Doze problemas para entender indução

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Doze problemas de indução finita, estudados com um elevado grau de detalhamento, divididos em quatro categorias: ]
1. Problemas envolvendo igualdades
2. Problemas envolvendo desigualdades
3. Problemas de divisibilidade
4. Problemas de recursividade

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Doze problemas para entender indução

  1. 1. VAMOS FALAR DE MATEMÁTICA Prof. Marcelo Gama „ Princípio de indução nita ( Parte 2 - Doze problemas para entender indução ) „facebook.com/vamosfalardematematica 1/60
  2. 2. Sumário 1. Roteiro para provas por indução 2. Igualdades 3. Desigualdades 4. Divisibilidade 5. Recursividade 2/60
  3. 3. Prof. Marcelo Gama Parte 1: Roteiro de uma prova por indução 1. Roteiro para provas por indução 3/60
  4. 4. Prof. Marcelo Gama Os três passos 1. Roteiro para provas por indução 4/60
  5. 5. Prof. Marcelo Gama Os três passos ◦ Passo 1: Provar a validade da armação para o valor inicial n0 1. Roteiro para provas por indução 4/60
  6. 6. Prof. Marcelo Gama Os três passos ◦ Passo 1: Provar a validade da armação para o valor inicial n0 ◦ Passo 2: Supor que a armação é válida para um certo valor n = k 1. Roteiro para provas por indução 4/60
  7. 7. Prof. Marcelo Gama Os três passos ◦ Passo 1: Provar a validade da armação para o valor inicial n0 ◦ Passo 2: Supor que a armação é válida para um certo valor n = k ◦ Passo 3: Usar a informação do Passo 2 para provar que a armação também é válida para n = k +1 1. Roteiro para provas por indução 4/60
  8. 8. Prof. Marcelo Gama Parte 2: Igualdades 2. Igualdades 5/60
  9. 9. Prof. Marcelo Gama Problema 1 1+3+···+(2n −1) = n2 , para n ≥ 1 2. Igualdades 6/60
  10. 10. Problema 1 Prof. Marcelo Gama 1+3+···+(2n −1) = n2 , para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1 = 12 ( V ) 2. Igualdades 7/60
  11. 11. Problema 1 Prof. Marcelo Gama 1+3+···+(2n −1) = n2 , para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1 = 12 ( V ) ◦ Passo 2: Supor que a armação é verdadeira para n = k 1+3+···+(2k −1) = k2 , para k ≥ 1 2. Igualdades 7/60
  12. 12. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1+3+···+(2n −1) = n2 2. Igualdades 8/60
  13. 13. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1+3+···+(2n −1) = n2 ◦ Queremos provar que 1+3+···+(2k −1)+[2(k +1)−1] = (k +1)2 2. Igualdades 8/60
  14. 14. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = 2. Igualdades 9/60
  15. 15. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2(k +1)−1] 2. Igualdades 9/60
  16. 16. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2k +2−1] 2. Igualdades 9/60
  17. 17. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2k +2−1] = k2 +2k +1 2. Igualdades 9/60
  18. 18. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2k +2−1] = k2 +2k +1 = (k +1)2 2. Igualdades 9/60
  19. 19. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2k +2−1] = k2 +2k +1 = (k +1)2 2. Igualdades 9/60
  20. 20. Problema 1 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1+3+···+(2k −1) passo 2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2(k +1)−1] = k2 +[2k +2−1] = k2 +2k +1 = (k +1)2 Portanto, a armação está provada. 2. Igualdades 9/60
  21. 21. Prof. Marcelo Gama Problema 2 1·1!+2·2!+···+n ·n! = (n +1)!−1, para n ≥ 1 2. Igualdades 10/60
  22. 22. Problema 2 Prof. Marcelo Gama 1·1!+2·2!+···+n ·n! = (n +1)!−1, para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1·1! = (1+1)!−1 ou 1 = 1 (V) 2. Igualdades 11/60
  23. 23. Problema 2 Prof. Marcelo Gama 1·1!+2·2!+···+n ·n! = (n +1)!−1, para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1·1! = (1+1)!−1 ou 1 = 1 (V) Portanto, a armação é verdadeira para n = 1. 2. Igualdades 11/60
  24. 24. Problema 2 Prof. Marcelo Gama 1·1!+2·2!+···+n ·n! = (n +1)!−1, para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1·1! = (1+1)!−1 ou 1 = 1 (V) Portanto, a armação é verdadeira para n = 1. ◦ Passo 2: Supor que a armação vale para n = k 1·1!+2·2!+···+k ·k! = (k +1)!−1, para k ≥ 1 2. Igualdades 11/60
  25. 25. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? 2. Igualdades 12/60
