1.
MATRIUS
I DETERMINANTS
2n de Batxillerat
Autora : Mònica Orpí i Mañé
MATEMÀTIQU
ES

2.
J.J. Sylvester
Arthur Cayley
INTRODUCCIÓ

3.
DEFINICIÓ DE MATRIU
Aquesta és una matriu de m files i n columnes, és a dir,
de dimensió m x n o també es diu que té ordre (m,n)
També és pot definir de la manera següent :
A= (a ij ), on i=1,2,...,m; j=1,2,....,n
I es representa així : A = (a ij ) mxn
Si el nombre de files i de columnes és igual ( m = n ), llavors es diu que la
matriu és de ordre n i, en aquest cas es diu que la matriu és quadrada

4.
DEFINICIÓ DE MATRIU
Dues matrius són iguals quan tenen la mateixa dimensió i els elements que
ocupen la mateixa posició en les dues són iguals
Perquè les matrius A i B siguin iguals, s'ha de complir que a = 7 i b = 5

5.
TIPUS DE MATRIUS
Per exemple és una matriu fila (1,3)

6.
 Matriu oposada : La matriu oposada d’una matriu és la que s’obté canviant cadascun dels elements
pel seu oposat
 La matriu A només té una i només una matriu oposada, que s’indica per –A, i es pot definir dient que
: si A = (a ij ), la seva oposada és – A = (-a ij )
TIPUS DE MATRIUS

7.
Matriu rectangular
La matriu rectangular té diferent número de files que de columnes, essent la seva dimensió m x n.
Matriu quadrada :
És una matriu amb el mateix nombre de files que de columnes, és a dir, de dimensió n x n. En lloc de
parlar de dimensió, diem que una matriu A amb n files i n columnes és d’ordre n i escrivim ord(A)=n
Els elements de la forma aii formen la diagonal principal.
La diagonal secundària la formen els elements amb i+j = n+1
TIPUS DE MATRIUS

8.
I dins de les matrius quadrades...
•Matriu triangular superior : Tots els elements que hi ha per sota
de la diagonal principal són zero.
Matriu triangular inferior : Tots els elements situats sobre de la
diagonal principal són zero .
Matriu diagonal: Tots els elements que no estan
situats en la diagonal principal són nuls.
TIPUS DE MATRIUS :

9.
•Continuant amb les matrius quadrades :
•Matriu escalar: Una matriu escalar és una matriu diagonal en
la que els elements de la diagonal principal són iguals.
•Matriu identitat o unitat Una matriu identitat és una matriu
diagonal en la que els elements de la diagonal principal són
iguals a 1.
•La representem amb la lletra I
TIPUS DE MATRIUS :

10.
Donades dues matrius A = (a ij ) i B = (b ij ) de dimensió mxn , la matriu A + B és
una altra matriu S = (s ij ) de la mateixa dimensió, de manera que cada element s ij de la
matriu S , s'obté com: s ij = a ij + b ij . És a dir, perquè dues matrius A i B es puguin
sumar han de tenir la mateixa dimensió i, en aquest cas, es sumen els elements que ocupen la
mateixa posició.
OPERACIONS AMB LES MATRIUS :
SUMA DE MATRIUS

11.
Propietats de la suma de matrius :Propietats de la suma de matrius :
1. Estable o interna : La suma de dos matrius de dimensió m x n és una
altra matriu de dimensió m x n. A, B Mm×n A + B Mm×n∀ ∈ ∈
2. Associativa : A, B, C Mm×n (A + B) + C = A + (B + C)∀ ∈
3. Element neutre o matriu nul·la. És aquella que té tots els seus
elements nuls. A Mm×n, 0 Mm×n / A + 0 = A∀ ∈ ∃ ∈
4. Element oposat o simètric : La oposada de la matriu A és -A i s'obté
canviant de signe tots els elements de la matriu A: - (a ij ) = (-a ij )
∀A Mm×n, -A Mm×n / A + (-A) = (-A) + A = 0∈ ∃ ∈
5. Commutativa A, B Mm×n A + B = B + A∀ ∈

