Es una breve explicacion sobre los vectores

1. ÁLGEBRA
LINEAL
CLASE 6
Ing. Andrés Ordoñez Segarra Mgtr

2. UNIDAD 2 – Vectores R2 y Rn
2
Vectores en el plano. Espacio de
los vectores geométricos.
n – vectores.
Producto punto. Producto Cruz
Rectas
Planos

3. FÓRMULA DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES EN FUNCIÓN
DE SUS COMPONENTES
3
Sean los vectores u y v, entonces el producto escalar entre ellos es:
𝒖·𝒗 = 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒃𝟏𝒃𝟐
𝒖·𝒗 = 𝒖𝒙𝒗𝒙 + 𝒖𝒚𝒗𝒚
Es decir, el producto escalar entre dos vectores es igual a la suma de los productos
entre componentes homólogas.
Sean u = (3;0) y v =(5;5). Calcule el producto escalar u·v.
𝒖·𝒗 = 𝟑 ∗ 𝟓 𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟓

4. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES
4
En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno o
producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números
de igual dimensión (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.
Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las
correspondientes entradas en dos secuencias de números.

5. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
5
Sean u y v dos vectores diferentes de cero.
Entonces el ángulo φ entre u y v esta
definido como el ángulo no negativo mas
pequeño entre las representaciones de u y v
que tienen el origen como punto inicial. Si u =
αv para algún escalar α, entonces φ = 0 si α
> 0 y φ = π si α < 0 .
Esta definición se ilustra en la figura. Observe
que φ siempre se puede elegir para que sea
un ángulo no negativo en el intervalo [0, π].

6. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
6
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Si φ es el ángulo entre ellos,
entonces:
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
𝒖·𝒗= 𝑢 · 𝑣 cosφ

7. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
7
EJEMPLO: CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Encuentre el ángulo entre los vectores u = 2i + 3j y v = -7i + j.
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
=
−11
13 50
=
−11
650
= −0,431455497
𝒖·𝒗 = 𝟐 ∗ −𝟕 + 𝟑 ∗ 𝟏 = −𝟏𝟒 + 𝟑 = −𝟏𝟏
𝑢 = 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟏𝟑
𝑣 = (−𝟕)𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟓𝟎
cosφ=cos−1 −0,431455497 ≈ 2,0169°(≈ 115,6°)

8. VECTORES PARALELOS
8
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π.
Observe que los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
EJEMPLO:
Demuestre que los vectores u = (2 , -3) y v = (-4 , 6) son paralelos.
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
=
−8 − 18
13 52
=
−26
13(2 13)
=
−26
2 13
− 1
Por lo tanto, φ = π (de manera que u y v tienen direcciones opuestas).

9. VECTORES ORTOGONALES
9
Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el
ángulo entre ellos es
𝜋
2
.
EJEMPLO:
Demuestre que los vectores u = 3i + 4j y v = -4i + 3j son ortogonales.
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
= 0
Por lo tanto, como φ esta en el intervalo [0, π], φ =
𝜋
2
.
𝒖·𝒗 = 𝟑 ∗ 𝟒 − 𝟒 ∗ 𝟑 = 𝟎

10. PROYECCIÓN DE VECTORES
10
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v es un vector
denotado por proyv u, que se define por

11. PROYECCIÓN DE VECTORES
11

12. PROYECCIÓN DE VECTORES
12
• Observación 2. Se puede pensar en la proyv u como la componente de v del vector
u.
• Observación 3. Si u y v son ortogonales, entonces u . v = 0, de manera que proyv u
= 0.
• Observación 4. Una definición alternativa de la proyección es: si u y v son vectores
diferentes de cero, entonces proyv u es el único vector con las siguientes
propiedades:

13. PROYECCIÓN DE VECTORES
13
CALCULO DE UNA PROYECCIÓN
Sean u = 2i + 3j y v = i + j. Calcule proyv u.
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 =
𝐮. 𝐯 𝐯
𝐯 𝟐
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 =
5
( 𝟐)2
𝐯
𝐮·𝐯 = 𝟐 ∗ 𝟏 + (𝟑 ∗ 𝟏) = 𝟓
v = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐
𝐯 =
𝟓
𝟐
𝐢 +
𝟓
𝟐
𝐣
La proyección de (2, 3) sobre (1, 1) es (5/2,
5/2)

