Î ÅÇË Ä Ê Å Ì ÅýÌÁ
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÜÔÐÓÖ Ò Ó Ð Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ ×

 ÓÓ º
ÓÑ»Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø 
½/¿¼
ËÙÑ Ö Ó
½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ ×
¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó
º Þ Ñ × ÙÑ
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ
¾/¿¼
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Por que fundamentais?
½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ¿/¿¼
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
×× Ñ 
ÓÑÓ Ò 
 ½¸ ÒÓ××Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ × Ö Ó Ó×
Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó×
½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
×× Ñ 
ÓÑÓ Ò 
 ½¸ ÒÓ××Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ × Ö Ó Ó×
Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó×
Ë Ó Ð Ñ Ø × ÓÖÑ lim
x→a
f ...
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
×× Ñ 
ÓÑÓ Ò 
 ½¸ ÒÓ××Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ × Ö Ó Ó×
Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó×
Ë Ó Ð Ñ Ø × ÓÖÑ lim
x→a
f ...
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Æ 
 ½ f (x) g(x) Ö Ñ Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÑ Ó׸ 
ÓÑÓ ÒÓ
Ð Ñ Ø × Ù Ö
½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Æ 
 ½ f (x) g(x) Ö Ñ Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÑ Ó׸ 
ÓÑÓ ÒÓ
Ð Ñ Ø × Ù Ö
lim
x→3
x3
−6x2
+11x −6
x2 +2x −...
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Æ 
 ½ f (x) g(x) Ö Ñ Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÑ Ó׸ 
ÓÑÓ ÒÓ
Ð Ñ Ø × Ù Ö
lim
x→3
x3
−6x2
+11x −6
x2 +2x −...
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ × ØÙ Ó ÑÙ ÓÙ Ò Ó Ø ÑÓ× Ñ × ÔÓÐ ÒÑ Ó×
½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ × ØÙ Ó ÑÙ ÓÙ Ò Ó Ø ÑÓ× Ñ × ÔÓÐ ÒÑ Ó×
Ä Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ ×
ÍÑ Ð Ñ Ø 
 Ñ Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ò Ó...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Primeiro limite fundamental
¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
lim
x→0
sen(x)
x
¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
lim
x→0
sen(x)
x
ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ
×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
lim
x→0
sen(x)
x
ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ
×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
lim
x→0
sen(x)
x
ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ
×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
lim
x→0
sen(x)
x
ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ
×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ Ñ ÒÙÑ Ö 
Ø Ð × Ù Ö ÑÓ×ØÖ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó ÕÙ Ð 
ÓÒÚ Ö Ñ
Ó× Ú ÐÓÖ × sen(x)/x
Î ÐÓÖ ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ú Ò
 × ÒÙÑ Ö 
 × Ò 
 Ñ ÕÙ
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½¼/¿¼
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ Ñ Ö 
Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö 
Ó f (x) = sen(x)
x
Ò × ÔÖÓÜ Ñ ×
x = 0
Intervalo: 0 , 4Π
2 ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ Ñ Ö 
Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö 
Ó f (x) = sen(x)
x
Ò × ÔÖÓÜ Ñ ×
x = 0
Intervalo: 0 , 2Π
1 ...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ Ñ Ö 
Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö 
Ó f (x) = sen(x)
x
Ò × ÔÖÓÜ Ñ ×
x = 0
Intervalo: 0 , Π
0.5...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ Ñ Ö 
Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö 
Ó f (x) = sen(x)
x
Ò × ÔÖÓÜ Ñ ×
x = 0
Intervalo: 0 , 1
0.2...
ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ Ú Ò
 × Ö 
 × Ò 
 Ñ ÕÙ
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½ /¿¼
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Como usar isso ?