  26. 26. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1·1!+2·2!+·+n ·n! = (n +1)!−1 2. Igualdades 12/60
  27. 27. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1·1!+2·2!+·+n ·n! = (n +1)!−1 ◦ Queremos provar que 1·1!+2·2!+···+k ·k!+(k +1)·(k +1)! = (k +2)!−1 2. Igualdades 12/60
  28. 28. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! 2. Igualdades 13/60
  29. 29. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! 2. Igualdades 13/60
  30. 30. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! = (k +1)!+(k +1)·(k +1)!−1 2. Igualdades 13/60
  31. 31. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! = (k +1)!+(k +1)·(k +1)!−1 = (k +1)!·[1+(k +1)]−1 2. Igualdades 13/60
  32. 32. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! = (k +1)!+(k +1)·(k +1)!−1 = (k +1)!·[1+(k +1)]−1 = (k +1)!·[k +2]−1 2. Igualdades 13/60
  33. 33. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! = (k +1)!+(k +1)·(k +1)!−1 = (k +1)!·[1+(k +1)]−1 = (k +1)!·[k +2]−1 = (k +2)!−1 2. Igualdades 13/60
  34. 34. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! = (k +1)!+(k +1)·(k +1)!−1 = (k +1)!·[1+(k +1)]−1 = (k +1)!·[k +2]−1 = (k +2)!−1 2. Igualdades 13/60
  35. 35. Problema 2 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·1!+2·2!+···+k ·k! passo 2 +(k +1)·(k +1)! = [(k +1)!−1]+(k +1)·(k +1)! = (k +1)!+(k +1)·(k +1)!−1 = (k +1)!·[1+(k +1)]−1 = (k +1)!·[k +2]−1 = (k +2)!−1 Portanto, a armação está provada. 2. Igualdades 13/60
  36. 36. Prof. Marcelo Gama Problema 3 1·2·3+2·3·4+···+n ·(n +1)·(n +2) = n·(n+1)·(n+2)·(n+3) 4 2. Igualdades 14/60
  37. 37. Problema 3 Prof. Marcelo Gama 1·2·3+2·3·4+···+n ·(n +1)·(n +2) = n·(n+1)·(n+2)·(n+3) 4 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1·2·3 = 1·(1+1)·(1+2)·(1+3) 4 = 1·2·3·¡4 ¡4 ou 1·2·3 = 1·2·3 2. Igualdades 15/60
  38. 38. Problema 3 Prof. Marcelo Gama 1·2·3+2·3·4+···+n ·(n +1)·(n +2) = n·(n+1)·(n+2)·(n+3) 4 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1·2·3 = 1·(1+1)·(1+2)·(1+3) 4 = 1·2·3·¡4 ¡4 ou 1·2·3 = 1·2·3 Portanto, a armação é verdadeira para n = 1 2. Igualdades 15/60
  39. 39. Problema 3 Prof. Marcelo Gama 1·2·3+2·3·4+···+n ·(n +1)·(n +2) = n·(n+1)·(n+2)·(n+3) 4 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1·2·3 = 1·(1+1)·(1+2)·(1+3) 4 = 1·2·3·¡4 ¡4 ou 1·2·3 = 1·2·3 Portanto, a armação é verdadeira para n = 1 ◦ Passo 2: Supor que a armação vale para n = k 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) = k ·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 2. Igualdades 15/60
  40. 40. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? 2. Igualdades 16/60
  41. 41. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1·2·3+2·3·4+···+n ·(n +1)·(n +2) = n ·(n +1)·(n +2)·(n +3) 4 2. Igualdades 16/60
  42. 42. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1·2·3+2·3·4+···+n ·(n +1)·(n +2) = n ·(n +1)·(n +2)·(n +3) 4 ◦ Queremos provar que 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2)+(k +1)·(k +2)·(k +3) = (k +1)·(k +2)·(k +3)·(k +4) 4 2. Igualdades 16/60
  43. 43. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) passo 2 +(k +1)·(k +2)·(k +3) 2. Igualdades 17/60
  44. 44. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) passo 2 +(k +1)·(k +2)·(k +3) = k ·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 + 4·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 2. Igualdades 17/60
  45. 45. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) passo 2 +(k +1)·(k +2)·(k +3) = k ·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 + 4·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 = (k +1)·(k +2)·(k +3) 4 ·(k +4) 2. Igualdades 17/60
  46. 46. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) passo 2 +(k +1)·(k +2)·(k +3) = k ·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 + 4·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 = (k +1)·(k +2)·(k +3) 4 ·(k +4) = (k +1)·(k +2)·(k +3)·(k +4) 4 2. Igualdades 17/60
  47. 47. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) passo 2 +(k +1)·(k +2)·(k +3) = k ·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 + 4·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 = (k +1)·(k +2)·(k +3) 4 ·(k +4) = (k +1)·(k +2)·(k +3)·(k +4) 4 2. Igualdades 17/60
