En aquest document trobareu tota la informació relacionada amb les funcions contínues i derivables. Exercicis resolts i apliacacions d'aquestes propietats així com els teormes més importants que hi estan relacionats, com ara el de Bolzano, el de Rolle, el de Cauchy i el de Lagrange.

1. FUNCIONS CONTÍNUES I
DERIVABLES
Teoremes
• Dels valors intermedis
• Bolzano
• Rolle
• Valor mitjà ( de Lagrange)
• Cauchy
Per Mònica Orpí i Mañé

2. 1. FUNCIONS CONTÍNUES
2. PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES
3. MÀXIMS I MÍNIMS ABSOLUTS D’UNA FUNCIÓ
4. FUNCIONS DERIVABLES
5. PROPIETATS DE LES FUNCIONS DERIVABLES
6. LA SEGONA DERIVADA
7. LA DERIVADA I EL CÀLCUL DE LÍMITS – LA REGLA DE L’HÔPITAL

3. 1. LES FUNCIONS CONTÍNUES

7. LES OPERACIONS I LES FUNCIONS CONTÍNUES
LES FUNCIONS POLINÒMIQUES SÓN CONTÍNUES A TOT ℝ
LES FUNCIONS EXPONENCIALS f(x)= 𝑎 𝑥 a>1 SÓN CONTÍNUES A TOT ℝ
LES FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES f(x)=sin x i g(x)=cos x SÓN CONTÍNUES A TOT ℝ
LA SUMA I EL PRODUCTE DE FUNCIONS CONTÍNUES SÓN CONTÍNUES.
AIXÍ PODEM AFIRMAR QUE : f(x)=𝑒 𝑥
𝑠𝑖𝑛2
𝑥, 𝑔 𝑥 = −3 cos 𝑥 · 2 𝑥
i h x = x3
− x e−1
SÓN CONTÍNUES

9. SÓN CONTÍNUES EN TOT EL SEU DOMINI
f(x)= 2 𝑥 és contínua a tot ℝ f(x)=Ln x és contínua en (0,+∞)

11. CONTINUÏTAT EN LA COMPOSICIÓ DE FUNCIONS :
EXEMPLE : f(x)= 𝑒 𝑥 i g(x)=
3
𝑥−1
•f(x) és contínua a tot ℝ
•g(x) és contínua a ℝ − 1
•f ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 = 𝑓(
3
𝑥−1
)=𝑒
3
𝑥−1 el domini de la qual és ℝ − 1
•g ∘ 𝑓 𝑥 = g(f x = g(𝑒 𝑥)=
3
𝑒 𝑥−1
el domini de la qual és ℝ − 0
CONCLUSIÓ :
PER ESTABLIR LA CONTINUÏTAT DE DUES FUNCIONS QUE FEM LA SEVA
COMPOSICIÓ, CAL ESTUDIAR CADA CAS DE MANERA PARTICULAR

12. 2. PROPIETATS DE LES FUNCIONS
CONTÍNUES

13. SI UNA PERSONA TÉ UNA TALLA DE 170 cm
ALS 18 ANYS I ALS 10, TÉ UNA TALLA DE
150 cm, SEGUR QUE EN ALGUN MOMENT,
ENTRE ELS 10 I 18 ANYS HA TINGUT UNA
TALLA DE 160 cm

16. EL TEOREMA DE BOLZANO ÉS
UNA CONSEQÜÈNCIA DIRECTA
DEL TEOREMA DELS VALORS
INTERMEDIS, DE FET ÉS UN CAS
PARTICULAR JA QUE SI
f(a)·f(b)<0 IMPLICA QUE O BÉ
f(a)<0<f(b) O BÉ QUE
f(b)<0<f(a) I LLAVORS ÉS EL
TEOREMA DELS VALORS
INTERMEDIS PRENENT K=0

17. Bernard Bolzano
Filòsof, matemàtic i teòleg
Praga 1781 – Praga 1848
Als divuit anys va escriure “El meu plaer especial per les
matemàtiques”. Va destacar en lògica i Teoria del
coneixement, oposant-se fins i tot a Kant. L’any 1818 va
ser elegit degà de la facultat de filosofia, però la seva
confrontació amb les autoritats van provocar el cessament
temporal del càrrec. Malgrat el suport eclesiàstic va ser
cessat definitivament en 1824.
En anàlisi matemàtic destaca pel seu teorema:
“ Si f és contínua en [a,b] i f(a) i f(b) tenen signes oposats
→ Existeix almenys un c Є ]a,b[ tal que f(c) = 0”

