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La investigación de operaciones y el uso de modelos
En congruencia con lo que analizó en las Notas. La investigación de operaciones y el uso de los modelos, el ejercicio tiene como finalidad que identifique problemas de negocios en donde se utilicen modelos matemáticos, así como la investigación de operaciones.
Instrucciones: Tomando como referencia la lectura de las notas, elabore lo que a continuación se solicita.
1. Realice una búsqueda documental y electrónica acerca de los modelos icónicos, análogos y simbólicos.
2. Enliste las características de cada modelo refiriendo las fuentes de información.
3. Describa en detalle tres ejemplos de su utilización en el ámbito de los negocios (cite casos reales), por ejemplo: la fila de espera en un banco, las rutas de distribución de una empresa de refrescos, la manera como se asignan los horarios y los salones en una escuela, etcétera.
4. Con base en la información obtenida:
a. Elija cualquiera de los ejemplos descritos anteriormente.
b. Utilice alguno de los modelos que investigó, para representar dicho ejemplo.
c. Realice lo siguiente:
– Justifique la elección del modelo utilizado. ¿Por qué ése y no otro?
– Indique si se puede utilizar los tres tipos de modelos para plantear la situación o sólo uno. Justifique su respuesta.
– Indique si se pueden combinar dos o más tipos de modelos para el planteamiento de la situación. Justifique su respuesta.
Planteamiento de modelos
Individual
Introducción

Después de haber realizado las lecturas de las notas y del libro de texto y tras haber resuelto algunos ejercicios, cerramos esta unidad con la resolución de esta tarea que permitirá consolidar las habilidades adquiridas y evaluar lo aprendido.
Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes planteamientos y realice lo que se solicita en cada uno.
Construcción de modelos matemáticos
1. Del modelo que se describe a continuación, identifique: la función objetivo, las variables de decisión, los parámetros, las restricciones de no negatividad y determine a qué clase de modelos pertenece.
Minimizar Z = x1 - 2 x2 + 2 x3
Sujeto a: -2 x1 + x2 + x3  20
x1 + x2 + 2 x3  30
- x1 + 2 x2 + x3  24
x10; x20; x30
2. La empresa MADERAS DEL VALLE S.A., fabrica portarretratos, toalleros y muñecas de madera. Para la fabricación de un portarretratos necesita dos piezas de madera, un bote de laca y tres botellas de pintura. Para la elaboración de un toallero se requiere tres piezas de madera, dos metros de estambre, una botella de pintura y un bote de laca.
En la fabricación de cada muñeca un bote de laca, dos piezas de madera, cuatro metros de estambre y dos bote de pintura.
Mensualmente esta empresa cuenta con 8,000 botes de laca, 12,500 piezas de madera, 14,000 metros de estambre y 21,000 botellas de pintura. Obtiene $130.00 de utilidad por cada portarretrato, $140.00 por cada toallero y $150.00 por cada muñeca.
Con base en lo anterior plantee el modelo matemático de producción que permita a esta empresa maximizar utilidades.
Planteamiento de modelos de optimización de recursos

3. El periódico Finamex es una publicación especializada en negocios y finanzas. Por especificaciones técnicas de sus rotativas, sólo puede imprimir 150,000, 175,000 o 200,000 ejemplares. Por su parte, las ventas dependen del día. Los lunes y viernes se venden alrededor de 200,000 ejemplares. Los martes y jueves, 175,000 unidades, y los miércoles, 150,000. Cada periódico tiene un precio de $6.00 y su costo total de producción es de $3.50. Los ejemplares que no se venden el mismo día, regresan a Finamex, ya que la fábrica de papel los compra a $0.30 cada uno. De esta manera se reprocesan los ejemplares no utilizados.
Con base en la información anterior:
a. Construya un modelo matemático (en forma de tabla) en donde se muestre la situación problemática descrita.
b. Si usted se viera obligado a producir el mismo número de ejemplares todos los días (150,000; 175,000 o 200,000), por cuál alternativa se inclinaría si lo que busca es que sus utilidades sean las máximas. (Evite resolver el modelo matemáticamente, sólo guíese por su intuición).
4. Elabore una breve reflexión sobre la importancia de los temas revisados en esta unidad para su desarrollo profesional y la forma en que los podrá aplicar.
Aplicaciones del criterio de utilidad esperada
Individual
Introducción
En esta unidad hemos analizado los elementos que intervienen en el proceso de toma de decisiones. A continuación se presentan una serie de ejercicios relacionados directamente con esos conceptos.
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas considerando los datos que se proporcionan.
1. Diseños innovadores es una empresa que se dedica a la producción de vestidos y adquiere para la venta en sus sucursales ropa de exportación. Se cuenta con la siguiente información: precio de venta = $680.00 y precio de

