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Preparação exame nacional matemática 9.º ano - 1

Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Teste 1

Preparação exame nacional matemática 9.º ano - 1

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1
Miguel Fernandes
PREPARAÇÃO PARA EXAME NACIONAL
2018/2019
Teste de Avaliação n.º 1
(números reiais, intervalos, inequações, funções, equações)
1. Considera os números da forma 3𝑥 + 2𝑦, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ.
1.1. Mostra que o conjunto dos números daquela forma coincide com ℤ.
1.2. Mostra que se 𝑥 e 𝑦 forem tais que 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 0, então (3𝑥 + 2𝑦)2
≥ 25𝑦2
.
2. Qual dos seguintes conjuntos é igual a [−20, 500] ∩ ℝ+
?
(A) [5, 500]
(B) ℝ+
(C) ]0, 500]
(D) [−20, 0[
3. Considera um intervalo 𝐴 limitado e fechado e o intervalo 𝐵 cujos elementos resultam de adicionar 2 aos
elementos de 𝐴.
3.1. Justifica que 𝐵 é também um intervalo limitado e fechado.
3.2. Mostra que se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, então a amplitude do intervalo 𝐴 é inferior a 2.
4. Indica o conjunto de valores que satisfazem a condição abaixo:
2(𝑥 + 3) ≤ 3𝑥 − 4 ∧ −
𝑥+3
2
> −2𝑥
5. Resolve, em função do parâmetro 𝑎, a inequação:
𝑎(𝑥 + 2) ≥ 4
6. Resolve, em função do parâmetro 𝑎 ≠ 1, a inequação:
−
𝑎𝑥+1
𝑎−1
≥ 3𝑎 + 𝑥
7. Indica, ou justifica que não existe, uma função cujo gráfico:
7.1. Não interseta o eixo das abcissas.
7.2. Contém os pontos de coordenadas (0, 1) e (0, 2).
7.3. Contém os pontos de coordenadas (1, 0) e (2, 0).
7.4. É uma reta que contém a origem do referencial.
7.5. Contém pontos de ordenada não negativa.
7.6. É simétrico em relação eixo das abcissas.
8. Considera uma função cujo gráfico é simétrico em relação à origem.
8.1. Escreve a expressão de uma função nessas condições.
8.2. Mostra que se o gráfico for uma reta, então a função é linear.
9. Seja 𝑎 um número real tal que o ponto (𝑎4
, 𝑎 + 1) pertence à parábola 𝑦 = 𝑥2
.
Qual das seguintes expressões é igual a (𝑎2
+ 2𝑎 + 2)2
?
(A) 𝑎16
+ 2𝑎8
+ 1
(B) 𝑎32
+ 2𝑎8
+ 1
(C) 𝑎16
+ 2𝑎16
+ 1
(D) 𝑎32
+ 2𝑎16
+ 1
10. Resolve a equação 2𝑥2
− 6𝑥 − 8 = 0.
11. Indica, em função do parâmetro 𝑘, o número de soluções da equação (3 + 𝑘)𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0.
2
Miguel Fernandes
Correção
1.
1.1. É evidente que qualquer número da forma 3𝑥 + 2𝑦, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, é um número inteiro. Por outro lado,
como 1 = 3 × (−1) + 2 × 2, para qualquer número inteiro 𝑘, 𝑘 = 3 × (−𝑘) + 2 × 2𝑘, onde claramente
−𝑘, 2𝑘 ∈ ℤ. Portanto, todo o número inteiro é escrito na forma 3𝑥 + 2𝑦, donde resulta a igualdade dos
conjuntos.
1.2. Tem-se (3𝑥 + 2𝑦)2
= 9𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
e, usando as desigualdades 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 0, resulta 9𝑥2
≥ 9𝑦2
e
também 12𝑥𝑦 ≥ 12𝑦2
, logo (3𝑥 + 2𝑦)2
= 9𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
≥ 9𝑦2
+ 12𝑦2
+ 4𝑦2
= 25𝑦2
.
2. [−20, 500] ∩ ℝ+
= [−20, 500] ∩ ]0, +∞[ = ]0, 500], opção correta: C.
3.
