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1. Cinématique du point 1ère année Sciences et techniques 1 Série TD N°2 : Cinématique du point Par : Pr. Mehdi El Amine

2. 2 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point 7) Déterminer l’expression de 𝑠(𝑡) avec 𝑠(0) = 0

3. 3 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point 1) Exprimer le vecteur position 𝑶𝑴 dans le référentiel 𝑹(𝑶, i, j , 𝒌 ) 𝑂𝑀 = 𝑥 i + 𝑦 j + 𝑧 k 𝑶𝑴 = 𝑹 𝐜𝐨𝐬 𝜽 i + 𝑹 𝐬𝐢𝐧 𝜽 j + 𝒉𝜽k 2) Calculer la vitesse 𝑽 𝑴 et l’accélération 𝜸 𝑴 de 𝑴 par rapport au référentiel 𝑹  Vitesse 𝑽 𝑴 Dans la base cartésienne, le vecteur vitesse s’exprime par : 𝑉 𝑀 = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 𝑅 = 𝑥i + 𝑦j + 𝑧k = 𝑑 𝑅 cos 𝜃 𝑑𝑡 i + 𝑑 𝑅 sin 𝜃 𝑑𝑡 j + 𝑑 ℎ𝜃 𝑑𝑡 k 𝑽 𝑴 = −𝑹𝝎𝐬𝐢𝐧 𝜽 i + 𝑹𝝎𝐜𝐨𝐬 𝜽 j + 𝒉𝝎 k

4. 4 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point  Accélération 𝜸 𝑴 Dans la base cartésienne, le vecteur accélération s’exprime par : 𝛾 𝑀 = 𝑥i + 𝑦j + 𝑧k = ) 𝑑(−𝑅𝜔sin 𝜃 𝑑𝑡 i + ) 𝑑(𝑅𝜔cos 𝜃 𝑑𝑡 j + ) 𝑑(ℎ𝜔 𝑑𝑡 k = −𝑅𝜔2 cos 𝜃 i − 𝑅𝜔2 sin 𝜃j 𝜸 𝑴 = −𝑹𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 i + 𝐬𝐢𝐧 𝜽j = 𝑉 𝑥i + 𝑉 𝑦j + 𝑉 𝑧k

5. 5 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) En déduire les normes de ces vecteurs  Norme de 𝑽 𝑴 On a ∶ 𝑉 𝑀 = −𝑅𝜔sin 𝜃 i + 𝑅𝜔cos 𝜃 j + ℎ𝜔 k Donc ∶ 𝑉 𝑀 = −𝑅𝜔sin 𝜃 2 + 𝑅𝜔cos 𝜃 2 + ℎ𝜔 2 = 𝑅2𝜔2sin2 𝜃 + 𝑅2𝜔2cos2 𝜃 + ℎ2𝜔2 = 𝑅2𝜔2 sin2 𝜃 + cos2 𝜃 + ℎ2𝜔2 = 𝑅2𝜔2 + ℎ2𝜔2 𝑽 𝑴 = 𝝎 𝑹𝟐 + 𝒉𝟐 𝜔 est positif donc : 𝜔 = 𝜔 = 𝜔 𝑅2 + ℎ2

6. 6 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point  Norme de 𝜸 𝑴 On a trouvé que ∶ 𝛾 𝑀 = −𝑅𝜔2cos 𝜃 i − 𝑅𝜔2sin 𝜃j Donc ∶ 𝛾 𝑀 = −𝑅𝜔2cos 𝜃 2 + −𝑅𝜔2sin 𝜃 2 = 𝑅2𝜔4cos2 𝜃 + 𝑅2𝜔4sin2 𝜃 = 𝑅2𝜔4 cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 𝑅2𝜔4 = 𝑅 . 𝜔2 R est positif donc : 𝑅 = 𝑅 𝜸 𝑴 = 𝑹𝝎𝟐

7. 7 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Exprimer le vecteur position 𝑂𝑀 dans 𝑹′ (𝑶, 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 , 𝒌 ) D’après la figure ci-dessus, qui illustre les coordonnées cylindriques, nous avons : 𝑂𝑀 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝑀 = 𝑟𝑒𝑟 + 𝑧𝑘 𝑶𝑴 = 𝑹𝒆𝒓 + 𝒉𝜽𝒌 𝑟 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅 𝑧 = ℎ𝜃

