Limites indeterminados1

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Como calcular limites indeterminados utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini

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Limites indeterminados1

  1. 1. VAMOS FALAR DE MATEMÁTICA Prof. Marcelo Gama „ Limites indeterminados „ facebook.com/vamosfalardematematica 1/35
  2. 2. Sumário 1. O que são? 2. Por que isso acontece? 3. O que podemos fazer? 4. Como podemos fazer? 5. Faz mais um! 6. Por que funciona? (Modo hard!) 2/35
  3. 3. Prof. Marcelo Gama O que são? 1. O que são? 3/35
  4. 4. O que são? Prof. Marcelo Gama São limites da forma lim x→a f(x) g(x) onde numerador e denominador vão se tornando nulos à medida que x se aproxima de a, ou seja, lim x→a f(x) = 0 e lim x→a g(x) = 0 1. O que são? 4/35
  5. 5. O que são? Prof. Marcelo Gama Exemplo 1. lim x→3 x3 − 6x2 + 11x − 6 x2 + 2x − 15 = 33 − 6 · 32 + 11 · 3 − 6 32 + 2 · 3 − 15 = 0 0 1. O que são? 5/35
  6. 6. O que são? Prof. Marcelo Gama Exemplo 1. lim x→3 x3 − 6x2 + 11x − 6 x2 + 2x − 15 = 33 − 6 · 32 + 11 · 3 − 6 32 + 2 · 3 − 15 = 0 0 Chamamos a expressão 0 0 de indeterminação e é necessário utilizar algum artifício matemático para obter seu valor real! 1. O que são? 5/35
  7. 7. Prof. Marcelo Gama Por que isso acontece? 2. Por que isso acontece? 6/35
  8. 8. Por que isso acontece? Prof. Marcelo Gama Podemos dizer que de certa forma o numerador e o denominador são ambos divisíveis pela expressão x − a onde, no nosso caso, a = 3. 2. Por que isso acontece? 7/35
  9. 9. Por que isso acontece? Prof. Marcelo Gama Podemos dizer que de certa forma o numerador e o denominador são ambos divisíveis pela expressão x − a onde, no nosso caso, a = 3. x3 − 6x3 + 11x − 6 = (x − 3)(x2 − 3x + 2) 2. Por que isso acontece? 7/35
  10. 10. Por que isso acontece? Prof. Marcelo Gama Podemos dizer que de certa forma o numerador e o denominador são ambos divisíveis pela expressão x − a onde, no nosso caso, a = 3. x3 − 6x3 + 11x − 6 = (x − 3)(x2 − 3x + 2) x2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5) 2. Por que isso acontece? 7/35
  11. 11. Prof. Marcelo Gama O que podemos fazer? 3. O que podemos fazer? 8/35
  12. 12. O que podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Devemos fatorar numerador e denominador para cancelar esse fator comum 3. O que podemos fazer? 9/35
  13. 13. O que podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Devemos fatorar numerador e denominador para cancelar esse fator comum lim x→3 x3 − 6x2 + 11x − 6 x2 + 2x − 15 = lim x→3 (x − 3)(x2 − 3x + 2) (x − 3)(x + 5) 3. O que podemos fazer? 9/35
  14. 14. O que podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Devemos fatorar numerador e denominador para cancelar esse fator comum lim x→3 x3 − 6x2 + 11x − 6 x2 + 2x − 15 = lim x→3 (x − 3)(x2 − 3x + 2) (x − 3)(x + 5) = lim x→3 x2 − 3x + 2 x + 5 3. O que podemos fazer? 9/35
  15. 15. O que podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Devemos fatorar numerador e denominador para cancelar esse fator comum lim x→3 x3 − 6x2 + 11x − 6 x2 + 2x − 15 = lim x→3 (x − 3)(x2 − 3x + 2) (x − 3)(x + 5) = lim x→3 x2 − 3x + 2 x + 5 = 32 − 3 · 3 + 2 3 + 5 3. O que podemos fazer? 9/35
  16. 16. O que podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Devemos fatorar numerador e denominador para cancelar esse fator comum lim x→3 x3 − 6x2 + 11x − 6 x2 + 2x − 15 = lim x→3 (x − 3)(x2 − 3x + 2) (x − 3)(x + 5) = lim x→3 x2 − 3x + 2 x + 5 = 32 − 3 · 3 + 2 3 + 5 = 2 8 = 1 4 3. O que podemos fazer? 9/35
  17. 17. Prof. Marcelo Gama Como podemos fazer? 4. Como podemos fazer? 10/35
  18. 18. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama 4. Como podemos fazer? 11/35
  19. 19. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Existem, basicamente, três abordagens para resolver esse problema 4. Como podemos fazer? 11/35
  20. 20. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Existem, basicamente, três abordagens para resolver esse problema Método 1: Divisão tradicional de polinômios 4. Como podemos fazer? 11/35