adquisición = $598.00. La siguiente tabla muestra el número de vestidos vendidos por un número determinado de días:
NÚMERO DE DÍAS VESTIDOS VENDIDOS 15 58 25 65 40 96
Por políticas de calidad, la empresa dona los vestidos que no se venden en determinado tiempo a una institución de asistencia social.
a. Determine la cantidad de vestidos que la empresa debe poner a la venta a fin de lograr las máximas utilidades.
2. Arturo es un estudiante del turno vespertino. Entra a clase a las 17:30 y son las 16:30, está indeciso sobre el tipo de transporte a usar para llegar a tiempo. Le gustaría hacerlo lo antes posible para tomar un café. La siguiente tabla muestra las opciones, así como su costo y duración promedios.
OPCIÓN DURACIÓN COSTO GRADO DE COMODIDAD UTILIDAD Microbús 40 $ 4.00 50% Metro 30 $ 2.50 30% Taxi 25 $ 25.00 80% Automóvil particular 30 $ 12.00 90%
Con base en la información anterior determine:
a. Qué decisión debe tomar según el criterio de tiempo de duración.
b. Cuál es la mejor opción según el costo.
c. Qué decisión tomaría si prioriza la comodidad del viaje.
d. Complete la última columna de la tabla definiendo como “utilidad” el tiempo que le quedaría libre a Arturo para disfrutar el café.
e. Con base en esta columna indique cuál es ahora la mejor decisión.

3. Usted es un hombre de negocios y necesita elegir entre dos contratos para realizar un proyecto de expansión de su empresa. La utilidad resultante, P(x), en cada contrato es incierta. Los contratos se describen a continuación.
El primer contrato le ofrece las siguientes opciones con sus probabilidades de ocurrencia de cada evento:
EVENTO X P(X) Ganancia 0.30 $ 9’000,000.00 Ganancia 0.45 $ 6’000,000.00 Pérdida 0.25 $8’500,000.00
El segundo contrato le ofrece las siguientes opciones con sus probabilidades de ocurrencia de cada evento:
EVENTO X P(X) Ganancia 0.25 $ 7’500,000.00 Ganancia 0.60 $ 3’000,000.00 Pérdida 0.15 $ 5’000,000.00
a. Realice los cálculos necesarios a fin de que determine el contrato que le pueda reportar un mayor beneficio esperado.
4. La compañía ABC está realizando los planes de inversión para el siguiente año fiscal. Las decisiones de inversión de la compañía dependerán de la predicción acerca de las condiciones económicas del país. El mercado de valores puede encontrarse con una economía inestable, estable y mala. Las ganancias de acuerdo a cada condición se muestran en la siguiente matriz de decisión:
ESTADO DE LA NATURALEZA TASA PREFERENTE TASA NORMAL TASA CASTIGADA

Inestable $ 1,500.00 $ 1,200.00 $ 1,000.00 Estable 1,100.00 900.00 800.00 Mala 500.00 600.00 700.00
Si las probabilidades de las condiciones económicas, según el Banco de México, son .50, .10 y .40, respectivamente, determine:
a. El beneficio esperado por la compañía.
b. Cuál de los dos proyectos reporta la mejor combinación de riesgo y rendimiento.
Aplicación de Excel
Individual
Introducción
En esta tarea se pretende que el estudiante integre todas las etapas de la solución de problemas de asignación de programación lineal a través del uso del Excel. Para esto se plantea un caso en el que tendrá que utilizar todos los elementos constitutivos de la unidad.
Instrucciones: Resuelva el siguiente caso tomando como referencia los datos que se proporcionan.
Caso
Una empresa de cosmetología ha lanzado al mercado dos paquetes de cosméticos: el básico y el de lujo. El paquete básico contiene: un lápiz labial, dos sombras, dos maquillajes y un delineador; el paquete de lujo incluye tres piezas de lápiz labial, una sombra, dos maquillajes y un delineador.

Los costos de los cosméticos que conforman los paquetes son:
COSMÉTICO COSTO POR PIEZA Lápiz labial $100.00 Sombras $150.00 Maquillaje $200.00 Delineador $120.00
Para la elaboración de estos paquetes de cosméticos esta empresa dispone semanalmente de seis cajas de lápiz labial con 100 piezas cada una, 400 sombras, 800 estuches de maquillaje y 500 delineadores.
Estudios de mercado realizados indican que pueden venderse semanalmente hasta 100 paquetes básicos y por lo menos 100 paquetes de lujo. Los precios de venta recomendados son $1,400.00 para el paquete básico y $1,500.00 para el de lujo.
Con base a la información anterior, el dueño de la empresa solicita su ayuda para determinar cuál seria la mezcla que maximiza la utilidad, para ello es necesario que realice lo siguiente:
– Elabore el planteamiento del problema a través de un modelo de programación lineal.
– Solucione el modelo en Excel, interpretando los resultados obtenidos.
– Encuentre los precios de sombra (o precios duales). Utilice el método gráfico. Nota: Esto lo ayudará a comprender mejor la situación al modificar los lados derechos de las restricciones y así encontrar la sensibilidad de estos cambios en la función objetivo.
– Tome en cuenta el análisis de sensibilidad obtenido en Excel y vuelva a correr el modelo matemático (en Excel) para indagar cómo cambia la solución si se sobrepasan los límites hacia arriba y hacia debajo de los lados derechos de las restricciones y de los coeficientes de la función objetivo. Ya que son cuatro recursos los que se usan en este problema y dos paquetes de cosméticos, usted deberá hacer 12 corridas del modelo matemático, ya que modificará cada

parámetro dos veces, uno hacia arriba y el otro hacia abajo. Haga una tabla resumen señalando los cambios hechos y el cambio observado en la solución. Además de esta tabla entregue una copia en papel o archivo digital, según indicaciones de su docente/asesor, de las corridas obtenidas con Excel. No es necesario solicitar el análisis de sensibilidad a los programas de cómputo para estas 12 corridas. Sólo interesa ver cómo queda la solución.
– Elabore un breve informe dirigido al dueño de la empresa en el que le indique la mezcla que maximiza la utilidad. (Es necesario entregar junto con el informe, el archivo de Excel en donde se visualice el procedimiento utilizado para resolver el caso).
Estados estables
Por M.A. Fís. Jorge Rivera Hernández
Introducción
En los ejercicios anteriores se ha observado que cuando se calculan varios pasos de una cadena de Markov, los resultados parecen converger en un valor. Asegurar que esta convergencia es real y tener un método para calcularla, es de gran relevancia en cualquier situación.
Pensemos, por ejemplo, en el caso de dos o más empresas que compiten con un producto similar para dominar cierto mercado. La transferencia de consumidores de una marca a otra se da de una manera continua, aun cuando haya consumidores fieles a la marca. Sin embargo, a la larga, es posible llegar a una situación estable en la que la pérdida de clientes es compensada por la llegada de otros provenientes de las otras marcas. Cuando se alcanza esta estabilidad, se llega a la penetración del mercado de cada marca, que no es más que el porcentaje del mercado dominado por cada una de éstas.
Calcular la solución de estabilidad de una cadena de Markov es relativamente simple. Ya se ha visto que las soluciones sucesivas de una cadena se obtienen multiplicando la matriz de transición por la matriz solución actual, esto es:
nnn-0X=PXX=PX=PXX=PX=PXX=PX=PX10221033201