8. 8 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point 5) Exprimer la vitesse 𝑉 𝑀 et l’accélération 𝛾 𝑀 de M dans le référentiel 𝑅′ (𝑂, 𝑒𝑟, 𝑒𝜃 , 𝑘 )  Expression de 𝑉 𝑀 dans le référentiel 𝑅′(𝑂, 𝑒𝑟, 𝑒𝜃 , 𝑘 ) Remarque : dans cet exercice, nous voulons calculer la vitesse/accélération de M par rapport au repère R mais exprimé dans le repère R’(en fonction des vecteurs de la base de R’) Dans la base cylindrique, le vecteur vitesse s’exprime par : Et on sait que : 𝑉 𝑀 = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 𝑅 = 𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝜃𝑒𝜃 + 𝑧𝑘 𝑟 = 𝑅 = 0 Car R est constant 𝑟𝜃 = 𝑅𝜔 𝑧 = ℎ𝜔 Ainsi : 𝑽 𝑴 = 𝑹𝝎𝒆𝜽 + 𝒉𝝎𝒌

9. 9 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point  Expression de 𝛾 𝑀 dans le référentiel 𝑅′(𝑂, 𝑒𝑟, 𝑒𝜃 , 𝑘 ) 𝜸 𝑴 = −𝑹𝝎𝟐𝒆𝒓 Dans la base cylindrique, le vecteur accélération s’exprime par : Et on sait que : 𝛾 𝑀 = 𝑑𝑉 𝑀 𝑑𝑡 𝑅 = 𝑟 − 𝑟𝜃2 𝑒𝑟 + 𝑟𝜃 + 2𝑟𝜃 𝑒𝜃 + 𝑧𝑘 𝑟 − 𝑟𝜃2 = 0 − 𝑅𝜔2 𝑟𝜃 + 2𝑟𝜃 = 0 𝑧 = 𝑑 ℎ𝜔 𝑑𝑡 Ainsi : = −𝑅𝜔2 = 0

10. 10 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point 6) Trouver les expressions de la vitesse 𝑉 𝑀 et de l’accélération 𝛾 𝑀 dans le repère de Frenet 𝑅′′(𝑀; 𝑇, 𝑁, 𝐵) et en déduire le rayon de courbure 𝜌 de la trajectoire Remarque : dans cet exercice, nous voulons calculer la vitesse/accélération de M par rapport au repère R mais exprimé dans le repère R’’(en fonction des vecteurs de la base de Frenet)  Expression de 𝑉 𝑀 dans le référentiel 𝑅′ (𝑂, 𝑒𝑟, 𝑒𝜃 , 𝑘 ) D’après le cours, le vecteur vitesse s’exprime dans le repère de Frenet par : 𝑉 𝑀 = 𝑉 𝑀 𝑇 𝑽 𝑴 = 𝝎 𝑹𝟐 + 𝒉𝟐 𝑻

11. 11 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point  Expression de 𝛾 𝑀 dans le référentiel 𝑅′(𝑂, 𝑒𝑟, 𝑒𝜃 , 𝑘 ) D’après le cours, le vecteur accélération s’exprime dans le repère de Frenet par : 𝛾 𝑀 = 𝑑 𝑉 𝑀 𝑑𝑡 𝑇 + 𝑉 𝑀 2 𝜌 𝑁 𝜸𝑻 𝜸𝑵 On a : 𝛾𝑇 = 𝑑 𝜔 𝑅2 + ℎ2 𝑑𝑡 = 0 𝜔 𝑅2 + ℎ2 est une constante car 𝜔, 𝑅 et ℎ sont des constantes On a : 𝛾𝑁 = 𝑉 𝑀 2 𝜌 Mais on connait pas encore le rayon de courbure 𝜌

12. 12 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point  Expression de 𝛾 𝑀 dans le référentiel 𝑅′(𝑂, 𝑒𝑟, 𝑒𝜃 , 𝑘 ) Nous allons trouver 𝛾𝑇 avec une autre méthode : On sait que 𝛾 𝑀 = 𝛾𝑇 𝑇 + 𝛾𝑁𝑁 𝑑𝑜𝑛𝑐 ∶ 𝛾 𝑀 = 𝛾𝑇 2 + 𝛾𝑁 2 donc : 𝛾𝑁 = 𝛾 𝑀 2 − 𝛾𝑇 2 Ainsi : 𝛾𝑁 = 𝑅2𝜔4 − 0 R est positif donc : 𝑅 = 𝑅 Ainsi : 𝜸 𝑴 = 𝑹𝝎𝟐 𝑵 = 𝑅 𝜔2 = 𝑅𝜔2