  21. 21. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Existem, basicamente, três abordagens para resolver esse problema Método 1: Divisão tradicional de polinômios Método 2: Algoritmo de Briot-Runi 4. Como podemos fazer? 11/35
  22. 22. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Existem, basicamente, três abordagens para resolver esse problema Método 1: Divisão tradicional de polinômios Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Método 3: Regra de L'Hôpital 4. Como podemos fazer? 11/35
  23. 23. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Nessa dica vamos mostrar como utilizar o segundo método. Método 1: Divisão tradicional de polinômios Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Método 3: Regra de L'Hôpital 4. Como podemos fazer? 12/35
  24. 24. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi 4. Como podemos fazer? 13/35
  25. 25. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 4. Como podemos fazer? 13/35
  26. 26. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 x −3 x3 −6x2 +11x −6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 −6 +11 −6 +3 4. Como podemos fazer? 13/35
  27. 27. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 ↓ 1 −6 +11 −6 +3 1 ↑ 4. Como podemos fazer? 14/35
  28. 28. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 + ↓ 1 −6 +11 −6 +3 1 +3 × 1 + (−6) ↑ × 4. Como podemos fazer? 15/35
  29. 29. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 4. Como podemos fazer? 16/35
  30. 30. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 + ↓ 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 +3 × (−3) + 11 ↑ × 4. Como podemos fazer? 17/35
  31. 31. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 +2 4. Como podemos fazer? 18/35
  32. 32. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 + ↓ 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 +2 +3 × (+2) + (−6) ↑ × 4. Como podemos fazer? 19/35
  33. 33. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 +2 0 4. Como podemos fazer? 20/35
  34. 34. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 +2 0 Quociente: x2 − 3x + 2 Resto: 0 4. Como podemos fazer? 20/35
  35. 35. Como podemos fazer? Prof. Marcelo Gama Método 2: Algoritmo de Briot-Runi Dividir P(x) = x3 −6x2 +11x−6 por d(x) = x−3 1 −6 +11 −6 +3 1 −3 +2 0 Quociente: x2 − 3x + 2 Resto: 0 x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 3)(x2 − 3x + 2) 4. Como podemos fazer? 20/35
  36. 36. Prof. Marcelo Gama Faz mais um! 5. Faz mais um! 21/35
  37. 37. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Nesse exemplo vamos calcular lim x→2 x4 − 2x3 − 12x2 + 40x − 32 x4 − 3x3 − x2 + 8x − 4 5. Faz mais um! 22/35
  38. 38. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Nesse exemplo vamos calcular lim x→2 x4 − 2x3 − 12x2 + 40x − 32 x4 − 3x3 − x2 + 8x − 4 Ao tentar calcular o limite encontramos 24 − 2 · 23 − 12 · 22 + 40 · 2 − 32 24 − 3 · 23 − 22 + 8 · 2 − 4 = 0 0 5. Faz mais um! 22/35
  39. 39. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Temos a certeza que os polinômios P(x) = x4 − 2x3 − 12x2 + 40x − 32 Q(x) = x4 − 3x3 − x2 + 8x − 4 são ambos divisíveis por x − 2 e usaremos o método de Briot-Runi para fatorá-los. 5. Faz mais um! 23/35
  40. 40. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Temos a certeza que os polinômios P(x) = x4 − 2x3 − 12x2 + 40x − 32 Q(x) = x4 − 3x3 − x2 + 8x − 4 são ambos divisíveis por x − 2 e usaremos o método de Briot-Runi para fatorá-los. 1 −2 −12 40 −32 2 1 0 −12 16 0 x3 −12x +16 5. Faz mais um! 23/35
  41. 41. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Temos a certeza que os polinômios P(x) = x4 − 2x3 − 12x2 + 40x − 32 Q(x) = x4 − 3x3 − x2 + 8x − 4 são ambos divisíveis por x − 2 e usaremos o método de Briot-Runi para fatorá-los. 1 −2 −12 40 −32 2 1 0 −12 16 0 x3 −12x +16 1 −3 −1 8 −4 2 1 −1 −3 2 0 x3 −x2 −3x +2 5. Faz mais um! 23/35
  42. 42. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Tentaremos mais uma vez calcular o limite lim x→2 x3 − 12x + 16 x3 − x2 − 3x + 2 = 23 − 12 · 2 + 16 23 − 22 − 3 · 2 + 2 = 0 0 Apelamos novamente para Briot-Runi 1 0 −12 16 2 1 2 −8 0 1 −1 −3 2 2 1 1 −1 0 5. Faz mais um! 24/35
