O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.
‫תורת הקבוצות‬                                                        ‫מהי קבוצה?‬        ‫כאינטואיציה, קבוצה היא אוסף של ...
‫איך מסמנים קבוצות?‬                                                           ‫מסמנים קבוצות בד"כ באותיות לטיניות גדולות....
‫תכונות של שוויון‬                                                                             ‫1) ‪A  A‬‬               ...
‫הכלה של קבוצות‬  ‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות, נאמר ש ‪ A‬מוכלת ב ‪ B‬או ש ‪ B‬מכילה את ‪ A‬אם כל איבר ב ‪ A‬הוא גם איבר ב ‪. B‬...
‫נכונות של הכלה‬                                                                         ‫1) ‪ A  A‬רפלקסיביות‬          ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - הגדרות

סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב.
תורת הקבוצות, הגדרות כלליות, סימונים, תכונות וקבוצות מספרים חשובות.

  • Entre para ver os comentários

מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - הגדרות

  1. 1. ‫תורת הקבוצות‬ ‫מהי קבוצה?‬ ‫כאינטואיציה, קבוצה היא אוסף של איברים שיש ביניהם כלל משותף.‬ ‫אבל אי אפשר להגדיר כך קבוצה !‬ ‫בשנת 0091 הסביר ברנארד ראסל את העניין כך:‬ ‫קבוצה קטנה‬ ‫קבוצה שלא כוללת את עצמה בתור איבר.‬ ‫אלו רוב הקבוצות שאנו מכירים.‬ ‫קבוצה גדולה‬ ‫קבוצה שכוללת את עצמה בתור איבר.‬ ‫דוגמא:‬ ‫{קבוצת כל הקבוצות שהגדרתן היא באמצעות שמונה מילים}= ‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A A‬‬ ‫‪‬‬ ‫קבוצה גדולה‬ ‫הפרדוקס‬ ‫לדוגמא:‬ ‫{קבוצת כל הקבוצות הקטנות}=‪X‬‬ ‫השאלה מהי ‪?X‬‬ ‫‪ ‬אם ‪ X‬קטנה, אז דרוש ‪X  X‬‬ ‫אז ‪ X‬גדולה (כי היא מכילה את עצמה בתור איבר)‬ ‫‪ ‬סתירה‬ ‫‪ ‬אם ‪ X‬גדולה, אז דרוש ‪X  X‬‬ ‫ולכן, עפ"י ההגדרה היא קטנה.‬ ‫‪ ‬סתירה‬ ‫לכן, לא ניתן להגדיר קבוצה בתור אוסף איברים שיש ביניהם כלל משותף.‬ ‫בתורת הקבוצות הנאיבית אנו מניחים שלושה מושגים כאטומים:‬ ‫}‬ ‫1) איבר‬‫מושגים ללא הגדרה פורמאלית‬ ‫2) קבוצה‬ ‫3) הפעולה של שייכות איבר לקבוצה‬
  2. 2. ‫איך מסמנים קבוצות?‬ ‫מסמנים קבוצות בד"כ באותיות לטיניות גדולות.‬ ‫איך מגדירים קבוצות?‬ ‫דרך א‬ ‫ע"י רשימת האיברים שלהן:‬ ‫{חתול, מזלג, סכין}=‪A‬‬ ‫מסקנה: איברי הקבוצה לא חייבים להיות מספרים‬ ‫דרך ב‬ ‫ע"י כלל מסוים שמאחד את כל איברי הקבוצה:‬ ‫{91, 71, 31, 11}={‪ x‬הוא מס ראשוני בין 01 ל-02 |‪B=}x‬‬ ‫נוכל להגדיר קבוצה זו גם בצורה נוספת:‬ ‫{91, 71, 31, 11}={‪ x‬הוא מס אי זוגי בין 01 ל-02 למעט 51 |‪B=}x‬‬ ‫מסקנה: קבוצה ניתנת לתיאור בדרכים שונות.