20. EXEMPLE 1 A:
COMPROVA QUE LA FUNCIÓ f(x)=2𝑥3
− 3𝑥2
− 5𝑥 + 4 TÉ UN ZERO O TÉ UNA ARREL
EN L′INTERVAL 2,3 . TROBA UN VALOR APROXIMAT A LES CENTÈSSIMES DE c∈ 2,3 TAL
QUE f(c)=0
RESOLUCIÓ 1A :
Si féssim un primer esbós de la gràfica, sabent que és un polinomi de 3r grau amb coeficient
positiu, veuríem que les branques fan quelcom :
Observem que aquesta funció verifica les
condicions de l’enunciat :
• És contínua en [2,3] ja que és una funció
polinòmica i per tant és contínua a tot el
conjunt dels reals
• f(2)= -2 i f(3)=16 i per tant f(2)· f(3)<0
• Això vol dir que existeix un punt c∈ [2,3] tal
que f(c)=0.
• Però com el trobem ?
c

21. Segons això també podem veure que està més a prop de 2que de 2’5, per tant serà
més fácil que es trobi entre l’interval [2,2’25] que en l’interval [2’25,2’5].
Comprovem-ho !!
f(2’25)=+0’34 i com que f(2)=-2 . Acabem de veure c∈ [2,2’25]
També podem observar que c estarà més a prop de 2’25 que no pas del 2 i per tant,
podem tornar a biseccionar l’interval i comprovar que l’arrel c estarà en [2,125,2,25]
f(2,125)=-0’9805 i com f(2’25)=+0’34, ja ho sabem segur.
Però com hem d’assegurar dos decimals, ja que hem d’aproximar a les centèsimes,
ara només sabem que serà o bé 2’1 o bé 2’2 però tenim la certesa que estarà més a
prop de 2’25 per tant, mirem a prop d’aquest interval, per exemple [2’22,2’23]
BISECCIONEM L’INTERVAL EN DOS SUBINTERVALS
IGUALS!!

22. EXEMPLE 1B
Exemple 1 B
SOLUCIÓ 1B

23. EXEMPLE 1B
SOLUCIÓ 1B

24. 3. MÀXIMS I MÍNIMS ABSOLUTS D’UNA FUNCIÓ
EN UN INTERVAL (tancat !!)

26. a) 𝑥0 no és un màxim ja que no és contínua,
hi ha punts a l’esquerra que sempre
prendran un valor més gran però no podem
dir quin és . Tot i que sí té un mínim, x=a,
però no podem assegurar l’existència dels
dos, del màxim i del mínim
b) No hi ha cap màxim en l’interval [0,1] ja
que punts a la dreta del 0 que sempre
prendran un valor més gran però no podem
dir quin és . Tot i que sí té un mínim, x=1,
però no podem assegurar l’existència dels
dos, del màxim i del mínim

27. 4. FUNCIONS DERIVABLES
1. 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖
2. f contínua en 𝑥0
3. ∃f ‘ ( 𝑥0)∈ ℝ

30. Recorda : Un punt
estacionari és aquell
en què la recta
tangent a la corba és
paral·lela a l’eix OX i,
per tant, el seu
pendent és 0

31. c d
f ‘ + 0 - 0 +
f MÀX MÍN

32. 0
f ‘ + 0 +
f PUNT INFLEXIÓ

34. 5. PROPIETATS DE LES FUNCIONS
DERIVABLES
Cauchy

36. També anomenat Teorema de Lagrange
Aquest teorema
m’assegura l'existència
d’un punt en (a,b) tal
que la tangent és
paral·lela a la secant
de la gràfic que passa
per (a,f(a)) i (b,f(b))

38. De pare militar de bona posició social, però que es va arruïnar especulant.
L’entusiasme de Lagrange per la ciència es va despertar després de llegir una
obra de l’astrònom Edmund Halley, als disset anys, quan estudiava en la
Universitat de Torí. Als dinou anys, amb una carta a Leonart Euler, resol un
problema, que portava mig segle de discussió, mitjançant el càlcul de
Variacions. Aquest treball, amb la protecció d’Euler, el va portar a la primera
línia dels matemàtics.
Treballà en Berlín, on va ser el favorit de Frederic II, rei de Prússia,
que el va qualificar com el matemàtic més gran d’Europa.
Estudiava la seva ment i el seu cos com si fossin màquines i trobà la quantitat
exacta de feina que podia fer sense perdre la salut.
En morir el rei Frederic, va acceptar l’oferta de Lluís XVI de França i va
emigrar a París. Va ser tractat amb distinció, fins i tot després amb la
Revolució Francesa; no només va salvar la vida sinó que se’l va respectar i
omplir d’honors i distincions tant pels revolucionaris, com després per Napoleó.
De la seva extensa obra cal destacar el Teorema del Valor Mitjà:
Si f és contínua en [a,b] i derivable en ]a,b[, aleshores existeix almenys
un punt c de l’interior de l’interval tal que f(b) – f(a) = (b – a) f’(c)
Joseph- Louis de
Lagrange
Torí (Itàlia) 1736 – París 1813
Físic, matemàtic i astrònom

43. TEOREMA DE CAUCHY:
Si f(x) i g(x) són dues funcions contínues en [a,b] i derivables en (a,b), aleshores existeix un
punt c𝜖 𝑎, 𝑏 pel qual es verifica:
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
𝑔 𝑏 −𝑔 𝑎
=
𝑓′(𝑐)
𝑔′(𝑐)
Cal que g(a)≠ 𝑔 𝑏 𝑖 𝑔′(𝑐) ≠ 0

