Livro hidraulica cap_01-04

905 visualizações

Publicada em

Publicada em: Tecnologia
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
905
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
77
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Livro hidraulica cap_01-04

  1. 1. I LIÇÕES DE HIDRÁULICA GERAL Gilberto Queiroz da Silva
  2. 2. Lições de Hidráulica Básica II LIÇÕES DE HIDRÁULICA GERAL FEVEREIRO DE 2015 GILBERTO QUEIROZ DA SILVA Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto
  3. 3. Lições de Hidráulica Básica III Endereço para contato: Gilberto Queiroz da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas/UFOP Campus Universitário do Morro do Cruzeiro 35.400-000 – Ouro Preto, MG gqueiroz@em.ufop.br – (31)3559-1546 Copyright © Gilberto Queiroz da Silva
  4. 4. Lições de Hidráulica Básica IV Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida, armazenada em sistemas que permitem a sua recuperação ou transmitida por qualquer forma ou meio sem permissão escrita do autor. Impresso no Brasil Dedicatória
  5. 5. Lições de Hidráulica Básica V Informações sobre o autor:
  6. 6. VI CONTEÚDO Prefácio .............................................................................................................. X Agradecimentos .................................................................................................XI 1. Introdução ........................................................................................................1 1.1. Divisões da Hidráulica..............................................................................6 2. Generalidades ..................................................................................................7 2.1. Grandezas Físicas ....................................................................................7 2.2. Sistemas de Unidades...............................................................................8 2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades...............................................10 2.2.2 - Sistema de Unidades CGS............................................................14 2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto...............................................................15 2.2.4 - Sistema Técnico............................................................................17 2.2.5 - Sistema Inglês Técnico.................................................................19 2.2.6 – Caso de grandezas físicas de valor elevado ou pequeno .............21 2.2.7 – Exercícios de Aplicação...............................................................22 2.3 - Propriedades Físicas dos fluidos...........................................................24 a) Massa específica...................................................................................24 b) Peso Específico ...................................................................................28 c) Volume específico................................................................................30 d) Densidade.............................................................................................30 e) Compressibilidade................................................................................31 f) Celeridade e Número de Mach.............................................................34 Distinção entre Líquido e Gás............................................................35 Fluidos Compressíveis e Incompressíveis..........................................36 g) Pressão de vapor..................................................................................37 h) Tensão superficial e capilaridade........................................................38 Exercícios ..........................................................................................40 i) Viscosidade..........................................................................................43 Unidades de viscosidade:...................................................................48
  7. 7. Lições de Hidráulica Básica VII Viscosidade Cinemática ....................................................................50 Variação da viscosidade ....................................................................50 Determinação da viscosidade ............................................................54 Exercícios de Aplicação..........................................................................58 3. HIDROSTÁTICA..........................................................................................62 3.1 – Introdução............................................................................................62 3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades.......................................62 3.2.1 – Conceito de pressão..................................................................62 3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante.................................................64 3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante...................................66 3.3 – Empuxo................................................................................................69 3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos.........................................................72 3.4.1 – Princípio de Pascal....................................................................72 3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática......................................73 3.4.3 – Variação da pressão nos gases...................................................78 3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos...............................................81 a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um líquido:......................................................................................82 b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão atmosférica................................................................................83 c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta..............85 d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido..............87 e) Pressão com Líquidos Imiscíveis..........................................87 3.5 – Exemplos de Aplicação:.......................................................................88 3.5.1 – Prensa hidráulica........................................................................88 3.5.2 – Vasos Comunicantes..................................................................90 3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO.............................................................92 3.6.1. Medidores de pressão absoluta....................................................92
  8. 8. Lições de Hidráulica Básica VIII a) Barômetro de Torricelli: ...................................................................92 Exemplo: .........................................................................................95 b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo.......................................95 c) Barômetro eletrônico.........................................................................96 3.6.2 – Medidores de pressão relativa...................................................98 a) Manômetro de Bourdon ...................................................................98 b) Vacuômetro ....................................................................................103 c) Transdutor eletrônico de pressão relativa........................................103 d) Piezômetro......................................................................................105 e) Manômetro de tubo U.....................................................................106 f) Piezômetros pressurizados...............................................................107 g) Manômetro Diferencial de Tubo U.................................................109 h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido...................................111 i) Manômetro Diferencial de Reservatório..........................................112 j) Manômetro de tubo inclinado..........................................................115 k) Manômetro de Betz.........................................................................117 Exemplo:...........................................................................................117 l) Manômetro de Prandtl......................................................................118 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – PRESSÃO.......................................120 3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS..........137 3.7.1 – Caso da superfície horizontal:....................................................137 3.7.2. Caso de superfície vertical:..........................................................139 3.7.3. Caso de superfície inclinada:........................................................140 3.7.4. Caso geral de superfície inclinada:...............................................141 Exemplos ................................................................................150 3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas.....................................160 Exemplos de Aplicação .......................................................................167 4. HIDRODINÂMICA.....................................................................................171 4.1. Generalidades..........................................................................................171
  9. 9. Lições de Hidráulica Básica III Endereço para contato: Gilberto Queiroz da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas/UFOP Campus Universitário do Morro do Cruzeiro 35.400-000 – Ouro Preto, MG gqueiroz@em.ufop.br – (31)3559-1546 Copyright © Gilberto Queiroz da Silva
  10. 10. Lições de Hidráulica Básica X Prefácio
  11. 11. Lições de Hidráulica Básica XI Agradecimentos
  12. 12. Lições de Hidráulica Básica 1 1. INTRODUÇÃO A palavra hidráulica significa condução de água. Do grego hÿdor significa água e aulos significa condução, tubo. Atualmente a Hidráulica tem um significado muito mais geral, pois trata do estudo do comportamento dos líquidos (em especial da água) em repouso ou em movimento. Os estudos relativos à Hidráulica começam na Antigüidade, pois é sabido que na Mesopotâmia existiam canais destinados à irrigação, construídos nas terras vizinhas aos rios Tigre e Eufrates. Tem-se notícia de que na Babilônia, no ano 3 750 a.C. já existiam coletores de esgotos. No Egito por volta de 2 500 a.C. foram construídas diversas obras destinadas à irrigação. Durante a XII Dinastia foram realizadas diversas obras hidráulicas tais como o lago artificial de Méris para regularização das águas do baixo Nilo. O primeiro sistema público de abastecimento de água apareceu na Assíria em 691 a.C., tendo recebido o nome de aqueduto Jerwa. Arquimedes (287-212 a.C.) escreveu um tratado abordando a flutuação dos corpos enunciando diversos princípios da Hidrostática, que são estudados nos dias de hoje. A bomba de pistão foi
  13. 13. Lições de Hidráulica Básica 2 inventada por Hero, discípulo de Ctesibius, 200 anos antes de Cristo. Grandes aquedutos foram construídos em todo o mundo a partir de 312 a.C. e o primeiro Superintendente de águas foi Sextus Julius Frontinus, nomeado em Roma no ano 70 a.C. No século XVI ocorreram diversas construções de chafarizes e fontes ornamentais que encantaram as pessoas. Em 1586 Stevin (1548-1620) publicou um novo tratado que, juntamente com estudos de Galileu (1564-1642), Torricelli (1608-1647) e Daniel Bernoulli (1700-1782), constituíram a base para a Hidráulica. Leonardo Euler (1707-1783) foi o pai das primeiras equações gerais que tentavam explicar o movimento dos fluidos. Nesse tempo os campos relacionados com a hidráulica eram distintos, dividindo-se em Hidrodinâmica Teórica cujo objetivo era estudar os movimentos dos fluidos perfeitos e a Hidráulica Empírica que investigava dos problemas reais, sem uma base científica sólida. Dos estudos sobre a aerodinâmica, associados aos estudos teóricos da Hidrodinâmica Teórica, originou a Mecânica dos Fluidos como a conhecemos hoje. Desde os tempos de Venturi (1746-1822), Bidone e outros, as investigações experimentais na Hidráulica foram muito importantes para o estabelecimento de equações matemáticas que explicassem os fenômenos envolvendo o escoamento de líquidos. A partir do século XIX, a produção de tubos de ferro capazes de resistirem a pressões elevadas e o crescimento das cidades fizeram com que os serviços de abastecimento de água tivessem um papel importante, propiciando um rápido crescimento da Hidráulica. Foram as experiências de Reynolds e Froude e os trabalhos de Rayleigh que formaram a base científica para permitir a consolidação da Hidráulica. Deve-se notar que as usinas hidrelétricas
  14. 14. Lições de Hidráulica Básica 3 começaram a aparecer no final do século XIX e continuam a ser construídas até hoje. Atualmente, com o grande desenvolvimento dos computadores os estudos relativos à Hidráulica têm recebido importantes contribuições. Muitos projetos de implantação de complexas obras hidráulicas e o aperfeiçoamento de máquinas só foram possíveis com o uso desses computadores. O professor Azevedo Neto, em seu Manual de Hidráulica, apresenta uma interessante tabela com as principais invenções relativas aos assuntos relacionados com a Hidráulica, aqui reproduzida na tabela 01. Atualmente a água é o recurso natural de maior importância para o bem estar do homem. Durante muitos anos ela foi encarada como um bem inesgotável, para servir, sem nenhuma preocupação, aos habitantes da terra. Muito desperdício tem ocorrido na superfície da terra. Hoje há uma consciência de que ela deve ser muito bem preservada a fim de assegurar a sobrevivência da espécie humana. O progresso levou a uma inevitável concentração de atividades em determinados locais específicos, tornando necessário o uso de uma maior quantidade de água. Assim foi preciso promover o abastecimento das populações. Esse abastecimento foi se tornando cada vez mais complexo, envolvendo diversos fatores de ordem técnica, social, econômica, legal, política, administrativa, estratégica, etc. Atualmente, os problemas relativos ao uso da água têm ultrapassado as fronteiras dos países, adquirindo aspectos internacionais.
