1. Ardiana Gashi
Variabla e rastësishme dhe distribucionet
diskrete të probabilitetit

2. Përmbajtja
 Nocione
 Distribucioni diskret i probabilitetit
 Distribucioni i vazhdueshëm i probabilitetit

3. Variablat e rastësishme
E rastësishme diskrete
x
2 1060 4 8
E rastëishme e vazhdueshme
x
2 1060 4 8

4. Nocione
Variabël e rastësishme diskrete: kur variabla e rastësishme mund të
marrë vetëm disa vlera të caktuara
Shembuj:
1. Një kurs ka katër pjesë dhe X variabla me interes është sa pjesë një
studentë ka kaluar e që do merrte vlerat 0,1,2,3,4
Shembull 2:
2. Një anketë mund të shtroj pyetje nëse personit I kujtohet një reklamë
në televizion ose jo. Edhe pse cilësore të dy mundësive mund t’ju
shënohet nga një vlerë
0: nuk i kujtohet
1: i kujtohet
3. Eskperimenti nga kontaktimi i pesë konsumatorëve ndërsa variabla e
rastësishme është numri I konsumatorëve që kanë bë porosi: atëherë
vlerat e mundshme të variablës së rastësishme janë 0,1,2,3,4,5
4. Eskperiment është kontrollimi i marrjese së 50 produkteve ndërsa
variabla e rastësishme është numri I produkteve me defekte dhe vlerat
e mundshme janë nga 0,1,2,3,4,5…..49,50.

5. Nocione
Variabla e rastësishme e vazhdueshme: është variabël e cila
mund të të marrë në infinit numër të madh të vlerave, vlera të
ndryshme brenda intervaleve të ndryshme
Shembuj:
1. Eksperimenti konstruktimi i një librarie: variabla random
është përqindja e projektit e finalizuar pas 6 muajsh dhe
vlera sillet nga 0-100 dhe mund të marrë vlera të ndryshme
brenda këtij intervali: 25.67; 34.45% etj.
2. Testimi i një procesi kimik si eksperiment ndërsa variabla e
rastësishme është temperatura kur reaksioni I pritut ndodhë
e që sillet në mes min65 gradë dhe 100 gradë celsius
3. Puna në bankë si eksperiment dhe koha në mes të
konsumatorëve që vijnë në bankë dhe variabla e
rastësishme mudn të marrë vlera X>=0 minuta

6. Nocioneom Variables
Pyejta Variabla e rastit x Lloji i
variablës
Familja x = Numri i anëtarëve të
familjes që nuk kanë të ardhura ?
Distance nga x = Distanca në metra
?
shtëpia në dyqan
Nëse ka qen ose mace
x = 1 nëse kanë qen ose mace;
?
= 2 nesë kanë qen vetëm;
= 3 nëse kanë vetëm mace;
= 4 if oën dog(s) and cat(s)

7. Shpërndarja e probabilitetitom Variables
• Shpërndarja e probabilitetit të një variable të rastësishme
përshkruan se si janë të shpërndara probabilitetet për vlerat e
variablës së rastësishme.
• Shpërndarja e probabilitetit është e definuar me funksionin e
probabilitetit që tregon probabilitetin e secilës vlerë të variablës ë
rastësishme.
• Shpërndarja e probabilitetit mund të paraqitet në tabelë, grafikë ose
si formulë matematikore.

8. Kushtet e shpërndarjes së probabilitetit
.
1. Probabilitetit i secilës vlerë të
variablës të rastësishme
diskrete sillet në mes të 0 dhe 1
0  P (x)  1
2. Shuma e të gjitha
probabiliteteve është baraz me
1.
ΣP (x) = 1

9. x vlera e variablës së rastësishme që tregon
numrin e DVD të shitura në ditë

10.  A është kjo shpërndarje e probabilitetit?
0.16 + 0.18 + 0.22 + 0.10 + 0.3 + 0.01 = 0.97 <1 andaj
nuk është shpërndarje e probabilitetit

11.  A është kjo shpërndarje e probabilitetit?

12. Histogrami I probabilitetit është histogram
ku në boshtin horizontal janë të shënuara
vlerat e variablës së rastësishme ndërsa
në boshtin vertikal janë të shënuara
probabilitetet e secilës vlerë të variablës ë
rastësishme

13. Histogrami i shpërndarjes së probabilitetit:
x vlera e variablës së rastësishme që tregon
numrin e DVD të shitura në ditë

14. Shpërndarja e probabilitetit
Probability Distribution
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2 3 4 5 6
random variable values
probabilities

15. Shpërndarja e probabilitetit
Variabla x është variabël e rastësishme diskrete me vlerat e mundhsme x1, x2,
… , xn.
1. Llogarit shpërndarjen e frekuencave për rezultatet e
mundshme.
2. Llogarit shumën e frekuencave.
3. Llogarit probabilitetitn duke e pjestuar frekuencat e
secilit rezultat të mundshëm me shumën e
frekeucnave
4. Sigurohu se secili probabilitet është në mes të vlerës 0
dhe 1.

16. Shpërndarja e probabilitetit
0.18
0.39
0.24
0.14
0.04
0.01
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 1 2 3 4 5
Probability
Shperndarja e probabilitetit per numrin e veturave te shitura

17. Vlera e pritur
 Vlera e pritur ose mesatarja e variablës së
rastësishme është tregues i lokacionit qendror të
variablës së rastësishme

18. Vlera e pritur/mesatarja
Kompania mund të llogarit se në mesatare mund të
shes 1.5 vetura në ditë andaj mund të porosis 45
vetura për një muaj prej 30 ditësh
Numri i veturave Numri I ditëve Probabiliteti Vlera e pritur
x p(x) x(px)
0 54 0.18 0.00
1 117 0.39 0.39
2 72 0.24 0.48
3 42 0.14 0.42
4 12 0.04 0.16
5 3 0.01 0.05
Total 300 1 1.50

19. Varianca dhe devijimi standard
Tregon variabilitetin e variablës së rastësishme
Numri i veturave Numri I ditëve Probabiliteti Vlera e pritur Varianca Varianca Varianca Devijimi standard
x p(x) x(px) x-mesatarja (x-mesatarja)^2 ((x-mesatarja)^2)*p(x) Sqaure root of variance
0 54 0.18 0.00 -1.50 2.25 0.4050
1 117 0.39 0.39 -0.50 0.25 0.0975
2 72 0.24 0.48 0.50 0.25 0.0600
3 42 0.14 0.42 1.50 2.25 0.3150
4 12 0.04 0.16 2.50 6.25 0.2500
5 3 0.01 0.05 3.50 12.25 0.1225
Total 300 1 1.50 1.2500 1.118