14. PROYECCIÓN DE VECTORES
14
CALCULO DE UNA PROYECCIÓN
Sean u = 2i - 3j y v = i + j. Calcule proyv u.
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 =
𝐮. 𝐯 𝐯
𝐯 𝟐
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 =
−1
( 𝟐)2
𝐯
𝐮·𝐯 = 𝟐 ∗ 𝟏 + −𝟑 ∗ 𝟏 = −𝟏
v = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐
𝐯 = −
𝟏
𝟐
𝐢 + −
𝟏
𝟐
𝐣
La proyección de (2, -3) sobre (1, 1) es (-1/2, -
1/2)

15. RESUMEN
15

16. TAREA EN CLASE N°7
16

17. COMPONENTE PRÁCTICO N°6
17

18. COMPONENTE PRÁCTICO N°6
18

19. COMPONENTE PRÁCTICO N°6
19

20. VECTORES EN EL ESPACIO
20
Los vectores constituyen el espacio ℝ3. Para representar un punto en el espacio, se
comienza por elegir un punto en R3. A este punto se le denomina el origen, denotado
por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre si, a las que se llama el eje
x, el eje y y el eje z. Dichos ejes se pueden seleccionar de diferentes formas, pero la
mas común tiene los ejes x y y horizontales y el eje z vertical. Sobre cada eje se elige
una dirección positiva y la distancia a lo largo de cada eje se mide como el numero de
unidades en esta dirección positiva a partir del origen.

21. VECTORES EN EL ESPACIO
21
a) Un sistema derecho;
b) Un sistema izquierdo.
La mano derecha indica las
direcciones de un sistema
derecho.

22. VECTORES EN EL ESPACIO
22
Los tres ejes en nuestro sistema determinan tres planos coordenados, que se denominan
plano xy, plano xz y plano yz. El plano xy contiene los ejes x y y y es simplemente el plano
con el que se ha venido trabajando hasta ahora en la mayor parte del libro. Se puede
pensar en los planos xz y yz de modo similar.
Al tener nuestra estructura construida de ejes coordenados y planos, podemos describir
cualquier punto P en ℝ3 de una sola manera:
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛)
Sean P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) dos puntos en el espacio. Entonces la distancia PQ entre P y Q esta dada
por
PQ = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐 + 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐
𝟐 + 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐
𝟐

23. VECTORES EN EL ESPACIO
23
PQ = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐 + 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐
𝟐 + 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐
𝟐
Calcule la distancia entre los puntos (3, -1, 6) y (-2, 3, 5).
PQ = 𝟑 − (−𝟐) 𝟐 + −𝟏 − 𝟑 𝟐 + 𝟔 − 𝟓 𝟐
PQ = 𝟒𝟐

24. VECTORES EN EL ESPACIO
24
𝐯 = 𝐯 = 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟏
𝟐 + 𝒛𝟏
𝟐
Sean P y Q dos puntos distintos en ℝ3. Entonces el segmento de recta dirigido 𝑃𝑄 es
el segmento de recta que se extiende de P a Q. Dos segmentos de recta dirigidos son
equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección. Un vector en ℝ3 es el conjunto de
todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido
dado, y cualquier segmento dirigido P Q en ese conjunto se llama una representación
del vector.
Hasta aquí las definiciones son idénticas. Por conveniencia, se elige P en el origen para
poder describir el vector v = 0𝑄 mediante las coordenadas (x, y, z) del punto Q.
Entonces la magnitud de:

25. VECTORES EN EL ESPACIO
25
Sea v = (1, 3, -2). Encuentre |v|.
𝐯 = 𝟏𝟒
𝐯 = 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟏
𝟐 + 𝒛𝟏
𝟐
𝐯 = 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 + −𝟐 𝟐

26. VECTORES EN EL ESPACIO
26

27. VECTORES EN EL ESPACIO
27
Un vector unitario u es un vector con magnitud 1. Si v es un vector diferente de cero,
entonces 𝐮 =
v
v
es un vector unitario que tiene la misma dirección que v.
Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que v = (2, 4, -3).
𝐯 = 2 2 + 4 2 + −3 2
𝐯 = 29
𝒖 =
2
29
,
4
29
, −
3
29

28. VECTORES EN EL ESPACIO
28
Ahora se puede definir formalmente la dirección
de un vector en ℝ3. No se puede definir como el
ángulo θ que forma el vector con el eje x positivo
ya que, por ejemplo, si , por lo que existe un
numero infinito de vectores que forman un
ángulo θ con el lado positivo del eje x, y estos
vectores juntos forman un cono.
Todos los vectores que están
en este cono forman un ángulo
u con la parte positiva del eje x.