  15. 15. Lições de Hidráulica Básica IV Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida, armazenada em sistemas que permitem a sua recuperação ou transmitida por qualquer forma ou meio sem permissão escrita do autor. Impresso no Brasil Dedicatória
  16. 16. Lições de Hidráulica Básica 5 Rio Paraibuna (Zona da Mata em Juiz de Fora). As turbinas foram importadas dos Estados Unidos e o objetivo foi ampliar a produção de tecidos. • Em 1899: Criação da São Paulo Light, com a entrada de capital estrangeiro no setor elétrico brasileiro. • Em 1903: aprovação do primeiro texto de lei pelo Congresso Nacional, disciplinando o uso da energia elétrica no país. • Em 1905: criação da rio Light, do mesmo conglomerado financeiro da São Paulo Light. • Em 1940: Regulamentação da situação das usinas termelétricas do país, mediante incorporação às disposições do Código de Águas. • Em 1952: fundação da Centrais Elétricas de Minas Gerais - CEMIG. Hoje, a água além de ser usada para fins domésticos e industriais, também é muito usada nas atividades agrícolas e pecuárias (crescentes áreas de irrigação), navegação, geração de energia, lazer e até mesmo para a deposição de rejeitos humanos e industriais. Sob tal ponto de vista, a água torna-se uma preciosidade que deve ser preservada a qualquer custo. Existem previsões de que a falta de água será um grande problema para a humanidade, já que é um bem insubstituível na atividade humana. Basta lembrar que uma pessoa consome facilmente cerca de
  17. 17. Lições de Hidráulica Básica 6 150 litros de água por dia, que se gastam 18 litros de água para produzir 1 litro de petróleo e até 270 litros de água para produzir 1 quilograma de aço ou mesmo 5 litros de água para produzir 1 litro da melhor cerveja. Da mesma forma, dados da FAO apontam para um gasto de 15 977 litros de água para produção de 1 kg de carne bovina, 5 096 litros de água para produção de 1 kg de carne suína, 2 828 litros de água para produção de 1 kg de carne de aves, 18.000 litros de água para a produção de 1 kg de manteiga, 865 litros de água para produção de 1 kg de leite e 2 300 litros de água para produção de 1 kg de soja. Gasta-se de 160 a 200 litros de água para a produção de 1 m3 de concreto, 300 litros de água para compactação de 1 m3 de aterro (dados da Revista Sustentabilidade). Estima-se que são gastos cerca de 25.000 litros de água na construção de uma casa popular de 36 m2 de área. Na Engenharia Civil, gasta-se água em diversas operações tais como, produção de concreto e argamassas, resfriamento e cura do concreto, lavagem de superfícies em geral, lavagem de formas utilizadas em estruturas de concreto, dentre outros. A construção civil pode consumir até 50% da água potável produzida em regiões urbanizadas. Assim, dá para notar que a água é um líquido economicamente importante. A água está distribuída em mananciais de superfície e em mananciais subterrâneos. É daí que o homem retira a água de que necessita. Atualmente a quase totalidade das águas superficiais se encontram poluídas com resíduos humanos, industriais e com detergentes. Assim existe a obrigação de se construírem enormes estações de tratamento de água (ETA) para que seja possível a sua utilização pelo homem. Todos esses aspectos apontam para uma disciplina no uso e uma preservação dos recursos hídricos existentes na face do planeta, acarretando a aplicação de enormes quantidades de dinheiro. Como a água não se distribui uniformemente na superfície terrestre, as comunidades e as indústrias tendem a se desenvolver próximas às fontes de água, tais como os rios, lagos ou oceanos.
  18. 18. Lições de Hidráulica Básica 7 Também existe uma falta de uniformidade temporal. Isso pode ser visto constatando que os rios têm seu volume reduzido na estiagem ou têm o seu volume aumentado no período chuvoso, provocando enchentes e obrigando o homem a construir grandes obras de regularização da água: diques, açudes, reservatórios ou barragens. Para o Engenheiro Civil fica a responsabilidade de projetar obras para o controle e a distribuição de água. Assim ele estará envolvido com obras em portos, rios, canais, barragens, sistemas de irrigação, drenagem, sistemas de geração de energia, redes de abastecimento, redes de esgotos e de águas pluviais, tudo isso envolvendo o meio ambiente. Atualmente é tão importante essa modalidade de atuação profissional, que a Escola de Minas acaba de criar o curso de Engenharia Ambiental (curso criado em julho de 2000), no qual a principal preocupação é o relacionamento do homem com o meio ambiente. A grande interface entre os assuntos relacionados à água e ao meio ambiente faz com que o Engenheiro Civil não trabalhe sozinho. Ele conta com a colaboração de economistas, advogados, arquitetos, contabilistas, geólogos, biólogos, químicos e de uma infinidade de outras especialidades, quando tem de realizar estudos, projetos ou mesmo a execução da grande maioria das obras hidráulicas. É necessário preservar o meio ambiente e cabe ao Engenheiro Civil uma grande participação na melhoria do bem estar da humanidade, promovendo o aproveitamento racional dos recursos hídricos. 1.1. Divisões da Hidráulica Atualmente pode-se dividir a Hidráulica em Hidráulica Geral (ou Teórica) e Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica). A Hidráulica Geral, divide-se, para efeitos de estudos, em Hidrostática e Hidrodinâmica. A Hidráulica Aplicada divide-se em Hidráulica Urbana (sistemas de abastecimento de água, esgotos sanitários, galerias de
  19. 19. Lições de Hidráulica Básica 8 águas pluviais e drenagem urbana), Hidráulica Rural ou Agrícola (irrigação e drenagem agrícola), Hidráulica Fluvial (rios e canais), Hidráulica Marítima (portos e obras marítimas), Instalações Hidráulicas Industriais e Técnica Hidrelétrica.
  20. 20. Lições de Hidráulica Básica V Informações sobre o autor:
  21. 21. Lições de Hidráulica Básica 10 As grandezas físicas possuem relação entre si, de forma que, em um sistema coerente de unidades, a relação existente entre uma grandeza física, G, que depende de outras grandezas físicas, G1, G2,..., Gn,, pode ser escrita, genericamente, por uma relação da forma: G = f(G1, G2, G3, ..., Gn) ..................................................2.2 Para tratar corretamente com todas as grandezas físicas que se relacionam na solução de um problema físico, é necessário escrever um conjunto de regras adequadas, formando um sistema de unidades. 2.2. Sistemas de Unidades Um sistema de unidades é formado pelo conjunto das unidades necessárias para descrever todas as grandezas físicas e por algumas regras de utilização. Ao longo dos anos, com o desenvolvimento da ciência, vários sistemas foram construídos, uns em uso até os dias de hoje e outros em desuso completamente. Ressalta-se que alguns dos sistemas mais utilizados na atualidade resultaram do aperfeiçoamento de outros sistemas já existentes. Os dois sistemas de unidades mais utilizados no momento são o Sistema Internacional de Unidades e o Sistema CGS, descritos mais à frente. O primeiro é o único sistema mundialmente reconhecido e recomendado para uso para expressar as grandezas físicas com as quais os engenheiros se deparam. Apesar disso, não raro encontramos unidades sendo medidas em sistemas diferentes desses, como é o caso da pressão. É comum expressar a pressão medida nos seres humanos em cm de Hg. Também é comum utilizar-se a lbf/pol2 (psi), corriqueiramente denominada apenas de libra, para medir a pressão do ar no interior dos pneus dos veículos. Estas unidades não pertencem a nenhum sistema coerente de unidades. Assim, no momento em que forem utilizadas nas equações físicas, elas precisam ser convertidas para o sistema de unidades que
  22. 22. Lições de Hidráulica Básica 11 se está utilizando, daí a necessidade de se conhecer alguns detalhes dos sistemas de unidades. Todo sistema de unidades deve ser construído sobre um conjunto de grandezas independentes entre si denominadas grandezas fundamentais e de um conjunto de grandezas dependentes entre si, denominadas grandezas derivadas. Assim, as unidades que expressam as grandezas fundamentais são convenientemente arbitradas, porém as unidades das grandezas derivadas não podem ser arbitradas e passam a ser conseqüência das grandezas fundamentais, das suas unidades e das relações de interdependência entre as grandezas. Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de unidades: aqueles que usam a massa como grandeza fundamental e os que usam a força como grandeza fundamental. A tendência moderna é de se usarem sistemas de unidades nos quais a massa é uma grandeza fundamental, devido à maior precisão ao se representar as grandezas derivadas. Cinco sistemas de unidades são conhecidos, sendo que alguns deles já foram muito usados e outros estão em pleno uso atualmente. São eles o Sistema Internacional de Unidades, Sistema CGS, Sistema Inglês Absoluto, Sistema Técnico e Sistema Inglês Técnico. Os três primeiros pertencem à categoria dos sistemas que têm a massa como grandeza fundamental e os dois últimos são da categoria que consideram a força como grandeza fundamental. Em 1960 a 11ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas do Sistema Internacional de Unidades adotou oficialmente esse sistema. O SI é um sistema de unidades completo e com recurso para escrever a unidade de qualquer grandeza que venha a ser definida, resultante da ampliação do antigo Sistema de Unidades MKS ou sistema métrico. O termo sistema métrico é usado devido ao fato da unidade de comprimento ser o metro e não o pé como ocorria nos sistemas de língua inglesa.
  23. 23. Lições de Hidráulica Básica 12 Em 1984, todo grande país do mundo, exceto os Estados Unidos, estava usando ou tinha oficialmente decidido usar o Sistema Internacional de Unidades (SI) como sistema oficial de medidas. O uso desse sistema de medidas levará à conversão de todas as medidas feitas em outros sistemas de unidades para as do SI. Os livros mais modernos, inclusive os de autores americanos já trazem as grandezas expressas em unidades do SI. Às vezes ainda trazem as unidades dos antigos sistemas entre parênteses, apenas por força do hábito. Por questões práticas apenas serão relacionadas as grandezas usuais na mecânica, já que as demais grandezas são muito pouco usadas no curso de Hidráulica. 2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades É o sistema mundialmente adotado para a medição das grandezas físicas. No Brasil é o sistema legal desde a década de setenta. No domínio da mecânica as suas grandezas fundamentais são: comprimento, massa, tempo e temperatura, além de outras não referenciadas nesse texto. Já as demais grandezas são derivadas. Exemplo de grandezas derivadas: velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, etc. Unidades das grandezas fundamentais a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m. Inicialmente o metro foi definido como sendo o comprimento equivalente à décima milionésima parte de um quatro do meridiano terrestre que passa pela cidade de Greenwich na Inglaterra. Para materializar tal comprimento foi construída uma barra de platina e irídio, com uma seção transversal especial, em forma de “X”. Nessa barra foram feitas duas marcas distantes entre si de um comprimento exatamente igual a um metro. Esse padrão primário do metro permanece guardado no Bureau Internationel de Poids et
  24. 24. Lições de Hidráulica Básica 13 Mesures, em Sèvres, França, até os dias de hoje. Note que a unidade ainda era a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre que passa pela cidade de Greenwich, embora o padrão fosse o comprimento gravado na barra de platina e irídio. Desse padrão foram feitas reproduções tanto mais fiéis quanto possível, denominados de padrão secundário e distribuídos pelo mundo inteiro. Quase todo órgão de peso e medida dos diversos países do mundo tem um padrão secundário. A partir desse padrão secundário foram feitas novas cópias denominadas de padrão terciário, originando os instrumentos de uso corrente na medição de comprimento. Porém com o decorrer do tempo e o avanço da qualidade dos instrumentos de medição verificou-se que a definição original do metro não correspondia exatamente ao comprimento da barra de platina e irídio guardada no museu de Sèvres. O novo comprimento encontrado nas medições mais exatas revelou-se ligeiramente superior ao padrão. Assim gerou-se um impasse terrível: ou se mudava o padrão e procedia-se à correção de todas as medidas feitas até então ou se alterava a definição do metro. Assim optou-se pela última alternativa e o metro ganhou nova definição: o comprimento gravado na barra de platina e irídio guardada no museu de Sèvres em Paris. Posteriormente, por questões estratégicas e de segurança, criou-se uma nova definição para o metro, que prevalece até os dias de hoje. O metro atualmente é definido como o comprimento equivalente a 1 650 763,37 vezes o comprimento de onda de uma radiação de cor laranja, do isótopo criptônio 86, na sua transição entre os estados 2p10 e 5d5. Dessa forma os laboratórios de física do mundo inteiro têm condição de reproduzir com certa facilidade a unidade de comprimento do SI, ou seja, o metro. O que importa que o metro é hoje utilizado em todas as medidas oficiais de comprimento em praticamente todos os países do mundo. Ele foi dividido em partes menores para permitir a medição de pequenos comprimentos. Assim tem- se o centímetro e o milímetro.
