MATEMÁTICAS

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO CARACAS
TÉCNICO SUPERIOR UNIVERSITARIO EN TURISMO
Profesor. Lic. PABLO NICOMEDES MUÑOZ
MATEMÁTICAS
Integrante:
Rios Frangelica.C.I.V-27.33.718
Caracas, abril 2017

2. Funciones
• En los procesos matemáticos existen las
denominadas funciones o función(f) , viniendo
a ser una relación entre un conjunto dado X
(llamado dominio) y otro conjunto de
elementos Y (llamado codominio) de forma
que a cada elemento x del dominio le
corresponde un único elemento f(x) del
codominio (los que forman el recorrido, rango
o ámbito).
• De manera más simple: Una función es una
relación entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera corresponde un
único valor de la segunda.
• La función se puede ilustrar mediante un
diagrama usando flechas para indicar la forma
en que se asocian los elementos de los dos
conjuntos.
• Básicamente, hay tres formas para expresar
una función: mediante una tabla de valores,
mediante una expresión algebraica o,
mediante una gráfica.
• Tipos de funciones
• Dependiendo de ciertas características que
tome la expresión algebraica o anotación de la
función f en x, tendremos distintos tipos de
funciones.

3. Función constante
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función
constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números
reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal

4. Función lineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde
m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta.
Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

5. Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.
La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces y = ax + b
Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.
El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es
porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o
baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca
de la siguiente forma:
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje
y. La recta siempre va a pasar por el punto (0; b) . Representación
gráfica de una función lineal o función afín .Para graficar una recta,
alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y
se opera de la siguiente manera:
•1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde
la recta va a cortar dicho eje.
•2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o
retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el
segundo punto de la recta.
•3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero
con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
•4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa
por los mismos.

6. Ejemplo:
Graficar la siguiente función:
• También podemos graficar una función dando valores a x y
obteniendo dos puntos en las coordenadas.
• Ejemplo: Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1
• Solución. Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta;
para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes
respectivas, esto es:
• Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1
• Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3
• Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la
gráfica correspondiente.
• La ordenada al origen (3) me indica que me
debo parar sobre el eje y en el 3.

7. Función polinómica Función cuadrática
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el
conjunto de los números reales (porque el elemento x
puede ser cualquier número real).
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c
son constantes y a es diferente de cero, se conoce como
una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es
una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y
abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se
determina por la fórmula:
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo
F(x) = x 2 representa una parábola que abre hacia arriba
con vértice en (0,0).

8. Función racional
Una función racional es el cociente de dos
funciones polinómicas. Así es que q es una
función racional si para todo x en el dominio,
se tiene:
• Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es
cualquier número real.
• Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.
• Ejercicios y ejemplos con funciones en general:
Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 - 1
d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x - 1)2
Nota: El dominio de una función polinómica son los
números reales; sin embargo, el dominio de una
función racional consiste de todos los números
reales excepto los ceros del polinomio en el
denominador (ya que la división por cero no está
definida).
Función de potencia

9. • Ejemplos: Suma de funciones. Sean las funciones
Álgebra de funciones
Suma, resta, multiplicación y división de funciones
Sean f y g dos funciones cualesquiera

10. RELACIÓN
• Una relación es cualquier conjunto de pares
ordenados, o cualquier correspondencia entre
conjuntos.
• Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier
subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el
vacío.
• Una función de A en B debe cumplir que para todo
elemento de A exista un único elemento de B (que se
suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de
clasificar las relaciones es la siguiente:
• Se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A
(a, a) está en la relación. Se dice que es simétrica si
cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en
la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b,
a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez
que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la
relación.
• Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva,
se dice que es de equivalencia. Si una relación es
reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que es
de orden.
• No se puede decir que una relación es creciente o
decreciente, porque cada elemento puede estar
relacionado con varios o con ningún elemento
FUNCIÓN
• Es la que da exactamente un valor a la variable
dependiente (y) para cada valor de la variable
independiente (x) en el dominio
• . De las funciones (si son de R en R) si se pueden decir
si son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2
casos, como pasa con la función sen x).
• En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una
función puede ser continua en un punto y no en otro.
• La definición de función continua en un punto es la
siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta >0
de tal forma que para todo x /este a menos de delta de
x0, la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y
una función se dice continua a secas si es continua en
todo a una función se dice discontinua si existe al
menos un punto donde no es continua.
•

