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Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
                                            "Escola em processo de mudança“




Disciplina:   Matemática                          Professora:   Manuela Lopes   Ano Lectivo:   2011-2012   2ºPeriodo



Tema:         Sucessões Reais                     Aula:         84     Data:    08-5-2012      Hora:       12:00-13:30



Sub-tema:     Progressões aritmética              Turma:        11ºA   Sala:    1.1.2          Duração:    90´




                                                                         Manuela Lopes                                   1
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Lição nº 84                            Data: 08-5-2012
  Sumário:
 Progressão aritmética e estudo da
 monotonia.
 Resolução de exercícios.



                                           Manuela Lopes       2
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                            O número a é majorante do
Sucessões                   conjunto P se e só se a é
                            maior ou igual que qualquer
Limitadas                   elemento de P



                              O número b é minorante do
                              conjunto P se e só se b é
                              menor ou igual que qualquer
                              elemento de P




                                               Manuela Lopes       3
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Cometa Halley


                              Assim batizado porque Edmond
                              Halley foi o primeiro astrônomo a
                              teorizar   que    as    características
                              observáveis de um cometa em 1683
                              eram praticamente as mesmas que as
                              de dois cometas que tinham aparecido
                              em 1531 e 1607, eram os mesmos
                              cometas e seriam objetos periódicos.



                                               Manuela Lopes        4
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              Edmond Halley previu o seu regresso no
              ano de 1758.
              A previsão feita por Halley estava
              correcta, o cometa foi observado a 25 de
              Dezembro de 1758.




A sua última aparição foi em 1986, vamos tentar
perceber quando será a próxima?


                                                Manuela Lopes       5
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 Objectivos:
Definir progressão aritmética;
Reconhecer uma sucessão que seja progressão aritmética;
Averiguar se uma sucessão é ou não uma progressão
aritmética;
Concluir a monotonia de uma progressão aritmética;
Deduzir a expressão do termo geral de uma progressão
aritmética;
Determinar termos de uma progressão aritmética.




                                              Manuela Lopes       6
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Nº de
traços   4                  6                       8                          10         2n+2


                           (4+2)                  (6+2)                     (8+2)          (2n+2)

Na sucessão 4,   6,   8,     10, …, 2n + 2, … passa-se de um termo para o
             +2 +2 +2
                                            seguinte adicionando uma constante.
                                            Neste caso, a constante 2.
                                            Diz-se que uma sucessão é uma progressão
                                            aritmética de razão 2.


                                                               Manuela Lopes                        7
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                                                   PROGRESSÕES ARITMÉTICAS


Uma sucessão (Un) é uma Progressão Aritmética (p.a.) se existe um número
real r tal que:



        Ao numero r chama-se razão da progressão aritmética.


Assim, se (Un) é uma progressão aritmética, cada termo da sucessão obtém-se
do anterior adicionando-lhe a constante r.




                                                         Manuela Lopes        8
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                                                 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS


O termo geral da progressão aritmética anterior è: Un = 2n + 2
A sua representação gráfica é, como em qualquer sucessão, um conjunto
de pontos isolados como mostra a figura.
                            Os     pontos da representação gráfica de uma
                            Progressão Aritmética pertencem a uma recta.
                            O     declive da recta que contém os pontos do
                            gráfico da sucessão é igual á razão da
                            progressão aritmética.




                                                       Manuela Lopes          9
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                      Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética




 Se a razão é positiva (r > 0), a progressão é estritamente
   crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.




                                             Manuela Lopes               10
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                  Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética




 Se a razão é negativa (r < 0), a progressão é
  estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor
  que o anterior.




                                         Manuela Lopes               11
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                   Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética




 Se a razão é zero, a progressão é constante (r = 0), ou
   seja, tem todos os seus termos iguais.




                                          Manuela Lopes               12
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                                                                             Exemplo prático
     Exercício 19 – Manual escolar

Considere a sucessão Un definida por:

19.1. Mostra que Un é uma progressão aritmética e classifica-a quanto à monotonia.




                                                         Manuela Lopes                         13
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                   Termo geral de uma progressão aritmética

Se Un+1= Un + r

U 2= U 1 + r

U3 = U2 + r = (U1 + r) + r = U1 + 2.r

U4 = U3 + r = (U1 + 2r) + r = U1 + 3.r

U5 = U4 + r = (U1 + 3r) + r = U1 + 4.r

     Logo,




     Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se:


                                                       Manuela Lopes       14
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Exercício 21– Manual escolar

Determina a razão e o termo geral da progressão bn , sabendo:

21.1. b1 = -1 e b8 = 20.

Calcular a razão:                         Calcular o termo geral:
bn = bk + (n-k).r                         bn = b1 + (n-1).r
b8 = b1 + (8-1).r                         bn = -1 + (n-1).3
20 = -1 + 7r                              bn = -1+3n-3
7r = 21                                   bn = 3n – 4
    21
r=
     7
r=3
                                                       Manuela Lopes                         15
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                                               Cometa Halley
                                               A última aparição foi em
                                              1986 e a sua próxima aparição
                                              é em …
                                                           2062.


1531    1607   1683   1758    1834     1910    1986         2062



       +76     +76      +76      +76          +76     +76




                                                               Manuela Lopes    16
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   Praticar os conceitos




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               Síntese aula




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 Objectivos:
Deduzir a expressão da soma dos n primeiros
termos;
Calcular a soma de termos consecutivos de uma
progressão aritmética;
Resolver problemas envolvendo progressões
aritméticas;
Resolução de uma questão aula.



