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Elicitar as
alternativas
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alternativas
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Implantação
Definir o
marco
decisório
Análise
Determinista
Análise
Probabilística
Avaliação
Parnell, G. S. et. al. (2013). Handbook of Decision Analysis (Vol. 6). John Wiley & Sons. Cap 05.
Iniciamos a etapa ‘avaliar as alternativas’
A matriz de resultados
Conhecida também como a matriz de payoff
Matriz de Resultados
• Também	chamada	Matriz	de	Payoff e	Matriz	
de	Decisão;
• Serve	para	organizar	as	informações	
(alternativas)	e	ajudar	na	escolha	da	melhor	
decisão;
• Para	isso,	ela	combina	informações	das	
alternativas	(decisões),	estados	(da	natureza)	
e	resultados	dessas	decisões	(payoffs).
Matriz de Resultados
Estados	da	Natureza
Alternativas:	a1,	a2,...,an
Estados:	s1,	s2,...,	sm
Decisão s1 s2
a1 Payoff a1s1 Payoff a1s2
a2 Payoff a2s1 Payoff a2s2
Matriz de Resultados
• Cada	alternativa	decisória	levará	a	um	
resultado	ou	payoff;
• Por	exemplo,	se	a	alternativa	decisória	“a1”
for	Comprar	Terreno	e	o	estado	da	natureza	
“s1” for	condições	econômicas	favoráveis,	o	
estudo	financeiro	poderia	estimar	um	
payoff “a1s1”	de	R$40.000	de	resultado;
• Vejamos	outras	opções:
Matriz de Resultados
Decisão s1 s2
a1 40 10
a2 30 30
a3 20 20
Estados	da	Natureza
Resultados	em	milhares	de	R$
s1:	Condições	Econômicas	Favoráveis
s2:	Condições	Econômicas	Desfavoráveis
a1:	Comprar	Terreno
a2:	Comprar	Sala	Comercial
a3:	Investir	em	Ações
Uma vez que a matriz foi
construida, devemos escolher a
melhor decisão, mas como?
Uma primeira aproximação
• Verificar se	existem alternativas claramente ‘mais
atrativas’ do	que as	outras;
• Esta ‘regra’	se	conhececomo o	‘princípio da	
dominância’;
• Formalmente,	o	“princípio	da	dominância”	é	
representado	como:
• ai	≥	aj se,	e	somente	se:	Payoff(ai,s)	≥		Payoff(aj,	s)	
para	todo	s.
• Neste	caso,	a	alternativa	‘dominada’	é	excluída,	
simplificando	o	problema,	e	em	alguns	casos,	levando	
diretamente	a	solução.
Princípio da Dominância
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
a3 20 20
Estados	da	Natureza
Resultados	em	milhares	de	R$
s1:	Condições	Econômicas	Favoráveis
s2:	Condições	Econômicas	Desfavoráveis
a1:	Comprar	Terreno
a2:	Comprar	Sala	Comercial
a3:	Investir	em	Ações
Princípio da Dominância
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
a3 20 20
Estados	da	Natureza
A	alternativa	a3	é	dominada	pelas	outras	alternativas
Portanto,	ela	pode	ser	excluída	da	lista	de	possíveis	
alternativas.
Princípio da Dominância
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
a3 20 20
Estados	da	Natureza
O	Princípio	da	
Dominância	nos	ajuda	a	
identificar	que,	
independentemente	do	
estado	da	natureza,	a3
não	poderá	ser	escolhida,	
pois	a2 e	a1 serão	sempre	
melhores	do	que	a3.
Neste	caso,	utilizamos	regras	de	
decisão...
Contudo,	o	Princípio	da	Dominância	
não	nos	ajuda	a	identificar	qual	é	a	
melhor	alternativa	entre	a1 e	a2	?
