Procesos 2 del libro de Roxana Meneses para estudiantes del Colegio Saint Michael y estudiantes de octavo año

1. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
Página 26.
PROCESOS 2: Polinomios
Nivel de Dificultad 1
1. Clasificar cada expresión como monomio, binomio, trinomio o polinomio.
(1) x3 Solución: Es un Monomio.
2
(2) −3a + a + 7 Solución: Es un Trinomio.
(3) 4 y3 + 2 y 2 + y + 8 Solución: Es un Polinomio.
y
(4) −1 Solución: Es un Binomio.
3
2. ¿Porqué las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios?
6
(1) − Solución: No porque tiene letras en el denominador.
n
1
2
(2) p +−5 p + p 2
Solución: No porque tiene un exponente fraccionario.
7
(3) 9+ 2 Solución: No porque tiene coeficiente literal en el
m
denominador
(4) −q2 + 4q−1 Solución: No porque tiene exponente negativo.
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2. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
3. Si la expresión dada es polinomio, clasificarla (monomio, binomio, trinomio)
Solución: No es Polinomio.
1
(1) Porque tiene una letra en el
x Denominador (parte de debajo
de la fracción)
(2) 5 x3 − 6 x − 3 Solución: Es un Trinomio,
Porque los tres son monomios.
(3) 7 + 6x2 Solución: Es un Binomio
1
2 5
(4) 15 p qr Solución: No es Monomio
1
(5) −4m5 + −1 Solución: No es Polinomio.
m
(6) a 2 + ab + b3 Solución: Es un Trinomio
(7) −12ab7 −12 Solución: Es un Binomio
1
(8) 4+ y 2
Solución: No es un Binomio
(9) −47 Solución: Es un Monomio
(10) h3 − 3h2 − 5 Solución: Es un Trinomio
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3. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(11) −q 2 − 9q + 8 Solución: Es un Trinomio
(12) 5 x5 y 3 + 5 x3 y 2 + 6 Solución: Es un Trinomio
r3
(13) Solución: Es un Monomio.
4
4
(14) Solución: No es un Monomio
r3
Nivel de Dificultad 2
4. Hallar el grado de los siguientes monomios. n representa un entero.
(1) −5 Solución:
−5x0
El grado es cero
(2) 4a5 Solución:
4x5
El grado es cinco, porque
es el valor del exponente
de la letra.
(3) −xy 2 z Solución:
−x1 y 2 z1
El grado es cuatro, porque
es el valor de la suma de
los exponentes de las
letras.
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4. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(4) 5x 2 y 3 z 0 Solución:
5x 2 y 3 z 0
El grado es cinco, porque
es el valor de la suma de
los exponentes de las
letras.
3
(5) a Solución: 3 1
5 a
5
El grado es uno, recordar
que cuando el exponente
es uno no se pone se
asume que está ahí.
(6) 4ab Solución:
4a1b1
El grado es dos, porque es
el valor de la suma de los
exponentes de las letras.
(7) 2a nbn Solución:
2a nbn
El grado es 2n , porque
se deben sumar los
exponentes de las letras y
estos son monomios
semejantes:
n + n = 2n
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5. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(8) x n−2 y n+2 Solución:
x n−2 y n+2
El grado es 2n , porque
se deben sumar los
exponentes de las letras y
esta suma quedaría así:
(n − 2) + (n + 2)
n−2+ n + 2
n + n = 2n
Los números dos se
eliminan por tener
diferente signo e igual
valor.
5. Determinar el grado de cada uno de los polinomios siguientes.
(1) x + x2 Solución:
x1 + x2
El grado es 2 , porque el
monomio con mayor valor en
el exponente es el que indica
el grado del polinomio
(2) 1 + 3x − x 3 + x 2 Solución
1+ 3x1 − x3 + x 2
El grado es 3 , porque el
monomio con mayor valor
en el exponente es el que
indica el grado del
polinomio
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6. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(3) a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 Solución: a3 − 3a 2b1 + 3a1b2 − b3
El grado es 3 , porque el
monomio con mayor valor en el
exponente es el que indica el
grado del polinomio y la mayor
suma da tres.