3.1. Como 𝐴 é um intervalo limitado e fechado, 𝐴 é da forma [𝑎, 𝑏], onde 𝑎 e 𝑏 são números reais.
Assim, 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 + 2 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 𝑏 + 2, ou seja, 𝐵 = [𝑎 + 2, 𝑏 + 2], claramente limitado
e fechado.
3.2. Tendo em conta a alínea anterior e 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, resulta 𝑎 + 2 > 𝑏 ⇔ 𝑏 − 𝑎 < 2, onde 𝑏 − 𝑎 é a amplitude
do intervalo 𝐴.
4. 2(𝑥 + 3) ≤ 3𝑥 − 4 ∧ −
𝑥+3
2
> −2𝑥 ⇔ 2𝑥 + 6 ≤ 3𝑥 − 4 ∧ −𝑥 − 3 > −4𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 10 ∧ 𝑥 > 1,
𝐶. 𝑆. = [10, +∞[.
5. 𝑎(𝑥 + 2) ≥ 4 ⇔ 𝑎𝑥 + 2𝑎 ≥ 4 ⇔ 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎:
 Se 𝑎 = 0, 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎 ⇔ 0 ≥ 4 (Falso), logo 𝐶. 𝑆. = ∅.
 Se 𝑎 > 0, 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎 ⇔ 𝑥 ≥
4−2𝑎
𝑎
, logo 𝐶. 𝑆. = [
4−2𝑎
𝑎
, +∞[.
 Se 𝑎 < 0, 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎 ⇔ 𝑥 ≤
4−2𝑎
𝑎
, logo 𝐶. 𝑆. = ]−∞,
4−2𝑎
𝑎
].
6. −
𝑎𝑥+1
𝑎−1
≥ 3𝑎 + 𝑥
 Caso 1: 𝑎 > 1
−
𝑎𝑥+1
𝑎−1
≥ 3𝑎 + 𝑥 ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≥ (3𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 1) ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≥ 3𝑎2
− 3𝑎 + 𝑎𝑥 − 𝑥 ⇔
⇔ (−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2
− 3𝑎 + 1. Ora, 𝑎 > 1 ⇔ −2𝑎 + 1 < −1 < 0, logo:
(−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2
− 3𝑎 + 1 ⇔ 𝑥 ≤
3𝑎2−3𝑎+1
−2𝑎+1
, logo 𝐶. 𝑆. = ]−∞,
3𝑎2−3𝑎+1
−2𝑎+1
].
 Caso 2: 𝑎 < 1
−
𝑎𝑥+1
𝑎−1
≥ 3𝑎 + 𝑥 ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≤ (3𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 1) ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≤ 3𝑎2
− 3𝑎 + 𝑎𝑥 − 𝑥 ⇔
⇔ (−2𝑎 + 1)𝑥 ≤ 3𝑎2
− 3𝑎 + 1. Ora, 𝑎 < 1 ⇔ −2𝑎 + 1 > −1 e, portanto, temos de considerar alguns
subcasos:
 Caso 2.1:
1
2
< 𝑎 < 1
(−2𝑎 + 1)𝑥 ≤ 3𝑎2
− 3𝑎 + 1 ⇔ 𝑥 ≥
3𝑎2−3𝑎+1
−2𝑎+1
, logo 𝐶. 𝑆. = ]−∞,
3𝑎2−3𝑎+1
−2𝑎+1
].
 Caso 2.2: 𝑎 =
1
2
(−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2
− 3𝑎 + 1 ⇔ 0 ≥
1
4
(Falso), logo 𝐶. 𝑆. = ∅.
 Caso 2.3: 𝑎 <
1
2
(−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2
− 3𝑎 + 1 ⇔ 𝑥 ≥
3𝑎2−3𝑎+1
−2𝑎+1
, logo 𝐶. 𝑆. = [
3𝑎2−3𝑎+1
−2𝑎+1
, +∞[.
3
Miguel Fernandes
7.
7.1. Por exemplo, 𝑦 =
1
𝑥
.
7.2. Não existe, pois pela definição de função um mesmo objeto não pode ter múltiplas imagens.
7.3. Por exemplo, 𝑦 = 0.
7.4. Por exemplo, 𝑦 = 𝑥.
7.5. Por exemplo, 𝑦 = 𝑥2
.
7.6. Não existe, pelo mesmo motivo da alínea 7.2.
8.