  25. 25. VI CONTEÚDO Prefácio .............................................................................................................. X Agradecimentos .................................................................................................XI 1. Introdução ........................................................................................................1 1.1. Divisões da Hidráulica..............................................................................6 2. Generalidades ..................................................................................................7 2.1. Grandezas Físicas ....................................................................................7 2.2. Sistemas de Unidades...............................................................................8 2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades...............................................10 2.2.2 - Sistema de Unidades CGS............................................................14 2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto...............................................................15 2.2.4 - Sistema Técnico............................................................................17 2.2.5 - Sistema Inglês Técnico.................................................................19 2.2.6 – Caso de grandezas físicas de valor elevado ou pequeno .............21 2.2.7 – Exercícios de Aplicação...............................................................22 2.3 - Propriedades Físicas dos fluidos...........................................................24 a) Massa específica...................................................................................24 b) Peso Específico ...................................................................................28 c) Volume específico................................................................................30 d) Densidade.............................................................................................30 e) Compressibilidade................................................................................31 f) Celeridade e Número de Mach.............................................................34 Distinção entre Líquido e Gás............................................................35 Fluidos Compressíveis e Incompressíveis..........................................36 g) Pressão de vapor..................................................................................37 h) Tensão superficial e capilaridade........................................................38 Exercícios ..........................................................................................40 i) Viscosidade..........................................................................................43 Unidades de viscosidade:...................................................................48
  26. 26. Lições de Hidráulica Básica 15 Unidades das Grandezas Derivadas Em um sistema coerente de unidades, a relação existente entre as grandezas físicas também prevalece entre suas unidades. Assim se existir uma relação entre a grandeza física, G e outras grandezas físicas G1, G2,..., Gn, da forma da equação 2.2, existirá uma relação análoga entre as unidades da grandeza física G e as grandezas físicas Gi, tal que: U(G) = f[U(G1), U(G2), U(G3),...,U(Gn)] …………………………..2.3 Como exemplo pode-se citar o caso da velocidade, definida como sendo a relação entre o espaço e o tempo. Assim, como V = e/t, podemos escrever que U(V) = U(e)/U(t). No SI, tem-se: U(V) = m/s = ms-1 . Para a aceleração que é definida como sendo a variação da velocidade com o tempo, a = ∆V/∆t, tem-se: U(a) = U(∆V)/U(∆t). Logo U(a) = m/s/s ou U(a) = m/s2 = ms-2 . Para o caso da força, nesse sistema considerada uma grandeza derivada, a segunda lei de Newton permite escrever a seguinte relação: F = m.a U(F) = U(m).U(a). Assim, U(F) = kg.m/s2 . A essa unidade foi dado o nome de newton em homenagem a Isaac Newton, convencionando-se que o seu símbolo seria N. Logo 1 N é a força que aplicada a uma massa de 1 quilograma provoca nela uma mudança de velocidade de 1 m/s a cada s. Então 1 N = 1 kg.m/s2 . A pressão também é uma das grandezas derivadas, cuja unidade pode ser facilmente encontrada no SI. Como pressão é a relação entre uma força normal e a área na qual ela atua, podemos dizer que: p = Fn/A. Logo U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais teremos:
  27. 27. Lições de Hidráulica Básica 16 U(p) = N/m2 . Tal unidade foi denominada de pascal, e a ela foi reservado o símbolo Pa. Com isso pode-se escrever que: U(p) = N/m2 = Pa De uma maneira análoga é possível escrever todas as unidades das demais grandezas derivadas. Na tabela 02 estão resumidas algumas das principais grandezas físicas que aparecem nos estudos da Hidráulica, bem como as suas unidades correspondentes no Sistema Internacional de Unidades. Tabela 02 – Exemplos de algumas grandezas físicas derivadas. Grandeza Física Notação Unidade Símbolo Área A m2 -- Volume Vol m3 -- Velocidade V m/s -- Aceleração a m/s2 -- Força F kg.m/s2 N Pressão p N/m2 Pa Massa específica ρ kg/m3 -- Peso específico γ N/m3 -- Energia E N.m J Vazão Q m3 /s -- Vazão em massa m& kg/s -- Viscosidade µ kg/m/s Pa.s Viscosidade cinemática ν m2 /s -- Potência P N.m/s W 2.2.2 - Sistema de Unidades CGS O sistema de unidades que ficou conhecido como CGS possui grandezas fundamentais com unidades pequenas, de forma que as medidas das grandezas usuais são expressas por números mais adequados. As suas grandezas fundamentais são comprimento, massa, tempo e temperatura. As grandezas derivadas são, velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia,
  28. 28. Lições de Hidráulica Básica 17 dentre outras. A seguir relaciona-se as unidades das grandezas fundamentais, no domínio da mecânica. a) Unidade de comprimento: foi denominada de centímetro, cujo símbolo é cm, tendo sido definida tal que um centímetro vale 10-2 m. b) Unidade de massa: foi denominada de grama, cujo símbolo é g, tendo sido definida como sendo a milésima parte do quilograma (10-3 kg). c) Unidade de tempo: foi definida, como nos demais sistemas, e denominada de segundo, cujo símbolo é s. O segundo é a mesma unidade de tempo do SI. d) Unidade de temperatura: foi denominada de grau Celsius, cujo símbolo é ºC, tendo sido definida em relação ao ponto de fusão do gelo (0,15ºC) e o ponto de vaporização da água à condições normais de temperatura e pressão (100,15ºC). O intervalo entre ambas as temperaturas foi dividido em 100 partes e a cada parte corresponde um grau Celsius, à semelhança do grau Kelvin. Nesse sistema, para as grandezas físicas derivadas temos as seguintes unidades: U(V) = cm/s U(a) = cm/s2 U(F) = g.cm/s2 = dyna cuja abreviatura é dyn. Nesse caso pode- se ver que 1 dyna é equivalente a 10-5 N. U(p) = dyna/cm2 = bária. Pode-se deduzir que 1 bária eqüivale a 0,1 Pa. 2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto Grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo e temperatura. Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, etc.
  29. 29. Lições de Hidráulica Básica 18 Unidades das grandezas fundamentais: a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft. 1 ft = 0,3048 m b) Unidade de massa: libra cujo símbolo é lb 1 lb = 0,45359 kg. Valor correto: 1 lb = 0,45359237 kg c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é sec. O segundo é a mesma unidade de tempo do SI. d) Unidade de temperatura: grau Rankine cujo símbolo é R. O grau Rankine é definido em relação ao ponto de fusão do gelo (491.67 R) e o ponto de vaporização da água nas condições normais de temperatura e pressão (671,67 R). O intervalo entre ambas as temperaturas foi dividido em 180 partes iguais e a cada parte corresponde um grau Rankine. Para as grandezas físicas derivadas temos: U(V) = ft/sec U(a) = ft/sec2 U(F) = lb.ft/sec2 = poundal cuja abreviatura é pdl. Nesse caso pode-se ver que 1 pdl é equivalente a 0,138257 N. U(p) = pdl/ft2 . Pode-se deduzir que 1 pdl/ft2 eqüivale a 1,48819 Pa. 2.2.4 - Sistema Técnico Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura. Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão, viscosidade, energia, etc.
  30. 30. Lições de Hidráulica Básica VII Viscosidade Cinemática ....................................................................50 Variação da viscosidade ....................................................................50 Determinação da viscosidade ............................................................54 Exercícios de Aplicação..........................................................................58 3. HIDROSTÁTICA..........................................................................................62 3.1 – Introdução............................................................................................62 3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades.......................................62 3.2.1 – Conceito de pressão..................................................................62 3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante.................................................64 3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante...................................66 3.3 – Empuxo................................................................................................69 3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos.........................................................72 3.4.1 – Princípio de Pascal....................................................................72 3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática......................................73 3.4.3 – Variação da pressão nos gases...................................................78 3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos...............................................81 a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um líquido:......................................................................................82 b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão atmosférica................................................................................83 c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta..............85 d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido..............87 e) Pressão com Líquidos Imiscíveis..........................................87 3.5 – Exemplos de Aplicação:.......................................................................88 3.5.1 – Prensa hidráulica........................................................................88 3.5.2 – Vasos Comunicantes..................................................................90 3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO.............................................................92 3.6.1. Medidores de pressão absoluta....................................................92
  31. 31. Lições de Hidráulica Básica 20 d) Unidade de temperatura: grau Celsius cujo símbolo é ºC. Essa unidade é a mesma do sistema CGS. Unidades das Grandezas Derivadas: Devido à escolha da força para ser uma grandeza física fundamental, a massa passa a ser uma grandeza física derivada. Da segunda lei de Newton é possível obter: m = F/a U(m) = U(F)/U(a). Assim, U(m) = kgf/(m/s2 ) = kgf.s2 /m. Tal unidade é conhecida pelo nome de unidade técnica de massa e abreviada por utm. Decorre da definição que 1 utm = 9,80665 kg. A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no SI. A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais teremos: U(p) = kgf/m2 . Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das unidades fundamentais estabelecer a relação: U(p) = 1 kgf/m2 = 9,80665 N/m2 = 9,80665 Pa Nesse curso utilizaremos com freqüência a relação 1 kgf/m2 = 9,807 Pa. Observação: Há uma tendência entre os alunos desavisados de confundir o kg com o kgf. Entretanto deve-se observar que se trata de duas grandezas diferentes, com unidades de sistemas de unidades diferentes. Portanto não há possibilidade de confusão. Deve-se ressaltar que os livros que adotam o sistema técnico de unidades abreviam o quilograma-força por kg ou até mesmo kgp.