29. VECTORES EN EL ESPACIO
29
DIRECCIÓN EN ℝ3
La dirección de un vector v en ℝ3 se define como el vector unitario 𝐮 =
v
v
.
Es conveniente definir la dirección de un
vector v en términos de algunos ángulos.
Sea v el vector 0𝑃. Definimos α como el
ángulo entre v y el eje x positivo, β el
ángulo entre v y el eje y positivo, y γ el
ángulo entre v y el eje z positivo. Los
ángulos α, β, γ se denominan ángulos
directores del vector v.

30. VECTORES EN EL ESPACIO
30
La dirección de un vector v en ℝ3 se define como el vector unitario 𝐮 =
v
v
.
cos 𝛼 =
𝑥0
v cos 𝛽 =
𝑦0
v
cos 𝛾 =
𝑧0
v
Si v es un vector unitario, entonces |v| = 1
cos 𝛼 = 𝑥0
cos 𝛽 = 𝑦0
cos 𝛾 = 𝑧0

31. VECTORES EN EL ESPACIO
31
Si α, β y γ son tres números cualesquiera entre cero y π, entonces determinan de manera única
un vector unitario dado por u = (cos α, cos β , cos γ ).
Observación. Si v = (a, b, c) y |v| ≠ 1, entonces los números a, b y c se llaman números
directores del vector v.
Cálculo de los cosenos directores de un
vector en ℝ3
Encuentre los cosenos directores del vector v = (4, -1, 6).
v
v
=
v
53
=
4
53
−
1
53
,
6
53

32. VECTORES EN EL ESPACIO
32
Cálculo de los cosenos directores de un vector en
ℝ3
Encuentre los cosenos directores del vector v = (4, -1, 6).
cos 𝛼 =
4
53
≈ 0,5494
v
v
=
v
53
=
4
53
−
1
53
,
6
53
cos 𝛽 =
−1
53
≈ −0,1354
cos 𝛾 =
6
53
≈ 0,8242
𝛼 ≈ 56,70°
𝛽 ≈ 97,90°
𝛾 ≈ 34,50°

33. RESUMEN
33

34. RESUMEN
34

35. COMPONENTE PRÁCTICO N°7
35
Realizar los ejercicios solicitados en MATLAB

36. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
36
Sean 𝐮 = 𝑎1𝐢 + 𝑏1𝐣 + 𝑐1𝐤 y 𝐯 = 𝑎2𝐢 + 𝑏2𝐣 + 𝑐2𝐤. Entonces el producto cruz (cruz
vectorial) de u y v, denotado por u x v, es un nuevo vector definido por:
𝐮 × 𝐯 = 𝑏1𝑐2 − 𝑐1𝑏2 𝐢 + 𝑐1𝑎2 − 𝑎1𝑐2 𝐣 + 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2 𝐤
EJEMPLO
• Sean u = i - j + 2k y v = 2i + 3j - 4k. Calcule w = u X v.
𝐰 = −1 −4 − (2)(3) 𝐢 + 2 2 − (1)(−4) 𝐣 + 1 3 − (−1)(2) 𝐤
𝐰 = −2𝐢 + 8𝐣 + 5𝐤

37. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
37
Antes de continuar el estudio de las aplicaciones del producto cruz se observa que
existe una forma sencilla de calcular u X v usando determinantes.

38. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
38

39. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
39

40. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
40

41. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
41
Se sabe que, u X v es un vector ortogonal a
u y v, pero siempre habrá dos vectores
unitarios ortogonales a u y v. Los vectores n
y -n (n por la letra inicial de normal) son
ambos ortogonales a u y v. ¿Cual tiene la
dirección de u X v? La respuesta esta dada
por la regla de la mano derecha. Si se
coloca la mano derecha de manera que el
índice apunte en la dirección de u y el dedo
medio en la dirección de v, entonces el
pulgar apuntara en la dirección de u X v.

42. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
42
El área del paralelogramo que tiene
lados adyacentes es igual a
𝐮 𝐯 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝐮 × 𝐯
EJERCICIO
Encuentre el área del paralelogramo con vértices
consecutivos en P = (1, 3, -2), Q = (2, 1, 4) y R = (-3,
1, 6).
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑃𝑄 × 𝑄𝑅 = (𝒊 − 2𝒋 + 6𝒌) × (−5𝒊 + 2𝒌)
=
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 6
−5 0 2
= −4𝒊 − 32𝒋 − 10𝒌 = 1140 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

43. RESUMEN
43

44. COMPONENTE PRÁCTICO N°8
44

45. 45
BIBLIOGRAFIA.
ALGEBRA LINEAL , STANLEY I. GROSSMAN
ALGEBRA LINEAL, BERNARD KOLMAN, DAVID R HILL.
¡GRACIAS TOTALES!
“La mejor forma de predecir el futuro es creándolo”.
Abraham Lincoln