8.1. Por exemplo, 𝑦 = 𝑥.
8.2. Seja 𝑓 a função cujo gráfico é a reta considerada. Como a reta é simétrica em relação à origem, tem-se que
ambos os pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (−𝑎, −𝑓(𝑎)), 𝑎 ≠ 0, são pontos da reta. Assim, 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏 e temos de
verificar que 𝑏 = 0 no sentido de concluir que a função 𝑓 é linear. Ora, 𝑘 =
𝑓(𝑎)
𝑎
e 𝑓(𝑎) =
𝑓(𝑎)
𝑎
𝑎 + 𝑏 ⇒
𝑏 = 0, como queríamos concluir.
9. Dado que (𝑎4
, 𝑎 + 1) pertence à parábola 𝑦 = 𝑥2
, resulta a igualdade (𝑎4)2
= 𝑎 + 1 ⇔ 𝑎8
= 𝑎 + 1.
Agora, (𝑎2
+ 2𝑎 + 2)2
= (𝑎2
+ 2𝑎 + 1 + 1)2
= (𝑎2
+ 2𝑎 + 1)2
+ 2(𝑎2
+ 2𝑎 + 1) + 1 =
= [(𝑎 + 1)2]2
+ 2(𝑎 + 1)2
+ 1 = (𝑎 + 1)4
+ 2(𝑎 + 1)2
+ 1 = 𝑎32
+ 2𝑎16
+ 1, porque 𝑎8
= 𝑎 + 1 ⇒
𝑎16
= (𝑎 + 1)2
⇒ 𝑎32
= (𝑎 + 1)4
, opção correta: D.
10. Usando a fórmula resolvente, tem-se 2𝑥2
− 6𝑥 − 8 = 0 ⇔ 𝑥 =
6±√36−4×2×(−8)
4
⇔ 𝑥 =
6±10
4
⇔ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 4, 𝐶. 𝑆. = {−1, 4}.
11. O binómio discriminante da equação é ∆= 4𝑘 + 16, logo:
 ∆= 4𝑘 + 16 = 0 ⇔ 𝑘 = −4, logo a equação tem apenas uma solução.
 ∆= 4𝑘 + 16 > 0 ⇔ 𝑘 > −4, logo a equação tem duas soluções.
 ∆= 4𝑘 + 16 < 0 ⇔ 𝑘 < −4, logo a equação é impossível.

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Preparação exame nacional matemática 9.º ano - 1

  • 1. 1 Miguel Fernandes PREPARAÇÃO PARA EXAME NACIONAL 2018/2019 Teste de Avaliação n.º 1 (números reiais, intervalos, inequações, funções, equações) 1. Considera os números da forma 3𝑥 + 2𝑦, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. 1.1. Mostra que o conjunto dos números daquela forma coincide com ℤ. 1.2. Mostra que se 𝑥 e 𝑦 forem tais que 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 0, então (3𝑥 + 2𝑦)2 ≥ 25𝑦2 . 2. Qual dos seguintes conjuntos é igual a [−20, 500] ∩ ℝ+ ? (A) [5, 500] (B) ℝ+ (C) ]0, 500] (D) [−20, 0[ 3. Considera um intervalo 𝐴 limitado e fechado e o intervalo 𝐵 cujos elementos resultam de adicionar 2 aos elementos de 𝐴. 3.1. Justifica que 𝐵 é também um intervalo limitado e fechado. 3.2. Mostra que se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, então a amplitude do intervalo 𝐴 é inferior a 2. 4. Indica o conjunto de valores que satisfazem a condição abaixo: 2(𝑥 + 3) ≤ 3𝑥 − 4 ∧ − 𝑥+3 2 > −2𝑥 5. Resolve, em função do parâmetro 𝑎, a inequação: 𝑎(𝑥 + 2) ≥ 4 6. Resolve, em função do parâmetro 𝑎 ≠ 1, a inequação: − 𝑎𝑥+1 𝑎−1 ≥ 3𝑎 + 𝑥 7. Indica, ou justifica que não existe, uma função cujo gráfico: 7.1. Não interseta o eixo das abcissas. 7.2. Contém os pontos de coordenadas (0, 1) e (0, 2). 7.3. Contém os pontos de coordenadas (1, 0) e (2, 0). 7.4. É uma reta que contém a origem do referencial. 7.5. Contém pontos de ordenada não negativa. 7.6. É simétrico em relação eixo das abcissas. 8. Considera uma função cujo gráfico é simétrico em relação à origem. 8.1. Escreve a expressão de uma função nessas condições. 8.2. Mostra que se o gráfico for uma reta, então a função é linear. 9. Seja 𝑎 um número real tal que o ponto (𝑎4 , 𝑎 + 1) pertence à parábola 𝑦 = 𝑥2 . Qual das seguintes expressões é igual a (𝑎2 + 2𝑎 + 2)2 ? (A) 𝑎16 + 2𝑎8 + 1 (B) 𝑎32 + 2𝑎8 + 1 (C) 𝑎16 + 2𝑎16 + 1 (D) 𝑎32 + 2𝑎16 + 1 10. Resolve a equação 2𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 0. 11. Indica, em função do parâmetro 𝑘, o número de soluções da equação (3 + 𝑘)𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0.