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2
ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2
ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2
ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2
ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(2x)
3x
ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2
ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
Ä Ñ Ø lim
x→0
tg(x)
x
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
Ä Ñ Ø lim
x→0
tg(x)
x
Ð
ÙÐÓ
lim
x→0
tg(x)
x
= lim
x→0
1
x
·tg(x) = lim
x→0
1
x
·
se...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
Ä Ñ Ø lim
x→0
tg(x)
x
Ð
ÙÐÓ
lim
x→0
tg(x)
x
= lim
x→0
1
x
·tg(x) = lim
x→0
1
x
·
se...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
Ä Ñ Ø lim
x→0
tg(x)
x
Ð
ÙÐÓ
lim
x→0
tg(x)
x
= lim
x→0
1
x
·tg(x) = lim
x→0
1
x
·
se...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
Ä Ñ Ø lim
x→0
tg(x)
x
Ð
ÙÐÓ
lim
x→0
tg(x)
x
= lim
x→0
1
x
·tg(x) = lim
x→0
1
x
·
se...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
Ð
ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
Ð
ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
lim
x→0
sen(4x...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
Ð
ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
lim
x→0
sen(4x...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿º
Ä Ñ Ø lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
Ð
ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
lim
x→0
sen(4x...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒØ ÒÙ Óµº
lim
x→0
sen(4x)
x
= lim
x→0
4·sen(4x)
4·x
( 4x = t)
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾¼/...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒØ ÒÙ Óµº
lim
x→0
sen(4x)
x
= lim
x→0
4·sen(4x)
4·x
( 4x = t)
= lim
t→0
4·
sen(t)...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒØ ÒÙ Óµº
lim
x→0
sen(4x)
x
= lim
x→0
4·sen(4x)
4·x
( 4x = t)
= lim
t→0
4·
sen(t)...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒØ ÒÙ Óµº
lim
x→0
sen(4x)
x
= lim
x→0
4·sen(4x)
4·x
( 4x = t)
= lim
t→0
4·
sen(t)...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒ
ÐÙ× Óµº
¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒ
ÐÙ× Óµº
lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
= lim
x→0
sen(4x)
x
· 1 lim
x→0
sen(3x)
x
¿º ÓÑ...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒ
ÐÙ× Óµº
lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
= lim
x→0
sen(4x)
x
· 1 lim
x→0
sen(3x)
x
= 4·(...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒ
ÐÙ× Óµº
lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
= lim
x→0
sen(4x)
x
· 1 lim
x→0
sen(3x)
x
= 4·(...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒ
ÐÙ× Óµº
lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
= lim
x→0
sen(4x)
x
· 1 lim
x→0
sen(3x)
x
= 4·(...
ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¿ ´
ÓÒ
ÐÙ× Óµº
lim
x→0
sen(4x)
sen(3x)
= lim
x→0
sen(4x)
x
· 1 lim
x→0
sen(3x)
x
= 4·(...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Faz mais um!
º Þ Ñ × ÙÑ ¾¾/¿¼
Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ º
Ä Ñ Ø lim
x→0
x−sen(3x)
x+sen(2x)
º Þ Ñ × ÙÑ ¾¿/¿¼
Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ º
Ä Ñ Ø lim
x→0
x−sen(3x)
x+sen(2x)
ËÙ ×Ø Ó ´ Ú ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
º Þ Ñ × ÙÑ ¾¿/¿¼
Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ º
Ä Ñ Ø lim
x→0
x−sen(3x)
x+sen(2x)
ËÙ ×Ø Ó ´ Ú ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
lim
x→0
x−sen(3x)...
Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ º
Ä Ñ Ø lim
x→0
x−sen(3x)
x+sen(2x)
ËÙ ×Ø Ó ´ Ú ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ
lim
x→0
x−sen(3x)...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Prove que isso funciona!