  48. 48. Problema 3 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1·2·3+2·3·4+···+k ·(k +1)·(k +2) passo 2 +(k +1)·(k +2)·(k +3) = k ·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 + 4·(k +1)·(k +2)·(k +3) 4 = (k +1)·(k +2)·(k +3) 4 ·(k +4) = (k +1)·(k +2)·(k +3)·(k +4) 4 Portanto, a armação está provada. 2. Igualdades 17/60
  49. 49. Prof. Marcelo Gama Problema 4 Encontrar uma fórmula para a soma 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) e provar sua validade por indução. 2. Igualdades 18/60
  50. 50. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada 2. Igualdades 19/60
  51. 51. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada Para n = 1: 1 1×2 = 1 2 2. Igualdades 19/60
  52. 52. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada Para n = 1: 1 1×2 = 1 2 Para n = 2: 1 1×2 + 1 2×3 = 1 2 + 1 6 = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 2. Igualdades 19/60
  53. 53. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada Para n = 1: 1 1×2 = 1 2 Para n = 2: 1 1×2 + 1 2×3 = 1 2 + 1 6 = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 Para n = 3: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 = 2 3 + 1 12 = 8 12 + 1 12 = 9 12 = 3 4 2. Igualdades 19/60
  54. 54. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada Para n = 1: 1 1×2 = 1 2 Para n = 2: 1 1×2 + 1 2×3 = 1 2 + 1 6 = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 Para n = 3: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 = 2 3 + 1 12 = 8 12 + 1 12 = 9 12 = 3 4 Para n = 4: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 = 3 4 + 1 20 = 15 20 + 1 20 = 16 20 = 4 5 2. Igualdades 19/60
  55. 55. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada Para n = 1: 1 1×2 = 1 2 Para n = 2: 1 1×2 + 1 2×3 = 1 2 + 1 6 = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 Para n = 3: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 = 2 3 + 1 12 = 8 12 + 1 12 = 9 12 = 3 4 Para n = 4: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 = 3 4 + 1 20 = 15 20 + 1 20 = 16 20 = 4 5 Para n: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) = n n+1 2. Igualdades 19/60
  56. 56. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 0: Encontrar uma fórmula para a soma dada Para n = 1: 1 1×2 = 1 2 Para n = 2: 1 1×2 + 1 2×3 = 1 2 + 1 6 = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 Para n = 3: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 = 2 3 + 1 12 = 8 12 + 1 12 = 9 12 = 3 4 Para n = 4: 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 = 3 4 + 1 20 = 15 20 + 1 20 = 16 20 = 4 5 Para n: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) = n n+1 ◦ Esta é a fórmula que precisamos vericar 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n ×(n +1) = n n +1 , para n ≥ 1 2. Igualdades 19/60
  57. 57. Problema 4 Prof. Marcelo Gama 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) = n n+1, para n ≥ 1 2. Igualdades 20/60
  58. 58. Problema 4 Prof. Marcelo Gama 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) = n n+1, para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1 1×2 = 1 1+1 ou 1 2 = 1 2 2. Igualdades 20/60
  59. 59. Problema 4 Prof. Marcelo Gama 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) = n n+1, para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1 1×2 = 1 1+1 ou 1 2 = 1 2 Portanto, a armação é verdadeira para n = 1. 2. Igualdades 20/60
  60. 60. Problema 4 Prof. Marcelo Gama 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n×(n+1) = n n+1, para n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 1 1×2 = 1 1+1 ou 1 2 = 1 2 Portanto, a armação é verdadeira para n = 1. ◦ Passo 2: Supor que a armação vale para n = k 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) = k k +1 , para n ≥ 1 2. Igualdades 20/60
  61. 61. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? 2. Igualdades 21/60
  62. 62. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n ×(n +1) = n n +1 2. Igualdades 21/60
  63. 63. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 n ×(n +1) = n n +1 ◦ Queremos provar que 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) + 1 (k +1)×(k +2) = k +1 k +2 2. Igualdades 21/60
