Regra da cadeia 1

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Como calcular derivadas funções compostas através da regra da cadeia. Nesse material é feito um estudo bastante completo abordando as mais variadas classes de funções.

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Regra da cadeia 1

  1. 1. VAMOS FALAR DE MATEMÁTICA Prof. Marcelo Gama „ Descomplicando a regra da cadeia „ facebook.com/vamosfalardematematica 1/38
  2. 2. Sumário 1. O que é a regra da cadeia? 2. Estudando as funções básicas 3. Desmontando funções compostas 4. Faz mais um! 2/38
  3. 3. Prof. Marcelo Gama O que é a regra da cadeia? 1. O que é a regra da cadeia? 3/38
  4. 4. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia é um método para calcular derivadas de funções compostas 1. O que é a regra da cadeia? 4/38
  5. 5. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia é um método para calcular derivadas de funções compostas Exemplo . ◦ Observando a função função f(x) = cos( √ x) 5 1. O que é a regra da cadeia? 4/38
  6. 6. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia é um método para calcular derivadas de funções compostas Exemplo . ◦ Observando a função função f(x) = cos( √ x) 5 vemos que ela é construída utilizando-se três funções mais básicas 1. O que é a regra da cadeia? 4/38
  7. 7. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia é um método para calcular derivadas de funções compostas Exemplo . ◦ Observando a função função f(x) = cos( √ x) 5 vemos que ela é construída utilizando-se três funções mais básicas p(x) = √ x 1. O que é a regra da cadeia? 4/38
  8. 8. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia é um método para calcular derivadas de funções compostas Exemplo . ◦ Observando a função função f(x) = cos( √ x) 5 vemos que ela é construída utilizando-se três funções mais básicas p(x) = √ x q(t) = cos t 1. O que é a regra da cadeia? 4/38
  9. 9. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia é um método para calcular derivadas de funções compostas Exemplo . ◦ Observando a função função f(x) = cos( √ x) 5 vemos que ela é construída utilizando-se três funções mais básicas p(x) = √ x q(t) = cos t r(z) = z5 1. O que é a regra da cadeia? 4/38
  10. 10. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  11. 11. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  12. 12. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, q(t) = cos t, 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  13. 13. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, q(t) = cos t, r(z) = z5 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  14. 14. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, q(t) = cos t, r(z) = z5 Composta: ◦ f(x) = cos( √ x) 5 √ = p = 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  15. 15. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, q(t) = cos t, r(z) = z5 Composta: ◦ f(x) = cos( √ x) 5 √ = p = (cos(p(x))) 5 cos = q = 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  16. 16. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, q(t) = cos t, r(z) = z5 Composta: ◦ f(x) = cos( √ x) 5 √ = p = (cos(p(x))) 5 cos = q = (q(p(x)))5 ( )5 = r 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  17. 17. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama Podemos reconstruir a função original como uma composição (encadeamento) dessas componentes básicas Componentes: ◦ p(x) = √ x, q(t) = cos t, r(z) = z5 Composta: ◦ f(x) = cos( √ x) 5 √ = p = (cos(p(x))) 5 cos = q = (q(p(x)))5 ( )5 = r = r(q(p(x))) 1. O que é a regra da cadeia? 5/38
  18. 18. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  19. 19. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  20. 20. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  21. 21. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas e multiplicar tudo! 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  22. 22. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas e multiplicar tudo! Formalmente: 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  23. 23. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas e multiplicar tudo! Formalmente: ◦ SE a função p(x) é derivável no ponto x 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  24. 24. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas e multiplicar tudo! Formalmente: ◦ SE a função p(x) é derivável no ponto x ◦ E a função q(y) é derivável no ponto p(x) 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  25. 25. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas e multiplicar tudo! Formalmente: ◦ SE a função p(x) é derivável no ponto x ◦ E a função q(y) é derivável no ponto p(x) ◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no ponto x E 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  26. 26. O que é a regra da cadeia? Prof. Marcelo Gama A regra da cadeia simplesmente diz que ? Para derivar uma função composta... basta derivar cada uma das componentes básicas e multiplicar tudo! Formalmente: ◦ SE a função p(x) é derivável no ponto x ◦ E a função q(y) é derivável no ponto p(x) ◦ ENTÃO a função q(p(x)) é derivável no ponto x E ◦ [q(p(x))] = [q (p(x))] · p (x) 1. O que é a regra da cadeia? 6/38