12.
La diferència de matrius és un cas particular de la suma. Restar dues matrius és el mateix que
sumar a la primera l'oposada de la segona: A - B = A + (-B) .
Donades dues matrius A = (a ij ) i B = (b ij ) de dimensió mxn , la
matriu A - B és una altra matriu D= (d ij ) de la mateixa dimensió, de
manera que cada element d ij de la matriu D , s'obté com: d ij = a ij - b ij .
DIFERÈNCIA O RESTA DE MATRIUS :

13.
EXEMPLES :

14.
Donat un nombre real k i una matriu A = (a ij ) de dimensió mxn , es defineix el
producte del nombre real k per la matriu A , com una altra matriu P = (p ij ) de la
mateixa dimensió que A , de manera que cada element p ij de P s'obté com: p ij = ca ij
PRODUCTE D’UNA MATRIU PER UN ESCALAR (UN
NOMBRE REAL)

15.
Siguin ∀ A i B M∈ m×n ( és a dir, de la mateixa dimensió ) i ∀ α i β ϵ ℝ. Es verifica:
1a Distributiva respecte de la suma de matrius : α·(A + B) = α·A + α·B
2a Distributiva respecte de la suma de nombres reals : (α + β)·A = α·A + β·A
3a Associativa mixta (entre nombres i matrius) : (α·β)·A = α·(β·A)
4a Element neutre o element unitat: 1 ( 1 ϵ ℝ) 1·A = A
El conjunt Mm×n amb la suma i el producte per
un escalar
forma un Espai Vectorial (Mm×n , + , .)

16.
En cursos anteriors s'ha estudiat el producte escalar de vectors, que en el cas de R 2
, es definia
de la manera següent:
Si u = (a, b) i v = (c, d) són dos vectors, el seu producte escalar és:
u. v = a. c + b. d .
De forma anàloga, es pot definir el producte d'una matriu fila per una matriu columna :
És evident que el
nombre d'elements
de la matriu fila ha
de ser igual al
nombre d'elements
de la matriu columna
PRODUCTE D’UNA MATRIUS FILA PER UNA
MATRIU COLUMNA

17.
El producte de matrius no està definit en tots els casos. Perquè dues matrius es puguin
multiplicar cal que el nombre de columnes de la primera matriu coincideixi amb
el nombre de files de la segona matriu, és a dir, si la matriu A = (a ij ) té dimensió mxn
i la matriu B = ( b ij ) té dimensió pxq , perquè es pugui efectuar el producte A. B cal
que n = p
D'altra banda, la matriu producte P = (p ij ) tindrà per dimensió m x q , és a dir,
el nombre de files de la matriu A i el nombre de columnes de la matriu B . Cada
element p ij de la matriu P s'obté multiplicant la fila i de la matriu A per la columna j de
la matriu B , seguint el procediment descrit en el punt anterior.
PRODUCTE DE MATRIUS

18.
PRODUCTE DE MATRIUS

19.
Exemple 2 :
Exemple
1 :
PRODUCTE DE MATRIUS

20.
Siguin ∀ A, B i C matrius tal que sempre sigui possible efectuar els productes indicats, d'acord
amb la condició anterior, es verifica :
1a Associativa : (A·B)·C = A·(B·C)
2a Element neutre : I (matriu identitat o unitat) A·I = I·A = A
3a Distributiva respecte de la suma de matrius : A·(B + C) = A·B + A·C
4a El producte de matrius no és, en general, commutatiu : A. B ≠ B. A
5a Matriu Inversa : Donada una matriu quadrada A, si hi ha una altra matriu B que
verifiqui A·B = B·A = I (matriu identitat), llavors es diu que B és la matriu inversa de A i es
representa per A -1
A·A -1
= A -1
·A = I
PROPIETATS DEL PRODUCTE DE MATRIUS

