1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y DE ENERGÍA
CÁLCULO MULTIVARIABLE
Entregable N° 4
(Semetre 2022-B)
Competencia
Determina la masa y los momentos inerciales de un alambre delgado.
Analiza si un campo vectorial es o no conservativo
Determina el trabajo que desarrolla un campo de fuerzas, utilizando la integral de
linea.
utliza el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes en la solución de problemas
planteados.
Criterios de evaluación
Criterios Puntos
Construyó las gráficas adecuadamente 4
Planteó adecuadamente el problema propuesto 6
Utilizó adecuadamente los resultados de la teorı́a 5
Argumentó la solución obtenida del problema planteado 5
Puntaje Total 20
Instrucciones para la entrega
Guardar el documento con sus primer(s) apellido(s) seguido de Entregable-1. Subir el
documento correspondiente en la Plataforma en formato PDF. ejemplo: Cáceres-Mitma-
Ruiz-Hooke Entregable-1 (esto corresponde a 4 personas)
Insumo
1. Un alambre tiene forma de circunferencia, x2
+ y2
= a2
. Determine su masa y su
momento de inercia respecto de un diámetro si la densidad en un punto (x, y) del
alambre está dada por la función δ(x, y) = |x| + |y|.
2. En los siguientes ejercicios, encuentre una función potencial para F.
a) F = (2x
y
, 1−x2
y2 )
b) (ex
ln y, ex
y
+ senz, y cos z)
3. El campo F(x, y, z) = (xy, y, yz) es el campo de velocidades de un fluido en el espa-
cio. Calcule el flujo desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1) a lo largo de la curva de intersección
del cilindro y = x2
y el plano z = x. (Grafique la curva y el campo de velocidades)
4. Evalúe la integral de lı́nea
R
C
2xcosy dx − x2
seny dy a lo largo de las siguientes
trayectorias C, en el plano xy.

2. a) La parábola y = (x − 1)2
desde (1, 0) hasta (0, 1)
b) El segmento de recta desde (−1, π) hasta (1, 0)
c) El eje x, desde (−1, 0) hasta (1, 0)
d) La astroide r(t) = (cos3
t, sen3
t) , 0 ≤ t ≤ 2π, recorrida en el sentido contrario
al de las manecillas del reloj, desde (1, 0) hasta regresar a (1, 0).
5. Sea F(x, y, z) = 1
1+x2y2z2 (yz, xz, xy)
a) Calcule el trabajo desarrollado por el campo de fuerzas F para trasladar una
particula a través del segmento de recta desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1).
b) Calcule la circulación del campo de velocidades F a lo largo de la curva de
intersección de x2
+y2
+(z−1)2
= 1, con x2
+y2
+z2
= 1 en sentido antihorario.
6. Calcule la integral
I
C
−y
2x2 + 3y2
dx +
x
2x2 + 3y2
dy a lo largo de la curva C formada
por los lados del cuadrado con vértices en (1, 1) ; (-1,1) ; (-1,-1) ; (1,-1).
7. Evalue la integral
I
C
(1 + e
√
x
) dx + (cos y2
+ x2
) dy siendo C una curva cerrada,
ubicada en el primer cuadrante, formada por los arcos de circunferencia de radios 1
y 2 respectivamente y por los segmentos rectos 1 ≤ x ≤ 2 ; 1 ≤ y ≤ 2
8. Se le ha pedido encontrar la trayectoria a lo largo de la cual un campo de fuerza
F desarrollará el menor trabajo al mover una partı́cula entre dos posiciones. Un
rápido cálculo indica que F es conservativo. ¿Qué debe responderse? Justifique su
respuesta.
9. Mediante un experimento, usted ha observado que un campo de fuerza F desarrolla
sólo la mitad de trabajo al mover un objeto a lo largo de una trayectoria C1 desde A
hasta B, que el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la trayectoria C2,
la cual también va desde A hasta B. ¿Qué puede concluir acerca de F? Justifique
su respuesta.
10. Demuestre que el trabajo realizado por un campo de fuerza constante F = (a, b, c)
al mover una partı́cula a lo largo de cualquier trayectoria desde A hasta B es W =
F.
−
−
→
A B
11. La base de una pared en el primer cuadrante es la trayectoria α : [0, 1] → R2
, dada
por α(t) = (t, t2
) y su altura en cada punto (x, y) es f(x, y) =
√
1 + 4y
a) Determine la longitud de la base de la pared.
b) Calcule el área de la pared.
12. Calcule el flujo de salida del campo vectorial F(x, y, z) = (2y, zy, 3z) a través de
la superficie cilı́ndrica x2
+ y2
= 4 acotada en el primer octante por los planos
x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; z = 5.