44. Augustin Louis Cauchy
Matemàtic
París 1789 – París 1857
Fou el primer en la teoria de la permutació de grups.
Va investigar la convergència de sèries infinites,
equacions diferencials, determinants, probabilitat i
física matemàtica.
Publica la memòria de la integral definida. Precisa els
conceptes de funció, límit i continuïtat.
Cal destacar el Teorema que porta el seu nom:
“Si f i g són dues funcions contínues en [a,b],
derivables en ]a,b[ , les seves derivades no
s’anul·len simultàniament en cap punt de l’interval
obert i g(a) ≠ g(b). Aleshores existeix un punt c de
l’interior de l’interval tal que
[f(b)-f(a)]·g’(c)= [g(b)-g(a)]·f’(c)”

45. 6. LA SEGONA DERIVADA

47. CONCAVITAT I CONVEXITAT I LA 2ª DERIVADA :
f(x) és convexa en un interval si f’’(x)<0 per tot l’interval
f(x) és còncava en un interval si f’’(x)>0 per tot l’interval
Si f’’(x) és contínua en l’interval considerat, en pasar de positiva a negativa caldrà que hi
hagi un punt en què sigui 0. En aquest punt és on canvia la concavitat de la gràfica de la
funció. Aquest punt s’anomena punt d’inflexió
Si f’’(𝒙 𝒐) = 𝟎, vol dir que en x=𝒙 𝒐 hi ha un punt d’inflexió i la gràfica canvia la seva
concavitat

48. INTERVALS DE CREIXEMENT :
DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL
QUAN COMPLEIX QUE :
 Recorda que la derivada d’una funció y=f(x)
en un punt x indica la pendent de la recta
tangent en aquest punt.
 Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent positiva, la funció és
creixent en aquest punts
 Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent

49. INTERVALS DE DECREIXEMENT :
DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN
INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funció y=f(x) en
un punt x indica la pendent de la recta tangent en
aquest punt.
 Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent negativa, la funció és
decreixent en aquest punts
 Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent

50. PUNTS ESTACIONARIS O SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA
QUE TENEN PENDENT HORITZONTAL. COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER
AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.
x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0
Hi ha tres casos :
 El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu
f’(𝑐1) = 0
 El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent
horitzontal
f’(𝑐2) = 0
 El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu
f’(𝑐3) = 0

51. Màxim relatiu Mínim relatiu

52. PUNTS D’INFLEXIÓ DE TANGENT HORITZONTAL
Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés

53. EXEMPLE : ESTUDI DE LA MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ
ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGULARS DE
Conclusió obtinguda de la taula *:
 La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1
La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)
Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)
Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)
 Observem que el domini és (-∞, +∞)
 I donat que és polinòmica és contínua
en (-∞, +∞)
 Calculem primer els punts on s’anul·la la
derivada i localitzem els punts singulars
• Estudiem el signe que
tindrà la derivada en
els intervals que
determinen els punts
singulars
*

54. ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ :
Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informació
sobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,
que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació de
f’(x)
Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ens
informa que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)
està per sobre de les seves tangent (ja que les pendents
passen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). En
aquest cas direm que f és còncava
En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es
tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i
direm que f(x) és convexa
o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪
o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩

55. EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR
MÀXIM I MÍNIMS :
També podem detectar que un punt singular és un màxim o
un mínim amb el test de la 2a derivada
Si f’(a)=0 i f’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a
Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a

56. EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR
PUNTS D’INFLEXIÓ:
x=a és un punt d’inflexió PI de f(x) si
en aquell punt on la corba canvia de
curvatura
f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.
Si a més, tenim que f’(a)=0 i f’’(a)=0
aleshores diem que en x=a f presenta
un punt d’inflexió de tangent
horitzontal

57. Còncava : la corba de
f(x) està per sobre de
les seves tangent
Convexa : la corba de
f(x) està per sota de
les seves tangent

58. EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).
COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DEL
GRÀFIC A, B, C, D I E :

59. Solució :
A= (a,f(a)) B=(b,f(b)) C=(c,f(c)) D=(d, f(d)) E=(e, f(e))
f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangent
horitzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava
f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendent
positiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa
f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja que
és convexa
f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè és
convexa (podria ser el PI, ja que f(x) passa de convexa a
còncava i, en aquest cas f’’(d)=0 )
f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava

61. Donat que f’’(x)=12x trobem un punt d’inflexió en x=0
Per trovar les ordenades dels punts caldrà substituir-los en la funció
f(2)=-26 f(-2)=38 i f(0)=6
(2,-26) Mínim relatiu
(-2,38) Màxim relatiu
(0,6) Punt d’inflexió
Tenint en compte on estn els màxims i mínims relatius podem deduir que :
f(x) és convexa en (-∞, 0)
f(x) és cóncava en (0,+ ∞)
-2 0 2
f’ + 0 - - 0 +
f’’ - 0 +
f MÀXIM P.I MÍNIM
∪∪