Regra Maximax (Regra Otimista)
§ A	Regra	Maximax sustenta	que,	em	muitas	
ocasiões,	é	razoável	(racional)	assumir	o	melhor	
resultado	possível;
§ Ou	seja,	que	a	natureza	sempre	estará	‘a	seu	
lado’;
§ Desta	maneira,	a	regra	procura	maximizar	o	
máximo	valor	passível	de	ser	obtido;
§ No	exemplo	anterior,	a	alternativa	escolhida	pela	
regra	Maximax seria	a1	(Terreno),	vejamos	o	por	
quê:
Regra Maximax (Regra Otimista)
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
Estados	da	Natureza
MÁXIMO
(por fila)
40
30
A	alternativa	a1	é	a	melhor
Regra Maximin (Pessimista)
• A	Regra	Maximin sustenta	que	em	muitas	
ocasiões,	é	razoável	(racional)	assumir	o	
pior resultado	possível;
• Ou	seja,	maximizar	o	mínimo	valor	passível	
de	ser	obtido;
• No	exemplo,	a	opção	escolhida	seria	a	
alternativa	a2	(Sala	Comercial),	vejamos	o	
por	quê:
Regra Maximin (Pessimista)
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
Estados	da	Natureza
25
30
Passo	1:	Para	cada	alternativa,	escolher	o	valor	mínimo
Passo	2:	Dentre	os	valores	mínimos,	escolher	o	valor	máximo
Regra Minimax (Arrependimento)
§ A	Regra	Minimax (máximo	arrependimento)	
sustenta	que	o	sentimento	de	arrependimento	é	
importante	na	tomada	de	decisões;
§ Ou	seja,	a	melhor	alternativa	é	aquela	que	
minimiza	o	máximo	valor	de	arrependimento;
§ No	exemplo,	a	opção	escolhida	seria	a	alternativa	
a1	(comprar	terreno),	vejamos	o	por	quê...
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
Estados	da	Natureza
Passo	1:	Para	cada	alternativa,	escolher	o	valor	máximo
Regra Minimax (Arrependimento)
Decisão s1 s2
a1 40-40	=	0 25-30	=	-5
a2 30-40 =	-10 30-30	=	0
Estados	da	Natureza
Passo	2:	O	valor	máximo	de	cada	estado	da	natureza	é	
subtraído	de	todos	os	resultados	(payoffs)	por	coluna
Regra Minimax (Arrependimento)
Decisão s1 s2
a1 0 -5
a2 -10 0
Estados	da	Natureza
Regra Minimax (Arrependimento)
Passo	3:	Escolher	o	valor	de	resultado	(payoff)	que	represente	o	
mínimo	arrependimento,	neste	caso:	-5.000	R$.	Esta	será	
portanto	a	alternativa	a	ser	escolhida	(comprar	terreno).
-5
-10
Regra de Hurwicz
§ A	Regra	de	Hurwicz estabelece	uma	
relação	de	otimismo/pessimismo	para	
escolhar a	melhor	alternativa;
§ Para	isto,	utiliza	um	índice,	conhecido	
como	índice	do	otimismo,	ou,	
simplesmente,	α;
§ Para	o	exemplo,	assumamos	α=0,70;
§ Com	esse	valor	de	α	a	alternativa	
escolhida	por	esta	regra	é	a1	(comprar	
terreno).
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
Estados	da	Natureza
Passo	1:	Definir	o	valor	do	α,	para	nosso	exemplo	α=0,70
Regra de Hurwicz
Passo	2:	Identifica-se	o	valor	máximo	de	cada	alternativa	
(Vmax)	e	o	valor	mínimo	de	cada	alternativa	(Vmin).
Vmax
Vmin
Obs:	para	a2,	neste	exemplo,	Vmax e	Vmin são	iguais
Decisão s1 s2
a1 40	x	0,7	=	28 25	x	0,3	=	7,5
a2 30	x	0,3	=	9 30	x	0,7	=	21
Estados	da	Natureza
Regra de Hurwicz
Passo	3:	Calcula-se	o	produto	(α	*	Vmax),	para	cada	
alternativa.	Calcula-se,	logo,	o	produto	[(1- α)	*	Vmin]	
para	cada	alternativa.
