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INTERVALOS DE
CONFIANZA
CUANDO NO SE CONOCE
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
DE LA POBLACIÓN

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T - STUDENT
Es una distribución de probabilidad que
surge del problema de estimar Ia media de
una población normalmente distribuida
cuando el tamaño de Ia muestra es
pequeño.

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CARACTERISTICAS
En muchas ocasiones no se conoce 𝜎 y el número de
observaciones en Ia muestra es menor de 30. En estos
casos se puede utilizar Ia desviación estándar de Ia
muestra S como una estimación de 𝜎, pero no es posible
usar Ia distribución Z como estadístico de prueba.
El estadístico de prueba adecuado es Ia distribución t.

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USOS
Para determinar el intervalo de confianza dentro
del cual se puede estimar Ia media de una
población a partir de muestras pequeña (n <
30).
Para probar hipótesis cuando una investigación
se basa en muestreo pequeño.
Para probar si dos muestras provienen de una
misma población.

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GRADOS DE LIBERTAD
 Existe una distribución t para cada tamaño de la
muestra, por lo que “Existe una distribución para cada
uno de los grados de libertad”.
 Los grados de libertad son el número de valores
elegidos libremente.
 Dentro de una muestra para distribución t student los
grados de libertad se calculan de la siguiente manera:
 GL=n – 1

6. LOGO¿CÓMO DIFERENCIALA DE LAS OTRAS
DISTRIBUCIONES?
 La distribución de T es similar a la distribución de Z,
pues ambas son simétricas alrededor de una media de
cero.
 Ambas tiene distribuciones de campana pero la
distribución t es más variable debido a que tienen
fluctuaciones en 2 cantidades.
 La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza
de T depende del tamaño de la muestra n y siempre es
mayor a 1, únicamente cuando n tiende a ∞ las dos
distribuciones serán iguales.

7. LOGO¿CÓMO DIFERENCIALA DE LAS OTRAS
DISTRIBUCIONES?
La siguiente figura presenta Ia gráfica de varias
distribuciones t. La apariencia general de Ia distribución t
es similar a Ia de distribución normal estándar: ambas son
simétricas y unimodales, y el valor máximo de Ia ordenada
se alcanza en Ia media µ = O.
Sin embargo, Ia distribución t tiene colas más amplias que
Ia normal; esto es, Ia probabilidad de las colas es mayor
que en Ia distribución normal.

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PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES T
 A medida que el número de grados de libertad tiende a
infinito, Ia forma límite de Ia distribución t es Ia
distribución normal estándar.
 Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
 Cada curva t, está más dispersa que Ia curva normal
estándar.
 A medida que k aumenta, Ia dispersión de Ia curva t
correspondiente disminuye.
 A medida que k-> ∞, la secuencia de curvas t se
aproxima a Ia curva normal estándar

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FÓRMULAS
Estimación por intervalo de la media
poblacional: σ desconocida.
Donde:
s es la desviación estándar de la muestra
tα/2 es el valor de t que proporciona un área de α/2 en la cola superior
de la distribución t para n-1 grados de libertad.

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EJEMPLO
El propietario de Britten’s Egg Farm desea calcular la
cantidad media de huevos que pone cada gallina. Una
muestra de 20 gallinas indica que ponen un promedio de
20 huevos al mes, con una desviación estándar de 2
huevos al mes.
a) Explique por qué necesita utilizar la distribución t.
¿Qué suposiciones necesita hacer?
Utilizamos la distribución t porque se desconoce la
desviación estándar de la población, pero para aplicarla,
debemos suponer que la población sigue una
distribución normal.

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EJEMPLO
b) ¿Cuál es el valor t para un intervalo de confianza de
95%?
Con 95% de
confianza y n – 1 =
20 – 1 = 19 grados
de libertad,
entonces, t = 2.09

12. LOGO
EJEMPLO
c) Construya un intervalo de confianza de 95% para la
media de la población.
Por lo tanto

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TAREA INTRACLASE #5
1. Se analizan 9 zumos de fruta y se ha obtenido un
contenido medio de fruta de 22 mg por 100 cc de zumo.
La varianza poblacional es desconocida, por lo que se
ha calculado la desviación típica de la muestra que ha
resultado ser 6,3 mg de fruta por cada 100 cc de zumo.
Suponiendo que el contenido de fruta del zumo es
normal, estimar el contenido medio de fruta de los
zumos tanto puntualmente como por intervalos al 95%
de confianza.

14. LOGO
TAREA INTRACLASE #5
2. Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña
ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número
de galones de agua que utilizan por día (1 galón ≡ 0.0037854 m3)
fue el siguiente:
Con base en esta información:
a) Hallar un intervalo de confianza del 90%

15. LOGO
TAREA INTRACLASE #5
3. A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra
aleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son
los siguientes: 165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240,
260, 180, 190, 230, 350, 360.
Con base en esta información:
a) Hallar un intervalo de confianza del 90%
b) Hallar un intervalo de confianza del 95%
4. La Asociación Ecuatoriana de Productores de Azúcar desea
calcular el consumo medio de azúcar por año. Una muestra de 16
personas revela que el consumo medio anual es de 60 libras, con
una desviación estándar de 20 libras.
a) Construya un intervalo de confianza del 99%

16. LOGO
TAREA EXTRACLASE #5
1. Se desea calcular el tiempo medio que los trabajadores que
laboran en el centro de la ciudad utilizan para llegar al trabajo. Una
muestra de 15 trabajadores revela el tiempo medio es de 35.06
minutos, con una desviación estándar de 6 minutos.
a) Construya un intervalo de confianza del 95%
b) Construya un intervalo de confianza del 98%
2. Un fabricante de papel para computadora tiene
un proceso de producción que opera continuamente a lo largo del
turno. Se espera que el papel tenga una media de longitud de 11
pulgadas. De 500 hojas se selecciona una muestra de 29 hojas
con una media de longitud del papel de 10,998 pulgadas y una
desviación estándar de 0,02 pulgadas.
a) Calcular la estimación del intervalo de confianza del 99%

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TAREA EXTRACLASE #5
3. Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo
medio requerido para desarrollar una prueba de matemática. Para
ello se elige una muestra aleatoria de 16 estudiantes, la que
produce una media de 13 y una desviación estándar de 5.6
minutos.
4. Un consejo universitario quiere determinar el tiempo promedio de
estudio que dedican los estudiantes, de primer año, a sus
materias. Extrae una muestra aleatoria de 61 alumnos de primer
año y les pregunta cuántas horas a la semana estudian. La media
de los datos resultantes es de 20 horas, y la desviación estándar
es de 6,5 horas.
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la media
poblacional.
b) Construya un intervalo de confianza del 99% para la media
poblacional.

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TAREA EXTRACLASE #5
5. Imagine que la administradora de una universidad
quiere determinar el IQ promedio de los profesores que
laboran en esa institución. Como es muy costoso hacer
una prueba a todos los maestros, se extrae una
muestra aleatoria de 20 instructores de toda la
población. Cada profesor recibe un examen diseñado
para medir el IQ; los resultados proporcionan una
media muestral de 135 y una desviación estándar de 8.
a) Construya el intervalo de confianza del 95% para la
media poblacional.

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GRACIAS