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ú Ò
 × ÕÙ lim
x→0
sen(x)
x
= 1
◦ Ú Ò
 × ÒÙÑ Ö 
 ×
◦ Ú Ò
 × Ö 
 ×
Ó ÔÓÒØÓ Ú ×Ø Ñ ...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× ÒØ 
 Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ
Ö 
Ó × Ù Ö
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× ÒØ 
 Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ
Ö 
Ó × Ù Ö
ÁÒ Ö ÒØ ×
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× ÒØ 
 Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ
Ö 
Ó × Ù Ö
ÁÒ Ö ÒØ ×
• r = OD = 1 ´Ö Ó 
 Ö
ÙÒ...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× ÒØ 
 Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ
Ö 
Ó × Ù Ö
ÁÒ Ö ÒØ ×
• r = OD = 1 ´Ö Ó 
 Ö
ÙÒ...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× ÒØ 
 Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ
Ö 
Ó × Ù Ö
ÁÒ Ö ÒØ ×
• r = OD = 1 ´Ö Ó 
 Ö
ÙÒ...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× ÒØ 
 Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ
Ö 
Ó × Ù Ö
ÁÒ Ö ÒØ ×
• r = OD = 1 ´Ö Ó 
 Ö
ÙÒ...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
× Ù Ð ×
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
× Ù Ð ×
• CD  AD
⌢ AB
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
× Ù Ð ×
• CD  AD
⌢ AB
⇒ sen(x)  x  tg(x)
º ÈÖÓÚ Õ...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
× Ù Ð ×
• CD  AD
⌢ AB
⇒ sen(x)  x  tg(x)
⇒ sen(x)...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
× Ù Ð ×
• CD  AD
⌢ AB
⇒ sen(x)  x  tg(x)
⇒ sen(x)...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ×
× Ù Ð ×
• CD  AD
⌢ AB
⇒ sen(x)  x  tg(x)
⇒ sen(x)...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº
1 
sen(x)
x
 cos(x) ⇒ lim
x→0
1 ≥ lim
x→0
sen(x)
x
≥ lim
x→0
c...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº
1 
sen(x)
x
 cos(x) ⇒ lim
x→0
1 ≥ lim
x→0
sen(x)
x
≥ lim
x→0
c...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº
1 
sen(x)
x
 cos(x) ⇒ lim
x→0
1 ≥ lim
x→0
sen(x)
x
≥ lim
x→0
c...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº
1 
sen(x)
x
 cos(x) ⇒ lim
x→0
1 ≥ lim
x→0
sen(x)
x
≥ lim
x→0
c...
ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÒØ Ö ÕÙ
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ
 ÓÒ ¾ /¿¼
Ç ÊÁ Ç È Ä Ì Æ
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Primeiro limite fundamental

185 visualizações

Publicada em

Cálculo do limite fundamental lim sen(x)/x e várias aplicações

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
185
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
5
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Primeiro limite fundamental

  1. 1. Î ÅÇË Ä Ê Å Ì ÅýÌÁ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÜÔÐÓÖ Ò Ó Ð Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ × ÓÓ º ÓÑ»Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø ½/¿¼
  2. 2. ËÙÑ Ö Ó ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó º Þ Ñ × ÙÑ º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾/¿¼
  3. 3. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Por que fundamentais? ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ¿/¿¼
  4. 4. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ×× Ñ ÓÑÓ Ò ½¸ ÒÓ××Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ × Ö Ó Ó× Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó× ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  5. 5. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ×× Ñ ÓÑÓ Ò ½¸ ÒÓ××Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ × Ö Ó Ó× Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó× Ë Ó Ð Ñ Ø × ÓÖÑ lim x→a f (x) g(x) ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ú Ó × ØÓÖÒ Ò Ó ÒÙÐÓ× Ñ ÕÙ x × ÔÖÓÜ Ñ a¸ ÓÙ × ¸ ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  6. 6. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ×× Ñ ÓÑÓ Ò ½¸ ÒÓ××Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ × Ö Ó Ó× Ð Ñ Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó× Ë Ó Ð Ñ Ø × ÓÖÑ lim x→a f (x) g(x) ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ú Ó × ØÓÖÒ Ò Ó ÒÙÐÓ× Ñ ÕÙ x × ÔÖÓÜ Ñ a¸ ÓÙ × ¸ lim x→a f (x) = 0 lim x→a g(x) = 0 ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  7. 7. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Æ ½ f (x) g(x) Ö Ñ Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÑ Ó׸ ÓÑÓ ÒÓ Ð Ñ Ø × Ù Ö ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  8. 8. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Æ ½ f (x) g(x) Ö Ñ Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÑ Ó׸ ÓÑÓ ÒÓ Ð Ñ Ø × Ù Ö lim x→3 x3 −6x2 +11x −6 x2 +2x −15 = 33 −6·32 +11·3−6 32 +2·3−15 = 0 0 ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  9. 9. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Æ ½ f (x) g(x) Ö Ñ Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÑ Ó׸ ÓÑÓ ÒÓ Ð Ñ Ø × Ù Ö lim x→3 x3 −6x2 +11x −6 x2 +2x −15 = 33 −6·32 +11·3−6 32 +2·3−15 = 0 0 Æ ×× ×Ó ÔÓ ÑÓ׸ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ¸ ÙØ Ð Þ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÓعÊÙ Ò Ô Ö ØÓÖ ¹ÐÓ× Ò ÓÒØÖ Ö Ó Ú ÐÓÖ Ó Ð Ñ Ø º ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  10. 10. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ × ØÙ Ó ÑÙ ÓÙ Ò Ó Ø ÑÓ× Ñ × ÔÓÐ ÒÑ Ó× ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  11. 11. ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ × ØÙ Ó ÑÙ ÓÙ Ò Ó Ø ÑÓ× Ñ × ÔÓÐ ÒÑ Ó× Ä Ñ Ø × ÙÒ Ñ ÒØ × ÍÑ Ð Ñ Ø Ñ Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ò Ó Ü ×Ø ÙÑ Ö Ò Ð ×× ÓÙØÖÓ× Ð Ñ Ø × ÕÙ ÔÓ Ñ × Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó× Ò ×× Ø Ð Ð Ñ Ø º ½º ÈÓÖ ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ × /¿¼
  12. 12. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Primeiro limite fundamental ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  13. 13. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ lim x→0 sen(x) x ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  14. 14. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ lim x→0 sen(x) x ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ ×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ Ø ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  15. 15. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ lim x→0 sen(x) x ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ ×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ Ø ½º ÓÖ Ñ ÒÙÑ Ö ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  16. 16. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ lim x→0 sen(x) x ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ ×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ Ø ½º ÓÖ Ñ ÒÙÑ Ö ¾º ÓÖ Ñ Ö ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  17. 17. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ lim x→0 sen(x) x ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× ØÖ × ÓÖ Ò× ×Ø ÒØ × Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ ×× ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ Ø ½º ÓÖ Ñ ÒÙÑ Ö ¾º ÓÖ Ñ Ö ¿º ÓÖ Ñ Ò Ð Ø ÓÖÑ Ð ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  18. 18. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ Ñ ÒÙÑ Ö Ø Ð × Ù Ö ÑÓ×ØÖ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó ÕÙ Ð ÓÒÚ Ö Ñ Ó× Ú ÐÓÖ × sen(x)/x Î ÐÓÖ × sen(x)/x x sen(x)/x x sen(x)/x x sen(x)/x ¼º ¼º ¼¿ ¿ ¼º¼ ¼º ½ ¼º¼¼ ¼º ¼º ¼º ¼º¼ ¼º ¿ ¼º¼¼ ¼º ¼º ¼º ¾¼¿½½ ¼º¼ ¼º ½ ¼º¼¼ ¼º ¾ ¼º ¼º ½¼ ½ ¼º¼ ¼º ¼¼ ¼º¼¼ ¼º ¼º ¼º ½ ¼º¼ ¼º ¿ ¼º¼¼ ¼º ¼º ¼º ¿ ¼º¼ ¼º ¿¿ ¼º¼¼ ¼º ¼º¿ ¼º ¼ ¼º¼¿ ¼º ¼ ¼º¼¼¿ ¼º ¼º¾ ¼º ¿¿ ¼º¼¾ ¼º ¿¿ ¼º¼¼¾ ¼º ¼º½ ¼º ¿¿ ¼º¼½ ¼º ¿ ¼º¼¼½ ¼º ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð /¿¼
  19. 19. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ú Ò × ÒÙÑ Ö × Ò Ñ ÕÙ lim x→0 sen(x) x = 1 ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½¼/¿¼
  20. 20. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ Ñ Ö Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö Ó f (x) = sen(x) x Ò × ÔÖÓÜ Ñ × x = 0 Intervalo: 0 , 4Π 2 4 6 8 10 12 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½½/¿¼
  21. 21. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ Ñ Ö Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö Ó f (x) = sen(x) x Ò × ÔÖÓÜ Ñ × x = 0 Intervalo: 0 , 2Π 1 2 3 4 5 6 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½¾/¿¼