13. 13 Exercice 1 : Série TD N°2 : Cinématique du point  Déduire le rayon de courbure 𝜌 de la trajectoire D’après le cours, on sait que : 𝛾𝑁 = 𝑉 𝑀 2 𝜌 Or, nous avons trouvé dans la question précédente 𝛾𝑁 = 𝑅𝜔2 Donc 𝑉 𝑀 2 𝜌 = 𝑅𝜔2 Ainsi : 𝜌 = 𝑉 𝑀 2 𝑅𝜔2 = 𝜔2 𝑅2 + ℎ2 𝑅𝜔2 = 𝑅2 + ℎ2 𝑅 Donc : 𝝆 = 𝑹𝟐+𝒉𝟐 𝑹

14. Exercice 1 : 14 Série TD N°2 : Cinématique du point 7) Déterminer l’expression de 𝒔(𝒕) avec 𝒔(𝟎) = 𝟎 On sait que : 𝑉 𝑀 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 Avec 𝑆 l’abscisse curviligne Donc : 𝑑𝑆 = 𝑉 𝑀 𝑑𝑡 = 𝜔 𝑅2 + ℎ2𝑑𝑡 Ainsi : 𝑆 𝑡 = 𝜔 𝑅2 + ℎ2𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝜔 𝑅2 + ℎ2𝑡 + 𝐶 Avec 𝐶 une constance À 𝑡 = 0 on a 𝑆(0) = 0 donc : 𝐶 = 0 Donc : 𝑺 𝒕 = 𝝎 𝑹𝟐 + 𝒉𝟐𝒕

15. 15 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 𝜃

16. 16 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 1) Déterminer les équations paramétriques des coordonnées polaires 𝒓(𝒕) et 𝜽 𝒕 (on prend 𝒓(𝒕) = 𝟎 et 𝜽(𝒕) = 𝟎). 𝑑𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑉0 𝑴 avance à vitesse constante 𝑽𝟎 le long d’une tige, donc : 𝑟 𝑡 = 𝑉0𝑑𝑡 + 𝐶 ⟹ À 𝑡 = 0 on a 𝑟 0 = 0 Donc : = 𝑉0𝑡 + 𝐶 𝐶 = 0 La tige tourne à vitesse angulaire 𝝎 constante : 𝑑𝜃(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜔 ⟹ 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑑𝑡 + 𝐾 ⟹ 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝐾 À 𝑡 = 0 on a 𝜔 0 = 0 Donc : 𝐾 = 0 𝜽(𝒕) = 𝝎𝒕 𝒓(𝒕) = 𝑽𝟎𝒕  Équation de 𝒓(𝒕) :  Équation de 𝜽(𝒕) : Une constante Une constante

17. 17 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 2) Quelle est la trajectoire suivie par le point matériel. Donner l’allure de cette trajectoire.  Allure de la trajectoire : 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 𝑟(𝑡) = 𝑉0𝑡 𝑟 = 𝑉0 𝜔 𝜃 𝜽 𝒓 0 0 𝜋 2 𝜋𝑉0 2𝜔 𝜋 𝜋𝑉0 𝜔 3𝜋 2 3 𝜋𝑉0 2𝜔 2𝜋 2 𝜋𝑉0 𝜔 Equations paramétriques : Equation de la trajectoire : D’après cette équation, plus l’angle 𝜃 augmente, plus le point 𝑀 s’éloigne de 𝑂 ⟹ la trajectoire est une spirale 𝜋𝑉0 2𝜔

18. 18 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer la vitesse de 𝑴 en projection sur la base des coordonnées polaires 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 La vitesse du point 𝑀 dans la base polaire : 𝑉 𝑀 = 𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝜃𝑒𝜃 + 𝑧𝑒𝑧 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 𝑟(𝑡) = 𝑉0𝑡 𝑽 𝑴 = 𝑽𝟎𝒆𝒓 + 𝑽𝟎𝝎𝒕𝒆𝜽 = 𝑽𝟎 𝒆𝒓 + 𝝎𝒕𝒆𝜽 4) Déterminer le vecteur 𝑻 tangent à la trajectoire ainsi que le vecteur normal 𝑵 On sait que : 𝑉 𝑀 = 𝑉 𝑀 𝑇 ⟹ 𝑇 = 𝑉 𝑀 𝑉 𝑀 = 𝑉0 𝑒𝑟 + 𝜔𝑡𝑒𝜃 𝑉0 12 + 𝜔2𝑡2 𝑻 = 𝒆𝒓 𝟏 + 𝝎𝟐𝒕𝟐 + 𝝎𝒕𝒆𝜽 𝟏 + 𝝎𝟐𝒕𝟐  Vecteur 𝑻 : Car le mouvement est dans le plan (OXY)