‬ ‫שוויון בין קבוצות‬‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות נאמר ש ‪ A‬ו ‪ B‬שוות ונסמן ‪ , A  B‬אם כל איבר בקבוצה ‪ A‬הוא גם איבר ב ‪ B‬וההיפך.‬ ‫בצורה פורמאלית:‬ ‫)‪A  B  ( X  A  X  B‬‬ ‫לדוגמא:‬ ‫{‪ x‬הוא מס אי זוגי בין 01 ל-02 למעט 51 |‪ x{=}x‬הוא מס ראשוני בין 01 ל-02 |‪}x‬‬ ‫תרגיל‬ ‫מהו היחס בין זוגות הקבוצות הבאות?‬ ‫שוות‬ ‫}‬ ‫1) {2,3} {3,2}‬ ‫2) {3,2} {3,2,2}‬ ‫מסקנה: בקבוצה לא משנה סדר האיברים וריבויים.‬
  3. 3. ‫תכונות של שוויון‬ ‫1) ‪A  A‬‬ ‫2) אם ‪ A  B‬אז ‪B  A‬‬ ‫3) אם ‪ B  C , A  B‬אז ‪A  C‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫1) כדי להוכיח ש ‪ A  A‬דרוש לבדוק האם מתקיים ‪X  A  X  A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫לעולם אמת‬ ‫ולכן עפ"י הגדרת שוויון קבוצות: ‪A  A‬‬ ‫2) אם ‪ A  B‬אז עפ"י ההגדרה ‪X  A  X  B‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫לעולם אמת‬ ‫‪ , P  Q  Q  P‬ומכאן ‪X  B  X  A‬‬ ‫אבל,‬ ‫לעולם אמת‬ ‫‪BA‬‬ ‫הגדרה:‬ ‫3) נתון ‪ A  B, B  C‬אז מתקיים ‪X  A  X  B‬‬ ‫לעולם אמת‬ ‫‪X  B  X C‬‬ ‫וגם‬ ‫לעולם אמת‬ ‫‪X  A  X C‬‬ ‫משילוב שניהם יחד נובע ש‬ ‫לעולם אמת‬ ‫‪AC‬‬ ‫הגדרה:‬ ‫סימונים של קבוצות מספרים חשובות‬ ‫קבוצה של מס טבעיים (מס שלמים וחיוביים) }...,3,2,1{ ‪( Natural ) N ‬‬ ‫קבוצה של מס טבעיים עם אפס (מס שלמים וחיוביים כולל 0) }...,3,2,1,0{ ‪N 0 ‬‬‫קבוצה של מס שלמים (מס שלמים שליליים, חיוביים וגם 0) }...,3,2,1,0,1‪(Zahlen)Z  {...,3,2,‬‬ ‫‪m‬‬ ‫קבוצה של מס רציונאליים }0 ‪(Quotients )Q  {  Z , n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫קבוצה של מס ממשיים {כל ציר המס הממשי} ‪(Re al) R‬‬ ‫‪a, b  R‬‬ ‫}‪(a, b)  {x | a  x  b‬‬ ‫}‪(a, b]  {x | a  x  b‬‬ ‫}‪[a, b)  {x | a  x  b‬‬
  4. 4. ‫הכלה של קבוצות‬ ‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות, נאמר ש ‪ A‬מוכלת ב ‪ B‬או ש ‪ B‬מכילה את ‪ A‬אם כל איבר ב ‪ A‬הוא גם איבר ב ‪. B‬‬ ‫בצורה פורמאלית:‬ ‫‪( x, x  A  x  B‬לכל ‪ x‬ששייך לקבוצה ‪ ,A‬שייך לקבוצה ‪.)B‬‬ ‫סימון: ‪A  B‬‬ ‫הערה: מה שסימנו כולל גם הכלה ממש (שבקבוצות לא שוות) וגם שוויון.‬ ‫אם נרצה להדגיש שמדובר בהכלה ממש ולא שוויון נסמן ‪ A  B‬או ‪A  B‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא:‬ ‫1) }3,2,1{ ‪{1,2} ‬‬ ‫2) }3,2,1{ ‪{1,2,3} ‬‬ ‫3) ‪N  N 0  Z  Q  R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תזכורת:‬ ‫שייכות של איבר לקבוצה ‪x  A‬‬ ‫הכלה בין שתי קבוצות ‪ A  B‬שקול לתנאי ‪x, x  A  x  B‬‬ ‫היחס בין שייכות להכלה‬ ‫דוגמא:‬ ‫}}2{,}1{,1{ ‪A ‬‬ ‫ענו נכון או לא נכון ונמקו:‬ ‫1) ‪ 1  A‬נכון, כי 1 נמצא ב ‪A‬‬ ‫2) ‪ 1  A‬לא נכון, כי היחס "הכלה" הוא בין קבוצות ו"1" הוא לא קבוצה‬ ‫3) ‪ {1}  A‬נכון, היות וה }1{ האמצעי בקבוצה‬ ‫?