  22. 22. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ Ñ Ö Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö Ó f (x) = sen(x) x Ò × ÔÖÓÜ Ñ × x = 0 Intervalo: 0 , Π 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½¿/¿¼
  23. 23. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ Ñ Ö Ç × ÖÚ Ò Ó Ó Ö Ó f (x) = sen(x) x Ò × ÔÖÓÜ Ñ × x = 0 Intervalo: 0 , 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.85 0.90 0.95 1.00 ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½ /¿¼
  24. 24. ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ Ú Ò × Ö × Ò Ñ ÕÙ lim x→0 sen(x) x = 1 ¾º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½ /¿¼
  25. 25. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Como usar isso ? ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  26. 26. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  27. 27. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  28. 28. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2 ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  29. 29. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2 ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0 Ð ÙÐÓ lim x→0 sen(2x) 3x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  30. 30. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2 ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0 Ð ÙÐÓ lim x→0 sen(2x) 3x = lim t→0 sen(t) 3t/2 = ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  31. 31. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2 ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0 Ð ÙÐÓ lim x→0 sen(2x) 3x = lim t→0 sen(t) 3t/2 = 2 3 ·lim t→0 sen(t) t 1 = ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  32. 32. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(2x) 3x ËÙ ×Ø ØÙ Ó Ö ÑÓ× 2x = t x = t/2 ÉÙ Ò Ó x → 0 Ø Ö ÑÓ× t → 0 Ð ÙÐÓ lim x→0 sen(2x) 3x = lim t→0 sen(t) 3t/2 = 2 3 ·lim t→0 sen(t) t 1 = 2 3 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  33. 33. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º Ä Ñ Ø lim x→0 tg(x) x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  34. 34. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º Ä Ñ Ø lim x→0 tg(x) x Ð ÙÐÓ lim x→0 tg(x) x = lim x→0 1 x ·tg(x) = lim x→0 1 x · sen(x) cos(x) ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  35. 35. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º Ä Ñ Ø lim x→0 tg(x) x Ð ÙÐÓ lim x→0 tg(x) x = lim x→0 1 x ·tg(x) = lim x→0 1 x · sen(x) cos(x) = lim x→0 1 cos(x) · sen(x) x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  36. 36. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º Ä Ñ Ø lim x→0 tg(x) x Ð ÙÐÓ lim x→0 tg(x) x = lim x→0 1 x ·tg(x) = lim x→0 1 x · sen(x) cos(x) = lim x→0 1 cos(x) · sen(x) x = lim x→0 1 cos(x) · lim x→0 sen(x) x 1 = lim x→0 1 cos(x) ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  37. 37. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º Ä Ñ Ø lim x→0 tg(x) x Ð ÙÐÓ lim x→0 tg(x) x = lim x→0 1 x ·tg(x) = lim x→0 1 x · sen(x) cos(x) = lim x→0 1 cos(x) · sen(x) x = lim x→0 1 cos(x) · lim x→0 sen(x) x 1 = lim x→0 1 cos(x) = 1 cos(0) = 1 1 = 1 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  38. 38. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(4x) sen(3x) ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  39. 39. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(4x) sen(3x) Ð ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  40. 40. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(4x) sen(3x) Ð ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x)/x sen(3x)/x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  41. 41. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(4x) sen(3x) Ð ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x)/x sen(3x)/x = lim x→0 sen(4x) x · lim x→0 x sen(3x) ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  42. 42. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿º Ä Ñ Ø lim x→0 sen(4x) sen(3x) Ð ÙÐÓ ´ Ú ÑÓ× ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x)/x sen(3x)/x = lim x→0 sen(4x) x · lim x→0 x sen(3x) = lim x→0 sen(4x) x · 1 lim x→0 sen(3x) x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ½ /¿¼