  64. 64. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) 2. Igualdades 22/60
  65. 65. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) = k k +1 + 1 (k +1)×(k +2) 2. Igualdades 22/60
  66. 66. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) = k k +1 + 1 (k +1)×(k +2) = k ×(k +2) (k +1)×(k +2) + 1 (k +1)×(k +2) 2. Igualdades 22/60
  67. 67. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) = k k +1 + 1 (k +1)×(k +2) = k ×(k +2) (k +1)×(k +2) + 1 (k +1)×(k +2) = k2 +2k +1 (k +1)×(k +2) = (k +1)2 (k +1)×(k +2) = $$$$ (k +1)×(k +1) $$$$ (k +1)×(k +2) 2. Igualdades 22/60
  68. 68. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) = k k +1 + 1 (k +1)×(k +2) = k ×(k +2) (k +1)×(k +2) + 1 (k +1)×(k +2) = k2 +2k +1 (k +1)×(k +2) = (k +1)2 (k +1)×(k +2) = $$$$ (k +1)×(k +1) $$$$ (k +1)×(k +2) = k +1 k +2 2. Igualdades 22/60
  69. 69. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) = k k +1 + 1 (k +1)×(k +2) = k ×(k +2) (k +1)×(k +2) + 1 (k +1)×(k +2) = k2 +2k +1 (k +1)×(k +2) = (k +1)2 (k +1)×(k +2) = $$$$ (k +1)×(k +1) $$$$ (k +1)×(k +2) = k +1 k +2 2. Igualdades 22/60
  70. 70. Problema 4 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 1 1×2 + 1 2×3 +···+ 1 k ×(k +1) passo 2 + 1 (k +1)×(k +2) = k k +1 + 1 (k +1)×(k +2) = k ×(k +2) (k +1)×(k +2) + 1 (k +1)×(k +2) = k2 +2k +1 (k +1)×(k +2) = (k +1)2 (k +1)×(k +2) = $$$$ (k +1)×(k +1) $$$$ (k +1)×(k +2) = k +1 k +2 Portanto, a armação está provada. 2. Igualdades 22/60
  71. 71. Prof. Marcelo Gama Parte 2: Desigualdades 3. Desigualdades 23/60
  72. 72. Prof. Marcelo Gama Problema 5 3n 50n +1, para n ≥ 6 3. Desigualdades 24/60
  73. 73. Problema 5 Prof. Marcelo Gama 3n 50n +1, para n ≥ 6 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 6 36 = 729 e 50×6+1 = 301, ou seja, 36 50×6+1 3. Desigualdades 25/60
  74. 74. Problema 5 Prof. Marcelo Gama 3n 50n +1, para n ≥ 6 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 6 36 = 729 e 50×6+1 = 301, ou seja, 36 50×6+1 ◦ Passo 2: Supor que a armação é verdadeira para n = k 3k 50k +1, para k ≥ 6 3. Desigualdades 25/60
  75. 75. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 3n 50n +1 3. Desigualdades 26/60
  76. 76. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 3n 50n +1 ◦ Queremos provar que 3k+1 50(k +1)+1 3. Desigualdades 26/60
  77. 77. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3. Desigualdades 27/60
  78. 78. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) 3. Desigualdades 27/60
  79. 79. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 3. Desigualdades 27/60
  80. 80. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 3. Desigualdades 27/60
  81. 81. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 ≥ 50k +(100×6+3) 3. Desigualdades 27/60
  82. 82. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 ≥ 50k +(100×6+3) ≥ 50k +603 3. Desigualdades 27/60
  83. 83. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 ≥ 50k +(100×6+3) ≥ 50k +603 50k +50+1 3. Desigualdades 27/60
  84. 84. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 ≥ 50k +(100×6+3) ≥ 50k +603 50k +50+1 ≥ 50(k +1)+1 3. Desigualdades 27/60
  85. 85. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 ≥ 50k +(100×6+3) ≥ 50k +603 50k +50+1 ≥ 50(k +1)+1 3. Desigualdades 27/60
  86. 86. Problema 5 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 3k+1 = 3· 3k passo 2 3·(50k +1) ≥ 150k +3 ≥ 50k +(100k +3) k ≥ 6 ≥ 50k +(100×6+3) ≥ 50k +603 50k +50+1 ≥ 50(k +1)+1 Portanto, a armação está provada. 3. Desigualdades 27/60
  87. 87. Prof. Marcelo Gama Problema 6 n! 3n , para n ≥ 7 3. Desigualdades 28/60
  88. 88. Problema 6 Prof. Marcelo Gama n! 3n , para n ≥ 7 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 7 7! = 5040 e 37 = 2187, ou seja, 7! 37 3. Desigualdades 29/60
  89. 89. Problema 6 Prof. Marcelo Gama n! 3n , para n ≥ 7 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 7 7! = 5040 e 37 = 2187, ou seja, 7! 37 ◦ Passo 2: Supor que a armação é verdadeira para n = k k! 3k , para k ≥ 7 3. Desigualdades 29/60
