Função Exponencial

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Função Exponencial

  1. 1. Explorando as Funções Exponenciais com o auxílio do Winplot Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática Heitor Carvalho – 68117 Lucas Silveira - 68112 Matheus Brasiel – 68101 Mayara Permanhane - 68204
  2. 2. • Links para baixar o Winplot: • http://www.winportal.com.br/winplot Qualquer dúvida, consultem o seguinte arquivo: http://math.exeter.edu/rparris/peanut/Explorando%20W http://pibid.mat.ufrgs.br/2009- 2010/arquivos_publicacoes1/indicacoes_01/aplicacoes_win plot_PIBID_bahia1.pdfinplot%20-%20Vol%201.pdf
  3. 3. Função Exponencial Suponha que atualmente a dívida de certo município seja de 1 milhão de dólares e que, a partir de hoje, a cada década, a dívida dobre em relação ao valor devido na década anterior. Dessa forma, podemos construir a tabela ao lado, na qual o tempo zero indica o momento atual.
  4. 4. TEMPO (EM DÉCADAS) DÍVIDA (EM MILHÕES DE DÓLARES) 0 1 1 2 3 8 4 16 5 32 X Y
  5. 5. Função Exponencial Note que, na segunda coluna, os valores são potências de 2, ou seja, 20, 21, 22, 23, 24, 25,... Assim, para cada tempo x, em décadas, a dívida y, em milhões de dólares, pode ser expressa pela função: y = 2x.
  6. 6. Função Exponencial Neste item, vamos estudar funções como a desse exemplo, isto é, funções do tipo y = ax, em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
  7. 7. Definição Chama-se de função exponencial toda função f: R→R* +, tal que f(x) = ax, com a ϵ R* + e a ≠ 1.
  8. 8. Exemplos
  9. 9. Função 2x no Winplot 1. Abra o programa Winplot no seu computador. 2. Clique em “Janela” e, em seguida, “2- dim”. 3. Nesta nova janela, clique em “Equação” e em “Explícita”. 4. Na janela, digite em f(x) a função: 2^x.
  10. 10. 1. Na mesma janela em que você fez o gráfico da função f(x) = 2x, clique em “Equação” e em “Explícita”. 2. Na janela, digite em f(x) a função: (1/2)^x.
  11. 11. Obs.: O gráfico em vermelho representa a função f(x) = 2x, já o gráfico em azul é referente a função f(x) = (1/ 2)x.
  12. 12. Pergunta O que você pôde observar nos gráficos das funções digitadas anteriormente?
  13. 13. Possíveis respostas para a pergunta anterior • Os gráficos têm sentidos opostos. • Um gráfico é crescente e o outro decrescente. • Os gráficos se interceptam no ponto (0,1). • Os gráficos não interceptam o eixo das abscissas (eixo x). Todas as respostas anteriores estão corretas. A seguir discutiremos um pouco sobre os gráficos das funções exponenciais.
  14. 14. Gráficos da Função Exponencial Vamos esboçar o gráfico de funções exponenciais a partir de alguns pontos obtidos por meio de uma tabela, conforme os exemplos a seguir.
  15. 15. a) f(x) = 2x Atribuindo a x os infinitos valores reais obtemos o gráfico: • D (f)= R • Im (f)= R+ * • f é crescente em todo seu domínio
  16. 16. Atribuindo a x os infinitos valores reais obtemos o gráfico: • D (g)= R • Im (g)= R+ * • g é decrescente em todo seu domínio
  17. 17. Propriedades da função exponencial P1) Sendo a >0 e a ≠ 1, tem-se: ax = ay se, e somente se, x = y. P2) A função exponencial f(x)= ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a > 1. P3) A função exponencial f(x)= ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1.
  18. 18. Atividade utilizando o Winplot
  19. 19. 2) Suponha que as populações de dois vilarejos ribeirinhos, A e B, situados ao longo das fronteiras de Alagoas, Bahia e Sergipe, as margens do rio São Francisco, tenham as suas populações variando de acordo com as funções f(t) = 2t+2 + 75 e g(t) = 2t+1 + 139, em que t é o tempo, em ano, e as expressões f(t) e g(t) representam, respectivamente, o número de indivíduos desses vilarejos. (Cânion do Rio São Francisco entre os estados de Alagoas, Bahia e Sergipe, 2011).
  20. 20. Construindo o Gráfico no Winplot 1. Abra o programa Winplot no seu computador. 2. Clique em “Janela” e, em seguida, “2-dim”. 3. Nesta nova janela, clique em “Equação” e em “Explícita”. 4. Na janela, digite primeiro a função f(t). 5. Repita os passos 3 e 4 para desenhar o gráfico de g(t).
  21. 21. Utilize o Winplot para auxiliar nestas atividades. a) Determine o ponto (a,b), tal que este ponto é a interseção dos gráficos das funções f e g. Dica: utilize o gráfico construído no Winplot. b) Daqui quantos anos os dois vilarejos terão o mesmo número de indivíduos? c) Daqui a sete anos, qual será o número de indivíduos do vilarejo A?
  22. 22. Agora você é o professor! Crie um exercício envolvendo função exponencial utilizando o software Winplot e envie para um colega tentar solucioná-lo.
  23. 23. Atividade envolvendo função quadrática e exponencial 1. Construa o gráfico das funções: a) f(x) = x2 + 2x – 1 g(x) = 2x + 1 b) Encontre as raízes de f e g. c) Existem interseção entre as funções? d) Em que intervalo f admite valores menores que g? Muito obrigado!!!!!

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