  27. 27. Prof. Marcelo Gama Estudando as funções básicas 2. Estudando as funções básicas 7/38
  28. 28. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Podemos encontrar diversas classes de funções 2. Estudando as funções básicas 8/38
  29. 29. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Podemos encontrar diversas classes de funções Funções básicas Potências: y = x5 Polinômios : y = x3 − 9x2 + x − 1 Exponenciais y = ax (a xo, a 0, a = 1) Logaritmos: y = loga(x), y = ln(x) Trigonométricas: y = sen(x) y = tg(x) y = sec(x) y = cos(x) y = cotg(x) y = cossec(x) Trigonométricas y = arcsen(x) y = arccos(x) inversas y = arctg(x) y = arccotg(x) y = arcsec(x) y = arccosec(x) 2. Estudando as funções básicas 8/38
  30. 30. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 9/38
  31. 31. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Potências: 2. Estudando as funções básicas 9/38
  32. 32. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Potências: ◦ Função: y = xn 2. Estudando as funções básicas 9/38
  33. 33. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Potências: ◦ Função: y = xn ◦ Derivada: y = n · xn−1 2. Estudando as funções básicas 9/38
  34. 34. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Potências: ◦ Função: y = xn ◦ Derivada: y = n · xn−1 ◦ Exemplo: y = x5 ⇒ y = 5x4 2. Estudando as funções básicas 9/38
  35. 35. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 10/38
  36. 36. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Polinômios: 2. Estudando as funções básicas 10/38
  37. 37. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Polinômios: ◦ Função: y = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 2. Estudando as funções básicas 10/38
  38. 38. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Polinômios: ◦ Função: y = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ◦ Derivada: y = n · anxn−1 + (n − 1) · an−1xn−2 + . . . + a1 2. Estudando as funções básicas 10/38
  39. 39. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Polinômios: ◦ Função: y = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ◦ Derivada: y = n · anxn−1 + (n − 1) · an−1xn−2 + . . . + a1 ◦ Exemplo: y = x4 − 3x2 + 8x − 4 ⇒ y = 4x3 − 6x + 8 2. Estudando as funções básicas 10/38
  40. 40. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 11/38
  41. 41. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Exponenciais: 2. Estudando as funções básicas 11/38
  42. 42. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Exponenciais: ◦ Função: y = ax 2. Estudando as funções básicas 11/38
  43. 43. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Exponenciais: ◦ Função: y = ax ◦ Derivada: y = ax ln a 2. Estudando as funções básicas 11/38
  44. 44. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Exponenciais: ◦ Função: y = ax ◦ Derivada: y = ax ln a ◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y = 4x · ln 4 2. Estudando as funções básicas 11/38
  45. 45. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Exponenciais: ◦ Função: y = ax ◦ Derivada: y = ax ln a ◦ Exemplo 1: y = 4x ⇒ y = 4x · ln 4 ◦ Exemplo 2: y = ex ⇒ y = ex · ln e 1 = ex 2. Estudando as funções básicas 11/38
  46. 46. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 12/38
  47. 47. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Logaritmos: 2. Estudando as funções básicas 12/38
  48. 48. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Logaritmos: ◦ Função: y = loga x 2. Estudando as funções básicas 12/38
  49. 49. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Logaritmos: ◦ Função: y = loga x ◦ Derivada: y = 1 x ln a 2. Estudando as funções básicas 12/38
  50. 50. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Logaritmos: ◦ Função: y = loga x ◦ Derivada: y = 1 x ln a ◦ Exemplo 1: y = log7 x ⇒ y = 1 x ln 7 2. Estudando as funções básicas 12/38