  32. 32. Lições de Hidráulica Básica 21 Entretanto não haverá risco de confusão já que nesse sistema adotado não existe o quilograma definido como unidade de massa. Aqui a unidade de massa é a utm. A confusão aparece quando são considerados diversos sistemas. Deve-se ressaltar que tal confusão é cometida em vários artigos científicos e, até mesmo, em alguns livros. Com um pouco de cuidado o leitor poderá perceber quando o kg está representando o quilograma-força ou a unidade de massa do SI. 2.2.5 - Sistema Inglês Técnico Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura. Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão, viscosidade, energia, etc. Unidades das grandezas fundamentais: a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft. Essa grandeza é a mesma definida no Sistema Inglês Absoluto. b) Unidade de Força: libra-força cujo símbolo é lbf. A libra-força foi definida como a força com que a terra atrai o cilindro de platina que definiu a unidade de massa do Sistema Inglês Absoluto, ao nível do mar e na cidade de Greenwich. Essa unidade padece dos mesmos defeitos da unidade de força do Sistema Técnico. 1 lbf = 0,45359237 kgf c) Unidade de tempo: segundo (second) cujo símbolo é sec. Essa unidade de tempo é a mesma do SI d) Unidade de temperatura: grau Farenheit cujo símbolo é ºF. Essa unidade é definida também com relação aos pontos de fusão e de ebulição da água. À temperatura de fusão da água atribuiu-se 32 ºF e à de
  33. 33. Lições de Hidráulica Básica 22 ebulição atribuiu-se 212 ºF. O intervalo entre ambas foi dividido em 180 partes iguais, sendo cada parte correspondente a um grau Farenheit (ºF). Unidades das Grandezas Derivadas: Da mesma forma que no Sistema Técnico, escolheu-se a força para ser uma grandeza física fundamental. Logo a massa passa a ser uma grandeza física derivada. Da segunda lei de Newton é possível obter: m = F/a U(m) = U(F)/U(a). Assim, U(m) = lbf/(ft/s2 ) = lbf.s2 /ft. Tal unidade é conhecida pelo nome de slug. Decorre da definição que 1 slug =1,48816 utm = 14,5939 kg. A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no Sistema Inglês Absoluto. A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais teremos: U(p) = lbf/ft2 . Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das unidades fundamentais, estabelecer a relação: U(p) = 1 lbf/ft2 = 4,8825 kgf/m2 = 47,88106 Pa. Regra geral: No uso de grandezas físicas em equações algébricas devemos obedecer a certas regras para que as unidades tenham consistência em um sistema coerente de unidades. Regra 1: As dimensões das grandezas nos dois lados da equação devem ser as mesmas, a menos que seja uma equação empírica.
  34. 34. Lições de Hidráulica Básica 23 Regra 2: Pode-se somar ou subtrair apenas grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões. Regra 3: A multiplicação ou divisão de grandezas físicas é possível desde que o produto ou o quociente resultante seja o produto ou o quociente das dimensões envolvidas. 2.2.6 – Caso de grandeza física de valor muito elevado ou muito pequeno Quando tratarmos de grandezas físicas expressas por medida muito grande ou eventualmente muito pequena, é aconselhável o uso de prefixos para tornar os números mais adequados à escrita. A tabela 03 ilustra os prefixos atualmente em uso. Tabela 03 – Prefixos usados como multiplicadores das unidades Prefixo Símbolo Multiplicador tera T 1012 giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18 Assim, 1MPa significa 106 Pa, 1mm representa 10-3 m e 1 kN representa 103 N.
  35. 35. Lições de Hidráulica Básica VIII a) Barômetro de Torricelli: ...................................................................92 Exemplo: .........................................................................................95 b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo.......................................95 c) Barômetro eletrônico.........................................................................96 3.6.2 – Medidores de pressão relativa...................................................98 a) Manômetro de Bourdon ...................................................................98 b) Vacuômetro ....................................................................................103 c) Transdutor eletrônico de pressão relativa........................................103 d) Piezômetro......................................................................................105 e) Manômetro de tubo U.....................................................................106 f) Piezômetros pressurizados...............................................................107 g) Manômetro Diferencial de Tubo U.................................................109 h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido...................................111 i) Manômetro Diferencial de Reservatório..........................................112 j) Manômetro de tubo inclinado..........................................................115 k) Manômetro de Betz.........................................................................117 Exemplo:...........................................................................................117 l) Manômetro de Prandtl......................................................................118 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – PRESSÃO.......................................120 3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS..........137 3.7.1 – Caso da superfície horizontal:....................................................137 3.7.2. Caso de superfície vertical:..........................................................139 3.7.3. Caso de superfície inclinada:........................................................140 3.7.4. Caso geral de superfície inclinada:...............................................141 Exemplos ................................................................................150 3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas.....................................160 Exemplos de Aplicação .......................................................................167 4. HIDRODINÂMICA.....................................................................................171 4.1. Generalidades..........................................................................................171
  36. 36. Lições de Hidráulica Básica 25 p = 50 lb.ft/s2 /ft2 = 50 lb/ft/s2 = 50 x 0,4536 kg/(0,3048 m)/s2 = 74,409 kg/m/s2 . p = 74,409 kg.m/s2 /m2 = 74,409 N/m2 Finalmente, p = 74,409 Pa d) ρ = 3,50 slug/ft3 Lembrete: slug é a unidade de massa do Sistema Inglês Técnico, logo 1 slug = 1 lbf / (ft / s2 ) ou 1 slug = 1 lbf . s2 / ft. ρ = 3,50 lbf . s2 / ft4 = 3,50 x 0,4536 kgf . s2 / (0,3048 m)4 ρ = 3,50 x 0,4536 x 9,80665/0,30484 N.s2 /m4 = 1 803,86 kg.m.s-2 .s2 /m4 . Finalmente: ρ = 1 803,86 kg/m3 . 2. 3.2.8 – Exercícios 1. A viscosidade de um dado óleo é 5,0 Poise. Sabendo que o Poise é a unidade de viscosidade do sistema CGS e que vale 1 dyna.s/cm2 , determine o seu valor em unidades do Sistema Internacional. 2. Calcular o valor de uma pressão igual a 1 lbf/pol2 em unidades do Sistema Internacional e em hPa.
  37. 37. Lições de Hidráulica Básica 26 3.3 - Propriedades Físicas dos fluidos Ao estudar os fluidos, devemos construir equações que descrevem o seu movimento. Tais equações serão mais simplificadas quando forem escritas usando propriedades físicas dos fluidos e, principalmente, aquelas propriedades que independem da massa. As propriedades físicas dos fluidos, em última análise, são os meios usados para caracterizar esse fluido. a) Massa específica A massa específica, na língua inglesa denominada de density, é definida como a massa contida em uma unidade de volume do fluido. Matematicamente, podemos calcular a massa específica através da relação entre a massa do fluido e o volume por ele ocupado. Assim, sendo m a massa de um fluido e V o seu volume, por definição, a massa específica, ρ, será: V m =ρ
  38. 38. Lições de Hidráulica Básica 27 Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre a massa e o volume. Todavia isso nem sempre acontece, pois podem existir problemas envolvendo fluidos que não sejam homogêneos ou fluidos em que a massa específica varia de ponto para ponto dentro da massa fluida, o que exige uma definição mais precisa e que considere essas variações. Nesse caso, é necessário fazer a relação entre uma porção de massa muito pequena, ∆m e o seu volume correspondente, ∆V. Assim, de forma mais precisa, diz-se que a massa específica ρ é definida pelo limite: V m V ∆ ∆ = →∆ 0 limρ Observando esse limite, podemos verificar que se trata exatamente da definição de derivada da função m em relação ao volume V. Assim, na prática, a massa específica é calculada pela seguinte relação: dV dm =ρ Diz-se que a massa específica é a derivada da massa em relação ao volume ou, em termos práticos, é a taxa de variação da massa com o volume. Deve-se observar que a massa específica é uma grandeza absoluta pois apenas depende da massa contida em um certo volume de fluido. Essa relação é muito importante, quando se conhece a massa específica e deseja-se calcular a massa total de um fluido. Da expressão acima podemos escrever: ∫=∴= V dVmdVdm ρρ . Sabendo como a massa específica varia com o volume, a integral acima pode ser avaliada para obter a massa total de fluido contida no volume V. Essa equação será muito usada no estabelecimento das equações de previsão dos escoamentos em Hidráulica.
  39. 39. Lições de Hidráulica Básica 28 Unidades: As unidades da massa específica decorrem da própria definição, o que, em um sistema coerente de unidades, pode ser escrito como: U(ρ) = U(m) / U(V) No SI, a unidade de ρ é kg/m3 ; no sistema CGS é g/cm3 ; no sistema Inglês Absoluto é lb/ft3 ; no sistema Inglês Técnico é slugg/ft3 e, finalmente, no sistema Técnico é utm/m3 . A massa específica dos líquidos em geral decresce com o aumento de temperatura, exceto para a água na faixa entre 0ºC e 4o C, quando se verifica um aumento de ρ com a temperatura. Para os gases a massa específica diminui com o aumento da temperatura, mantendo-se a pressão constante. Apesar da massa específica dos fluidos aumentar conforme se aumenta a pressão os líquidos apresentam uma variação muito pequena, quase imperceptível. Tanto é assim que os líquidos são considerados fluidos incompressíveis. Ao contrário, a mudança da massa específica coma a pressão nos gases é bastante acentuada. A água pura a 4o C tem a massa específica exatamente igual a 1 000,00 kg/m3 . Já a 20o C, a sua massa específica é de 998,23 kg/m3 . O mercúrio metálico tem a sua massa específica a 0o C igual a 13 595,1 kg/m3 e a 20o C igual a 13 545,8 kg/m3 . Observar que a variação não é grande, porém ela ocorre. O valor exato da massa específica da água a 4o C concorreu para se estabelecer a água como padrão para relacionar as demais substâncias, através da densidade que será definida adiante. A tabela 04, dada a seguir, mostra os valores da massa específica da água e do mercúrio a diversas temperaturas. Para a água é possível ajustar uma equação aos dados da massa específica (kg/m3 ) e temperatura (ºC) com resultados excelentes na faixa entre 0º C a 40º C e satisfatórios entre 40 e 95 ºC. A equação encontrada é: ( ) ( ) ( )26,6757,503 28398,3 1000 2 + +− −= T TT agρ
  40. 40. Lições de Hidráulica Básica IX 4.2. Exemplo de aplicação.............................................................................179 4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS............................180 4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:.................................................182 4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO............................................................186 a) Vazão em volume: Q....................................................................186 b) Vazão em massa: m& ou Qm.........................................................190 c) Vazão em peso: G.........................................................................192 d) Velocidade média: V ...................................................................192 EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO.............................................................193