19. 19 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Déterminer le vecteur 𝑻 tangent à la trajectoire ainsi que le vecteur normal 𝑵  Vecteur 𝑵 : 𝑀 𝑻 𝑵 On sait que : 𝑁 = 𝐵 ∧ 𝑇 Déjà déterminé 𝐵 : vecteur unitaire ⊥ au plan formé par 𝑇 et 𝑁 Or , le mouvement se produit sur (𝑂𝑋𝑌) ⟹ Donc 𝑇 et 𝑁 appartiennent au plan (𝑂𝑋𝑌) Donc 𝐵 est le vecteur unitaire ⊥ à (𝑂𝑋𝑌) ⟹ 𝐵 = 𝑒𝑧 Ou 𝐵 = −𝑒𝑧 Or on sait que le trièdre 𝑇, 𝑁 et 𝐵 doit être direct ⟹ 𝑩 = 𝒆𝒛 Dirigé vers le centre de courbure ?

20. 20 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Déterminer le vecteur 𝑻 tangent à la trajectoire ainsi que le vecteur normal 𝑵  Vecteur 𝑵 : 𝑀 𝑻 𝑵 Ainsi : 𝑁 = 𝐵 ∧ 𝑇 𝑁 = 1 1 + 𝜔2𝑡2 0 0 1 ℛ′ ∧ 1 𝜔𝑡 0 ℛ′ 𝑵 = 𝟏 𝟏 + 𝝎𝟐𝒕𝟐 −𝝎𝒕 𝟏 𝟎 𝓡′ ℛ′ 𝑒𝑟, 𝑒𝜃, 𝑒𝑧 : base cylindrique

21. 21 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 5) Calculer l’accélération du point matériel 𝑴 en projection sur 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 . En déduire le rayon de courbure 𝑹𝒄 de la projection en fonction du temps. 𝛾 𝑀 ℛ = 𝑟 − 𝑟𝜃2 𝑒𝑟 + 𝑟𝜃 + 2𝑟𝜃 𝑒𝜃 + 𝑧𝑒𝑧 On sait que : 𝜸 𝑴 𝓡 = −𝑽𝟎𝒕𝝎𝟐 𝒆𝒓 + 𝟐𝑽𝟎𝝎𝒆𝜽 = 𝑽𝟎𝝎 −𝒕𝝎𝒆𝒓 + 𝟐𝒆𝜽 Car le mouvement est dans le plan (OXY)  Accélération du point matériel 𝑴  Rayon de courbure 𝑹𝒄 On sait que : 𝛾 𝑀 ℛ = 𝛾𝑇 + 𝛾𝑁 Ainsi : 𝛾𝑁 = 𝛾 𝑀 2 − 𝛾𝑇 2 𝛾𝑇 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑉0 1 + 𝜔2𝑡2 𝑑𝑡 = 𝑉0𝜔2 𝑡 1 + 𝜔2𝑡2 𝛾 𝑀 = 𝑉0𝜔 𝑡2𝜔2 + 4 𝛾𝑁 = 𝑉0 2 𝜔2 𝑡2𝜔2 + 4 − 𝑉0 2 𝜔4𝑡2 1 + 𝜔2𝑡2 = 𝑉0𝜔 2 + 𝜔2𝑡2 1 + 𝜔2𝑡2 𝜃(𝑡) = 𝜔𝑡 𝑟(𝑡) = 𝑉0𝑡

22. 22 Exercice 4 : Série TD N°2 : Cinématique du point 5) Calculer l’accélération du point matériel 𝑴 en projection sur 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 . En déduire le rayon de courbure 𝑹𝒄 de la projection en fonction du temps.  Rayon de courbure 𝑹𝒄 Or, on sait que : 𝛾𝑁 = 𝑉2 𝑅𝑐 𝑉0 2 1 + 𝜔2𝑡2 𝑅𝑐 = 𝑉0𝜔 2 + 𝜔2𝑡2 1 + 𝜔2𝑡2 ⟹ 𝑅𝑐 = 𝑉0 2 1 + 𝜔2𝑡2 1 + 𝜔2𝑡2 𝑉0𝜔 2 + 𝜔2𝑡2 = 𝑉0𝜔 2 + 𝜔2𝑡2 1 + 𝜔2𝑡2 Expression de 𝛾𝑁 qu’on viens de trouver 𝑹𝒄 = 𝑽𝟎 𝟏 + 𝝎𝟐 𝒕𝟐 𝟑 𝟐 𝝎 𝟐 + 𝝎𝟐𝒕𝟐

