Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, Elipses, Hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas) Michell Urra UPTAEB PNF de Informática Sección: IN0114 Presentación Matemáticas

1. Unidad II
PLANO NUMÉRICO O
CARTESIANO
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Estudiante: Michell Urra
PNF de Informática
Sección: IN0114
Unidad Curricular: Matemática
Facilitador: Wilmar Marrufo
2023

2. PLANO NUMÉRICO
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La
finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de coordenadas.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el
creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas.
 Los ejes de coordenadas son perpendiculares
entre sí.
 Las escalas de los ejes son iguales.
 Los números positivos están a la derecha del
origen en el eje de las x y por arriba del origen en
el eje de las y.
 Los puntos en los ejes no pertenecen a ningún
cuadrante.
 Es bidimensional.

3. En el plano cartesiano se pueden identificar varios
elementos:
 Los ejes de coordenadas: son dos líneas
numeradas que se cruzan delimitando ángulos rectos
entre sí.
 El origen: es el punto de intersección entre los dos
ejes de coordenadas.
 El eje de abscisas o eje de las x: es la línea
horizontal de los ejes de coordenadas. Hacia la derecha
del origen se encuentran los valores positivos, hacia la
izquierda, se encuentran los valores negativos.
 El eje de ordenadas o eje de las y: es la línea
vertical de los ejes de coordenadas. Por arriba del
origen se encuentran los valores positivos; por debajo,
los valores negativos.
 Los cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatros
regiones en que se divide el plano por causa de los ejes x y y.
En el primer cuadrante, los valores de x y y son positivos; en el
segundo cuadrante, los valores de x son negativos y los de y
son positivos; en el tercer cuadrante, tanto x como y son
negativos; en el cuarto cuadrante, los valores de x son
positivos y los de y son negativos.

4. El plano cartesiano nos permite:
 Localizar las coordenadas de los puntos en un
plano.
 Determinar la línea recta que pasa por dos
puntos.
 Dibujar polígonos conociendo los
puntos de sus vértices.
 Representar gráficamente una función. El primer número es la distancia de un punto
hasta el eje x o abscisa del punto; el segundo
número es la distancia del punto hasta el eje y.:
(x, y).
Por ejemplo, el punto de coordenadas (2, 4)
significa que ese punto está localizado a 2
unidades del eje de abscisas x y a 4 unidades del
eje de ordenadas y.
La abscisa y la ordenada de un punto son las
coordenadas cartesianas del punto. Se
representa por un par de números encerrados en
un paréntesis y separados por una coma.
El plano cartesiano tiene como
finalidad describir la posición de
puntos, los cuales se representan
por sus coordenadas o pares
ordenados.

5. La distancia entre dos puntos no es más que la longitud del segmento de
la recta que los conecta, el segmento de recta es el pedacito de recta de un
punto a otro, puede ser de manera horizontal, vertical o oblicua (significa
inclinada).
Para conocer la distancia entre dos puntos se utilizará el teorema de
Pitágoras que explica que: en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas.
 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
DISTANCIA

6. PUNTO MEDIO
El punto medio es un punto que se
ubica exactamente en la mitad de
un segmento de línea que une a
dos puntos. Por ejemplo, si es que
tenemos dos puntos y los unimos
con un segmento de línea, el punto
medio se ubicará en la mitad de
ese segmento y será equidistante a
ambos puntos.
Un punto medio puede ser
calculado solo cuando tenemos a
un segmento que une a dos
puntos, ya que tiene una
ubicación definida.
El punto medio no puede ser
calculado para una línea o un
rayo, ya que una línea tiene dos
extremos que se extienden
indefinidamente y un rayo tiene
un extremo que se extiende
indefinidamente.
El punto medio es igual a la mitad
de la suma de las coordenadas
en x de los puntos y a la mitad de las
coordenadas en y de los puntos.
El punto medio será expresado
como las coordenadas
M = (x3, y3)

7. ECUACIONES
Ecuación de la Recta
En el plano numérico la ecuación de la recta tiene
la forma y = m x + b ; donde m es la
pendiente (ángulo de inclinación de la
recta con respecto al eje x ) y b es el
intercepto donde la recta corta al eje y.
Cuando se tiene un línea recta que pasa
por dos puntos P (x1; y1) y Q (x2; y2),
se cumple que la pendiente m es
constante, donde m se define como:
Ecuación Punto – Pendiente
Si se conoce un punto P (x1; y1) por el que pasa
una recta y su pendiente m, es factible definir la
ecuación de la recta.
Se puede calcular la pendiente de la recta
en base al punto conocido P (x1; y1) y al
punto genérico Q (x; y):
m = (y - y1) / (x - x1) Ecuación
Punto -Pendiente.
Otra forma de presentar la ecuación de la
recta es:
y - y1 = m (x - x1) Ecuación
Punto -Pendiente