  41. 41. Lições de Hidráulica Básica 30 b) Peso Específico O peso específico, denominado de specific weight, é definido como sendo o peso da unidade de volume de um fluido. Assim, ele representa a força exercida pela atração gravitacional da terra sobre a unidade de volume do fluido. A relação estabelecida, em que P é o peso de fluido contido no volume V, é a seguinte: V P =γ Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre o peso e o volume. Quando o fluido não é homogêneo, diz-se que o peso específico γ é definido pelo seguinte limite: V P V ∆ ∆ = →∆ 0 limγ Nesse limite, ∆P é o peso de fluido contido no volume ∆V. À semelhança do ocorrido com a massa específica, usa-se, na prática, a seguinte relação para calcular o peso específico: dV dP =γ Diz-se que o peso específico é a derivada do peso em relação ao volume ou, em termos práticos, é a taxa de variação do peso com o volume. Essa relação é de fundamental importância quando se deseja conhecer o peso total de um fluido. A expressão acima permite escrever: ∫=∴= V dVPdVdP γγ . Unidades: As unidades de peso específico podem ser determinadas em um sistema coerente de unidades através da relação:
  42. 42. Lições de Hidráulica Básica 31 U(γ) = U(P) / U(V) No SI, a unidade de γ é N/m3 ; no sistema CGS é dyn/cm3 ; no sistema Inglês Absoluto é pdl/ft3 ; no sistema Inglês Técnico é lbf/ft3 e, finalmente, no sistema Técnico é kgf/m3 . A água pura a 4o C tem o peso específico ao nível do mar igual a 9 806,65 N/m3 ou, aproximadamente 9 807 N/m3 . Os engenheiros usaram muito o valor 1000 kgf/m3 . O mercúrio metálico tem a sua massa específica a 0o C igual a 133 322,4 N/m3 . Da definição de peso específico decorre uma relação muito usual que permite o cálculo do peso específico caso se conheça a massa específica e vice-versa. A segunda lei de Newton permite escrever o peso de certa massa dm como sendo: g dV gdm gdmdP ργγ =∴=∴= . . . Ao contrário da massa específica, o peso específico não é uma grandeza absoluta, visto que depende do valor da aceleração da gravidade local, função da posição na superfície terrestre. A aceleração da gravidade varia com a latitude e com a altitude do local onde está sendo observada. A variação com a latitude está dada na tabela 05. Tabela 05 - Aceleração da gravidade, go ao nível do mar. Latitu- de (°) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 go (m/s 2 ) 9,780 9,782 9,786 9,793 9,802 9,811 9,819 9,826 9,831 9,832 Com a altitude, z, a aceleração da gravidade pode ser avaliada pela equação: 2       + = zR R gg o
  43. 43. Lições de Hidráulica Básica 32 Nessa equação, R é o raio da terra e go a valor da aceleração da gravidade na latitude do local, conforme tabela 05. c) Volume específico Por definição o volume específico é o volume ocupado por uma unidade de massa do fluido: dm dV vs = ou m V vs = A comparar com a definição de massa específica, vê-se que essa grandeza física pode ser determinada por uma relação mais usual: ρ 1 =sv O volume específico é comumente usado ao tratar do equacionamento do movimento dos gases, sendo medido em m3 /kg no Sistema Internacional de Unidades. d) Densidade A densidade de um fluido, d, denominada de specific gravity na língua inglesa, é definida pela relação entre a massa de um dado volume do fluido e a massa de um mesmo volume de água pura a 4o C. Depreende-se dessa definição que a densidade é um número puro ou uma grandeza adimensional. Alguns autores teimam em chamá-la de densidade relativa para diferenciar da massa específica à qual chamam de densidade absoluta. Entretanto denominando essa grandeza apenas de densidade, não corremos o risco de provocar dubiedades. Como a massa de um volume de um dado fluido pode ser escrita como sendo m = ρ.V e a massa do mesmo volume de água pura a 4o C pode ser escrito como ma = ρoV, tem-se:
  44. 44. Lições de Hidráulica Básica 33 ooVa V d V V d m m d ρ ρ ρ ρ =∴=∴= Tal expressão mostra que podemos calcular a densidade de um fluido através da relação entre a sua massa específica, ρ, e a massa específica da água pura a 4o C, ρo. Devido à relação entre a massa específica e o peso específico, podemos, ainda, se for conveniente, calcular a densidade de um fluido como sendo a relação: o d γ γ = Nessa relação, γ é o peso específico do fluido considerado e γo é o peso específico da água pura a 4o C. Como exemplo, podemos citar a densidade do mercúrio a 0o C. Ela vale d = 13,5951, já que a sua massa específica a 0o C é 13 595,1 kg/m3 e a massa específica da água padrão é 1 000,00 kg/m3 . A densidade da água a 20o C é igual a 0,9982. e) Compressibilidade Os fluidos são mais ou menos compressíveis, dependendo da sua natureza. Constata-se que os gases são bastante compressíveis ao passo que os líquidos são pouco compressíveis. Assim, na realidade não existe um fluido completamente incompressível. Por aproximação trataremos os líquidos como fluidos incompressíveis, mesmo sabendo eles mudam muito pouco de volume quando sujeitos a elevadas pressões. Considera-se um fluido incompressível quando alterações na pressão provocam uma variação desprezível na massa específica. Uma evidência clara da compressibilidade dos líquidos reside no fato de que uma perturbação na pressão viaja com uma certa velocidade no seu interior. As ondas sonoras são decorrentes de uma variação de pressão. Elas viajam nos líquidos com uma velocidade bem definida. Mesmo os gases, quando submetidos a variação de pressão tal que a sua massa específica altera muito pouco, podem ser considerados como fluidos incompressíveis. É o caso do escoamento de ar em sistemas de ventilação de prédios.
  45. 45. Lições de Hidráulica Básica 34 A compressibilidade é a propriedade que os fluidos têm de alterar o seu volume devido a uma alteração na pressão a que estão submetidos. A variação de volume relativa que um fluido sofre ao ser submetido a uma variação de pressão é escrita como sendo ∆V/V, onde ∆V é a variação de volume sofrida e V o volume inicial. Se essa variação relativa de volume é devida a uma variação ∆p da pressão, define-se o módulo de elasticidade volumétrica E como sendo a relação: V V p E ∆ ∆ −= ou V p VE ∆ ∆ −= O sinal negativo decorre do fato de se pretender valores de E sempre positivos e do fato de que haverá uma variação inversa entre a pressão e a variação de volume. Se aumentarmos a pressão o volume diminui e vice-versa. Mais precisamente devemos definir E como sendo o caso limite da relação ∆p/∆V, quando ∆V tender para zero. Nesse caso tem-se: dV dp VE −= Nesta equação V é o volume inicial, dp é a variação elementar de pressão que causou a variação de volume, dV, também elementar. Como a variação relativa de volume é uma grandeza adimensional, nota-se que as unidades de E são as mesmas da pressão. Assim, E é medido em N/m2 , dyn/cm2 , kgf/m2 , etc. O módulo de elasticidade volumétrica é análogo ao módulo de elasticidade definido para os sólidos. A diferença é que o primeiro é definido com base na variação de volume, ao passo que o segundo é definido com base na relação unidimensional da tensão-deformação dos corpos sólidos. Como m = ρV = const., diferenciando, tem-se: dm = ρ.dV+ V.dρ =0. Logo - dV/V = dρ/ρ. Assim, substituindo essa relação na equação de E dada acima, chega-se a: ρ ρ d dp E =
  46. 46. Lições de Hidráulica Básica 35 Dessa equação pode-se tirar uma importante relação muito usada para calcular a taxa de variação da pressão com a massa específica: ρρ E d dp = A expressão acima pode ser posta sob a forma E dpd = ρ ρ e integrada para obter: ∫∫ =      p poo E dpdρ ρ ρ ρ ou E pp o o − =)ln( ρ ρ . Para os líquidos, observando que a variação é pequena, a última equação pode ser aproximada pela equação E pp o o o − = − ρ ρρ . Finalmente, esta equação pode ser re-escrita na forma: ( )      −+= oo pp E 1 1ρρ Esta equação pode ser usada para previsão de novos valores da massa específica quando um líquido for submetido a um aumento de pressão p – po, desde que se conheça o módulo de elasticidade volumétrico do líquido. Considerando-se a água como fluido incompressível, despreza-se a segunda parcela dentro dos colchetes na equação anterior, o que permite concluir que ρ = ρo. Na realidade constata-se que E varia com a pressão e com a temperatura no caso dos fluidos. Para os líquidos tal variação é muito menor. Assim é que os gases têm um valor de E relativamente baixo, ao passo que os líquidos têm um elevado valor de E. A tabela 06 fornece alguns valores do módulo de elasticidade volumétrica da água.
  47. 47. Lições de Hidráulica Básica X Prefácio
  48. 48. Lições de Hidráulica Básica 37 a v M = Ele expressa quantas vezes a velocidade de escoamento de um fluido é maior ou menor que a velocidade de propagação de uma onda de pressão no mesmo. Considerando-se as variações de massa específica, pode-se escrever: n o M n −       − += 1 1 2 2 1 1ρρ n é o expoente adiabático do fluido e ρo é a massa específica quando a velocidade de deslocamento do fluido for nula. A expressão acima mostra que a massa específica não varia muito. Assim, se M = 0,3 e n = 1,4, para uma velocidade v = 100m/s tem-se ρ = 0,96ρo. Ao desconsideramos a variação da massa específica, nesse caso, o erro cometido é de apenas 4% para uma velocidade exageradamente grande. Distinção entre Líquido e Gás Os fluidos são substâncias líquidas ou gasosas. O que vai diferenciar um líquido de um gás é o arranjo interno na estrutura molecular de cada substância. Nos gases as moléculas estão muito mais distantes entre si, de forma que a força de coesão entre elas torna-se bastante pequena. Tanto é assim que os gases tendem a ocupar todo o volume que os encerra. Se toda a força externa que encerra uma da massa gasosa cessa, o gás tende a se expandir indefinidamente. O equilíbrio só ocorre quando o gás está encerrado entre paredes confinantes, formando um sistema fechado. Nos líquidos, as moléculas estão bem mais próximas umas das outras. Essa proximidade aumenta as forças de coesão entre elas, fazendo com que o líquido ocupe a forma do recipiente que o contém, às vezes deixando uma superfície livre. Essa superfície livre aparece sempre que a pressão torna-se igual a um valor que não seja a sua pressão de vapor. Dessa maneira é que dizemos que os gases são mais compressíveis que os líquidos, considerados incompressíveis.
  49. 49. Lições de Hidráulica Básica 38 Um vapor é um gás cuja temperatura e pressão a que está submetido são próximas daquelas que caracterizam a fase líquida. O vapor d’água é considerado um gás pois o seu estado é próximo ao estado da água líquida. Já para um gás as condições de T e p estão muito longe do estado líquido. Muitos autores referem-se a um gás como um vapor superaquecido. O volume de um gás é muito afetado pela temperatura e pela pressão ou por ambos. Fluidos Compressíveis e Incompressíveis A Hidráulica trata essencialmente do estudo dos fluidos incompressíveis e a mecânica dos fluidos estuda ambos os fluidos. Na realidade devemos observar que todos os fluidos reais são compressíveis, uns mais e outros menos. Um fluido é considerado incompressível quando, no seu estudo, pode-se desprezar as variações de massa específica causadas pela variação da pressão. Se essas variações são significativas, não podendo ser desprezadas, devemos estudar o fluido do ponto de vista de sua compressibilidade, tentando estabelecer relações entre a compressibilidade e as variações de pressão. Na maioria das vezes os líquidos são considerados incompressíveis pois a variação da sua massa específica com a pressão é desprezível. Entretanto, em alguns poucos casos, essa variação deve ser considerada, mesmo em se tratando de um líquido. É o caso da ocorrência do fenômeno denominado de golpe de aríete, efeito muito danoso aos alguns escoamentos em tubulações. A comprovação da compressibilidade dos líquidos é o fato de que ondas sonoras viajam através deles com uma velocidade finita. As ondas sonoras são manifestações de variação de pressão. Os gases, em certos casos, também podem ser considerados como tendo um comportamento de fluido incompressível. É o caso de escoamentos a baixas velocidades e com pequenas variações de pressão, tais como os que ocorrem em sistemas de ventilação de edifícios ou no escoamento através da asa de aviões que se deslocam a velocidades inferiores a 100 m/s.