Vmax
Vmin
Decisão s1 s2
a1 28 7,5
a2 9 21
Estados	da	Natureza
Regra de Hurwicz
Passo	4:	Soma-se	(α	*	Vmax)	e	[(1- α)	*	Vmin]	para	cada	
alternativa.
35,5
30
A	melhor	alternativa	será	aquela	com	o	valor	máximo,	neste	
caso,	a1.
Regra de Hurwicz
§ A	Regra	de	Hurwicz também	pode	ser	
utilizada	para	realizar	uma	análise	de	
sensibilidade,	sobre	o	valor	do	α;
§ Ou	seja,	varia-se	o	valor	do	α,	e	com	esses	
dados	plota-se	um	gráfico;
§ Vejamos	como	funciona...
Regra de Hurwicz
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
45.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Análise	de	Sensibilidade	 - Hurwicz
a1 a2
Para	cada	valor	de	α,	seguem-se	os	4	passos	explicados	
anteriormente.	Com	cada	valor	calculado,	plota-se	uma	linha	
por	alternativa.	Neste	caso,	teremos	duas	linhas.
Regra de Hurwicz
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
45.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Análise	de	Sensibilidade	 - Hurwicz
a1 a2
A	análise	de	sensibilidade	indica,	que,	a	partir	de	um	valor	α=0,3
aproximadamente,	a	alternativa a1 é	a	melhor.
Regra de La Place
§ A	Regra	de	La	Place (Regra	de	Iguais	
Possibilidades)	assume	que	todos	os	eventos	
(estados	da	natureza)	podem	acontecer	com	
a	“mesma”	probabilidade;
§ Ou	seja,	converte	um	problema	de	decisão	
sob	incerteza	num	problema	de	decisão	sob	
risco;
§ Para	o	nosso	exemplo,	a	alternativa	escolhida	
seria	a1	(comprar	terreno).
Decisão s1 s2
a1 40 25
a2 30 30
Estados	da	Natureza
Regra de La Place
Passo	1:	Escolhem-se	probabilidades	idênticas	para	todos	os	
estados	da	natureza	(o	somatório	deve	ser	igual	a	1),	ou	seja,	a	
probabilidade	de	cada	estado	da	natureza	é	1/n ,	sendo	n o	
número	de	estados	da	natureza.	Neste	exemplo,	n =	2	portanto,	a	
probabilidade	de	cada	estado	da	natureza	será	0,5
Decisão s1 s2
a1 40	x	0,5	=	20 25	x	0,5	=	12,5
a2 30	x	0,5	=	15 30	x	0,5	=	15
Estados	da	Natureza
Regra de La Place
Passo	2:	Multiplica-se	cada	resultado	pelo	valor	da	probabilidade,	
neste	caso	por	0,5.
Decisão s1 s2
a1 20 12,5
a2 15 15
Estados	da	Natureza
Regra de La Place
Passo	3:	Somam-se	os	valores	ponderados	no	valor	anterior	(ou	
seja,	calcula-se	o	valor	esperado)
32,5
30
Passo	4:	Escolhe-se	a	alternativa	que	apresente	o	valor	esperado	
máximo,	ou	seja,	a	alternativa	a1.