21.
PRODUCTE DE MATRIUS :

22.
MÉS OPERACIONS AMB LES MATRIUS :

23.
MÉS OPERACIONS AMB MATRIUS :
•Després de definir les operacions amb matrius, les matrius quadrades
que compleixen una sèrie de condicions, reben els següents noms :
Matriu idempotent : Una matriu A és idempotent si A2
= A
Matriu involutiva : Una matriu A és involutiva si A2
= I.
Matriu ortogonal : Una matriu és ortogonal si verifica que A · At
= I

24.
Matriu simètrica : Una matriu simètrica és una matriu quadrada que verifica
A = At
En les matrius simètriques, la diagonal actua de mirall i tenen la
forma següent
Matriu antisimètrica : Una matriu antisimètrica és una matriu quadrada que
verifica: A = −At
. Les matrius antisimètriques tenen nuls tots els elements
que són de la diagonal principal

25.
MATRIU INVERSA
Tres mètodes per calcular la inversa :
•Directament
•Mètode de Gauss- Jordan
•Utilitzant determinants

26.
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA DIRECTAMENT

27.
Sigui A una matriu quadrada d’ordre n. Per calcular la matriu
inversa d’A, que denominarem per A−1
, seguirem els passos
següents :
a) Construir una matriu del tipus M = (A | I),és a dir, A està en
la meitat esquerra de M i la matriu identitat I a la dreta
 b) Fent transformacions elementals entre les files fins obtenir a
la meitat esquerra la matriu identitat
C) La matriu obtinguda a la meitat dreta serà la inversa de la
matriu A
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT EL MÈTODE DE
GAUSS – JORDAN

28.
Exemple del càlcul de la inversa d’A pel mètode de
Gauss-Jordan
Considerem una matriu 3x3 arbitrària:
L’ampliem amb la matriu identitat d’orde 3.

29.
Fent transformacions elementals a la matriu M de manera que la banda esquerra ens
quedi la matriu Identitat.
En aquest moment, la matriu de la dreta serà matriu inversa d’A
 F1 = F1 + F2
 F2 = (−1) F2
La matriu inversa d’A és

30.
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA PEL MÈTODE
DE GAUSS-JORDAN

31.
Un altre exemple :

32.
MATRIU INVERSA
•Definició : Es defineix la matriu inversa de la matriu quadrada A a la matriu A-1
que compleix A · A−1
= A−1
·
A = I
•Teorema: Unicitat de la inversa. Si la inversa d’A existeix, aquesta és única
•Es compleixen les següents propietats :
1) (A · B)−1
= B−1
· A−1 Demostració :
•2) (At
)−1
= (A−1
)t
• Demostració :
•3)(A−1
)−1
= A
•
•4)(k · A)−1
= k−1
· A−1

33.
En general, un conjunt de vectors és linealment
independent quan cap d'ells es pot escriure com a
combinació lineal dels restants i és linealment
dependent quan succeeix el contrari, és a dir, quan
algun d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels
altres.

34.
En una matriu es pot considerar que les files (o les columnes) són vectors.
Es diu rang d'una matriu A al nombre de files (o columnes) linealment
independents . Es representa per rg (A) .
En qualsevol matriu el nombre de files linealment independents coincideix amb el nombre de
columnes linealment independents. El valor màxim que pot tenir el rang d'una matriu és el
menor dels números corresponents al nombre de files i columnes, és a dir, si una matriu té
dimensió 3 x 5, el valor màxim que pot assolir el rang d'aquesta matriu és 3 (doncs 3 =
mínim {3, 5}).
La matriu A té rang 3 ja que cap fila o
columna es pot posar com a combinació lineal
de les restants.
En canvi, la matriu B té rang 2 , ja que les
dues primeres files no són proporcionals, però
la tercera fila és igual a la segona fila menys el
doble de la primera fila, de manera que no pot
tenir rang 3 , ja que la tercera fila és
combinació lineal de les altres dues.
RANG D’UNA MATRIU :