  50. 50. Lições de Hidráulica Básica 39 g) Pressão de vapor Todo líquido tende a evaporar quando possuir uma superfície livre. As moléculas dos líquidos que estiverem próximas à superfície livre podem escapar do líquido, passando à fase de vapor nas proximidades da superfície livre, de tal forma que a evaporação se dá pela perda de moléculas do líquido. Quando esse espaço não é confinado, o número de partículas que passa à fase de vapor é estatisticamente maior do que o que volta novamente à fase líquida, fazendo com que haja evaporação. Quando o espaço acima da superfície livre é confinado, a pressão parcial do gás vai aumentando até que haja um equilíbrio entre as moléculas que passam à fase de vapor e as que retornam à fase líquida. Nesse caso de equilíbrio a pressão é denominada de pressão de saturação ou pressão de vapor do líquido. Se a pressão acima da superfície livre de um líquido se tornar igual à pressão de vapor, ocorre a ebulição do líquido. A água pode entrar em ebulição a 20o C, desde que a pressão na sua superfície seja abaixada para 2 334 Pa (a pressão atmosférica ao nível do mar é de 101 325 Pa). A tabela 07 fornece o ponto de ebulição da água para diversas altitudes. Tabela 07 – Ponto de ebulição da água e temperatura Altitude (m) 0 500 800 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000 Temp (ºC) 100 98 97 96 95 93 91 89 A atividade molecular, que é dependente da temperatura, é de fundamental importância ao se estabelecer a pressão de vapor. Assim constata-se que a pressão de vapor de um líquido é tanto maior quanto mais elevada for a temperatura na qual o líquido se encontra. A tabela 08 fornece a pressão de vapor da água com a temperatura, em unidades do sistema Internacional, sistema técnico e em metros de coluna de água (mca) Nos escoamentos de um líquido podem ocorrer pressões inferiores à pressão de vapor. Nesses pontos o líquido evapora muito rapidamente, formando uma bolsa ou cavidade que se expande rapidamente e ao deslocar pode voltar a ser submetida a
  51. 51. Lições de Hidráulica Básica 40 pressões maiores, tornando a voltar à fase líquida (colapso da bolha). Esse fenômeno é denominado de cavitação e deve ser evitado nos escoamentos. Nas bombas, quando ela ocorre, haverá uma perde de eficiência e pode levar ao desgaste prematuro das peças envolvidas. Tabela 08 – Pressão de vapor da água e temperatura Temperatura Pressão de vapor da água (ºC) Pa kgf/m2 mca -10 260 26,5 0,027 -5 403 41,1 0,041 0 611 62,3 0,062 4 813 82,9 0,083 5 872 88,9 0,089 10 1 225 124,9 0,125 15 1 705 173,9 0,174 20 2 339 238,5 0,239 25 3 169 323,1 0,323 30 4 246 433,0 0,433 50 12 350 1 259 1,259 80 47 390 4 832 4,832 100 101 325 10 332 10,332 150 475 800 48 518 48,518 h) Tensão superficial e capilaridade Os líquidos na realidade são formados por partículas que estão sujeitas a forças de coesão e de adesão. Estas são forças de atração que ocorrem a nível molecular. As forças de coesão tendem a manter as moléculas do líquido unidas entre si. Já as forças de adesão tendem a manter partículas do líquido junto com partículas de outros corpos próximos, como no caso das paredes que contêm os líquidos. Se as forças de adesão são superiores às forças de coesão aparece a conhecida tendência dos líquidos de molharem o recipiente que os contém. Isso é o que acontece com a água e a maioria dos recipientes que a encerra. Se as forças de coesão superam as
  52. 52. Lições de Hidráulica Básica XI Agradecimentos
  53. 53. Lições de Hidráulica Básica 42 Fig. 01 - Relação entre a tensão superficial e a temperatura para a água A variação da tensão superficial da água (em N/m) com a temperatura, na faixa entre 0ºC e 100ºC pode ser aproximada pelo polinômio: 0756,010.403,110.751,2 427 +−= −− TTσ . Os efeitos da tensão superficial em geral são pequenos, podendo ser desprezados na maioria dos problemas encontrados na Engenharia. Entretanto em alguns problemas envolvendo capilaridade, formação de bolhas ou gotas, quebra de jato líquido, eles podem assumir papel preponderante. A capilaridade é devida aos efeitos da tensão superficial. Quando as forças de adesão superam as de coesão, o líquido adere à parede do recipiente que o contém promovendo uma elevação da superfície de separação um pouco acima do nível do líquido. Ocorre, assim, uma elevação capilar, como no caso da água. Quando as forças de adesão são inferiores às de coesão, o líquido não adere à parede do recipiente. Nesse caso a superfície de separação tende a se abaixar, ficando algo abaixo do nível normal da superfície líquida. Esse é o caso do mercúrio. Quando mergulhamos um tubo de vidro na água, observa-se uma elevação do nível da água dentro do tubo, acima da superfície normal da água. Quando introduzimos um tubo de vidro no mercúrio, ocorre uma depressão do nível do mercúrio dentro do tubo. Tanto a elevação quanto a 0,05 0,06 0,06 0,07 0,07 0,08 0,08 0 20 40 60 80 100 TensãoSuperficial(N/m) Temperatura (ºC)
  54. 54. Lições de Hidráulica Básica 43 depressão capilar depende do inverso do raio do tubo. Tubos finos tendem a mostrarem uma grande elevação capilar. Tubos de diâmetros acima de 10mm mostram uma elevação capilar desprezível. A figura 02 ilustra a elevação capilar, h, ocorrida ao se introduzir um tubo de raio R dentro da água de peso específico γ e tensão superficial σ. Considera-se θ o ângulo de ataque, formado pela tangente ao bordo do menisco ao atingir a parede do tubo de vidro e a vertical. Quando o tubo está limpo, para a água θ = 0o e para o mercúrio θ = 140o . Figura 02 – Elevação capilar em um tubo de vidro. A força que tende a levar a superfície da água é devida à tensão superficial da água e se manifesta ao longo de toda a linha de contato da água com as paredes internas do tubo de vidro. Essa força tem uma componente vertical dada por: Fv = 2π.R.σ.cosθ
  55. 55. Lições de Hidráulica Básica 44 O equilíbrio será conseguido quando o peso da coluna de água de altura h for suficientemente grande para se contrapor à força dada acima. O peso da coluna de água será: P = γπR2 h Igualando as duas expressões, tem-se a equação que permite prever a altura capilar, h: R h γ θσ cos2 = Através dessa equação podemos calcular a elevação capilar em um tubo de vidro de 5mm de diâmetro, quando imerso em água a 20o C. O resultado é h = 5,9mm. Para o mercúrio deverá ocorrer uma depressão h = 1,4mm. Na prática consideram-se desprezíveis os efeitos capilares se o diâmetro do tubo é superior a 10mm. EXERCÍCIOS Dados: g = 9,807 m/s 2 ; 1 cm = 10 -2 m; 1 ft = 0,3048m, 1 pol = 2,54 cm, 1 lb = 0,4536 kg. 1. Dois dm 3 de um dado líquido pesam 1,640 kgf. Calcular o seu peso específico, massa específica e densidade, expressos em unidades do Sistema Internacional de Unidades. 2. Um reservatório cilíndrico de diâmetro igual a 8,50 m está preenchido com três líquidos de massas específicas diferentes. O líquido que ocupa a parte inferior do reservatório tem densidade 1,60 e forma uma camada de 0,45 m de espessura. o líquido que ocupa a região intermediária tem densidade 1,30 e forma uma camada de 0,80 m de espessura. O líquido da camada superior tem densidade 1,05 e espessura de 3,00 m. Nesse caso, determinar a massa e o peso total dos fluidos no reservatório, em um local situado a 20º de latitude Sul e a uma altitude de 1220 m.
  56. 56. Lições de Hidráulica Básica 45 3. Um reservatório cilíndrico de 8,50 m de diâmetro encontra-se cheio de um líquido cuja massa específica varia linearmente com a altura, medida em relação à0 sua base, segundo uma relação do tipo ρ = ρo + a.h, sendo ρo e a constantes. Na base, quando h = 0, a massa específica é ρo = 1.600 kg/m 3 . Na parte superior, em contato com a atmosfera, a 4,25 m do fundo, a massa específica é ρ = 1.000 kg/m 3 . Nesse caso, determinar a massa e o peso do fluido contido no reservatório em um local em que a aceleração da gravidade vale 9,795 m/s 2 . 4. Um reservatório de aço, cilíndrico, de 4,0 m de diâmetro, está cheio de água com temperatura variável, desde o fundo até 6,0 m de altura. No fundo do reservatório, a massa específica da água vale 998,2 kg/m 3 e a 6,0 m de altura vale 995,7 kg/m 3 . Adotando uma variação linear da massa específica com a altura, determinar a massa de água contida no reservatório. Calcular, ainda, o peso da água no reservatório em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,78 m/s 2 . 6. A água tem um módulo de compressibilidade volumétrico E = 21.000 kgf/cm 2 . Determinar o acréscimo de pressão necessário para reduzir o seu volume em 0,5%. 6. Sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico da água é E = 2.206,32 MPa, calcular o percentual de redução de volume da água quando a mesma estiver sujeita a uma variação de pressão de 440 kPa.