11. Dominio.
En matemáticas, el dominio (conjunto de
definición o conjunto de partida) de una función
es el conjunto de existencia de la misma, es
decir, los valores para los cuales la función está
definida. Es el conjunto de todos los objetos que
puede transformar, se denota o bien.
Rango.
Son todos los valores posibles de f(x) o sea de
Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a
+1.Si F(X) = una parábola cóncava en forma de
U. El rango va del vértice da la parábola hacia
arriba hasta + infinito.
¿Para qué se representa una gráfica?
. Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos,
mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos
datos guardan entre sí. También se representan para plasmar
coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un
proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la
interpretación de un fenómeno. La representación gráfica también es una
ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable
dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en
un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable
a la posición en los ejes.
Limites.
La división que marca una separación entre dos regiones se conoce
como límite. Para la matemática, un límite es una magnitud a la que
se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de
magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia
de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se
aproximan a un cierto valor. Una definición informal del límite
matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x
tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca
de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se
pretenda.
IMPORTANTE

12. LIMITES DE FUNCIONES
Noción de límite de una función en un punto
• Una función y = f(x) puede no estar definida
para un cierto punto, digamos x = xo , como
sucede con y = log x en el punto x = 0, o como
sucede con y = tg x en el punto x = En
realidad, una función y = f(x) puede llegar a
mostrar un comportamiento extraño en cierto
punto x = xo . Para comprender mejor estas
posibles anomalías de algunas funciones se
introduce la noción de límite de una función en
un punto.
• Para determinar el límite de y = f(x) en cierto
punto x = a, debemos prescindir del valor que
tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté
definido, y fijarnos en los valores de f(a) para
puntos extremadamente cercanos a x = a.
• En el ejemplo del gráfico, observando los
valores de los puntos muy próximos a x= a, lo
cual será expresado así: , se llega a la
conclusión que el límite de y = f(x) "cuando x
tiende al valor a" es L. Utilizando simbología
matemática, lo expresamos:
La función y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a.

13. Limites Infinitos:Existen dos casos destacables de
límites, tal como podemos verlo en las gráficas de
abajo
Para la función y = f(x) de la Fig. 1, f(x) tiende al valor L para x
en el infinito (geométricamente se habla de que y = L es una
"asíntota horizontal" de la curva ).
En el caso de la Fig. 2, es la función y = f(x) la que toma un
valor infinito en el punto x=a (geométricamente x=a es una
"asíntota vertical" de la curva).
En el primer caso se expresa: y en el segundo caso :
Limites Laterales: Existen funciones que en un cierto punto
x = xo poseen una discontinuidad, sufriendo su gráfica de
un "salto", tal como se muestra en la figura de abajo.
La función y = f(x)
tiene como límite L+
por la derecha del
punto x=a, y el límite
L- por la izquierda del
punto x=a.
Para la función y = f(x) del gráfico de arriba, no está
definido el valor f(a), y se dice que el límite de f(x) "por la
derecha" del punto x = a (expresado así: +) es L+, lo
cual en simbología matemática es:
Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la
izquierda" del punto x = a (expresado así: - ) es L+, que
en simbología matemática es:
(NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen
emplearse letras griegas tales como: para
referirnos a valores numéricos muy
pequeños.)
Por otra parte, para que
podamos hablar
verdaderamente del límite de f(x)
en el punto x = a los límites
laterales deben ser iguales, es
decir, debe cumplirse:

14. ALGUNAS PROPIEDADES SOBRE EL INFINITO
Y
VALORES INDETERMINADOS
Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el conjunto R ampliado, es decir, el conjunto de los números
reales al que se le han añadido los entes numéricos: + , - . Conviene, por tanto, tener claras algunas propiedades de
estos entes, así como valores que son indeterminados en este conjunto:
* Para cualquier número n (incluido el 0): n/ = 0.
* Para cualquier número n positivo (distinto de 0): n.+ = + , n. (- )= - .
* Para cualquier número n negativo (distinto de 0): n.+ = - , n. (- )= + .
* Para el caso del 0: 0. + y 0. (- ) son Indeterminados.
* Para números n positivos + /n = + , pero para n negativos + /n = - .
* Para el caso del 0: + /0 = , así como - /0 = , pero en ambos casos el signo del infinito es Indeterminado. Algo
similar sucede cuando dividimos un número entre cero: 3/0 = , -3/0 = (el signo del infinito es indeterminado, aunque sí
podemos asegurar lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la izquierda de 0).
* Asimismo son Indeterminados:
/ (con cualquier signo), - , 0/0, 0°, ° (cual. signo).
La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos acostumbramos a imaginar a + , como 1/ (+0), y a - ,
como -1/ (+0) -entendiendo por +0 un número positivo muy pequeño-

15. Propiedades de límites
Sea dos funciones f(x), g(x) tales que en cierto punto x = a, sus límites respectivos son A y B,
es decir:
entonces se tiene que:
pero siempre debemos descartar las expresiones indeterminadas como las anteriormente citadas.

16. Cálculo de límites
Sea una función y = f(x), si queremos hallar el límite de esa función en un determinado punto x = a, lo
primero que haremos será hallar f(a), ante lo cual pueden suceder tres casos.
I) f(a) tiene un valor claro y unívoco.
II) No podemos hallar f(a), bien porque f(x) no tiene imagen en el punto x = a, o porque nos da un
valor indeterminado.
III) f(a) nos da un valor infinito.
Para el primer caso, podemos decir que ese mismo valor de f(a) es el propio valor del límite.
Esto sucede en las regiones continuas de y = f(x). Por ejemplo:
Ejemplo 1: Hallar el límite en el punto x = 2 de la función y = x² +1.
Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f (2) = 5.

17. Ejemplo 2: Hallar el límite en el punto x = 1 de la función:
Para este caso, si hallamos el valor de la función en x = 1 obtenemos f(1) = 0/0, que es uno de los casos de
indeterminación, lo cual no significa que es imposible hallar el límite de f(x) en ese punto, sino que debemos
"operar" para eliminar la indeterminación (por lo general toda indeterminación puede ser determinada). Por
ejemplo, podemos descomponer en factores el numerador de la fracción
Al cancelar el factor (x -1) en el numerador y denominador hemos conseguido eliminar la
indeterminación. Numerosas indeterminaciones nos aparecen cuando hallamos límites en el infinito,
como en los próximos ejemplos.

18. Ejemplo 3: Hallar el siguiente límite en el infinito:
En principio si sustituimos x por + , nos encontramos con la indeterminación - , en estos
casos suele funcionar multiplicar y dividir por la misma expresión, pero con el signo
positivo, es decir:

19. Ejemplo 4: Hallar el siguiente límite en el infinito:
Si sustituimos x por + , nos encontramos con la indeterminación / . Para estos casos de cocientes de
polinomios en el infinito, se sigue la regla: " Dividir numerador y denominador por la potencia
máxima del denominador", que en nuestro caso es x³:
teniendo en cuenta que las potencias 1/x, 1/x², etc. son 0.
Hasta ahora hemos visto situaciones de los dos primeros casos, veamos ejemplos del tercer
caso, es decir, cuando en x = a el valor de f(a) se hace infinito o impreciso (entendemos aquí
por impreciso cuando los valores que toma la función en x = a+ y en x = a- difieren
notablemente). Cuando nos encontremos en estas situaciones, pasaremos a hallar los límites
laterales.