  51. 51. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Logaritmos: ◦ Função: y = loga x ◦ Derivada: y = 1 x ln a ◦ Exemplo 1: y = log7 x ⇒ y = 1 x ln 7 ◦ Exemplo 2: y = ln x = loge x ⇒ y = 1 x ln e 1 = 1 x 2. Estudando as funções básicas 12/38
  52. 52. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 13/38
  53. 53. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 1: 2. Estudando as funções básicas 13/38
  54. 54. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 1: ◦ Função: y = sen x 2. Estudando as funções básicas 13/38
  55. 55. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 1: ◦ Função: y = sen x ◦ Derivada: y = cos x 2. Estudando as funções básicas 13/38
  56. 56. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 1: ◦ Função: y = sen x ◦ Derivada: y = cos x ◦ Função: y = cos x 2. Estudando as funções básicas 13/38
  57. 57. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 1: ◦ Função: y = sen x ◦ Derivada: y = cos x ◦ Função: y = cos x ◦ Derivada: y = −sen x 2. Estudando as funções básicas 13/38
  58. 58. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 14/38
  59. 59. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 2: 2. Estudando as funções básicas 14/38
  60. 60. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 2: ◦ Função: y = tg x 2. Estudando as funções básicas 14/38
  61. 61. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 2: ◦ Função: y = tg x ◦ Derivada: y = sec2 x 2. Estudando as funções básicas 14/38
  62. 62. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 2: ◦ Função: y = tg x ◦ Derivada: y = sec2 x ◦ Função: y = cotg x 2. Estudando as funções básicas 14/38
  63. 63. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 2: ◦ Função: y = tg x ◦ Derivada: y = sec2 x ◦ Função: y = cotg x ◦ Derivada: y = −cossec2 x 2. Estudando as funções básicas 14/38
  64. 64. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 15/38
  65. 65. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 3: 2. Estudando as funções básicas 15/38
  66. 66. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 3: ◦ Função: y = sec x 2. Estudando as funções básicas 15/38
  67. 67. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 3: ◦ Função: y = sec x ◦ Derivada: y = sec x · tg x 2. Estudando as funções básicas 15/38
  68. 68. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 3: ◦ Função: y = sec x ◦ Derivada: y = sec x · tg x ◦ Função: y = cossec x 2. Estudando as funções básicas 15/38
  69. 69. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas 3: ◦ Função: y = sec x ◦ Derivada: y = sec x · tg x ◦ Função: y = cossec x ◦ Derivada: y = −cossec x · cotg x 2. Estudando as funções básicas 15/38
  70. 70. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 16/38
  71. 71. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 1: 2. Estudando as funções básicas 16/38
  72. 72. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 1: ◦ Função: y = arcsen x 2. Estudando as funções básicas 16/38
  73. 73. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 1: ◦ Função: y = arcsen x ◦ Derivada: y = 1√ 1−x2 2. Estudando as funções básicas 16/38
  74. 74. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 1: ◦ Função: y = arcsen x ◦ Derivada: y = 1√ 1−x2 ◦ Função: y = arccos x 2. Estudando as funções básicas 16/38
  75. 75. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 1: ◦ Função: y = arcsen x ◦ Derivada: y = 1√ 1−x2 ◦ Função: y = arccos x ◦ Derivada: y = − 1√ 1−x2 2. Estudando as funções básicas 16/38
  76. 76. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 17/38
  77. 77. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 2: 2. Estudando as funções básicas 17/38
  78. 78. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 2: ◦ Função: y = arctg x 2. Estudando as funções básicas 17/38
  79. 79. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 2: ◦ Função: y = arctg x ◦ Derivada: y = 1 1+x2 2. Estudando as funções básicas 17/38
  80. 80. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 2: ◦ Função: y = arctg x ◦ Derivada: y = 1 1+x2 ◦ Função: y = arccotg x 2. Estudando as funções básicas 17/38
  81. 81. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 2: ◦ Função: y = arctg x ◦ Derivada: y = 1 1+x2 ◦ Função: y = arccotg x ◦ Derivada: y = − 1 1+x2 2. Estudando as funções básicas 17/38
  82. 82. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas 2. Estudando as funções básicas 18/38
  83. 83. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 3: 2. Estudando as funções básicas 18/38
  84. 84. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 3: ◦ Função: y = arcsec x 2. Estudando as funções básicas 18/38