  90. 90. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original n! 3n 3. Desigualdades 30/60
  91. 91. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original n! 3n ◦ Queremos provar que (k +1)! 3k+1 3. Desigualdades 30/60
  92. 92. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 3. Desigualdades 31/60
  93. 93. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 (k +1) k ≥ 7 ·3k 3. Desigualdades 31/60
  94. 94. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 (k +1) k ≥ 7 ·3k ≥ 8·3k 3. Desigualdades 31/60
  95. 95. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 (k +1) k ≥ 7 ·3k ≥ 8·3k 3·3k 3. Desigualdades 31/60
  96. 96. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 (k +1) k ≥ 7 ·3k ≥ 8·3k 3·3k ≥ 3k+1 3. Desigualdades 31/60
  97. 97. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 (k +1) k ≥ 7 ·3k ≥ 8·3k 3·3k ≥ 3k+1 3. Desigualdades 31/60
  98. 98. Problema 6 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (k +1)! = (k +1)· k! passo 2 (k +1) k ≥ 7 ·3k ≥ 8·3k 3·3k ≥ 3k+1 Portanto, a armação está provada. 3. Desigualdades 31/60
  99. 99. Prof. Marcelo Gama Problema 7 (1+ x)n ≥ 1+nx, para n ≥ 1 e x ≥ 0 3. Desigualdades 32/60
  100. 100. Problema 7 Prof. Marcelo Gama (1+ x)n ≥ 1+nx, para n ≥ 1 e x ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 (1+ x)1 = 1+ x e 1+1x = 1+ x 3. Desigualdades 33/60
  101. 101. Problema 7 Prof. Marcelo Gama (1+ x)n ≥ 1+nx, para n ≥ 1 e x ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 1 (1+ x)1 = 1+ x e 1+1x = 1+ x ◦ Passo 2: Supor que a armação é verdadeira para n = k (1+ x)k ≥ 1+kx, para k ≥ 1 e x ≥ 0 3. Desigualdades 33/60
  102. 102. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original (1+ x)n ≥ 1+nx, para n ≥ 1 e x ≥ 0 3. Desigualdades 34/60
  103. 103. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original (1+ x)n ≥ 1+nx, para n ≥ 1 e x ≥ 0 ◦ Queremos provar que (1+ x)k+1 ≥ 1+(k +1)x 3. Desigualdades 34/60
  104. 104. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) 3. Desigualdades 35/60
  105. 105. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) ≥ (1+kx)(1+ x) 3. Desigualdades 35/60
  106. 106. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) ≥ (1+kx)(1+ x) ≥ 1+kx + x +kx2 3. Desigualdades 35/60
  107. 107. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) ≥ (1+kx)(1+ x) ≥ 1+kx + x +kx2 ≥ 1+ x(k +1)+ kx2 ≥0 3. Desigualdades 35/60
  108. 108. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) ≥ (1+kx)(1+ x) ≥ 1+kx + x +kx2 ≥ 1+ x(k +1)+ kx2 ≥0 ≥ 1+(k +1)x 3. Desigualdades 35/60
  109. 109. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) ≥ (1+kx)(1+ x) ≥ 1+kx + x +kx2 ≥ 1+ x(k +1)+ kx2 ≥0 ≥ 1+(k +1)x 3. Desigualdades 35/60
  110. 110. Problema 7 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: (1+ x)k+1 = (1+ x)k passo 2 (1+ x) ≥ (1+kx)(1+ x) ≥ 1+kx + x +kx2 ≥ 1+ x(k +1)+ kx2 ≥0 ≥ 1+(k +1)x Portanto, a armação está provada. 3. Desigualdades 35/60
  111. 111. Prof. Marcelo Gama Parte 3: Divisibilidade 4. Divisibilidade 36/60
  112. 112. Prof. Marcelo Gama Problema 8 23n −1 é divisível por 7 se n ≥ 0 4. Divisibilidade 37/60
  113. 113. Problema 8 Prof. Marcelo Gama 23n −1 é divisível por 7 se n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 0 (vamos provar também para n = 1) 4. Divisibilidade 38/60
  114. 114. Problema 8 Prof. Marcelo Gama 23n −1 é divisível por 7 se n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 0 (vamos provar também para n = 1) 23·0 −1 = 20 −1 = 1−1 = 0 é divisível por 7 4. Divisibilidade 38/60
  115. 115. Problema 8 Prof. Marcelo Gama 23n −1 é divisível por 7 se n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 0 (vamos provar também para n = 1) 23·0 −1 = 20 −1 = 1−1 = 0 é divisível por 7 23·1 −1 = 23 −1 = 8−1 = 7 é divisível por 7 4. Divisibilidade 38/60
  116. 116. Problema 8 Prof. Marcelo Gama 23n −1 é divisível por 7 se n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é verdadeira para n = 0 (vamos provar também para n = 1) 23·0 −1 = 20 −1 = 1−1 = 0 é divisível por 7 23·1 −1 = 23 −1 = 8−1 = 7 é divisível por 7 ◦ Passo 2: Supor que a armação é verdadeira para n = k 23k −1 é divisível por 7 se k ≥ 0 ou 23k −1 = 7a, com a ∈ Z 4. Divisibilidade 38/60