  57. 57. Lições de Hidráulica Básica 1 1. INTRODUÇÃO A palavra hidráulica significa condução de água. Do grego hÿdor significa água e aulos significa condução, tubo. Atualmente a Hidráulica tem um significado muito mais geral, pois trata do estudo do comportamento dos líquidos (em especial da água) em repouso ou em movimento. Os estudos relativos à Hidráulica começam na Antigüidade, pois é sabido que na Mesopotâmia existiam canais destinados à irrigação, construídos nas terras vizinhas aos rios Tigre e Eufrates. Tem-se notícia de que na Babilônia, no ano 3 750 a.C. já existiam coletores de esgotos. No Egito por volta de 2 500 a.C. foram construídas diversas obras destinadas à irrigação. Durante a XII Dinastia foram realizadas diversas obras hidráulicas tais como o lago artificial de Méris para regularização das águas do baixo Nilo. O primeiro sistema público de abastecimento de água apareceu na Assíria em 691 a.C., tendo recebido o nome de aqueduto Jerwa. Arquimedes (287-212 a.C.) escreveu um tratado abordando a flutuação dos corpos enunciando diversos princípios da Hidrostática, que são estudados nos dias de hoje. A bomba de pistão foi
  58. 58. Lições de Hidráulica Básica 47 Fig. 03 - Perfil de velocidades, u = f(y), de um escoamento hipotético. Na Fig. 03, representa-se a velocidade, u, na direção do escoamento na direção do eixo Ox, em relação a distância do ponto considerado ao contorno, na direção Oy, perpendicular ao eixo Ox. Assim podemos dizer que u é depende de y ou que u é uma função de y, o que, genericamente, pode ser representado por u = u(y). Assim, essa função u = u(y) representa o perfil de velocidades, lei muito importante para definir as propriedades de um escoamento. Uma propriedade importante dessa função é expressa pela maneira como u varia com y. A velocidade u varia desde zero, quando y for nulo, até um certo valor U longe do contorno sólido. Para uma dada posição y, seja u o valor correspondente da velocidade. Essa seria a velocidade de uma pequena camada de fluido centrada na posição y. Se considerarmos uma camada de fluido adjacente, em uma posição y’ = y + dy, o perfil de velocidade mostra que a velocidade correspondente será u’ = u + du. Nesse caso, vê-se que a relação du/dy expressa a inclinação da tangente à curva do perfil de velocidades na posição y em relação ao eixo Oy, conforme ilustrado na figura 04. Essa inclinação é exatamente a taxa de variação de u com y para o escoamento considerado. Ela é denominada de velocidade de deformação, taxa de deformação ou gradiente de velocidades, pois é uma medida da velocidade de deformação contínua do fluido durante o seu movimento. Observar que tal número atinge um valor máximo
  59. 59. Lições de Hidráulica Básica 48 quando y = 0, isto é, no contorno sólido, sendo decrescente na medida em que y aumenta, em direção ao interior do fluido. Em alguns escoamentos essa taxa é tão pequena que até pode ser considerada nula, como é o caso das regiões do escoamento em que a velocidade deixa de variar. Observar, ainda, que du/dy tem dimensões de tempo elevado ao expoente -1, isto é s-1 . Fig. 04 - variação de velocidades entre duas camadas de fluido de posições diferentes (y e y'). Na prática, uma maneira de se determinar o valor do gradiente de velocidade, é adotar um triângulo de lados finitos, de abscissa ∆u e ordenada ∆y, valores muito superiores aos infinitésimos du e dy, respectivamente. Logo du/dy ≈ ∆u/∆y tal valor, na verdade representa o coeficiente angular da tangente ao perfil de velocidades em relação ao eixo Ou, na posição y. Quanto maior o ∆u adotado, maior será o ∆y correspondente e, menor será o erro ao fazer a aproximação para du/dy. Supondo que a camada de fluido que se encontra na posição y tenha uma área infinitesimal, dA, e que a camada vizinha a ela também tenha a mesma área, a força necessária para imprimir a alteração de velocidade du na camada superior será
  60. 60. Lições de Hidráulica Básica 49 denominada dFt. Essa, é uma força na direção do movimento do fluido, portanto uma força tangencial, capaz de provocar o aumento de velocidade, du. Se a força na camada superior (posição y' = y + dy) está para a direita (no sentido do movimento), na camada inferior (posição y) a reação a ela certamente estará para a esquerda (sentido contrário ao movimento). Nesse caso, na área dA das camadas de fluido, é possível definir a relação dFt/dA como sendo a tensão cisalhante que age sobre a camada fluida, pela relação: dA dF A F tt A = ∆ = →∆ 0 limτ A figura 05 ilustra o caso das placas planas de fluido escoando com velocidades diferentes no interior do mesmo fluido. Fig. 05 - Figura com camadas de velocidade u e u+du e área dA, com a força viscosa dFt. A unidade da tensão cisalhante é N/m2 ou pascal, Pa. Observar que, sob a ação da tensão cisalhante, o fluido deforma continuamente, com uma velocidade ou taxa de deformação dada por du/dy. A figura 05, ilustra os elementos envolvidos. Experimentalmente, pode ser verificado que, para a grande maioria dos fluidos, existe uma relação linear entre a tensão cisalhante e o gradiente de velocidades. Tal observação foi feita por Isaac Newton no passado. Então, τ α du/dy ou τ = k. du/dy
  61. 61. Lições de Hidráulica Básica 50 À constante de proporcionalidade da variação linear entre a tensão cisalhante e o gradiente de velocidade, k, denominou-se viscosidade, viscosidade absoluta, coeficiente de viscosidade ou viscosidade dinâmica. Nesse texto, ela será designada apenas por viscosidade e será representada pela letra grega minúscula µ. Finalmente, pode-se escrever que: τ = µ. du/dy Tal relação foi estabelecida por Isaac Newton por volta de 1687 e, em homenagem a ele, é denominada de lei de Newton da viscosidade. Os fluidos que obedecem essa lei durante o seu escoamento, recebem o nome de fluidos newtonianos. O gráfico da figura 06, mostra dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. O fluido B tem viscosidade superior à do fluido A, oferecendo maior resistência ao escoamento. Notar que, a inclinação da reta para o fluido B é maior do que a do fluido A, confirmando que a viscosidade do primeiro fluido é maior que a do segundo fluido. Fig. 06 - Gráfico mostrando dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. Na natureza não existem apenas fluidos newtonianos, embora a maioria dos fluidos sejam desse tipo, assim como a água, o ar, o álcool, a gasolina ou certos óleos, para citar apenas alguns. Existem também os fluidos não-newtonianos, para os quais a tensão cisalhante não tem variação linear com o gradiente de velocidades, conforme mostrado no gráfico da figura 07.
  62. 62. Lições de Hidráulica Básica 2 inventada por Hero, discípulo de Ctesibius, 200 anos antes de Cristo. Grandes aquedutos foram construídos em todo o mundo a partir de 312 a.C. e o primeiro Superintendente de águas foi Sextus Julius Frontinus, nomeado em Roma no ano 70 a.C. No século XVI ocorreram diversas construções de chafarizes e fontes ornamentais que encantaram as pessoas. Em 1586 Stevin (1548-1620) publicou um novo tratado que, juntamente com estudos de Galileu (1564-1642), Torricelli (1608-1647) e Daniel Bernoulli (1700-1782), constituíram a base para a Hidráulica. Leonardo Euler (1707-1783) foi o pai das primeiras equações gerais que tentavam explicar o movimento dos fluidos. Nesse tempo os campos relacionados com a hidráulica eram distintos, dividindo-se em Hidrodinâmica Teórica cujo objetivo era estudar os movimentos dos fluidos perfeitos e a Hidráulica Empírica que investigava dos problemas reais, sem uma base científica sólida. Dos estudos sobre a aerodinâmica, associados aos estudos teóricos da Hidrodinâmica Teórica, originou a Mecânica dos Fluidos como a conhecemos hoje. Desde os tempos de Venturi (1746-1822), Bidone e outros, as investigações experimentais na Hidráulica foram muito importantes para o estabelecimento de equações matemáticas que explicassem os fenômenos envolvendo o escoamento de líquidos. A partir do século XIX, a produção de tubos de ferro capazes de resistirem a pressões elevadas e o crescimento das cidades fizeram com que os serviços de abastecimento de água tivessem um papel importante, propiciando um rápido crescimento da Hidráulica. Foram as experiências de Reynolds e Froude e os trabalhos de Rayleigh que formaram a base científica para permitir a consolidação da Hidráulica. Deve-se notar que as usinas hidrelétricas
  63. 63. Lições de Hidráulica Básica 52 centésima parte do poise e que se representa por cPo, para expressar a viscosidade dos líquidos e dos gases. Nessa unidade, a viscosidade da água a 20 ºC é de 1,0 cPo, daí ter virado referência de viscosidade. Existe uma relação entre as unidades Pa.s e Po, tendo-se em vista que 1 m2 = 104 cm2 e que 1 N = 103 g. 102 cm/s = 105 dyn. Assim 1 Po = 0,1 Pa.s. Os demais sistemas de unidades têm a sua unidade de viscosidade, todavia de pouco uso atualmente, razão pela qual não serão apresentadas nesse texto. Alguns exemplos de viscosidade de líquidos são dados na tabela xx. Tabela 10 - Viscosidades de alguns líquidos. Líquido Viscosidade ou viscosidade dinâmica, µ (Pa.s) Água pura a 0ºC 0,0180 Água pura a 20 ºC 0,0010 Água pura a 100 ºC (líquido) 0,00 028 Água pura a 100 ºC (vapor) 0,000 012 Mercúrio metálico a 20 ºC 0,0 015 Glicerina a 20 ºC 1,52 Glicerina a 40 ºC 0,31 Gasolina a 20 ºC 0,00 029 Álcool etílico a 20 ºC 0,0 012 Óleo para motores SAE 10W 0,10 Óleo para motores SAE 30W 0,29 Óleo para motores SAE 50W 0,86 Sangue a 37 ºC 0,00 040 Viscosidade cinemática. Em muitas equações destinadas a representar os escoamentos de fluido aparecerá a relação entre a viscosidade e a massa específica, µ/ρ. Tal relação é denominada de viscosidade cinemática, representada pela letra grega minúscula ν. Assim, tem-se: ν = µ/ρ.
  64. 64. Lições de Hidráulica Básica 53 mais uma vez, se uma relação existe entre grandezas físicas ela prevalece entre as suas unidades em qualquer sistema de unidades coerente. logo, pode-se escrever que: U(ν) = U(µ)/U(ρ). A unidade de ν no Sistema Internacional de Unidades e no sistema técnico será m2 /s. Já no sistema de unidades CGS a unidade de ν será cm2 /s, denominada de stoke e abreviada por St. Então, pode-se concluir que 1 stoke = 1 cm2 /s = 10-4 m2 /s. Como o stoke ainda é uma unidade grande de viscosidade cinemática, criou-se o centi-stoke ou cSt igual à centésima parte do stoke, de forma que 1 cSt = 10-2 St = 10-6 m2 /s. No estudo dos líquidos é bastante interessante explicitar as equações em termos de ν. Já nos gases, é comum o uso de µ. A título de exemplo, verifica-se que a água, a 20 ºC, tem viscosidade cinemática igual a 1,0.10-6 m2 /s. Variação da viscosidade A viscosidade de um fluido, em geral, depende da temperatura e da pressão. Porém a variação da viscosidade de um líquido com a pressão é pequena e será desconsiderada nos estudos dos escoamentos desse tipo de fluido. Por outro lado, a variação da viscosidade com a temperatura é significativa e precisa ser considerada nos diversos casos a serem estudados. Se a temperatura aumenta a viscosidade diminui no caso dos líquidos, Já no caso dos gases a um aumento de temperatura corresponde um aumento da viscosidade. Ver desenho esquemático na figura 08. Nos líquidos as moléculas possuem mais energia e quando se aumenta a temperatura a distância entre as partículas aumenta, fazendo com que as forças intermoleculares de coesão ficam diminuídas de maneira que a força tangencial necessária para executar um certo escoamento fica diminuída, assim como a viscosidade. Já nos gases, como as moléculas já estão bem distantes umas das outras, as forças intermoleculares de coesão são insignificantes de forma que o aumento da temperatura causará mais colisões entre essas moléculas e, portanto maior resistência ao escoamento. Nesse caso quando se aumenta a temperatura a viscosidade também aumenta.
