 A trajectória rectilínea só é garantida se o alvo se encontrar a menos de 300 unidades do local onde o projéctil é disparado. Prove que, no caso presente, a trajectória rectilínea está garantida. 15.3 justifique que existe um e um só plano a que contém a origem do referencial e os pontos A , B e C . Averigue se esse plano é perpendicular ao plano xOy . Exames ofici; Exames oficiais
  8. 8. Na figura está representada, num referencial o. n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular. o A base da pirâmide está contida no plano de equação z = 4 . o O vértice A pertence ao eixo Oz . o O vértice B pertence ao plano yOz . o 0 vértice D pertence ao plano xOz. o O vértice C tem coordenadas (4 , 4 , 4) . o A altura da pirâmide mede 6 unidades. 16.1 Mostre que uma condição que define a recta DE é x - 4 = - y = 16.2 Determine uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendi- cular à recta DE . 16.3 Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xOy . Exames oficiais Num referencial o. n. Oxyz , considere um cone cuja base está contida no plano yOz e cujo vér- tice pertence ao semieixo positivo Ox . A base tem raio 3 e centro em O , origem do referencial. A recta r , de equação lx› 3'» z)= loa 3a '1› 0)› contém uma geratriz do cone. 17.1 Mostre que a altura do cone é 9 . 17.2 Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e é perpendicular à recta r. 17.3 Determine a área do polígono que resulta da intersecção do cone com o plano de equação z = 0 . Exames oficiais

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