                                             Manuela Lopes       19

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Apresentação aula-8-5

  • 1. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Disciplina: Matemática Professora: Manuela Lopes Ano Lectivo: 2011-2012 2ºPeriodo Tema: Sucessões Reais Aula: 84 Data: 08-5-2012 Hora: 12:00-13:30 Sub-tema: Progressões aritmética Turma: 11ºA Sala: 1.1.2 Duração: 90´ Manuela Lopes 1
  • 2. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Lição nº 84 Data: 08-5-2012 Sumário: Progressão aritmética e estudo da monotonia. Resolução de exercícios. Manuela Lopes 2
  • 3. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ O número a é majorante do Sucessões conjunto P se e só se a é maior ou igual que qualquer Limitadas elemento de P O número b é minorante do conjunto P se e só se b é menor ou igual que qualquer elemento de P Manuela Lopes 3
  • 4. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Cometa Halley Assim batizado porque Edmond Halley foi o primeiro astrônomo a teorizar que as características observáveis de um cometa em 1683 eram praticamente as mesmas que as de dois cometas que tinham aparecido em 1531 e 1607, eram os mesmos cometas e seriam objetos periódicos. Manuela Lopes 4
  • 5. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Edmond Halley previu o seu regresso no ano de 1758. A previsão feita por Halley estava correcta, o cometa foi observado a 25 de Dezembro de 1758. A sua última aparição foi em 1986, vamos tentar perceber quando será a próxima? Manuela Lopes 5
  • 6. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Objectivos: Definir progressão aritmética; Reconhecer uma sucessão que seja progressão aritmética; Averiguar se uma sucessão é ou não uma progressão aritmética; Concluir a monotonia de uma progressão aritmética; Deduzir a expressão do termo geral de uma progressão aritmética; Determinar termos de uma progressão aritmética. Manuela Lopes 6
  • 7. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Nº de traços 4 6 8 10 2n+2 (4+2) (6+2) (8+2) (2n+2) Na sucessão 4, 6, 8, 10, …, 2n + 2, … passa-se de um termo para o +2 +2 +2 seguinte adicionando uma constante. Neste caso, a constante 2. Diz-se que uma sucessão é uma progressão aritmética de razão 2. Manuela Lopes 7
  • 8. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Uma sucessão (Un) é uma Progressão Aritmética (p.a.) se existe um número real r tal que: Ao numero r chama-se razão da progressão aritmética. Assim, se (Un) é uma progressão aritmética, cada termo da sucessão obtém-se do anterior adicionando-lhe a constante r. Manuela Lopes 8
  • 9. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ PROGRESSÕES ARITMÉTICAS O termo geral da progressão aritmética anterior è: Un = 2n + 2 A sua representação gráfica é, como em qualquer sucessão, um conjunto de pontos isolados como mostra a figura. Os pontos da representação gráfica de uma Progressão Aritmética pertencem a uma recta. O declive da recta que contém os pontos do gráfico da sucessão é igual á razão da progressão aritmética. Manuela Lopes 9
  • 10. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética  Se a razão é positiva (r > 0), a progressão é estritamente crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior. Manuela Lopes 10
  • 11. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética  Se a razão é negativa (r < 0), a progressão é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Manuela Lopes 11
  • 12. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética  Se a razão é zero, a progressão é constante (r = 0), ou seja, tem todos os seus termos iguais. Manuela Lopes 12
  • 13. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Exemplo prático Exercício 19 – Manual escolar Considere a sucessão Un definida por: 19.1. Mostra que Un é uma progressão aritmética e classifica-a quanto à monotonia. Manuela Lopes 13
  • 14. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Termo geral de uma progressão aritmética Se Un+1= Un + r U 2= U 1 + r U3 = U2 + r = (U1 + r) + r = U1 + 2.r U4 = U3 + r = (U1 + 2r) + r = U1 + 3.r U5 = U4 + r = (U1 + 3r) + r = U1 + 4.r Logo, Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: Manuela Lopes 14
  • 15. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Exemplo prático Exercício 21– Manual escolar Determina a razão e o termo geral da progressão bn , sabendo: 21.1. b1 = -1 e b8 = 20. Calcular a razão: Calcular o termo geral: bn = bk + (n-k).r bn = b1 + (n-1).r b8 = b1 + (8-1).r bn = -1 + (n-1).3 20 = -1 + 7r bn = -1+3n-3 7r = 21 bn = 3n – 4 21 r= 7 r=3 Manuela Lopes 15
  • 16. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Cometa Halley A última aparição foi em 1986 e a sua próxima aparição é em … 2062. 1531 1607 1683 1758 1834 1910 1986 2062 +76 +76 +76 +76 +76 +76 Manuela Lopes 16
  • 17. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“  Praticar os conceitos Manuela Lopes 17
  • 18. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Síntese aula Manuela Lopes 18
  • 19. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780 "Escola em processo de mudança“ Objectivos: Deduzir a expressão da soma dos n primeiros termos; Calcular a soma de termos consecutivos de uma progressão aritmética; Resolver problemas envolvendo progressões aritméticas; Resolução de uma questão aula. Manuela Lopes 19