  65. 65. Lições de Hidráulica Básica 54 Fig. 08 - Figura ilustrando a variação da viscosidade de gases e líquidos com T Na prática constata-se que existe uma proporcionalidade entre a viscosidade e a raiz quadrada da temperatura, para os gases, isto é: Tαµ A equação de Sutherland, para os gases informa que a viscosidade de um gás é dada por: T b Ta + = 1 µ onde T é a temperatura absoluta e a e b são constantes determinadas experimentalmente para cada gás. Para o ar a = 1,458 . 10-6 kg/(m.s.K0,5 ) e b = 110,4 K, sob condições atmosféricas normais. A viscosidade dos gases é considerada independente da pressão sob condições de pressão baixa ou moderada. Considerar que, sob elevadas pressões, a viscosidade aumenta, devido ao aumento na massa específica do gás. Para os líquidos, a variação da viscosidade com a temperatura pode ser aproximada por uma lei exponencial do tipo: cT b a − = 10.µ sendo T a temperatura absoluta e a, b e c são constantes determinadas experimentalmente para cada líquido. Para a água, valores de a = 2,414.10-5 N.s/m2 , b = 247,8 K e c = 140 K permitem avaliar a viscosidade da água na faixa de temperatura entre 0 e 350 ºC, com erro inferior a 2,5%, segundo Touloukian et al, 1975.
  66. 66. Lições de Hidráulica Básica 55 Diversos autores apresentam gráficos de variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura, conforme ilustrado na figura 09. Figura 09 - Gráfico com a variação da viscosidade com a temperatura para diversos fluidos. Fonte: Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações - Yunus A. Çengel e John M. Cimbala. Para a água pura, a viscosidade também diminui com o aumento da temperatura. Tal variação, para a viscosidade cinemática, pode ser vista na tabela 11.
  67. 67. Lições de Hidráulica Básica 56 Tabela 11 – Variação da viscosidade da água com a temperatura Temperatura (ºC) Viscosidade Cinemática (10-6 m2 /s) Temperatura (ºC) Viscosidade Cinemática (10-6 m2 /s) 0 1,792 24 0,923 1 1,729 25 0,901 2 1,673 26 0,880 3 1,623 27 0,859 4 1,567 28 0,839 5 1,523 29 0,819 6 1,476 30 0,804 7 1,431 32 0,765 8 1,388 34 0,732 9 1,346 36 0,702 10 1,308 38 0,674 11 1,269 40 0,657 12 1,238 45 0,615 13 1,208 50 0,556 14 1,179 55 0,520 15 1,146 60 0,478 16 1,123 65 0,442 17 1,096 70 0,416 18 1,069 75 0,381 19 1,043 80 0,367 20 1,007 85 0,337 21 0,993 90 0,328 22 0,969 95 0,311 23 0,946 100 0,296 Para fins de facilitar os cálculos, uma equação para determinação aproximada da viscosidade cinemática da água, com T em ºC e ν em m2 /s foi ajustada chegando-se à forma: ( ) ( )[ ] 62 10.1500068,015031,0146,1 − −+−−= TTν
  68. 68. Lições de Hidráulica Básica 3 começaram a aparecer no final do século XIX e continuam a ser construídas até hoje. Atualmente, com o grande desenvolvimento dos computadores os estudos relativos à Hidráulica têm recebido importantes contribuições. Muitos projetos de implantação de complexas obras hidráulicas e o aperfeiçoamento de máquinas só foram possíveis com o uso desses computadores. O professor Azevedo Neto, em seu Manual de Hidráulica, apresenta uma interessante tabela com as principais invenções relativas aos assuntos relacionados com a Hidráulica, aqui reproduzida na tabela 01. Atualmente a água é o recurso natural de maior importância para o bem estar do homem. Durante muitos anos ela foi encarada como um bem inesgotável, para servir, sem nenhuma preocupação, aos habitantes da terra. Muito desperdício tem ocorrido na superfície da terra. Hoje há uma consciência de que ela deve ser muito bem preservada a fim de assegurar a sobrevivência da espécie humana. O progresso levou a uma inevitável concentração de atividades em determinados locais específicos, tornando necessário o uso de uma maior quantidade de água. Assim foi preciso promover o abastecimento das populações. Esse abastecimento foi se tornando cada vez mais complexo, envolvendo diversos fatores de ordem técnica, social, econômica, legal, política, administrativa, estratégica, etc. Atualmente, os problemas relativos ao uso da água têm ultrapassado as fronteiras dos países, adquirindo aspectos internacionais.
  69. 69. Lições de Hidráulica Básica 58 Figura 10 - hipótese do perfil linear de velocidades Tal equação simples é útil em muitos problemas práticos onde não se requer uma grande precisão nos cálculos ou onde o valor de y, para o qual a velocidade é u, tornar-se significativamente pequeno. A viscosidade ou a viscosidade cinemática de um fluido é determinada experimentalmente através de equipamentos denominados de viscosímetros, que funcionam sob vários princípios ligados aos escoamentos. Viscosímetros funcionando segundo a queda de uma esfera no meio viscoso. São equipamentos baseados na medição da velocidade de queda de uma esfera dentro de um tubo de vidro preenchido com uma amostra do fluido (cerca de 130 ml) cuja viscosidade deverá ser determinada. O tubo de vidro deve ter a sua superfície interna retificada para que o diâmetro seja conhecido com rigor. Esse tubo é ligeiramente inclinado (cerca de 10º) e nele são efetuadas três marcas externas a distâncias previamente determinadas (geralmente 50 mm). Uma esfera de diâmetro e massa específica conhecidos é deixada cair livremente no interior do fluido contido no tubo. O tempo,∆t, gasto para a esfera passar entre a marca inicial e a final é medido e a velocidade de queda determinada pela relação ∆L/∆t. Nesse caso, a viscosidade (dinâmica) será proporcional a esse tempo. Levando-se esse tempo em uma equação conveniente, perfeitamente dedutível em função das forças presentes, pode-se determinar a viscosidade µ do fluido. Deve se ter o cuidado de envolver o tubo de vidro
  70. 70. Lições de Hidráulica Básica 59 em um banho termostático com a finalidade de se manter a temperatura sobre rigoroso controle. Um tipo desse viscosímetro é o viscosímetro Höeppler, ilustrado na figura 11. Sendo o fluido cuja viscosidade é objeto de determinação, de massa específica ρf, o tubo de vidro de diâmetro interno Dt e a esfera de diâmetro De, feita de um material (vidro ou aço inoxidável) de massa específica ρe. A velocidade de queda da esfera será determinada cronometrando-se o tempo gasto pela esfera percorrer uma distância L (entre as duas marcas extremas do tubo de vidro), no caso igual a 100 mm. Observe a existência de uma marca intermediária a 50 mm da marca superior, que pode ser usada para verificar se a velocidade da esfera é realmente constante. Não usar tempos de queda inferiores a 30 s (média de pelo menos 3 medições). A viscosidade será dada por: µ = k.t.(ρe - ρf), sendo k uma constante que leva em conta os diâmetros do tubo e da esfera (portanto cada esfera terá o seu próprio valor), a distância L e um fator de conversão de unidades. Nessa equação µ será a viscosidade do fluido obtida em centipoise. Com esse dispositivo pode-se medir viscosidades desde 0,01 centipoise até 10 000 poise. Um dos modelos desse tipo de viscosímetro, fabricado pela Hoppler é ilustrado na figura 11 e tem suas características dadas na tabela 12. Tabela 12 - Dados do viscosímetro de queda de esfera Höeppler Dados do Fabricante do viscosímetro Hoppler : ( )fetk ρρµ −∆= Nro. da Esfera Faixa de µ (centipoise) Diâmetro da esfera (mm) Peso da esfera (g) ρe (g/cm3 ) Constante (k) 1 0,2 - 2,5 15,81 4,945 2,390 0,00712 2 2,0 - 20 15,66 4,801 2,389 0,0554 3 15 - 200 15,6 16,188 8,143 0,0910 4 100 - 1200 15,20 14,985 8,145 0,6430 5 800 - 10 000 14,28 11,729 7,694 4,60 6 6 000 - 75 000 11,12 5,559 7,723 33,0
  71. 71. Lições de Hidráulica Básica 60 Figura 11 - Desenho esquemático de um viscosímetro de queda de esfera. Viscosímetros funcionando segundo o escoamento em um tubo capilar. Nesse tipo de equipamento, um escoamento controlado é feito acontecer através de um tubo capilar, de forma que ocorra um escoamento laminar. Nesse caso, a medida do tempo de escoamento de um dado volume, sob certas condições, permite a determinação da viscosidade cinemática. è o caso do viscosímetro de Ostwald. Ainda utilizando tal princípio, existe o viscosímetro Saybolt Universal, muito usado na indústria que trabalha com óleos e líquidos mais viscosos. Nesse caso, um volume equivalente a 50 ml de líquido é colocado a escoar a partir de um reservatório de dimensões padronizadas, através de um tubo de pequeno diâmetro (1,77 mm) e comprimento padronizado (12,12 mm). O tempo de escoamento desse volume de líquido, expresso em segundos, representa a sua viscosidade. Tal tempo, foi denominado de SSU (Segundos Saybolt Universal). Esse tempo poderá ser utilizado em equações empíricas para se chegar ao valor da viscosidade cinemática do líquido ensaiado, em stoke ou m2 /s. Todo o equipamento é instalado em um banho termostático para garantir que o escoamento ocorra à temperatura desejada. Os testes de óleos são feitos a temperaturas de 21,1 ºC, 27,8 ºC, 54,4 ºC e 89,9 ºC e os tempos de escoamento não devem ser inferiores a 32 segundos. Nesse caso, para tempos entre 32s e 100 s, a viscosidade cinemática em centi-stokes será dada por: t t 195 226,0 −=ν
  72. 72. Lições de Hidráulica Básica 61 se os tempos forem superiores a 100 s, a equação a ser utilizada será: t t 135 226,0 −=ν A figura 12 é um desenho esquemático desse tipo de viscosímetro. Figura 12 - Desenho esquemático de um viscosímetro Saybolt Universal Quando o tempo de escoamento fica demasiadamente elevado, é necessário aumentar o diâmetro do tubo por onde acontece o escoamento, Assim, para líquidos de viscosidade mais elevadas que os óleos, tais como asfaltos e graxas, existe um viscosímetro semelhante ao Saybolt Universal, porém com maior diâmetro do tubo (3,15 mm) e de mesmo comprimento (12,25 mm) que o Saybolt Universal, por onde ocorrerá o escoamento. Tal viscosímetro é denominado de Saybotl Furol e deve ser usado quando para líquidos de viscosidade superior a 1000 SSU. Da mesma forma, o tempo de escoamento medido em segundos e a viscosidade é medida sem SSF (Segundos Saybolt Furol). A viscosidade Saybolt Universal representa cerca de um décimo da viscosidade Saybolt Furol. Também é possível converter a viscosidade em segundos Furol para stoke ou m2 /s, através de equações empíricas convenientemente determinadas para tal equipamento. Para conversão das viscosidades de SSF para centi- stoke usam-se fórmulas empíricas que, para tempos SSF entre 22 e 40 será: t t ∆ −∆= 184 24,2ν Se o tempo for superior a 40 SSF, a fórmula para o cálculo da viscosidade cinemática em centi-stoke é

×