  85. 85. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 3: ◦ Função: y = arcsec x ◦ Derivada: y = 1 |x| √ x2−1 2. Estudando as funções básicas 18/38
  86. 86. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 3: ◦ Função: y = arcsec x ◦ Derivada: y = 1 |x| √ x2−1 ◦ Função: y = arccossec x 2. Estudando as funções básicas 18/38
  87. 87. Estudando as funções básicas Prof. Marcelo Gama Será necessário conhecer as derivadas das funções básicas Trigonométricas inversas 3: ◦ Função: y = arcsec x ◦ Derivada: y = 1 |x| √ x2−1 ◦ Função: y = arccossec x ◦ Derivada: y = − 1 |x| √ x2−1 2. Estudando as funções básicas 18/38
  88. 88. Prof. Marcelo Gama Desmontando funções compostas em suas componentes básicas 3. Desmontando funções compostas 19/38
  89. 89. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x 3. Desmontando funções compostas 20/38
  90. 90. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Componente 1: p(x) = 3x 3. Desmontando funções compostas 20/38
  91. 91. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Componente 1: p(x) = 3x ◦ Derivada 1: p (x) = 3 3. Desmontando funções compostas 20/38
  92. 92. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x 3. Desmontando funções compostas 21/38
  93. 93. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = ep(x) 3. Desmontando funções compostas 21/38
  94. 94. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = ep(x) ◦ Componente 2: q(t) = et 3. Desmontando funções compostas 21/38
  95. 95. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = ep(x) ◦ Componente 2: q(t) = et ◦ Derivada 2: q (t) = et 3. Desmontando funções compostas 21/38
  96. 96. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = ep(x) ◦ Componente 2: q(t) = et ◦ Derivada 2: q (t) = et ◦ Composição: q(p(x)) = ep(x) = e3x = f(x) 3. Desmontando funções compostas 21/38
  97. 97. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x 3. Desmontando funções compostas 22/38
  98. 98. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) 3. Desmontando funções compostas 22/38
  99. 99. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) 3. Desmontando funções compostas 22/38
  100. 100. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = et , p (x) = 3 3. Desmontando funções compostas 22/38
  101. 101. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = et , p (x) = 3 ◦ Derivada 3. Desmontando funções compostas 22/38
  102. 102. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = et , p (x) = 3 ◦ Derivada f (x) = q (3x) · p (x) = e3x · 3 = 3e3x
  103. 103. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 1: f(x) = e3x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = et , p (x) = 3 ◦ Derivada f (x) = q (3x) · p (x) = e3x · 3 = 3e3x 3. Desmontando funções compostas 22/38
  104. 104. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 3. Desmontando funções compostas 23/38
  105. 105. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Componente 1: p(x) = x2 + 1 3. Desmontando funções compostas 23/38
  106. 106. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Componente 1: p(x) = x2 + 1 ◦ Derivada 1: p (x) = 2x 3. Desmontando funções compostas 23/38
  107. 107. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 3. Desmontando funções compostas 24/38
  108. 108. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = p(x)10 + 1 8 3. Desmontando funções compostas 24/38
  109. 109. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = p(x)10 + 1 8 ◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1 3. Desmontando funções compostas 24/38
  110. 110. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = p(x)10 + 1 8 ◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1 ◦ Derivada 2: q (t) = 10t9 3. Desmontando funções compostas 24/38
  111. 111. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = p(x)10 + 1 8 ◦ Componente 2: q(t) = t10 + 1 ◦ Derivada 2: q (t) = 10t9 ◦ Composição: q(p(x)) = p(x)10 + 1 = (x2 + 1)10 + 1 3. Desmontando funções compostas 24/38
  112. 112. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 3. Desmontando funções compostas 25/38
  113. 113. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8 3. Desmontando funções compostas 25/38
  114. 114. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8 ◦ Componente 3: r(z) = z8 3. Desmontando funções compostas 25/38
  115. 115. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8 ◦ Componente 3: r(z) = z8 ◦ Derivada 3: r (z) = 8z7 3. Desmontando funções compostas 25/38