(4) x− y− z Solución:
x1 − y1 − z1
El grado es 1 , porque todos los
monomios tienen exponente uno,
entonces ninguno es superior a otro
(5) 3abc + 2a + 3ab2 + 4ab Solución: 3a1b1c1 + 2a1 + 3a1b2 + 4a1b1
El grado es 3 , porque el monomio con
mayor valor en el exponente es el que
indica el grado del polinomio y la mayor
suma da tres.
(6) 2 x2 + 3xy + x5 − xy 2 − y3 Solución: 2 x 2 + 3x1 y1 + x5 − x1 y 2 z 3
El grado es 5 , porque el monomio
con mayor valor en el exponente es el
que indica el grado del polinomio y la
mayor suma da tres.
(7) 2 x 4 − 3x 2 + 4 Solución: 2 x 4 − 3x 2 + 4
El grado es 4 , porque el monomio
con mayor valor en el exponente es
el que indica el grado del polinomio
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7. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(8) x3 − x2 y + 3xy 2 − y3 Solución: x3 − x 2 y1 + 3x1 y 2 − y 3
El grado es 3 , porque el monomio
con mayor valor en el exponente es
el que indica el grado del polinomio y
la mayor suma da tres.
(9) 7n5 + n4 − 3n3 − n2 − n + 8 7n5 + n4 − 3n3 − n2 − n + 8
Solución:
El grado es 5 , porque el monomio
con mayor valor en el exponente es
el que indica el grado del polinomio
(10) 6 − 3m + 5m2 + m3 − 4m4 6 − 3m1 + 5m2 + m3 − 4m4
Solución:
El grado es 4 , porque el monomio
con mayor valor en el exponente es
el que indica el grado del polinomio
6. Escribir un polinomio para el perímetro de cada figura. Reducir los términos
semejantes
5x
(1) Recordemos que el Perímetro de
1 una figura geométrica es la suma
3 de todos sus lados
x 2x
x+2
Solución:
3 + 5x + 1 + 2 x + x + x + 2
Agrupamos monomios semejantes
5x + 2 x + x + x + 3 + 1 + 2
Efectuamos las operaciones indicadas
9 x + 6 este es el resultado
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8. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(2) x+3
Recordemos que el Perímetro de
6x 4 una figura geométrica es la suma
x de todos sus lados
4x − 2
Solución:
6x + x + 3 + 4 + x + 4x − 2
igual que la anterior
6x + x + x + 4x + 3 + 4 − 2
12 x + 5 este es el resultado
(3) x x
Sol
x x
Recordemos que el Perímetro de
x una figura geométrica es la suma
x
de todos sus lados
x x
x x
x x
Solución:
x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x
12 x este es el resultado
Nivel de Dificultad 3
7. Determinar cuáles de los siguientes polinomios son polinomios en una variable
(1) x3 − x 2 y + 3xy 2 − y 3 No es polinomio de una variable, tiene dos: x
y y
(2) −z 4 + 3 z 2 − 2 z − 9 Es un polinomio de una variable, z
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9. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(3) 4a + 3b + 2c + d No es un polinomio de una sola variable, estas son: a ,
b, c y d .
(4) m3 − 3m2 + 3m − 1 Es un polinomio de una variable: m
(5) q6 + 3q 4 + 3q2 + 1 Es un polinomio de una variable: q
(6) h3 − 8t 3 No es un polinomio de una sola variable, estas son: hyt
8. Ordenar en forma descendente cada polinomio en un variable.
(1) A( x ) = x 5 + x + 6 x3 + 1 + 2 x 2 quedaría así:
A( x) = x5 + 6 x3 + 2 x 2 + x + 1
(2) B( y) = 3 + 2 y2 − 5 y6 − 2 y3 + 3 y quedaría así:
B ( y ) = −5 y 6 − 2 y 3 + 2 y 2 + 3 y + 3
(3) C (u ) = 5u 3 + 15u 4 + u − u 2 + 7u 6 quedaría así:
C (u ) = 7u 6 + 15u 4 + 5u 3 − u 2 + u
(4) P ( w) = w − 5 + w3 − 5w4 + w2 quedaría así:
P ( w) = −5w4 + w3 + w2 + w − 5
(5) Q( z) = z − 7 z 2 + 9z5 − z 4 − z3 quedaría así:
Q( z) = 9 z5 − z 4 − z3 − 7 z 2 + z
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10. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(6) R ( n) = n 3 − 4 + n + n 2 − 7 n 4 quedaría así:
R ( n ) = −7 n 4 + n 3 + n 2 + n − 4
9. Reducir y ordenar cada polinomio en una variable. Luego determinar su grado.
(1) P (m) = 3m 4 − 5m 6 − 2m 4 + 6m 6 quedaría así:
P (m) = 3m4 − 5m6 − 2m 4 + 6m6
Agrupamos monomios semejantes
P (m) = −5m6 + 6m6 + 3m 4 − 2m 4
P ( m) = m 6 + m 4
El grado que queda es: 6
(2) R ( n ) = − 1 + 5n 3 − 3 − 7 n 3 + n 4 + 5 quedaría así:
R (n) = −1 + 5n3 − 3 − 7n3 + n4 + 5
Agrupamos monomios semejantes
R (n) = n 4 + 5n3 − 7n3 − 1 − 3 + 5
R ( n) = n 4 − 2n 3 + 1
El grado que queda es: 4
(3) Q ( v ) = − 2v + 4v 3 − 7 v + 9v 3 + 8 quedaría así:
Q (v) = −2v + 4v3 − 7v + 9v3 + 8
Agrupamos monomios semejantes
Q (v) = 4v3 + 9v3 − 2v − 7v + 8
Q (v) = 13v3 − 9v + 8
El grado que queda es: 3
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11. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(4) S (u ) = −6u 2 + u − 5u + 7u 2 + 1 quedaría así:
S (u ) = −6u 2 + u − 5u + 7u 2 + 1
Agrupamos monomios semejantes
S (u ) = −6u 2 + 7u 2 + u − 5u + 1
S (u ) = 13u 2 − 4u + 1
El grado que queda es: 2
(5) B ( h ) = −2 h + 2 h 2 − 3 − h 2 + h quedaría así:
B ( h ) = −2 h + 2 h 2 − 3 − h 2 + h
Agrupamos monomios semejantes
B ( h) = 2h 2 − h 2 − 2h + h − 3
B (h) = h 2 − h − 3
El grado que queda es: 2
3 1
(6) P (a) = −a + + 5a 2 − a − a 2 quedaría así:
4 2
3 1
P (a) = −a + + 5a 2 − a − a 2
4 2
Agrupamos monomios semejantes
1 3
P (a) = 5a 2 − a 2 − a − a +
2 4
desarrollamos las operaciones con fracciones
1 1 −2 − 1 −3
− − = = Recordemos las sumas o restas de
1 2 2 2 fracciones. El proceso está
3 3 marcado con flechas
P ( a ) = 4a 2 − a +
2 4
El grado que queda es: 2
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12. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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(7) A(k ) = 3k − k 2 + 3k − 4k 2 + 3k quedaría así:
A(k ) = 3k − k 2 + 3k − 4k 2 + 3k
Agrupamos monomios semejantes
A(k ) = −k 2 − 4k 2 + 3k + 3k + 3k
A(k ) = −5k 2 + 9k
El grado que queda es: 2
5 1
(8) Q( y) = 2 y − + 4 y3 + y + y quedaría así:
6 6 Recordar que cuando
se suman o restan tres
5 1 fracciones o más,
Q( y) = 2 y − + 4 y3 + y + y debemos para mayor
6 6 rapidez obtener el
Agrupamos monomios semejantes Mínimo Común
1 5 Múltiplo (m.c.m.).
Q( y) = 4 y3 + 2 y + y + y − Luego dividimos por el
6 6 denominador (parte de
Sumamos los tres tér min os semejantes debajo de la fracción) y
2 1 1 el resultado lo
+ + multiplicamos por el
1 1 6 numerador (parte de
Obtenemos el m.c.m. arriba de la fracción).
Por último realizamos
12 + 6 + 1 19
= las operaciones de
6 6 sumas o restas y
19 5 obtenemos el
Q ( y) = 4 y3 + y − resultado
6 6
El grado que queda es: 3
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13. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
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Nivel de Dificultad 4
10. Reducir las expresiones algebraicas.
(1)
2a + 4a = 6 a
(2)
y + y2 + 2 y
Agrupamos
y2 + y + 2 y
y2 + 3y
(3)
4ay − ay = 3ay
(4)
bx 2 + 2bx 2 = 3bx 2
(5)
2 y3 + y 2 − y3
Agrupamos
2 y3 − y3 + y 2
(6)
x 3 − 3x + x 2 + 6 + 2 x 2
Agrupamos
x3 + x 2 + 2 x 2 − 3 x + 6
x3 + 3x 2 − 3 x + 6
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14. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
(7)
3ab + 2ab − 2bc + 6ab + 2ab
Agrupamos
3ab + 2ab + 2ab + 6ab − 2bc
13ab − 2bc
(8)
3a 2b − 2ab 2 + 5ab 2 + 6a 2b
Agrupamos
3a 2b + 6a 2b − 2ab2 + 5ab 2
9a 2b + 3ab2
(9)
6abc − 5a 2bc + 3abc
Agrupamos
−5a 2bc + 6abc + 3abc
−5a 2bc + 9abc
(10)
2 x 2 yz + 6 xyz + 2 xyz + 3x 2 yz
Agrupamos
2 x 2 yz + 3x 2 yz + 6 xyz + 2 xyz
5 x 2 yz + 8 xyz
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15. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
(11)
2 1 1 3 Debemos factorizar los valores de
xy − xy + xy − xy los denominadores, sacando
3 6 2 4 primero mitad, luego tercera
Debo desarrollar las fracciones hasta que queden solo unos el
final
obteniendo el m.c.m.
3 6 2 42 2x2x3=12
2 1 1 3
− + − 3 3 1 22
3 6 2 4
8−2+6−9 3 3 1 13
12 1 1 1 1
3 1
=
12 4
1
xy
4
(12)
1 2 3 2
xy − x 2 y − xy 2 + x 2 y
4 2 5
Agrupamos
1 2 3 2 2
xy − xy − x 2 y + x 2 y
4 2 5
Debo desarrollar las fracciones
1 3 2 − 12 −10 −5
− = = =
4 2 8 8 4
1 2 −5 + 2 −3
− + = =
1 5 5 5
5 3
− xy 2 − x 2 y
4 5
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16. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
11. Evaluar cada polinomio.
(1)
P ( x) = x3 − 27 P (2)
Solo se sustituye el valor de la var iable
3
P (2) = (2) − 27
P (2) = 8 − 27
P (2) = −19
(2)
P ( x) = x 4 − 2 x + 3 P (3)
Solo se sustituye el valor de la var iable
4
P (3) = (3) − 2(3) + 3
P (3) = 81 − 6 + 3
P (3) = 78
(3)
P (u ) = 2u 3 − 5u 2 + u P (−2)
Solo se sustituye el valor de la var iable
4
P (−2) = (3) − 2(3) + 3
P (3) = 81 − 6 + 3
P (3) = 78
(4)
P (u ) = 4u 3 + u 2 − 2u − 5 P (−3)
Solo se sustituye el valor de la var iable
3 2
P (−3) = 4(−3) + (−3) − 2(−3) − 5
P (3) = −108 + 9 + 6 − 5
P (3) = −98
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17. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
(5)
P (b) = −4b 4 + 2b3 + b − 2 P (1)
Solo se sustituye el valor de la var iable
4 3
P (1) = −4(1) + 2(1) + 1 − 2
P (3) = −4 + 2 + 1 − 2
P (3) = −3
(6)
P (b) = −4b 4 + 2b3 + b − 2 P (−1)
Solo se sustituye el valor de la var iable
4 3
P (1) = −4(−1) + 2(−1) − 1 − 2
P (3) = −4 − 2 − 1 − 2
P (3) = −9
12. Evaluar el polinomio de accidentes automovilísticos con x = 18 para encontrar el
número de accidentes diarios en los cuales participan conductores de 18 años.
(1)
2 2
A( x ) = x − 40 x + 1039 A(18)
5
Solo se sustituye el valor de la var iable
2 2
P (1) = (18) − 40(18) + 1039
5
P (3) = 129.6 − 720 + 1039
P (3) = 448.6
448,6 o aproximadamente 449 accidentes diarios si los conductores tienen 18 años.
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18. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje
2011
(2) ¿Cuántos conductores de 40 años participan en los accidentes diarios?
2 2
A( x ) = x − 40 x + 1039 A(40)
5
Solo se sustituye el valor de la var iable
2 2
P (1) = (40) − 40(40) + 1039
5
P (3) = 640 − 1600 + 1039
P (3) = 79
79 accidentes diarios si los conductores tienen 40 años.
Fuente: Meneses Rodríguez, Roxana. Matemáticas 8: enseñanza-aprendizaje. Primera edición.
Editores: PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
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