  117. 117. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 23n −1 é divisível por 7 4. Divisibilidade 39/60
  118. 118. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 23n −1 é divisível por 7 ◦ Queremos provar que 23(k+1) −1 é divisível por 7 ou 23(k+1) −1 = 7b, para algum b ∈ Z 4. Divisibilidade 39/60
  119. 119. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 4. Divisibilidade 40/60
  120. 120. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 4. Divisibilidade 40/60
  121. 121. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 = (7a +1)·8−1 4. Divisibilidade 40/60
  122. 122. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 = (7a +1)·8−1 = 56a +8−1 4. Divisibilidade 40/60
  123. 123. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 = (7a +1)·8−1 = 56a +8−1 = 56a +7 4. Divisibilidade 40/60
  124. 124. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 = (7a +1)·8−1 = 56a +8−1 = 56a +7 = 7×(8a +1) 4. Divisibilidade 40/60
  125. 125. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 = (7a +1)·8−1 = 56a +8−1 = 56a +7 = 7×(8a +1) 4. Divisibilidade 40/60
  126. 126. Problema 8 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 23(k+1) −1 = 23k+3 −1 = 23k 23k −1 = 7a ·23 −1 = (7a +1)·8−1 = 56a +8−1 = 56a +7 = 7×(8a +1) Portanto, a armação está provada. 4. Divisibilidade 40/60
  127. 127. Prof. Marcelo Gama Problema 9 32n +3·5n é divisível por 4, para n ≥ 0 4. Divisibilidade 41/60
  128. 128. Problema 9 Prof. Marcelo Gama 32n +3·5n é divisível por 4, para n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 0 32·0 +3·50 = 30 +3·50 = 1+3·1 = 4 é divisível por 4 4. Divisibilidade 42/60
  129. 129. Problema 9 Prof. Marcelo Gama 32n +3·5n é divisível por 4, para n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 0 32·0 +3·50 = 30 +3·50 = 1+3·1 = 4 é divisível por 4 ◦ Passo 2: Supor que a armação é válida para n = k 32k +3·5k é divisível por 4 se n ≥ 0 ou 32k +3·5k = 4a, com a ∈ Z 4. Divisibilidade 42/60
  130. 130. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 32n +3·5n é divisível por 4 4. Divisibilidade 43/60
  131. 131. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original 32n +3·5n é divisível por 4 ◦ Queremos provar que 32(k+1) +3·5k+1 é divisível por 4 ou 32(k+1) +3·5k+1 = 4b, para algum b ∈ Z 4. Divisibilidade 43/60
  132. 132. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 4. Divisibilidade 44/60
  133. 133. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 4. Divisibilidade 44/60
  134. 134. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 = (4a −3·5k )·9+15·5k 4. Divisibilidade 44/60
  135. 135. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 = (4a −3·5k )·9+15·5k = 36a −27·5k +15·5k 4. Divisibilidade 44/60
  136. 136. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 = (4a −3·5k )·9+15·5k = 36a −27·5k +15·5k = 36a −12·5k 4. Divisibilidade 44/60
  137. 137. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 = (4a −3·5k )·9+15·5k = 36a −27·5k +15·5k = 36a −12·5k = 4×(9a −3·5k ) 4. Divisibilidade 44/60
  138. 138. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 = (4a −3·5k )·9+15·5k = 36a −27·5k +15·5k = 36a −12·5k = 4×(9a −3·5k ) 4. Divisibilidade 44/60
  139. 139. Problema 9 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: 32(k+1) +3·5k+1 = 32k+2 +3·5k+1 = 32k 32k +3·5k = 4a ·32 +3·5k ·51 = (4a −3·5k )·9+15·5k = 36a −27·5k +15·5k = 36a −12·5k = 4×(9a −3·5k ) Portanto, a armação está provada. 4. Divisibilidade 44/60
  140. 140. Prof. Marcelo Gama Parte 4: Recursividade 5. Recursividade 45/60
  141. 141. Prof. Marcelo Gama Problema 10 ◦ R$ 1500,00 foi depositado em um banco ◦ A cada mês é adicionado 2% de juros a1 = 1500, an+1 = 1,02· an ◦ Qual o valor acumulado em n meses? 5. Recursividade 46/60
  142. 142. Problema 10 Prof. Marcelo Gama Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an 5. Recursividade 47/60
  143. 143. Problema 10 Prof. Marcelo Gama Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1500 5. Recursividade 47/60
  144. 144. Problema 10 Prof. Marcelo Gama Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1500 ◦ a2 = 1,02· a1 = 1,02·1500 5. Recursividade 47/60