23. 23 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point

24. 24 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 1) Quelle sont, à l’instant 𝒕, les coordonnées cartésiennes (𝒙(𝒕) et 𝒚(𝒕)) du point 𝑴 de la périphérie de la roue en fonction de 𝑹 et 𝜽. On sait que : 𝑂𝑀 = 𝑂𝐼 + 𝐼𝐶 + 𝐶𝑀 𝑂𝐼 = 𝑥𝐼𝑒𝑥 = 𝑥𝑐𝑒𝑥 𝐼𝐶 = 𝑅𝑒𝑦 𝐶𝑀 = −𝑅 sin 𝜃 𝑒𝑥 − 𝑅 cos 𝜃 𝑒𝑦 𝑣𝑐 = 𝑑𝑥𝑐 𝑑𝑡 = 𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝑡 ⟹ 𝑑𝑥𝑐 = 𝑅𝑑𝜃 ⟹ 𝑥𝑐 = 𝑅𝑑𝜃 + 𝐶 = 𝑅𝜃 + 𝐶 à l′instant initial, 𝑀 coïncide avec 𝑂 𝑥𝑐 = 0 ⟹ 𝐶 = 0 𝑥𝑐 = 𝑅𝜃 Donc : ⟹ 𝑂𝑀 = 𝑅𝜃𝑒𝑥 + 𝑅𝑒𝑦 − 𝑅 sin 𝜃 𝑒𝑥 − 𝑅cos 𝜃 𝑒𝑦 𝑶𝑴 = 𝑹𝜽 − 𝑹 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒆𝒙 + 𝑹 − 𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒆𝒚 𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕) Une constante = 𝑹 𝜽 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒆𝒙 + 𝑹 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒆𝒚 ⟹ 𝜃 = 0

25. 25 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 2) Quelle est l’allure de la trajectoire suivie par le point 𝑴. Nous considérerons les angles 𝜽 = 𝟎 , 𝝅 𝟐 , 𝝅 , 𝟑𝝅 𝟐 , 𝟐𝝅. On suppose que le mouvement de 𝑪 est uniforme de vitesse 𝒗𝒄 = 𝒗𝟎 𝜽 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 0 0 0 𝜋 2 𝜋 2 − 1 = 0,57𝑅 1𝑅 𝜋 𝜋 = 3,14𝑅 2𝑅 3 𝜋 2 3 𝜋 2 + 1 = 5,71𝑅 1𝑅 2𝜋 2𝜋 = 6,28𝑅 0 𝑥 𝑡 = 𝑅 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑦 𝑡 = 𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅 𝑅

26. 26 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer les composantes 𝑽𝒙 et 𝑽𝒚 de la vitesse et les composantes 𝜸𝒙 et 𝜸𝒚 de l’accélération. On pose 𝝎 = 𝒗𝟎 𝑹 On a déjà trouvé : 𝑂𝑀 = 𝑅 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝑥 + 𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑒𝑦 et : 𝜃 = 𝑣𝑐 𝑅 𝑡 = 𝜔𝑡 𝑂𝑀 = 𝑅 𝜔𝑡 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 On sait que :  Vitesse : 𝑉 𝑀 ℛ = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 ℛ = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 = 𝑑𝑅 𝜔𝑡 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑥 + 𝑑𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑦 = 𝑅 𝜔 − 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑅𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑦 𝑽𝒙 𝑽𝒚 = 𝑅𝜔 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑦

27. 27 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer les composantes 𝑽𝒙 et 𝑽𝒚 de la vitesse et les composantes 𝜸𝒙 et 𝜸𝒚 de l’accélération. On pose 𝝎 = 𝒗𝟎 𝑹 On a déjà trouvé : 𝑉 𝑀 ℛ = 𝑅𝜔 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑦 On sait que :  Accélération : 𝛾 𝑀 ℛ = 𝑑𝑉 𝑀 𝑑𝑡 ℛ = 𝑉 𝑥𝑒𝑥 + 𝑉 𝑦𝑒𝑦 = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑅𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 𝜸𝒙 𝜸𝒚 = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦

28. 28 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Déterminer le rayon de courbure 𝝆 de la trajectoire décrite par 𝑴. Quelle est sa valeur maximale et en quelle point cette valeur est atteinte ? On sait que : 𝜌 = 𝑉3 𝑉 𝑀 ℛ ∧ 𝛾 𝑀 ℛ 𝑉 = 𝑅𝜔 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑦 = 𝑅𝜔 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 2 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 2 = 𝑅𝜔 1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 = 𝑅𝜔 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑉3 = 𝑅3 𝜔3 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 3 2 𝑉 𝑀 ℛ ∧ 𝛾 𝑀 ℛ = 𝑅2 𝜔3 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 0 ℛ ∧ 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 0 ℛ = 𝑅2 𝜔3 0 0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 ℛ = 𝑅2 𝜔3 0 0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 1 ℛ Ainsi : 𝑉 𝑀 ℛ ∧ 𝛾 𝑀 ℛ = 𝑅2 𝜔3 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 1 2= 𝑅2𝜔3 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 1 = 𝑅2 𝜔3 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 𝑅3 𝜔3 23 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 3 2 négative positive positive