‬‫4) ‪ {1}  A‬נכון, בגלל ה1 השמאלי - ‪ - { A}  A  1  {1}1  A‬בהכלה אנו מקלפים את הסוגריים‬ ‫החיצוניים ובודקים אם האיברים נמצאים בקבוצה הנותרת.‬ ‫5) ‪ {{1}}  A‬לא נכון, האיבר }1{ לא נמצא ב ‪A‬‬ ‫6) ‪ {{1}}  A‬נכון, בגלל ה1 האמצעי‬ ‫7) ‪ 2  A‬לא נכון, האיבר 2 אינו ב ‪A‬‬ ‫8) ‪ 2  A‬לא נכון, מאותה הסיבה של (2)‬ ‫9) ‪ {2}  A‬נכון, האיבר אכן נמצא‬ ‫10) ‪ {2}  A‬לא נכון, כדי שיהיה נכון צריך ‪2  A‬‬ ‫11) ‪ {{2}}  A‬לא נכון, האיבר לא נמצא‬ ‫12) ‪ {{2}}  A‬נכון, שקול ל ‪{2}  A‬‬ ‫הכלל:‬ ‫ב"הכלה"‬ ‫ע"מ לבדוק בהכלה, נוריד סוגריים אחד ונבדוק אם הביטוי החדש שייך (‪) ‬‬ ‫ב"שייכות"‬ ‫לבדוק האם קיים בדיוק כמו שהוא, כמו תמונה.‬ ‫דוגמא נוספת:‬ ‫}}2,1{,1{ ‪B ‬‬ ‫‪ ‬האם ‪ ? {1}  B‬לא! כי }1{ לא נמצא ב ‪B‬‬ ‫‪ ‬האם ‪ ? {1,2}  B‬כן!‬
  5. 5. ‫נכונות של הכלה‬ ‫1) ‪ A  A‬רפלקסיביות‬ ‫2) אם ‪ A  B‬ו ‪ , B  C‬אז ‪ A  C‬טרנזיטיביות – כלל המעבר‬‫3) אם ‪ A  B‬ו ‪ B  A‬אם ורק אם ‪ A  B‬אנטי סימטריות – לתכונה זו חשיבות מאוד גדולה – לעתים‬ ‫במקום להוכיח שוויון, נוכיח הכלה דו כיוונית.‬ ‫הוכחה‬ ‫?‬ ‫1) ‪ x, x  A  x  A‬אבל זה תמיד נכון‬ ‫2) נתון ‪ x, x  A  x  B , A  B‬וכן ‪B  C‬‬ ‫‪x, x  B  x  C‬‬ ‫ולכן יתקיים תמיד ‪ x  A  A  C‬ומכאן, ש ‪A  C‬‬ ‫3) דומה‬ ‫הקבוצה הריקה‬ ‫הקבוצה הריקה היא קבוצה שאף איבר לא משתייך אליה.‬ ‫בסימון פורמאלי‬ ‫‪ A‬ריקה אם ‪x, x  A‬‬ ‫תכונה יסודית‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה ריקה, אזי, לכל קבוצה ‪ B‬מתקיים ‪A  B‬‬ ‫עפ"י הוכחה, תהי ‪ B‬קבוצה.‬ ‫? ‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪F‬‬ ‫כדי להוכיח ‪ A  B‬דרוש לבדוק ‪x, x  A  x  B‬‬ ‫‪ A‬ריקה ולכן ‪F‬‬ ‫שקר גורר כל דבר הוא ביטוי אמת ולכן מתקיים ‪ x  A  x  B‬ולכן ‪A  B‬‬ ‫מסקנה מילולית: קבוצה ריקה מוכלת בכל קבוצה אחרת ולא בהכרח שייכת.‬ ‫תכונה‬ ‫הקבוצה הריקה היא יחידה ומכיוון שכך, נוכל לסמנה ‪Ø‬‬ ‫הוכחה:‬ ‫שתי קבוצות ריקות (1 ‪ )Ø‬ו(2 ‪)Ø‬‬ ‫נניח שהן שוות, (1 ‪ )Ø‬ריקה ולכן לפי התכונה הקודמת, היא מוכלת בכל קבוצה אחרת, בפרט (2 ‪.)Ø‬‬ ‫מצד שני, גם (2 ‪ )Ø‬ריקה, לכן עפ"י אותה תכונה, ‪)Ø 2(  )Ø 1(  B‬‬ ‫קיבלנו (2 ‪ )Ø 1(  )Ø‬ולכן (1 ‪)Ø 2(  )Ø‬‬ ‫ולכן, (2 ‪ )Ø 1(  )Ø‬כדרוש.‬ ‫שאלה‬ ‫?‬ ‫{‪Ø  } Ø‬‬ ‫תשובה‬ ‫לא‬ ‫הסבר‬ ‫בצד שמאל כתובה קבוצה ריקה, בצד ימין יש קבוצה עם איבר אחד ואיבר זה הוא הקבוצה הריקה.‬

×