Limites e trigonometria

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Utilização de limites e trigonometria para deduzir a Fórmula de Viète

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Limites e trigonometria

  1. 1. VAMOS FALAR DE MATEMÁTICA Prof. Marcelo Gama „ Problema 2: Limites e Trigonometria (Fórmula de Viète em três passos) 2 π = cos π 4 · cos π 8 · cos π 6 · · · „ facebook.com/vamosfalardematematica 1/11
  2. 2. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Passo 1: A partir da identidade sen a = 2 sen a 2 cos a 2 , vericar que sen x 2n sen (x/2n) = cos x 2 · cos x 4 · · · cos x 2n Partindo da primeira identidade encontramos ◦ Para a = x: sen x = 2 sen x 2 cos x 2 ◦ Para a = x/2: sen x 2 = 2 sen x/2 2 cos x/2 2 = 2 sen x 4 cos x 4 ◦ Para a = x/4: sen x 4 = 2 sen x/4 2 cos x/4 2 = 2 sen x 8 cos x 8 ◦ Para a = x/8: sen x 8 = 2 sen x/8 2 cos x/8 2 = 2 sen x 16 cos x 16 e assim por diante... 2/11
  3. 3. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Então sen x = 2 cos x 2 sen x 2 = 2 cos x 2 2 sen x 4 cos x 4 = 4 cos x 2 cos x 4 sen x 4 = 4 cos x 2 cos x 4 2 sen x 8 cos x 8 = 8 cos x 2 cos x 4 cos x 8 sen x 8 = · · · = · · · = 2n cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · cos x 2n sen x 2n 3/11
  4. 4. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Dessa última equação sen x = 2n cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · cos x 2n sen x 2n encontramos sen x 2n sen (x/2n) = cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · cos x 2n (Obs.: Uma prova mais rigorosa pode ser feita por indução em n.) 4/11
  5. 5. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Passo 2: Usar a identidade anterior para mostrar que sen x x = cos x 2 · cos x 4 · cos x 4 · · · Inicialmente, devemos lembrar que lim y→0 sen y y = 1 Além disso, 2n sen (x/2n ) = 2n x · x · sen (x/2n ) = x · sen (x/2n ) (x/2n) 5/11
  6. 6. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Agora fazemos a mudança de variável y = x/2n . Observe que, quando n → ∞, teremos y = x/2n → 0 ou seja, lim n→∞ sen (x/2n ) (x/2n) = lim y→0 sen y y = 1 6/11
  7. 7. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Lembrando que 2n sen (x/2n ) = x · sen (x/2n ) (x/2n) e voltando à nossa expansão em produto, temos cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · cos x 2n = sen x 2n sen (x/2n) = sen x x · sen (x/2n) (x/2n) 7/11
  8. 8. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Então lim n→∞ sen x x · sen (x/2n ) (x/2n) tende a 1 = lim n→∞ cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · cos x 2n Portanto, sen x x = cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · 8/11
  9. 9. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Passo 3: Deduza a fórmula de Viète 2 π = cos π 4 · cos π 8 · cos π 16 · · · Na igualdade encontrada no Passo 2 sen x x = cos x 2 cos x 4 cos x 8 · · · faça x = π 2 9/11
  10. 10. Limites e Trigonometria Prof. Marcelo Gama Temos sen (π/2) π/2 = cos π/2 2 cos π/2 4 cos π/2 8 · · · ou seja, 1 π/2 = cos π 4 cos π 8 cos π 16 · · · Portanto, 2 π = cos π 4 cos π 8 cos π 16 · · · 10/11
  11. 11. OBRIGADO PELA ATENÇÃO Professor Marcelo Gama Para receber mais dicas como essa acompanhe meu trabalho através das redes sociais (É só clicar nos links abaixo) ◦ Curta minha página no Facebook Vamos falar de Matemática ◦ Inscreva-se no meu canal canal do YouTube Vamos falar de Matemática ◦ Siga meu perl no Slideshare Marcelo Gama 26 11/11

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