35.
RANG D’UNA MATRIU :
Matriu reduïda o escalonada : Donada una matriu A, es pot reduir o
aconseguir una matriu escalonada de l’anterior utilitzant transformacions
elementals, com per exemple, la matriu reduïda d’A és
Transformacions elementals :
Hi ha tres coses que podem realitzar amb una matriu per aconseguir una
d’escalonada que serà equivalent a l’anterior
•Intercanviar de posició dues files entre sí
•Multiplicar una fila per un número
•Sumar una fila un múltiple d’una altra

36.
•Donat que les transformacions elementals entre les files no són més que
combinacions lineals i sabent que :
-Una línia és linealment dependent d’una altra o altres si es pot establir una
combinació lineal entre elles.
-Una línia és linealment independent d’una altra o d’altres quan no es pot
establir una combinació lineal entre elles
RANG D’UNA MATRIU :
Segons això :
Podrem calcular el rang d’una matriu de tres formes diferents :
•El rang d’una matriu serà el número de files (o columnes) linealment independents
•El rang d’una matriu serà el número de files no nul·les de la matriu reduïda o
escalonada (Mètode de Gauss)
•I també el podrem calcular amb l´ús de determinants !!!
.

37.
CÀLCUL DEL RANG D’UNA MATRIU MITJANÇANT GAUSS :

38.
CÀLCUL DEL RANG D’UNA MATRIU MITJANÇANT GAUSS :

39.
El rang de la matriu
és 2 ja que té 2 files
no nul·les

40.
El rang de la matriu
és 3, ja que té 3 files
no nul·les que
corresponent a 3
vectors linealment
independents

41.
Exemples de càlcul de rangs de matrius
mitjançant matrius escalonades:

42.
Podrem descartar una línia si:
1 Tots els seus coeficient són zeros .
2 Hi ha dues línies iguals.
3 És proporcional a una altra.
 4 Una línia és combinació lineal d’altres.
Exemple :
F3 = 2F1
F4 és nul·la A=
F5 = 2F2 + F1
 Rang A=2
RANG D’UNA MATRIU :

43.
ELS DETERMINANTS :

44.
DETERMINANTS D’ORDRE 2:

45.
ELS DETERMINANTS D’ORDRE 3

46.
LES PROPIETATS DELS DETERMINANTS :

47.
LES PROPIETATS DELS DETERMINANTS :

48.
LES PROPIETATS DELS DETERMINANTS :

49.
MENOR COMPLEMENTARI D’UN ELEMENT I ADJUNT
D’UN ELEMENT

50.
CÀLCUL D’UN DETERMINANT PER ADJUNTS :

51.
CÀLCUL D’UN DETERMINANT PER ADJUNTS :

52.
CÀLCUL D’UN DETERMINANT PER ADJUNTS :

53.
MENOR D’UNA MATRIU

54.
CÀLCUL DEL RANG MITJANÇANT DETERMINANTS

55.
Mètode d’orlar :Mètode d’orlar : Una manera ràpida per calcular
rangs de matrius mitjançant menors ampliats
 Si un menor d’ordre k se li afegeix una fila i una columna, s’obté un
determinant d’ordre k+1. Aquest determinant s’anomena MENOR ORLAT.
Emprem el verb orlar en el sentit d’ampliar un menor en la forma descrita.
 Aquest mètode permet saber de manera ràpida el rang d’una matriu, ja
que : si, quan orlem un menor d’ordre k no nul d’una matriu, tots els
menors d’ordre k+1 que s’obtenen són nuls, el rang de la matriu és k

56.
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT
DETERMINANTS

57.
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT
DETERMINANTS

58.
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT
DETERMINANTS

59.
CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA MITJANÇANT
DETERMINANTS