29. 29 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Déterminer le rayon de courbure 𝝆 de la trajectoire décrite par 𝑴. Quelle est sa valeur maximale et en quelle point cette valeur est atteinte ? Ainsi : 𝜌 = 𝑅3 𝜔3 23 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 3 2 𝑅2𝜔3 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜌 = 𝑅23 2 1 − 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 1 2 𝝆 = 𝑹𝟐𝟑 𝟐 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕  Valeur maximale 𝝆 prend sa valeur maximale lorsque : D’après l’expression trouvée, la valeur maximale de 𝝆 est : 𝝆𝒎𝒂𝒙 = 𝑹𝟐𝟑 𝟐 𝟏 − (−𝟏) = 𝟒𝑹 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 = −𝟏 ⟹ 𝝎𝒕 = 𝝅 + 𝟐𝒏𝝅 Avec : 𝒏 ∈ ℕ 𝒕 = 𝝅 𝝎 + 𝟐𝒏𝝅 𝝎 ⟹

30. 30 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 5) Donner les valeurs de la vitesse 𝑽 𝑴 𝓡 et de l’accélération 𝜸 𝑴 𝓡 au moment 𝒕 > 𝟎 où 𝑴 touche le sol pour la première fois. On a déjà trouvé : 𝑉 𝑀 ℛ = 𝑅𝜔 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑦  𝑽 𝑴 𝓡 quand 𝑴 touche le sol pour la première fois Quand M touche le sol pour la première fois, on a : 𝜃 = 2𝜋 𝜔𝑡 = 2𝜋 ⟹ Donc quand M touche le sol pour la première fois, on a : 𝑉 𝑀 ℛ = 𝑅𝜔 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑒𝑦 = 𝑅𝜔 1 − 1 𝑒𝑥 + 0 𝑒𝑦 = 0  𝜸 𝑴 𝓡 quand 𝑴 touche le sol pour la première fois Donc quand M touche le sol pour la première fois, on a : On a déjà trouvé : 𝛾 𝑀 ℛ = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 𝛾 𝑀 ℛ = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑒𝑦 = 𝑅𝜔2𝑒𝑦

31. 31 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 6) Monter que 𝜸 𝑴 est centripète vers 𝑪 et calculer son module en fonction de 𝒗𝟎 et 𝑹  Module de 𝜸 𝑴 en fonction de 𝒗𝟎 et 𝑹 𝛾 𝑀 = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 = 𝑅𝜔2 On a : 𝜔 = 𝑣0 𝑅 Donc : 𝜸 𝑴 = 𝒗𝟎 𝟐 𝑹 Remarque : 𝛾 𝑀 = 𝑐𝑠𝑡 On a déjà trouvé :𝛾 𝑀 = 𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 Dans la première question on trouver : 𝑀𝐶 = 𝑅𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 = 𝜔2 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑒𝑥 + 𝑅𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑒𝑦 𝑴𝑪 𝛾 𝑀 = 𝜔2 𝑀𝐶 Positive ⇒ Ainsi : 𝛾 𝑀 est donc toujours dirigé vers 𝐶

33. 33 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 1) Etablir les équations polaire 𝒓(𝜽) et cartésienne de la trajectoire (𝑻) de 𝑴. 𝑟 = 𝑟1 + 𝑟2 𝑟 = 𝑎 cos 𝜃 + 𝑎 cos 𝜃 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃  Equation polaire de la trajectoire  Equation cartésienne de la trajectoire On a : 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 Et : 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 2𝑎 cos2 𝜃 = 2𝑎 cos 𝜃 sin 𝜃 Ainsi 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 cos2 𝜃 + 𝑟2 sin2 𝜃 = 𝑟2 = 4𝑎2 cos2 𝜃 = 2𝑎 2𝑎 cos2 𝜃 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑎𝑥 ⟹ 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 = 𝑎2 ⟹ 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦2 = 𝑎2 𝑥 − 𝑎 2 La trajectoire est un cercle de rayon 𝒂 et de centre 𝑪(𝒂, 𝟎) 𝒓𝟐 𝑟1 𝑟1