  116. 116. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = (q(p(x)))8 ◦ Componente 3: r(z) = z8 ◦ Derivada 3: r (z) = 8z7 ◦ Composição: r(q(p(x))) = q(p(x))8 = ((x2 + 1)10 + 1)8 = f(x) 3. Desmontando funções compostas 25/38
  117. 117. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 3. Desmontando funções compostas 26/38
  118. 118. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) 3. Desmontando funções compostas 26/38
  119. 119. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) 3. Desmontando funções compostas 26/38
  120. 120. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 8z7 , q (t) = 10t9 , p (x) = 2x 3. Desmontando funções compostas 26/38
  121. 121. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 8z7 , q (t) = 10t9 , p (x) = 2x ◦ Derivada 3. Desmontando funções compostas 26/38
  122. 122. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 8z7 , q (t) = 10t9 , p (x) = 2x ◦ Derivada f (x) = r ((x2 + 1)10 + 1) · q (x2 + 1) · p (x) 3. Desmontando funções compostas 26/38
  123. 123. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 8z7 , q (t) = 10t9 , p (x) = 2x ◦ Derivada f (x) = r ((x2 + 1)10 + 1) · q (x2 + 1) · p (x) = 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x) 3. Desmontando funções compostas 26/38
  124. 124. Desmontando funções compostas Prof. Marcelo Gama Exemplo 2: f(x) = (x2 + 1)10 + 1 8 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 8z7 , q (t) = 10t9 , p (x) = 2x ◦ Derivada f (x) = r ((x2 + 1)10 + 1) · q (x2 + 1) · p (x) = 8((x2 + 1)10 + 1)7 · 10(x2 + 1)9 · (2x) = 160((x2 + 1)10 + 1)7 · (x2 + 1)9 · x 3. Desmontando funções compostas 26/38
  125. 125. Prof. Marcelo Gama Faz mais um! 4. Faz mais um! 27/38
  126. 126. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) 4. Faz mais um! 28/38
  127. 127. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Componente 1: p(x) = x5 4. Faz mais um! 28/38
  128. 128. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Componente 1: p(x) = x5 ◦ Derivada 1: p (x) = 5x4 4. Faz mais um! 28/38
  129. 129. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) 4. Faz mais um! 29/38
  130. 130. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = sen(p(x)) 4. Faz mais um! 29/38
  131. 131. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = sen(p(x)) ◦ Componente 2: q(t) = sen(t) 4. Faz mais um! 29/38
  132. 132. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = sen(p(x)) ◦ Componente 2: q(t) = sen(t) ◦ Derivada 2: q (t) = cos(t) 4. Faz mais um! 29/38
  133. 133. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = sen(p(x)) ◦ Componente 2: q(t) = sen(t) ◦ Derivada 2: q (t) = cos(t) ◦ Composição: q(p(x)) = sen(p(x)) = sen(x5 ) = f(x) 4. Faz mais um! 29/38
  134. 134. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) 4. Faz mais um! 30/38
  135. 135. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) 4. Faz mais um! 30/38
  136. 136. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) 4. Faz mais um! 30/38
  137. 137. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = cos(t), p (x) = 5x4 4. Faz mais um! 30/38
  138. 138. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = cos(t), p (x) = 5x4 ◦ Derivada 4. Faz mais um! 30/38
  139. 139. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = cos(t), p (x) = 5x4 ◦ Derivada f (x) = q (x5 ) · p (x) 4. Faz mais um! 30/38
  140. 140. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = cos(t), p (x) = 5x4 ◦ Derivada f (x) = q (x5 ) · p (x) = cos(x5 ) · 5x4 4. Faz mais um! 30/38
  141. 141. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 3: f(x) = sen(x5 ) ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = cos(t), p (x) = 5x4 ◦ Derivada f (x) = q (x5 ) · p (x) = cos(x5 ) · 5x4 = 5x4 cos(x5 ) 4. Faz mais um! 30/38
  142. 142. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x 4. Faz mais um! 31/38
  143. 143. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (sen x)2 4. Faz mais um! 31/38
  144. 144. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (sen x)2 ◦ Componente 1: p(x) = sen x 4. Faz mais um! 31/38
  145. 145. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (sen x)2 ◦ Componente 1: p(x) = sen x ◦ Derivada 1: p (x) = cos x 4. Faz mais um! 31/38
  146. 146. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x 4. Faz mais um! 32/38
  147. 147. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (p(x))2 4. Faz mais um! 32/38
  148. 148. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (p(x))2 ◦ Componente 2: q(t) = t2 4. Faz mais um! 32/38
  149. 149. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (p(x))2 ◦ Componente 2: q(t) = t2 ◦ Derivada 2: q (t) = 2t 4. Faz mais um! 32/38