  43. 43. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒØ ÒÙ Óµº lim x→0 sen(4x) x = lim x→0 4·sen(4x) 4·x ( 4x = t) ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾¼/¿¼
  44. 44. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒØ ÒÙ Óµº lim x→0 sen(4x) x = lim x→0 4·sen(4x) 4·x ( 4x = t) = lim t→0 4· sen(t) t = 4·1 = 4 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾¼/¿¼
  45. 45. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒØ ÒÙ Óµº lim x→0 sen(4x) x = lim x→0 4·sen(4x) 4·x ( 4x = t) = lim t→0 4· sen(t) t = 4·1 = 4 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾¼/¿¼
  46. 46. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒØ ÒÙ Óµº lim x→0 sen(4x) x = lim x→0 4·sen(4x) 4·x ( 4x = t) = lim t→0 4· sen(t) t = 4·1 = 4 Ñ ×Ñ ÓÖÑ lim x→0 sen(3x) x = 3 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾¼/¿¼
  47. 47. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒ ÐÙ× Óµº ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
  48. 48. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒ ÐÙ× Óµº lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x) x · 1 lim x→0 sen(3x) x ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
  49. 49. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒ ÐÙ× Óµº lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x) x · 1 lim x→0 sen(3x) x = 4·(1/3) ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
  50. 50. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒ ÐÙ× Óµº lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x) x · 1 lim x→0 sen(3x) x = 4·(1/3) = 4/3 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
  51. 51. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒ ÐÙ× Óµº lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x) x · 1 lim x→0 sen(3x) x = 4·(1/3) = 4/3 ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
  52. 52. ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¿ ´ ÓÒ ÐÙ× Óµº lim x→0 sen(4x) sen(3x) = lim x→0 sen(4x) x · 1 lim x→0 sen(3x) x = 4·(1/3) = 4/3 Ç × ÖÚ Óº ÓÖÑ Ö Ð¸ Ô Ö a,b = 0 Ø ÑÓ× lim x→0 sen(ax) sen(bx) = a b ¿º ÓÑÓ Ù× Ö ××Ó ¾½/¿¼
  53. 53. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Faz mais um! º Þ Ñ × ÙÑ ¾¾/¿¼
  54. 54. Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ º Ä Ñ Ø lim x→0 x−sen(3x) x+sen(2x) º Þ Ñ × ÙÑ ¾¿/¿¼
  55. 55. Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ º Ä Ñ Ø lim x→0 x−sen(3x) x+sen(2x) ËÙ ×Ø Ó ´ Ú ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ º Þ Ñ × ÙÑ ¾¿/¿¼
  56. 56. Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ º Ä Ñ Ø lim x→0 x−sen(3x) x+sen(2x) ËÙ ×Ø Ó ´ Ú ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ lim x→0 x−sen(3x) x x+sen(2x) x = lim x→0 x x − sen(3x) x x x + sen(2x) x = lim x→0 1− sen(3x) x 1+ sen(2x) x º Þ Ñ × ÙÑ ¾¿/¿¼
  57. 57. Þ Ñ × ÙÑ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ º Ä Ñ Ø lim x→0 x−sen(3x) x+sen(2x) ËÙ ×Ø Ó ´ Ú ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ xµ lim x→0 x−sen(3x) x x+sen(2x) x = lim x→0 x x − sen(3x) x x x + sen(2x) x = lim x→0 1− sen(3x) x 1+ sen(2x) x = 1−3 1+2 = − 2 3 º Þ Ñ × ÙÑ ¾¿/¿¼
  58. 58. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Prove que isso funciona! º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  59. 59. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ú Ò × ÕÙ lim x→0 sen(x) x = 1 ◦ Ú Ò × ÒÙÑ Ö × ◦ Ú Ò × Ö × Ó ÔÓÒØÓ Ú ×Ø Ñ Ø Ñ Ø ¸ ××Ó Ò Ó Ó ×Ù ÒØ Ô Ö ×× ÙÖ Ö ÕÙ ×× Ð Ñ Ø Ö ÐÑ ÒØ Ù Ð ½º Ç ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Þ Ö ÒØ Ó º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  60. 60. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× ÒØ Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ Ö Ó × Ù Ö º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  61. 61. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× ÒØ Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ Ö Ó × Ù Ö ÁÒ Ö ÒØ × º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  62. 62. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× ÒØ Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ Ö Ó × Ù Ö ÁÒ Ö ÒØ × • r = OD = 1 ´Ö Ó Ö ÙÒ ºµ º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  63. 63. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× ÒØ Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ Ö Ó × Ù Ö ÁÒ Ö ÒØ × • r = OD = 1 ´Ö Ó Ö ÙÒ ºµ • sen(x) = CD/OD = CD º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  64. 64. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× ÒØ Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ Ö Ó × Ù Ö ÁÒ Ö ÒØ × • r = OD = 1 ´Ö Ó Ö ÙÒ ºµ • sen(x) = CD/OD = CD • x = AD ⌢ ´ Ò ÙÐÓ Ñ Ö ÒÓ×µ º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  65. 65. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× ÒØ Ö Ð ÙÒ× Ð Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÒÓ Ö Ó × Ù Ö ÁÒ Ö ÒØ × • r = OD = 1 ´Ö Ó Ö ÙÒ ºµ • sen(x) = CD/OD = CD • x = AD ⌢ ´ Ò ÙÐÓ Ñ Ö ÒÓ×µ • tg(x) = AB/OA = AB º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  66. 66. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  67. 67. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð × º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  68. 68. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð × • CD AD ⌢ AB º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  69. 69. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð × • CD AD ⌢ AB ⇒ sen(x) x tg(x) º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  70. 70. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð × • CD AD ⌢ AB ⇒ sen(x) x tg(x) ⇒ sen(x) x sen(x) cos(x) ( ÷sen(x) ) º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  71. 71. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð × • CD AD ⌢ AB ⇒ sen(x) x tg(x) ⇒ sen(x) x sen(x) cos(x) ( ÷sen(x) ) ⇒ 1 x sen(x) 1 cos(x) ´ ÒÚ ÖØ Ò Óµ º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  72. 72. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ×Ø Ñ Ð ÙÑ × Ö Ð × ÒØÖ ×× × Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð × • CD AD ⌢ AB ⇒ sen(x) x tg(x) ⇒ sen(x) x sen(x) cos(x) ( ÷sen(x) ) ⇒ 1 x sen(x) 1 cos(x) ´ ÒÚ ÖØ Ò Óµ ⇒ 1 sen(x) x cos(x) º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  73. 73. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  74. 74. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº 1 sen(x) x cos(x) ⇒ lim x→0 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ lim x→0 cos(x) º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  75. 75. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº 1 sen(x) x cos(x) ⇒ lim x→0 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ lim x→0 cos(x) ⇒ 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ cos(0) º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  76. 76. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº 1 sen(x) x cos(x) ⇒ lim x→0 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ lim x→0 cos(x) ⇒ 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ cos(0) ⇒ 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ 1 º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  77. 77. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÖ ¸ Ú ÑÓ× Ó× Ð Ñ Ø ×ººº 1 sen(x) x cos(x) ⇒ lim x→0 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ lim x→0 cos(x) ⇒ 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ cos(0) ⇒ 1 ≥ lim x→0 sen(x) x ≥ 1 ⇒ lim x→0 sen(x) x = 1 º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  78. 78. ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÒØ Ö ÕÙ lim x→0 sen(x) x = 1 º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¾ /¿¼
  79. 79. Ç ÊÁ Ç È Ä Ì Æ
  80. 80. Ç ÈÖÓ ××ÓÖ Å Ö ÐÓ Ñ È Ö Ö Ö Ñ × × ÓÑÓ ×× ÓÑÔ Ò Ñ Ù ØÖ Ð Ó ØÖ Ú × × Ö × ×Ó × ◦ ÙÖØ Ñ Ò Ô Ò ÒÓ ÓÓ Î ÑÓ× Ð Ö Å Ø Ñ Ø ◦ ÁÒ× Ö Ú ¹× ÒÓ Ñ Ù Ò Ð Ò Ð Ó ÓÙÌÙ Î ÑÓ× Ð Ö Å Ø Ñ Ø ◦ Ë Ñ Ù Ô Ö Ð ÒÓ ËÐ × Ö Å Ö ÐÓ Ñ ¾ º ÈÖÓÚ ÕÙ ××Ó ÙÒ ÓÒ ¿¼/¿¼

×