34. 34 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 2) Composants polaires de vitesse et d’accélération en fonction de 𝜽 et ses dérivées Dans la base polaire le vecteur position s’écrit : 𝑉 𝑀 ℛ = 𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝜃𝑒𝜃 𝑂𝑀 = 𝑟𝑒𝑟 Le vecteur vitesse est donc : Or on a : 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃 Ainsi : 𝑉 𝑀 ℛ = −2𝑎𝜃 sin 𝜃 𝑒𝑟 + 2𝑎𝜃 cos 𝜃 𝑒𝜃 = 2𝑎𝜃 − sin 𝜃 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑒𝜃  Vitesse 𝑽 𝑴 𝓡  Accélération 𝜸 𝑴 𝓡 On sait que : = 𝒓 − 𝒓𝜽𝟐 𝒆𝒓 + 𝒓𝜽 + 𝟐𝒓𝜽 𝒆𝜽 + 𝒛𝒆𝒛 𝜸 𝑴 𝓡 𝒓 − 𝒓𝜽𝟐 = 𝒓𝜽 + 𝟐𝒓𝜽 = Car le mouvement est plan −2𝑎 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝜃2 cos 𝜃 − 2𝑎𝜃2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2𝑎𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 4𝑎𝜃2 sin 𝜃 = −2𝑎 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 2𝜃2 cos 𝜃 = 2𝑎 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝜃2 sin 𝜃 𝜸 𝑴 𝓡 = −𝟐𝒂 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝜽 + 𝟐𝜽𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒆𝒓 + 𝟐𝒂 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝟐𝜽𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒆𝜽

35. 35 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer dans la base 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 les vecteur de la base du trièdre de Frenet  vecteur 𝑻 On sait que : 𝑉 𝑀 = 𝑉 𝑀 𝑇 𝑇 = 𝑉 𝑀 𝑉 𝑀 𝑉 𝑀 = 2𝑎𝜃 = 2𝑎𝜃 Ainsi : 𝑇 = 2𝑎𝜃 − sin 𝜃 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑒𝜃 2𝑎𝜃 = − sin 𝜃 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑒𝜃 Donc : 𝑉 𝑀 ℛ = 2𝑎𝜃 − sin 𝜃 𝑒𝑟 + cos𝜃 𝑒𝜃 = 2𝑎𝜃 × − sin 𝜃 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑒𝜃 = 𝟏 𝑻 = − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒆𝒓 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒆𝜽

36. 36 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer dans la base 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 les vecteur de la base du trièdre de Frenet  Vecteur 𝑵 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑑 − sin 𝜃 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑒𝜃 𝑑𝑡 On a : = −2𝜃 cos 𝜃 𝑒𝑟 + s𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝜃 On sait que : 𝑑𝑇 𝑑𝜑 = 𝑁 (𝑪) 𝑴𝟎 𝑴 𝑴′ 𝑽 𝑴 𝒅𝝋 𝝋 𝝆 𝒗 𝒖 𝑻 𝑵 𝑪 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜑 = 𝑁 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜑𝑁 ⟹ Donc : 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜑𝑁 = 𝜑 𝑁 = 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑡 Rappel

37. 37 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer dans la base 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 les vecteur de la base du trièdre de Frenet  Vecteur 𝑵 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −2𝜃 cos 𝜃 𝑒𝑟 + s𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝜃 On a : 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −2𝜃 × cos 𝜃 𝑒𝑟 + s𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝜃 Ainsi : = 2𝜃 Ainsi : 𝑁 = 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −2𝜃 cos 𝜃 𝑒𝑟 + s𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝜃 2𝜃 = − cos 𝜃 𝑒𝑟 − s𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝜃  Vecteur 𝑩 On sait que : 𝐵 = 𝑇 ∧ 𝑁 = − sin 𝜃 cos 𝜃 0 ℛ′ ∧ −cos 𝜃 −s𝑖𝑛 𝜃 0 ℛ′ = 0 0 sin2 𝜃 + cos2 𝜃 ℛ′ = 0 0 1 ℛ′ = 𝑒𝑧

38. 38 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Composants intrinsèque de vitesse et d’accélération en fonction de 𝜽 et ses dérivées  Vitesse 𝑽 𝑴 𝓡 Dans la base de Frenet, le vecteur position s’écrit : 𝑉 𝑀 ℛ = 𝑉 𝑀 𝑇 = 2𝑎𝜃𝑇  Accélération 𝜸 𝑴 𝓡 Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s’écrit : 𝜸 𝑴 𝓡 = 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝑻 + 𝑽𝟐 𝝆 𝑵 𝛾𝑡 : accélération tangentielle 𝛾𝑁 : accélération normale 𝛾𝑡 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑇 = 𝑑 2𝑎𝜃 𝑑𝑡 𝑇 = 2𝑎𝜃𝑇  : accélération tangentielle 𝜸𝒕 :  : accélération normale 𝜸𝑵 : 𝛾𝑁 = 𝑉2 𝜌 𝑁 Rayon de courbure (a dans notre cas) = 4𝑎2𝜃2 𝑎 𝑁 = 4𝑎𝜃2 𝑁