  150. 150. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = (p(x))2 ◦ Componente 2: q(t) = t2 ◦ Derivada 2: q (t) = 2t ◦ Composição: q(p(x)) = (p(x))2 = (sen x)2 = f(x) 4. Faz mais um! 32/38
  151. 151. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x 4. Faz mais um! 33/38
  152. 152. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) 4. Faz mais um! 33/38
  153. 153. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) 4. Faz mais um! 33/38
  154. 154. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = 2t, p (x) = cos x 4. Faz mais um! 33/38
  155. 155. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = 2t, p (x) = cos x ◦ Derivada 4. Faz mais um! 33/38
  156. 156. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = 2t, p (x) = cos x ◦ Derivada f (x) = q (sen x) · p (x) 4. Faz mais um! 33/38
  157. 157. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 4: f(x) = sen2 x ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Regra da cadeia: f (x) = q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: q (t) = 2t, p (x) = cos x ◦ Derivada f (x) = q (sen x) · p (x) = 2sen x · cos x = 2sen x cos x 4. Faz mais um! 33/38
  158. 158. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 4. Faz mais um! 34/38
  159. 159. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Componente 1: p(x) = cos x 4. Faz mais um! 34/38
  160. 160. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Componente 1: p(x) = cos x ◦ Derivada 1: p (x) = −sen x 4. Faz mais um! 34/38
  161. 161. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 4. Faz mais um! 35/38
  162. 162. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = p(x)2 + 5 4. Faz mais um! 35/38
  163. 163. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = p(x)2 + 5 ◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5 4. Faz mais um! 35/38
  164. 164. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = p(x)2 + 5 ◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5 ◦ Derivada 2: q (t) = 2t 4. Faz mais um! 35/38
  165. 165. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = p(x)2 + 5 ◦ Componente 2: q(t) = t2 + 5 ◦ Derivada 2: q (t) = 2t ◦ Composição: q(p(x)) = p(x)2 + 5 = cos2 x + 5 4. Faz mais um! 35/38
  166. 166. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 4. Faz mais um! 36/38
  167. 167. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = q(p(x)) 4. Faz mais um! 36/38
  168. 168. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Componente 3: r(z) = √ z 4. Faz mais um! 36/38
  169. 169. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Componente 3: r(z) = √ z ◦ Derivada 3: r (z) = 1 2 √ z 4. Faz mais um! 36/38
  170. 170. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = q(p(x)) ◦ Componente 3: r(z) = √ z ◦ Derivada 3: r (z) = 1 2 √ z ◦ Composição: r(q(p(x))) = q(p(x)) = √ cos2 x + 5 = f(x) 4. Faz mais um! 36/38
  171. 171. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 4. Faz mais um! 37/38
  172. 172. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) 4. Faz mais um! 37/38
  173. 173. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) 4. Faz mais um! 37/38
  174. 174. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 1 2 √ z , q (t) = 2t, p (x) = −sen x 4. Faz mais um! 37/38
  175. 175. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 1 2 √ z , q (t) = 2t, p (x) = −sen x ◦ Derivada 4. Faz mais um! 37/38
  176. 176. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 1 2 √ z , q (t) = 2t, p (x) = −sen x ◦ Derivada f (x) = r cos2 x + 5 · q (cos x) · p (x) 4. Faz mais um! 37/38
  177. 177. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 1 2 √ z , q (t) = 2t, p (x) = −sen x ◦ Derivada f (x) = r cos2 x + 5 · q (cos x) · p (x) = 1 2 √ cos2 x + 5 · 2cos x · (−sen x) 4. Faz mais um! 37/38
  178. 178. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 5: f(x) = √ cos2 x + 5 ◦ Função: f(x) = r(q(p(x))) ◦ Regra da cadeia: f (x) = r (q(p(x))) · q (p(x)) · p (x) ◦ Componentes: r (z) = 1 2 √ z , q (t) = 2t, p (x) = −sen x ◦ Derivada f (x) = r cos2 x + 5 · q (cos x) · p (x) = 1 2 √ cos2 x + 5 · 2cos x · (−sen x) = − cos x · sen x √ cos2 x + 5 4. Faz mais um! 37/38
  179. 179. OBRIGADO PELA ATENÇÃO Professor Marcelo Gama Para receber mais dicas como essa acompanhe meu trabalho através das redes sociais ◦ Curta minha página no Facebook Vamos falar de Matemática ◦ Inscreva-se no meu canal canal do YouTube Vamos falar de Matemática ◦ Siga meu perl no Slideshare Marcelo Gama 26 4. Faz mais um! 38/38

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