  145. 145. Problema 10 Prof. Marcelo Gama Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1500 ◦ a2 = 1,02· a1 = 1,02·1500 ◦ a3 = 1,02· a2 = 1,02·(1,02·1500) = (1,02)2 ·1500 5. Recursividade 47/60
  146. 146. Problema 10 Prof. Marcelo Gama Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1500 ◦ a2 = 1,02· a1 = 1,02·1500 ◦ a3 = 1,02· a2 = 1,02·(1,02·1500) = (1,02)2 ·1500 ◦ a4 = 1,02· a3 = 1,02·[(1,02)2 ·1500] = (1,02)3 ·1500 5. Recursividade 47/60
  147. 147. Problema 10 Prof. Marcelo Gama Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1500 ◦ a2 = 1,02· a1 = 1,02·1500 ◦ a3 = 1,02· a2 = 1,02·(1,02·1500) = (1,02)2 ·1500 ◦ a4 = 1,02· a3 = 1,02·[(1,02)2 ·1500] = (1,02)3 ·1500 Parece que temos uma canditata a fórmula ◦ an = (1,02)n−1 ·1500, com n ≥ 1 5. Recursividade 47/60
  148. 148. Problema 10 Prof. Marcelo Gama an = (1,02)n−1 ·1500, com n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 1 a1 = (1,02)1−1 ·1500 = (1,02)0 ·1500 = 1500 5. Recursividade 48/60
  149. 149. Problema 10 Prof. Marcelo Gama an = (1,02)n−1 ·1500, com n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 1 a1 = (1,02)1−1 ·1500 = (1,02)0 ·1500 = 1500 ◦ Passo 2: Supor que a armação é válida para n = k ak = (1,02)k−1 ·1500, com k ≥ 1 5. Recursividade 48/60
  150. 150. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original an = (1,02)n−1 ·1500 5. Recursividade 49/60
  151. 151. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original an = (1,02)n−1 ·1500 ◦ Queremos provar que ak+1 = (1,02)k ·1500 5. Recursividade 49/60
  152. 152. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = 1,02· ak passo 2 5. Recursividade 50/60
  153. 153. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = 1,02· ak passo 2 = 1,02·[(1,02)k−1 ·1500] 5. Recursividade 50/60
  154. 154. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = 1,02· ak passo 2 = 1,02·[(1,02)k−1 ·1500] = (1,02)k ·1500 5. Recursividade 50/60
  155. 155. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = 1,02· ak passo 2 = 1,02·[(1,02)k−1 ·1500] = (1,02)k ·1500 5. Recursividade 50/60
  156. 156. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = 1,02· ak passo 2 = 1,02·[(1,02)k−1 ·1500] = (1,02)k ·1500 Portanto, a armação está provada. 5. Recursividade 50/60
  157. 157. Problema 10 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = 1,02· ak passo 2 = 1,02·[(1,02)k−1 ·1500] = (1,02)k ·1500 Portanto, a armação está provada. A título de curiosidade, em um ano teríamos R$ 1865,06 5. Recursividade 50/60
  158. 158. Prof. Marcelo Gama Problema 11 Encontre uma fórmula fechada para a sequência ◦ a1 = 1 ◦ an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Em seguida, prove sua validade por indução. 5. Recursividade 51/60
  159. 159. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an 5. Recursividade 52/60
  160. 160. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1 5. Recursividade 52/60
  161. 161. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1 ◦ a2 = 2 1 · a1 = 2 1 ·1 = 2 5. Recursividade 52/60
  162. 162. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1 ◦ a2 = 2 1 · a1 = 2 1 ·1 = 2 ◦ a3 = 3 2 · a2 = 3 2 · 2 = 3 2 · 2 = 3 5. Recursividade 52/60
  163. 163. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1 ◦ a2 = 2 1 · a1 = 2 1 ·1 = 2 ◦ a3 = 3 2 · a2 = 3 2 · 2 = 3 2 · 2 = 3 ◦ a4 = 4 3 · a3 = 4 3 · 3 = 4 3 · 3 = 4 5. Recursividade 52/60
  164. 164. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an+1 = n+1 n · an, para n ≥ 1 Precisamos de uma fórmula para o cálculo direto de an ◦ a1 = 1 ◦ a2 = 2 1 · a1 = 2 1 ·1 = 2 ◦ a3 = 3 2 · a2 = 3 2 · 2 = 3 2 · 2 = 3 ◦ a4 = 4 3 · a3 = 4 3 · 3 = 4 3 · 3 = 4 Parece que temos uma canditata a fórmula ◦ an = n, com n ≥ 1 5. Recursividade 52/60
  165. 165. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an = n, com n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 1 a1 = 1 (é o valor dado pela recorrência) a1 = 1 = 1 (é o valor dado pela fórmula) como são iguais, a fórmula está correta. 5. Recursividade 53/60