Exemplo 2
Exemplo 2:
§ Assuma	que	você	está	pensando	em	comprar	
um	seguro	para	seu	carro;
§ Assuma	que	o	valor	da	apólice	é	R$	1.000	
para	assegurar	um	carro	que	vale	R$	40.000
Estados	da	Natureza
Decisão s1 s2
a1 Payoff a1s1 Payoff a1s2
a2 Payoff a2s1 Payoff a2s2
Exemplo 2:
Decisão Acidente Não	Acidente
Comprar	o
Seguro
Sem	carro	+	
R$	40.000	–
R$1.000
Carro	–
R$1.000
Não	comprar	o	
Seguro
Sem	carro	e	
R$	1.000
Carro	e	R$	1.000
Estados	da	Natureza
Decisão Acidente Não	Acidente
Comprar	o
Seguro
Sem	carro	+	
R$	40.000	–
R$1.000
Carro	–
R$1.000
Não	comprar	o	
Seguro
Sem	carro	e	
R$	1.000
Carro	e	R$	1.000
Estados	da	Natureza
Exemplo 2:
Exemplo 2:
Decisão Acidente Não	Acidente
Comprar	o
Seguro
Sem	carro	+	
R$	40.000	–
R$1.000
Carro	–
R$1.000
Não	comprar	o	
Seguro
Sem	carro	e	
R$	1.000
Carro	e	R$	1.000
Estados	da	Natureza
Exemplo 2:
Decisão Acidente Não	Acidente
Comprar	o
Seguro
R$	39.000 R$	39.000
Não	comprar	o	
Seguro
R$	1.000 R$	41.000
Estados	da	Natureza
Como	você	decidiria?
Maximax – Regra Otimista
MÁXIMO
R$	39.000
R$	41.000
Maximin – Regra Pessimista
R$	39.000
R$	1.000
1º	Passo:	Para	cada	alternativa,	escolher	o	valor	mínimo.
2º	Passo:	Dentre	os	valores	mínimos,	escolher	o	máximo.
0
-38.000
-2.000
0
2º	Passo:	O	valor	máximo	de	cada	Estado	da	Natureza	é	substraido
de	todos	os	valores	de	payoff.
Minimax – Arrependimento
0
-38.000
-2.000
0
3º	Passo:	Escolher	o	valor	de	payoff que	represente	o	mínimo	
arrependimento,	neste	caso:	-2000	R$.	Esta	será	portanto	a	
alternativa	a	ser	escolhida	(comprar	seguro).
Minimax – Arrependimento
Regra de Hurwicz
EXERCÍCIO 1
1º	Passo:	Assumamos	um	índice	α	=	0,7,	portanto	(1-α)	=	
0,3
Regra de Hurwicz
EXERCÍCIO 1
2º	Passo:	Identifica-se	o	valor	máximo	de	cada	alternativa	
(Vmax)	e	o	valor	mínimo	de	cada	alternativa	(Vmin).
Regra de Hurwicz
EXERCÍCIO 1
39k(0,7)
1k(0,3)
39k(0,3)
41k(0,7)
3º.	Passo:	Calcula-se	o	produto	(α	*	Vmax),	para	cada	
alternativa.	Calcula-se	o	produto	[(1- α)	*	Vmin]	para	cada	
alternativa.
Regra de Hurwicz
EXERCÍCIO 1
27300
300
11700
28700
+
39.000
29.000
4º.	Passo:	Soma-se	(α	*	Vmax)	e	[(1- α)	*	Vmin]	para	cada	
alternativa.
Regra de Hurwicz
EXERCÍCIO 1
27300
300
11700
28700
+
39.000
29.000
MÁXIMO
5º.	Passo:	A	melhor	alternativa	será	aquela	com	o	valor	
máximo.
Regra de La Place
EXERCÍCIO 1
1º	Passo:	Escolhem-se	probabilidades	idênticas	para	todos	os	
estados	da	natureza.	Ou	seja,	a	probabilidade	de	um	acidente	
acontecer	é	0,5;	e	a	probabilidade	de	não	acontecer	é	também	
0,5.
Regra de La Place
EXERCÍCIO 1
2º	Passo:	Multiplica-se	cada	resultado	pelo	valor	da	probabilidade.
1k(0,5)
39k(0,5)
41k(0,5)
39k(0,5)
Regra de La Place
EXERCÍCIO 1
R$	39.000
R$	21.000
3º	Passo:	Somam-se	os	valores	ponderados	no	passo	anterior	
(calcula-se	o	valor	esperado).	