  • 2. 2 Miguel Fernandes Correção 1. 1.1. É evidente que qualquer número da forma 3𝑥 + 2𝑦, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, é um número inteiro. Por outro lado, como 1 = 3 × (−1) + 2 × 2, para qualquer número inteiro 𝑘, 𝑘 = 3 × (−𝑘) + 2 × 2𝑘, onde claramente −𝑘, 2𝑘 ∈ ℤ. Portanto, todo o número inteiro é escrito na forma 3𝑥 + 2𝑦, donde resulta a igualdade dos conjuntos. 1.2. Tem-se (3𝑥 + 2𝑦)2 = 9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 e, usando as desigualdades 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 0, resulta 9𝑥2 ≥ 9𝑦2 e também 12𝑥𝑦 ≥ 12𝑦2 , logo (3𝑥 + 2𝑦)2 = 9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 ≥ 9𝑦2 + 12𝑦2 + 4𝑦2 = 25𝑦2 . 2. [−20, 500] ∩ ℝ+ = [−20, 500] ∩ ]0, +∞[ = ]0, 500], opção correta: C. 3. 3.1. Como 𝐴 é um intervalo limitado e fechado, 𝐴 é da forma [𝑎, 𝑏], onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. Assim, 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 + 2 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 𝑏 + 2, ou seja, 𝐵 = [𝑎 + 2, 𝑏 + 2], claramente limitado e fechado. 3.2. Tendo em conta a alínea anterior e 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, resulta 𝑎 + 2 > 𝑏 ⇔ 𝑏 − 𝑎 < 2, onde 𝑏 − 𝑎 é a amplitude do intervalo 𝐴. 4. 2(𝑥 + 3) ≤ 3𝑥 − 4 ∧ − 𝑥+3 2 > −2𝑥 ⇔ 2𝑥 + 6 ≤ 3𝑥 − 4 ∧ −𝑥 − 3 > −4𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 10 ∧ 𝑥 > 1, 𝐶. 𝑆. = [10, +∞[. 5. 𝑎(𝑥 + 2) ≥ 4 ⇔ 𝑎𝑥 + 2𝑎 ≥ 4 ⇔ 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎:  Se 𝑎 = 0, 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎 ⇔ 0 ≥ 4 (Falso), logo 𝐶. 𝑆. = ∅.  Se 𝑎 > 0, 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 4−2𝑎 𝑎 , logo 𝐶. 𝑆. = [ 4−2𝑎 𝑎 , +∞[.  Se 𝑎 < 0, 𝑎𝑥 ≥ 4 − 2𝑎 ⇔ 𝑥 ≤ 4−2𝑎 𝑎 , logo 𝐶. 𝑆. = ]−∞, 4−2𝑎 𝑎 ]. 6. − 𝑎𝑥+1 𝑎−1 ≥ 3𝑎 + 𝑥  Caso 1: 𝑎 > 1 − 𝑎𝑥+1 𝑎−1 ≥ 3𝑎 + 𝑥 ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≥ (3𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 1) ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≥ 3𝑎2 − 3𝑎 + 𝑎𝑥 − 𝑥 ⇔ ⇔ (−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2 − 3𝑎 + 1. Ora, 𝑎 > 1 ⇔ −2𝑎 + 1 < −1 < 0, logo: (−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2 − 3𝑎 + 1 ⇔ 𝑥 ≤ 3𝑎2−3𝑎+1 −2𝑎+1 , logo 𝐶. 𝑆. = ]−∞, 3𝑎2−3𝑎+1 −2𝑎+1 ].  