20. Ejemplo 5: Hallar el límite de la función y = 5/(x-2), en el punto x=2.
Al hallar f (2) nos encontramos con 5/0, o sea pero sin precisar el signo. Hallemos, pues, los límites laterales. Para ello
consideraremos una cantidad infinitesimal positiva , que le añadimos al punto x=2 para hacer el límite por la derecha, y
que le sustraeremos al x=2 para hacer el límite por la izquierda, a continuación, hacemos el límite cuando ->0.
Veámoslo:* Por la derecha de x=2:
aquí sabemos que 5/0 es + , pues la cantidad es pequeñísima pero positiva (algo así como si fuera
+0,00000000001). * Por la izquierda de x=2:
ahora tenemos -5/ , siendo ese número pequeñísimo pero positivo (imaginemos algo como
antes: +0,00000000001), por tanto, es el mismo resultado que antes, pero con signo negativo.

21. Ejemplo 6: Estudiar lo que sucede en x=0 para la función:
Al tratar de hallar f (0) nos encontramos con el número e elevado al infinito impreciso, por lo tanto, pasemos
a hallar los límites laterales:
En este caso el límite por la derecha de x=0, es decir para x=0+ , nos conduce al número e
elevado a 1/ (para esta expresión imagínense, como siempre, algo así como 1/
+0,00000000001), cuyo resultado es el elevado a + , o sea, + .
En este límite por la izquierda de x=0, es decir para x=0- , nos conduce al número e
elevado a -1/ , una potencia negativa cuyo resultado es la inversa de la potencia positiva,
la cual, al igual que antes, es el elevado a + , o sea, nos da el inverso de + , que es el 0.

22. Algo más sobre límites de funciones
Por lo general se tiene la creencia que el cálculo de límites es una tarea simple, en realidad, la gran
variedad de funciones posibles y los más de siete tipos de indeterminación, complica mucho en ocasiones
este cálculo. Por eso vamos a concentrarnos en algunos métodos sistemáticos para este cálculo.
I. El método exponencial para resolver la indeterminación .
II. La regla de L'Hôpital.
III. Utilización de infinitésimos para cálculo de límites.
(Siga el vínculo para ir a cada uno de estos temas)
Finalmente, debemos ser consciente de que no siempre existe límite de una función en un punto, y no
solamente porque los límites laterales sean distintos (como hemos dicho en la cuestión 2.3), es que en
ocasiones ni siquiera existen estos límites laterales. Consideremos por ejemplo la función
y = log x
para el punto x = 0 podemos hallar el límite por la derecha de x = 0, es decir:
sin embargo, no podemos hallar el limite a la izquierda de x = 0, puesto que no existen
logaritmos de números negativos. Entonces decimos que ese límite a la izquierda no
existe. Por supuesto, para un punto tal como x = -5 no existe

23. ninguno de los límites laterales, pues log x sólo tiene existencia en la zona positiva de x.
Otro caso son funciones como y = sin x, y = cos x, u otras funciones periódicas, que al tratar de hallar su
límite en cualquiera de los infinitos, nos encontramos sin poder decidir cuál es su valor allí (en realidad el
infinito no es un punto sino una zona definida algo imprecisamente, y la igualdad = +1, provoca conflicto en
este tipo de funciones). Por lo tanto, hemos de decir que no existe el límite:
Sin embargo, debe notarse que el producto o cociente de una función cuyo límite es inexistente con otra
en la que sí exista puede conducir a un límite con existencia. Por ejemplo:
Aquí la función 1/x tiene por límite 0 en el infinito, que al multiplicarla por el seno de infinito no puede dar
otra cosa que 0.

24. Derivadas
El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del Análisis matemático. Los otros son los de integral indefinida,
integral definida, sucesión; sobre todo, el concepto liminar de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de
derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie y la continuidad. Por su importancia, hay un
antes y después de tal concepto que biseca las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría
Analítica, del Cálculo. Según Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de la derivada fue la posibilidad de formular diversos
problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez
con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de
Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la
gráfica de dos dimensiones de ,se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se
puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una
recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden
determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es
creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene
derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica
es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

25. Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el
incremento de la variable tiende a cero.

26. Ejemplos 1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

27. Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a
Función derivada
La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.
Teorema
Si una función es derivable, entonces es continua.
H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.

28. Es esencial hacer de la vida unas matemáticas:
Sumar Alegrías
Restar Dolor
Dividir las Penas
Y Multiplicar el amor