  43. 43. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Tentaremos mais uma vez calcular o limite lim x→2 x3 − 12x + 16 x3 − x2 − 3x + 2 = 23 − 12 · 2 + 16 23 − 22 − 3 · 2 + 2 = 0 0 Apelamos novamente para Briot-Runi 1 0 −12 16 2 1 2 −8 0 x2 +2x −8 1 −1 −3 2 2 1 1 −1 0 x2 +x −3 5. Faz mais um! 25/35
  44. 44. Faz mais um! Prof. Marcelo Gama Exemplo 2. Calculando o limite novamente... lim x→2 x2 + 2x − 8 x2 + x − 3 = 22 + 2 · 2 − 8 22 + 2 − 3 = 0 3 = 0 5. Faz mais um! 26/35
  45. 45. Prof. Marcelo Gama Por que funciona ? 6. Por que funciona? (Modo hard!) 27/35
  46. 46. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  47. 47. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  48. 48. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  49. 49. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  50. 50. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  51. 51. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  52. 52. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  53. 53. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Mudando para o modo hard!) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividir P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d por d(x) = x − a Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x = +(R − aG) 6. Por que funciona? (Modo hard!) 28/35
  54. 54. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x = +(R − aG) 6. Por que funciona? (Modo hard!) 29/35
  55. 55. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x = +(R − aG) Coeciente de x3 : A = E 6. Por que funciona? (Modo hard!) 30/35
  56. 56. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x = +(R − aG) Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE 6. Por que funciona? (Modo hard!) 31/35
  57. 57. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x = +(R − aG) Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF 6. Por que funciona? (Modo hard!) 32/35
  58. 58. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x − a)Q(x) + R = (x − a)(Ex2 + Fx + G) + R = Ex3 = +(F − aE)x2 = +(G − aF)x = +(R − aG) Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG 6. Por que funciona? (Modo hard!) 33/35
  59. 59. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  60. 60. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  61. 61. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG Conclusão: Encontramos o quociente e o resto! 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  62. 62. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG Conclusão: Encontramos o quociente e o resto! E = A 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  63. 63. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG Conclusão: Encontramos o quociente e o resto! E = A F = aE + B (× e +) 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  64. 64. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG Conclusão: Encontramos o quociente e o resto! E = A F = aE + B (× e +) G = aF + C (× e +) 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  65. 65. Por que funciona? Prof. Marcelo Gama (Executando em modo hard...) Por que o algoritmo de Briot-Runi funciona? Dividendo: P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + d Divisor: d(x) = x − a Quociente: Ex2 + Fx + G Resto: R Coeciente de x3 : A = E Coeciente de x2 : B = F − aE Coeciente de x: C = G − aF Termo independ.: D = R − aG Conclusão: Encontramos o quociente e o resto! E = A F = aE + B (× e +) G = aF + C (× e +) R = aG + D (× e +) 6. Por que funciona? (Modo hard!) 34/35
  66. 66. OBRIGADO PELA ATENÇÃO Professor Marcelo Gama Para receber mais dicas como essa acompanhe meu trabalho através das redes sociais ◦ Curta minha página no Facebook Vamos falar de Matemática ◦ Inscreva-se no meu canal canal do YouTube Vamos falar de Matemática ◦ Siga meu perl no Slideshare Marcelo Gama 26 6. Por que funciona? (Modo hard!) 35/35

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