8. Rectas Paralelas
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus
pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L1: recta de ecuación y = m1 x + b
L2: recta de ecuación y = m2 x + b
L1 // L 2 si m1 = m2
Rectas Perpendiculares
Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se
llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un
punto, ambas rectas forman un ángulo recto (de 90º),
se dice que son perpendiculares.
si L1 es una recta de ecuación y = m1 x + b
L2 es una recta de ecuación y = m2 x + b
L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1

9. Forma General:
Forma reducida
(pendiente-ordenada):
Ecuación simétrica:
Intersección con los ejes:
Forma paramétrica de la recta:

10. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado centro (recordar que se está hablando del Plano Cartesiano).
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a. Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b. El centro y el radio.
c. El centro y un punto en ella.
d. El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos
los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la
circunferencia).
Ecuación general de la Circunferencia:

11. Centro de la
circunferencia:
Radio de la
circunferencia:
Cuerda:
Diámetro:
Arco:
Semicircunferencia: Longitud de una
circunferencia:
Longitud de un arco de
circunferencia:
Punto del que equidistan
todos los puntos de la
circunferencia.
Segmento que une el
centro de la circunferencia
con un punto cualquiera
de la misma.
Segmento que une
dos puntos de la
circunferencia.
Cuerda que pasa
por el centro de la
circunferencia.
Es cada una de las
partes en que
una cuerda divide a
la circunferencia.
Cada uno de los
arcos iguales que
abarca un
diámetro.
Esta dada por la
fórmula
Se suele vincular a
cada cuerda, el menor
arco que delimita.

12. PARÁBOLAS
En matemáticas, una parábola es
la sección cónica de excentricidad igual a
1, resultante de cortar un cono recto con
un plano cuyo ángulo de inclinación
respecto al eje de revolución del cono sea
igual al presentado por su generatriz.
El plano resultará por lo tanto paralelo a
dicha recta.
Se denomina parábola al lugar geométrico de los
puntos de un plano que equidistan de una recta
dada, llamada directriz, y de un punto exterior a
ella, llamado foco.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos
o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
 Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).
 Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos
y pasa por el vértice.

13.  Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al
interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
 Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera
de los brazos de la parábola.
 Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como
entre vértice y directriz(ambas distancias son iguales).
 Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
 Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
 Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular

14. Es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
Ten en cuenta que para cualquier punto de
la elipse siempre se cumple que:
Donde d (P,F) y d (P,F') es la distancia
de un punto genérico P al foco F y al foco
F' respectivamente.
ELIPSES
Elipse
Se trata de una circunferencia achatada que
se caracteriza porque la suma de
las distancias desde cualquiera de sus puntos
P hasta otros dos puntos denominados focos
(F y F') es siempre la misma.

15.  Focos: Son los puntos fijos F y F'.
 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
 Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
 Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
 Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
 Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
 Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
 Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
 Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
 Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y
los semiejes:

16. HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos
fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
En la gráfica anterior, esto significa que
para cualquier punto de la hipérbola.
 Focos: Son los puntos fijos F y F'.
 Eje principal o real: Es la recta que pasa por
los focos.
 Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz
del segmento FF'.
 Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
 Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de
intersección de la hipérbola con el eje focal.

17. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del
eje imaginario con la circunferencia que tiene por
centro uno de los vértices y de radio c.
 Radios vectores: Son los segmentos que van
desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y
PF'.
 Distancia focal: Es el segmento de
longitud 2c.
 Eje mayor: Es el segmento de longitud
2a.
 Eje menor: Es el segmento de longitud
2b.
 Ejes de simetría: Son las rectas que contienen
al eje real o al eje imaginario.
 Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
 Relación entre los semiejes:

18. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LAS ECUACIONES
DE LAS CÓNICAS
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra
recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.
 g = la generatriz
 e = el eje
 V = el vértice  Superficie: una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de
una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
 Generatriz: la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
 Vértice: el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
 Hojas: las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica
de revolución.
 Sección: se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un
plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de
conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden
obtenerse diferentes secciones cónicas.

22. EJERCICIO DE PRÁTICA
¿Cuál es la distancia entre los puntos
(-5, -7) y (2, 4)?

23. BIBLIOGRAFÍA
 https://www.significados.com/plano-cartesiano/
 https://www.todamateria.com/plano-cartesiano/
 https://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa3/2019/Coordenadas.pdf
 https://www.sectormatematica.cl/media/NM2/ECUACIONES%20DE%20LA%20RECTA%20EN%20EL%20P
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 https://sites.google.com/site/solucionunica1/2-contenidos/2-3-plano-cartesiano-y-ecuacion-de-la-recta
 https://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/circunferencias.html#tema_elementos-
de-la-circunferencia

24.  https://sites.google.com/site/conicasdematematica25232015/parabola?tmpl=%2Fsystem%2Fapp%2Ftemplates
%2Fprint%2F&showPrintDialog=1
 https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-elipse
 https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/ConceptoYElementosDeLaElipse.html
 https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/hiperbola.html
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 https://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~ugarte/Algebra%20y%20Geometria%20Analitica/Conicas/Secciones%20%20
c%F3nicas_2018.pdf
 http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1794-91652016000200009