  166. 166. Problema 11 Prof. Marcelo Gama an = n, com n ≥ 1 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 1 a1 = 1 (é o valor dado pela recorrência) a1 = 1 = 1 (é o valor dado pela fórmula) como são iguais, a fórmula está correta. ◦ Passo 2: Supor que a armação é válida para n = k ak = k, com k ≥ 1 5. Recursividade 53/60
  167. 167. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original an = n 5. Recursividade 54/60
  168. 168. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original an = n ◦ Queremos provar que ak+1 = k +1 5. Recursividade 54/60
  169. 169. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = k +1 k · ak passo 2 5. Recursividade 55/60
  170. 170. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = k +1 k · ak passo 2 = k +1 k · k 5. Recursividade 55/60
  171. 171. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = k +1 k · ak passo 2 = k +1 k · k = k +1 5. Recursividade 55/60
  172. 172. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = k +1 k · ak passo 2 = k +1 k · k = k +1 5. Recursividade 55/60
  173. 173. Problema 11 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: ak+1 = k +1 k · ak passo 2 = k +1 k · k = k +1 Portanto, a armação está provada. 5. Recursividade 55/60
  174. 174. Prof. Marcelo Gama Problema 12 Um problema envolvendo derivadas ◦ f0(x) = 1 x ◦ fn+1(x) = fn(x), para n ≥ 1 Prove, por indução, que fn(x) = (−1)n ·n!· x−(n+1) , para n ≥ 0 5. Recursividade 56/60
  175. 175. Problema 12 Prof. Marcelo Gama fn(x) = (−1)n ·n!· x−(n+1) , para n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 0 f0(x) = (−1)0 ·0!· x−(0+1) = 1·1· x−1 = 1 x 5. Recursividade 57/60
  176. 176. Problema 12 Prof. Marcelo Gama fn(x) = (−1)n ·n!· x−(n+1) , para n ≥ 0 ◦ Passo 1: Provar que a armação é válida para n = 0 f0(x) = (−1)0 ·0!· x−(0+1) = 1·1· x−1 = 1 x ◦ Passo 2: Supor que a armação é válida para n = k fk(x) = (−1)k ·k!· x−(k+1) , para k ≥ 0 5. Recursividade 57/60
  177. 177. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original fn(x) = (−1)n ·n!· x−(n+1) 5. Recursividade 58/60
  178. 178. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Passo 3: O que queremos provar ? Para saber, faça n = k +1 na expressão original fn(x) = (−1)n ·n!· x−(n+1) ◦ Queremos provar que fk+1(x) = (−1)k+1 ·(k +1)!· x−(k+2) 5. Recursividade 58/60
  179. 179. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 5. Recursividade 59/60
  180. 180. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) 5. Recursividade 59/60
  181. 181. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) = (−1)k ·k!· −(k +1)x−(k+1)−1 5. Recursividade 59/60
  182. 182. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) = (−1)k ·k!· −(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·k!· (−1)(k +1)x−(k+1)−1 5. Recursividade 59/60
  183. 183. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) = (−1)k ·k!· −(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·k!· (−1)(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·(−1)·k!·(k +1)· x−(k+1)−1 5. Recursividade 59/60
  184. 184. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) = (−1)k ·k!· −(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·k!· (−1)(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·(−1)·k!·(k +1)· x−(k+1)−1 = (−1)k+1 ·(k +1)!· x−(k+2) 5. Recursividade 59/60
  185. 185. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) = (−1)k ·k!· −(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·k!· (−1)(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·(−1)·k!·(k +1)· x−(k+1)−1 = (−1)k+1 ·(k +1)!· x−(k+2) 5. Recursividade 59/60
  186. 186. Problema 12 Prof. Marcelo Gama ◦ Prova: fk+1(x) = fk(x) passo 2 = (−1)k ·k!· x−(k+1) = (−1)k ·k!· −(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·k!· (−1)(k +1)x−(k+1)−1 = (−1)k ·(−1)·k!·(k +1)· x−(k+1)−1 = (−1)k+1 ·(k +1)!· x−(k+2) Portanto, a armação está provada. 5. Recursividade 59/60
  187. 187. OBRIGADO PELA ATENÇÃO Professor Marcelo Gama Para receber mais dicas como essa acompanhe meu trabalho através das redes sociais ◦ Curta minha página no Facebook Vamos falar de Matemática ◦ Inscreva-se no meu canal canal do YouTube Vamos falar de Matemática ◦ Siga meu perl no Slideshare Marcelo Gama 26 5. Recursividade 60/60

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