VAMOS FALAR DE MATEMÁTICA
Prof. Marcelo Gama
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Problema 1: Encontrar as soluções da equação trigonométrica
sen x + sen 3x ...
Solução Prof. Marcelo Gama
Será necessário utilizar a identidade trigonométrica
sen a + sen b = 2sen
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Solução Prof. Marcelo Gama
Encontramos também
sen 4x + sen 6x = sen 6x + sen 4x
= 2 sen
6x + 4x
2
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6x − 4x
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= 2 sen 5x...
Solução Prof. Marcelo Gama
Utilizamos mais uma vez a identidade (1)
sen 2x + sen 5x = sen 5x + sen 2x
= 2 sen
5x + 2x
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Solução Prof. Marcelo Gama
Agora temos três equações para resolver:
1. cos x = 0 ⇒ x = π
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+ kπ = (2k+1)π
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(k ∈ Z)
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Equacao trigonometrica

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Resolução de uma equação dada por uma soma trigonométrica

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Equacao trigonometrica

  1. 1. VAMOS FALAR DE MATEMÁTICA Prof. Marcelo Gama „ Problema 1: Encontrar as soluções da equação trigonométrica sen x + sen 3x + sen 4x + sen 6x = 0 „ facebook.com/vamosfalardematematica 1/5
  2. 2. Solução Prof. Marcelo Gama Será necessário utilizar a identidade trigonométrica sen a + sen b = 2sen a + b 2 cos a − b 2 (1) Usando esta identidade encontramos sen x + sen 3x = sen 3x + sen x = 2 sen 3x + x 2 cos 3x − x 2 = 2 sen 2x cos x 2/5
  3. 3. Solução Prof. Marcelo Gama Encontramos também sen 4x + sen 6x = sen 6x + sen 4x = 2 sen 6x + 4x 2 cos 6x − 4x 2 = 2 sen 5x cos x Voltando à equação inicial, teremos sen x + sen 3x + sen 4x + sen 6x = 2 sen 2x cos x + 2 sen 5x cos x = 2 cos x(sen 2x + sen 5x) 3/5
  4. 4. Solução Prof. Marcelo Gama Utilizamos mais uma vez a identidade (1) sen 2x + sen 5x = sen 5x + sen 2x = 2 sen 5x + 2x 2 cos 5x − 2x 2 = 2 sen 7x 2 cos 3x 2 A equação inicial agora terá a forma sen x + sen 3x + sen 4x + sen 6x = 2 cos x (sen 2x + sen 5x) = 2 cos x 2 sen 7x 2 cos 3x 2 = 4 cos x sen 7x 2 cos 3x 2 = 0 4/5
  5. 5. Solução Prof. Marcelo Gama Agora temos três equações para resolver: 1. cos x = 0 ⇒ x = π 2 + kπ = (2k+1)π 2 (k ∈ Z) 2. sen 7x 2 = 0 ⇒ 7x 2 = kπ ⇒ x = 2kπ 7 (k ∈ Z) 3. cos 3x 2 = 0 ⇒ 3x 2 = π 2 + kπ ⇒ 3x ¡2 = (2k+1)π ¡2 ⇒ x = (2k+1)π 3 (k ∈ Z) Finalmente, a solução: {x ∈ R | x = (2k+1)π 2 ou x = 2kπ 7 ou x = (2k+1)π 3 , k ∈ Z} 5/5

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