40. 40 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 1) Exprimer les vecteur 𝒆𝒓 et 𝒆𝜽 dans la base cartésienne 𝒊 , 𝒋 En projetant 𝑒𝑟 et 𝑒𝜃 dans la base cartésienne 𝑖 , 𝑗 : 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 𝑒𝜃 = − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 𝒊 𝒋 2) Exprimer les vecteur les vecteurs dérivés 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 𝓡 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 𝓡 dans la base 𝒆𝒓, 𝒆𝜽 On a : 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑡 ℛ = 𝑑 cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 𝑑𝑡 ℛ = −𝜃 sin 𝜃 𝑖 + 𝜃 cos 𝜃 𝑗 = 𝜃 − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 = 𝜃𝑒𝜃 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑡 ℛ = 𝑑 − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 𝑑𝑡 ℛ = −𝜃 cos 𝜃 𝑖 − 𝜃 sin 𝜃 𝑗 = −𝜃 cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 = −𝜃𝑒𝑟

41. 41 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 3) Déterminer les coordonnées polaire 𝒓 𝒕 et 𝜽 𝒕 en fonction des paramètres 𝒂, 𝝎 et du temps 𝒕 On sait que : 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎𝑒𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 2 + 𝑎𝑒𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 2 = 𝑎2𝑒2𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 2 + sin 𝜔𝑡 2 = 𝟏 = 𝑎2𝑒2𝜔𝑡 = 𝑎𝑒𝜔𝑡 = 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝒓 = 𝒂𝒆𝝎𝒕  Rayon 𝒓  Angle 𝜽 On sait que : tg 𝜃 = 𝑦 𝑥 ⟹ 𝜃 = tg−1 𝑦 𝑥 = tg−1 𝑎𝑒𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑎𝑒𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = tg−1 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 = tg−1 tg 𝜔𝑡 𝜽 = 𝝎𝒕

42. 42 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 4) Montrer que le vecteur position du point matériel 𝑴 s’écrit 𝑶𝑴 = 𝒂𝒆𝝎𝒕 𝒆𝒓 Le vecteur position s’exprime par : 𝑂𝑀 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 Donc : 𝑶𝑴 = 𝒂𝒆𝝎𝒕 𝒆𝒓 5) Déterminer le vecteur vitesse 𝑽 𝑴/𝑹 et le vecteur accélération 𝜸 𝑴/𝑹 dans la base polaire On sait que : 𝑉 𝑀/𝑅 = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑟 + 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝑑 𝑒𝑟 𝑑𝑡 𝑉 𝑀/𝑅 = 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝜃𝑒𝜃 𝑉 𝑀/𝑅 = 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝜔𝑒𝜃 Car : 𝜃 = 𝜔𝑡 𝑽 𝑴/𝑹 = 𝒂𝝎𝒆𝝎𝒕 𝒆𝒓 + 𝒆𝜽 = 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑥 + 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 = 𝑎𝑒𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑦 𝒆𝒓

43. 43 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 5) Déterminer le vecteur vitesse 𝑽 𝑴/𝑹 et le vecteur accélération 𝜸 𝑴/𝑹 dans la base polaire On sait que : 𝛾 𝑀/𝑅 = 𝑑𝑉 𝑀/𝑅 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 𝑑𝑡 𝛾 𝑀/𝑅 = 𝑑 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝑑 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 𝑑𝑡 𝛾 𝑀/𝑅 = 𝑎𝜔2 𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑎𝜔2 𝑒𝜔𝑡 𝑒𝜃 − 𝑒𝑟 Car : 𝜃 = 𝜔𝑡 𝛾 𝑀/𝑅 = 𝑎𝜔2 𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝜃𝑒𝜃 − 𝜃𝑒𝑟 𝛾 𝑀/𝑅 = 𝑎𝜔2𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑒𝜃 − 𝑒𝑟 𝜸 𝑴/𝑹 = 𝟐𝒂𝝎𝟐 𝒆𝝎𝒕 𝒆𝜽

44. 44 Exercice 2 : Série TD N°2 : Cinématique du point 6) Tracer sur la même figure la vitesse 𝑽 𝑴/𝑹 et l’accélération 𝜸 𝑴/𝑹 𝛾 𝑀/𝑅 = 2𝑎𝜔2 𝑒𝜔𝑡 𝑒𝜃 𝑉 𝑀/𝑅 = 𝑎𝜔𝑒𝜔𝑡 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 𝑉 𝑀/𝑅 = 𝛾 𝑀/𝑅

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