1k(0,5)
39k(0,5)
41k(0,5)
39k(0,5)
Regra de La Place
EXERCÍCIO 1
MÁXIMO
R$	39.000
R$	21.000
4º	Passo:	Escolhe-se	a	alternativa	que	apresente	o	valor	esperado
máximo.
1k(0,5)
39k(0,5)
41k(0,5)
39k(0,5)
Exemplo 3
Exemplo 3
Um	investidor	precisa	
decidir	entre	comprar	
hoje:	um	
apartamento,	uma	
sala	comercial ou	um	
espaço	para	depósito
para	revender	daqui	a	
10	anos.
Primeiro:	Calcule	o	VPL	de	cada	alternativa,	com	base	nas	
informações	a	seguir.	Assuma	i=10%	para	o	mercado	
ruim	e	i=5%	para	o	mercado	bom
Apa Sal Dep
Investimento	Inicial	
(x1000$)
250 350 500
Custo	Anual	da	Operação	
(x1000$)
12 18 24
Rendimento (receita)	
(x1000$)
24 60 96
Valor	de	Resgate	–
Mercado	Bom	(x1000$)
500 1000 850
Valor	de	Resgate –
Mercado	Ruim (x1000$)
300 400 550
Vida	(anos) 10 10 10
0 1 2 3 4
Investimento
inicial
5
Custo
Anual
Valor de
Revenda
A	estrutura	dos	fluxos	de	caixa	será:
6 7 8 9 10
Receita
Anual
A	planilha	para	cálculo	(para	o	mercado	bom)	será:
n ap sala deposito
0 -250 -350 -500
1 12 42 72
2 12 42 72
3 12 42 72
4 12 42 72
5 12 42 72
6 12 42 72
7 12 42 72
8 12 42 72
9 12 42 72
10 512 1042 922
A	planilha	para	cálculo	(para	o	mercado	ruim)	será:
n ap sala deposito
0 -250 -350 -500
1 12 42 72
2 12 42 72
3 12 42 72
4 12 42 72
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6 12 42 72
7 12 42 72
8 12 42 72
9 12 42 72
10 312 442 622
Única diferença
no valor final do
ano 10
Contudo, os fluxos de caixa dos outros anos poderiam também
variar conforme o estado do mercado (bom ou ruim)
Decisão Mercado	Bom Mercado	Ruim
Apartamento VPL	=	R$	149k VPL	=	- R$		60k
Sala Comercial VPL	=	R$	588k VPL	= R$		62k
Depósito VPL	=	R$	577k VPL	= R$	154k
Estados	da	Natureza
MÁXIMO
R$	149.000
R$	588.000
R$	577.000
Maximax
R$	-60.000
R$		62.000
R$		154.000
1º	Passo:	Para	cada	alternativa,	escolher	o	valor	mínimo.
2º	Passo:	Dentre	os	valores	mínimos,	escolher	o	máximo.
Maximin
Escolher	o	valor	de	payoff que	represente	o	mínimo	
arrependimento.	Neste	caso,	o	valor	-10	(A	opção	escolhida	será	
Depósito).
-438
0
-10
-215
-92
0
Minimax
+
65
377
408
89
352
346
-24
24
61
Assumamos	um	índice	α	=	0,4,	portanto	(1-α)	=	0,6	
Hurwicz
MÁXIMO
149k(0,5) -60k(0,5)
588k(0,5) 62k(0,5)
577k(0,5) 154k(0,5)
44
325
366
La Place
Bibliografia
1. Ragsdale,	Cliff	T.	(2015).	Modelagem	de	Planilha	e	Análise	de	Decisão:	
Uma	introdução	prática	a	business	analytics. Cengage Learning.	616p.	
Cap.	14.	Análise	de	Decisão.
2. Taylor,	B.	W.	(2013).	Introduction	to	management	science.	Prentice	Hall.	
Cap12.	Decision	Analysis.	pp.538-545	(Decision	under	uncertainty)
Prof. Dr. Mauricio Uriona Maldonado
EPS 7009 – Teoria da Decisão
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