Caso 2: 𝑎 < 1 − 𝑎𝑥+1 𝑎−1 ≥ 3𝑎 + 𝑥 ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≤ (3𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 1) ⇔ −𝑎𝑥 − 1 ≤ 3𝑎2 − 3𝑎 + 𝑎𝑥 − 𝑥 ⇔ ⇔ (−2𝑎 + 1)𝑥 ≤ 3𝑎2 − 3𝑎 + 1. Ora, 𝑎 < 1 ⇔ −2𝑎 + 1 > −1 e, portanto, temos de considerar alguns subcasos:  Caso 2.1: 1 2 < 𝑎 < 1 (−2𝑎 + 1)𝑥 ≤ 3𝑎2 − 3𝑎 + 1 ⇔ 𝑥 ≥ 3𝑎2−3𝑎+1 −2𝑎+1 , logo 𝐶. 𝑆. = ]−∞, 3𝑎2−3𝑎+1 −2𝑎+1 ].  Caso 2.2: 𝑎 = 1 2 (−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2 − 3𝑎 + 1 ⇔ 0 ≥ 1 4 (Falso), logo 𝐶. 𝑆. = ∅.  Caso 2.3: 𝑎 < 1 2 (−2𝑎 + 1)𝑥 ≥ 3𝑎2 − 3𝑎 + 1 ⇔ 𝑥 ≥ 3𝑎2−3𝑎+1 −2𝑎+1 , logo 𝐶. 𝑆. = [ 3𝑎2−3𝑎+1 −2𝑎+1 , +∞[.
  • 3. 3 Miguel Fernandes 7. 7.1. Por exemplo, 𝑦 = 1 𝑥 . 7.2. Não existe, pois pela definição de função um mesmo objeto não pode ter múltiplas imagens. 7.3. Por exemplo, 𝑦 = 0. 7.4. Por exemplo, 𝑦 = 𝑥. 7.5. Por exemplo, 𝑦 = 𝑥2 . 7.6. Não existe, pelo mesmo motivo da alínea 7.2. 8. 8.1. Por exemplo, 𝑦 = 𝑥. 8.2. Seja 𝑓 a função cujo gráfico é a reta considerada. Como a reta é simétrica em relação à origem, tem-se que ambos os pontos (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (−𝑎, −𝑓(𝑎)), 𝑎 ≠ 0, são pontos da reta. Assim, 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏 e temos de verificar que 𝑏 = 0 no sentido de concluir que a função 𝑓 é linear. Ora, 𝑘 = 𝑓(𝑎) 𝑎 e 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎) 𝑎 𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 0, como queríamos concluir. 9. Dado que (𝑎4 , 𝑎 + 1) pertence à parábola 𝑦 = 𝑥2 , resulta a igualdade (𝑎4)2 = 𝑎 + 1 ⇔ 𝑎8 = 𝑎 + 1. Agora, (𝑎2 + 2𝑎 + 2)2 = (𝑎2 + 2𝑎 + 1 + 1)2 = (𝑎2 + 2𝑎 + 1)2 + 2(𝑎2 + 2𝑎 + 1) + 1 = = [(𝑎 + 1)2]2 + 2(𝑎 + 1)2 + 1 = (𝑎 + 1)4 + 2(𝑎 + 1)2 + 1 = 𝑎32 + 2𝑎16 + 1, porque 𝑎8 = 𝑎 + 1 ⇒ 𝑎16 = (𝑎 + 1)2 ⇒ 𝑎32 = (𝑎 + 1)4 , opção correta: D. 10. Usando a fórmula resolvente, tem-se 2𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 0 ⇔ 𝑥 = 6±√36−4×2×(−8) 4 ⇔ 𝑥 = 6±10 4 ⇔ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 4, 𝐶. 𝑆. = {−1, 4}. 11. O binómio discriminante da equação é ∆= 4𝑘 + 16, logo:  ∆= 4𝑘 + 16 = 0 ⇔ 𝑘 = −4, logo a equação tem apenas uma solução.  ∆= 4𝑘 + 16 > 0 ⇔ 𝑘 > −4, logo a equação tem duas soluções.  ∆= 4𝑘 + 16 < 0 ⇔ 𝑘 < −4, logo a equação é impossível.