3. 13. Sea S la esfera unitaria x2
+ y2
+ z2
= 1. Demuestre que
Z Z
S
(xy + yz + xz) dS = 0
(Sugerencia: Exprese f(x, y, z)dS como F.ndS y considere el teorema de la diver-
gencia)
14. Determine la circulaci?n del campo F(x, y, z) = (x2
−y, 4z, x2
) alrededor de la curva
C, dada por la intersecci?n del plano z = 4 y el cono z =
p
x2 + y2 recorrido en
sentido antihorario.
15. Verifique el teorema de la divergencia para F(x, y, z) = (x3
, y3
, z3
) en R, la región
acotada por la frontera x2
+ y2
= 4 , z = 0 , z = 3.
16. Determine el flujo hacia afuera del campo vectorial F(x, y, z) = (2xz, 5y2
, −z2
) D
es la región encerrada por z = y , z = 4 − y , z = 2 − x2
/2 , x = 0 , z = 0
17. Verifique el teorema de Stokes para evaluar la integral de linea
Z
C
xdx + yz2
dy + xzdz
donde C es la intersección de la semiesfera x2
+ y2
+ z2
= 1 , z ≥ 0 y el cilindro
x2
+ y2
= y.
18. Calcule la circulación del campo de velocidades de un fluido dado por F(x, y, z) =
(arctan(x2
), 3x, e3z
tan(z)) a lo largo de la intersección de la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4
con el cilindro x2
+ y2
= 1 con z > 0.
19. El sólido S está acotado por las superficies y = z , x2
+ y2
+ z2
= 1 en el primer
octante. Calcule
R R R
S
z dV . Usando coordenadas esféricas y considerando el orden
de integración dx dy dz.
20. Dado el campo F(x, y, z) = (0, 0, x + y2
− z3
) y la superficie S parametrizada por
r(x, y) = (x, y, sen(x2
+ y2
)) , (x, y) ∈ B((0, 0), 3). Calcule
R R
S
rot F.n dS
21. Un fluido tiene densidad de 1500 y campo de velocidad V = (−y, x, 2z). Encuentre
la rapidez de flujo que atraviesa la superficie, dirigido hacia afuera (flujo exterior)
x2
+ y2
+ z2
= 25
22. Considere el campo eléctrico que define E(x, y, z) = (2x, 2y, 2z). Calcule el flujo
de E a traves de la superficie S formada por la unión de la superficie esférica.
x2
+ y2
+ z2
= 1 , z ≥ 1 y la superficie plana x2
+ y2
≤ 1 , z = 0.

4. 23. Determine el flujo de F(x, y, z) = (yz, x, −z2
) a través del cilindro parabólico y =
x2
, 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 4, en la dirección de n indicada en la figura (a)
24. Determine el flujo hacia afuera del campo vectorial F(x, y, z) = (2xz, 5y2
, −z2
) D
es la región encerrada por z = y , z = 4 − y , z = 2 − x2
/2 , x = 0 , z = 0 como se
muestra en la figura (b)
25. Calcule la circulación del campo de velocidades F(x, y, z) = (xy, z, y) alrededor de
la curva C = ∂S1 donde S1 : y = 4 − x2
− z2
en el primer octante como se muestra
en la figura (c). Sugerencia: Use el Teorema de Stokes
(a) (b) (c)
Figura 1: