Binômio de newton

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Binômio de newton

  1. 1. Professora Michele Boulanger 1 BINÔMIO DE NEWTON
  2. 2. Professora Michele Boulanger 2 Sobre uma mesa há 2 bandejas e em cada uma há um cartão com a letra X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada bandeja. X A X A X X X A A X A A X2 XA AX A2 X2 + 2XA + A2 3 TERMOS (X + A)2 Quadrado da soma
  3. 3. Professora Michele Boulanger 3 Sobre uma mesa há 3 bandejas e em cada uma há um cartão com a letra X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada bandeja. X A X A X A X X X X A A X X A X A X A A X A X X A X A X3 XA2 X2 A X2 A XA2 X2 A XA2 A3 X3 + 3X2 A + 3XA2 + A3 4 TERMOS (X + A)3
  4. 4. Professora Michele Boulanger 4 Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Se quisermos calcular (a + b)4 , podemos adotar o mesmo procedimento: (a + b)4 = (a + b)3 .(a+b) = (a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ).(a+b)= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência (a+b)n a partir da anterior, ou seja, de (a+b) n - 1 . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
  5. 5. Professora Michele Boulanger 5 A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
  6. 6. Professora Michele Boulanger 6 Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso: •quando n = 0 temos •quando n = 1 temos •quando n = 2 temos •quando n = 3 temos
  7. 7. Professora Michele Boulanger 7
  8. 8. Professora Michele Boulanger 8
  9. 9. Professora Michele Boulanger 9
  10. 10. Professora Michele Boulanger 10
  11. 11. Professora Michele Boulanger 11
  12. 12. Professora Michele Boulanger 12
  13. 13. Professora Michele Boulanger 13
  14. 14. Professora Michele Boulanger 14 De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton: Note que os expoentes de x vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, Os expoentes de a vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (x + a)n possui n + 1 termos. Exemplo: (2x – 3y)10 tem 11 termos
  15. 15. Professora Michele Boulanger 15 No desenvolvimento do binômio (x – a) n , os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par (2o , 4o , 6o …) são negativos, e os de ordem ímpar (1o , 3o , 5o …) são positivos.
  16. 16. Professora Michele Boulanger 16 Caso seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica: -troque qualquer letra do binômio por 1 - calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n. Obtemos a expressão: 1.16x4 .1 + 4.8x3 .1 + 6.4x2 .1 + 4.2x . 1 + 1.1.1 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1 No desenvolvimento acima, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada: (2x+1)4 (2.1 + 1)4 = 34 = 81
  17. 17. Professora Michele Boulanger 17 Não é necessário desenvolver todos os termos de um binômio para encontrarmos um termo em particular. A formação de cada termo obedece a uma lei. T 1 = C n,0 . a0 . x n-0 T 2 = C n,1 . a1 . x n-1 T 3 = C n,2 . a2 . x n-2 T 4 = C n,3 . a3 . x n-3 T p+1 = C n,p . ap . x n-p T n + 1 = C n,n . an . x n-n Em cada termo de (x + a) n , o coeficiente é Cn,p, o expoente de a é p e o expoente de x é n-p
  18. 18. Professora Michele Boulanger 18
  19. 19. Professora Michele Boulanger 19 Determine o 7.° termo do binômio (2x + 1)9 Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (x + a)n , onde x = 2x , a = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6, na fórmula do termo geral, e efetuamos os cálculos indicados. Temos então: T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6 . (1)6 = 9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3 . Portanto o sétimo termo procurado é 672x3 .
  20. 20. Professora Michele Boulanger 20 Calcule o coeficiente do termo em x9 no desenvolvimento de (x2 – 2x)6 . Tp+1 = C6,p . (x2 )6–p . (-2x)p = C6,p .x12-2p . (-2x) p = C6,p .x12-2p . (-2) p .x p = Agrupando as potências de x, temos: Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p . (-2)p Tp+1= C 6,p . x 12-p . (-2)p Para que o expoente de x seja igual a 9, devemos ter 12 – p =9, ou seja, p =3 P = 3  T3+1= C6,3. x 12 -3 . (-2)3 T4= 20. x9 .(-8) T4 = -160x9
  21. 21. Professora Michele Boulanger 21 Determine o sexto termo do desenvolvimento de (x + 2)6 . T5+1 = C 6,5 . x6-5 . 25 T6 = 6 . x. 32 T6 = 192x
  22. 22. Professora Michele Boulanger 22 Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ? Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos: T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4 .81y4 Fazendo as contas vem: T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4 y4 , que é o termo médio procurado.

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