A partir de que se obtenga la solución estable debe ser cierto que:
X = PX
Es decir, la solución ya no cambiará en los periodos siguientes. Dado que P y X son matrices, despejando la matriz X se obtiene:
X (I – P) = 0
Esta ecuación matricial da lugar a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, siendo n el número de estados de la cadena de Markov. Este conjunto de ecuaciones no es linealmente independiente, sino que una de ellas es combinación lineal de las otras, por lo cual debe sustituirse por otra ecuación que permita resolver el problema.
Esta ecuación es la siguiente:
Si las variables Xi son probabilidades, la suma anterior debe ser 1, pero si Xi se refiere al número de elementos de la población en estudio, entonces la suma debe ser igual al tamaño de la población, N.
Los ejercicios tienen como finalidad que ejercite el método para hallar la solución estable de una cadena de Markov e identificar algunas posibles aplicaciones de este tema.
Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes ejercicios y resuelva con claridad lo que se solicita. Puede apoyarse en la hoja de cálculo Excel para realizar las multiplicaciones matriciales y la resolución de los sistemas de ecuaciones que resulten, usando para este efecto el método de la matriz inversa o el de determinantes.
1. En una población existen tres marcas de jabón en polvo para ropa que pelean el dominio del mercado. Para simplificar llamaremos a dichas marcas A, B y C. Un estudio de mercado realizado por la marca A permitió conocer las características de consumo de esta población. Se descubrió que el 85% de los consumidores de A estarían dispuestos a volverla a comprar, el 10% compraría la B y el 5% restante la C.
 nii= X=o=N11

Respecto a la marca B, el 90% la volvería a comprar, el 8% cambiaría a la A y el 2% restante compraría la C. Por último, de los consumidores de la marca C, el 80% la volvería a comprar, el 11% compraría la A y 9% la B.
Se estima que actualmente la marca A tiene 10,000 consumidores, la B 8,000 y la C 12,000. Con base en esta información, determine:
a. La matriz de transición correspondiente.
b. La configuración de consumidores durante los próximos ocho periodos de compra.
c. La configuración final estable de consumidores. ¿Con qué porcentaje del mercado se ha quedado cada marca al final? Es decir, ¿cuál es su penetración del mercado?
2. Otra forma de abordar los problemas de evolución de una marca en su penetración de mercado, es analizando la probabilidad de que un consumidor se mantenga fiel a la marca o cambie a otras. En estos casos, en lugar de iniciar con un conjunto de consumidores, se inicia con uno solo y se analiza la evolución interpretando las fracciones obtenidas como la probabilidad de que el consumidor esté en esas marcas. Con base a los datos del problema anterior, determine:
a. La probabilidad de que un consumidor de la marca A la siga consumiendo después de cinco periodos. En este caso la matriz inicial de consumidores es: (1, 0, 0).
b. La probabilidad de que un consumidor de la marca B le siga siendo fiel a ésta después de cinco periodos. El vector o matriz inicial de consumidores es (0. 1. 0).
c. ¿Cuál será la probabilidad de fidelidad para la marca C? La matriz de consumidores iniciales sería: (0, 0, 1)
d. Aplique estos porcentajes al número de consumidores iniciales que tenía cada marca del ejemplo anterior. ¿Por qué no coinciden los resultados del quinto periodo?
3. Dos marcas dominan el mercado de refrescos de toronja. Los mercadólogos han logrado establecer la matriz de transición entre estas marcas:
   P0.900.10= 0.120.88

Con base en la información anterior, determine:
a. ¿Cuál es la penetración de mercado de estas marcas? Es decir, ¿cuál es el porcentaje del mercado que tiene cada marca en la situación final de equilibrio?
b. Si el mercado consistía de 40,000 consumidores, ¿cuántos posee cada marca al final?
c. Supóngase que aparece una tercera marca. La siguiente tabla muestra el porcentaje de transferencias de consumidores de una marca a las otras. ¿Cuál será ahora la penetración del mercado?
A:
A B C
A
85%
8 %
7 % De: B
10%
83%
7 %
C
12%
13%
75%
4. El mercado de sopas instantáneas está dominado por tres marcas: A, B, y C. La siguiente tabla muestra los porcentajes de consumidores que se transfieren de marcas en cada periodo. La marca A tiene 50,000 consumidores, la marca B 30,000 y la marca C 20,000.
A:
A B C
A
92%
5 %
3 % De: B
10%
80%
10%
C
6%
8 %
86%
Con base en la información anterior, determine:
a. ¿Cuál es la penetración del mercado para cada marca?

b. ¿Con cuántos consumidores terminan en la condición de equilibrio?
c. ¿Cuál será el número de consumidores finales si la marca A inicia con los 100,000 consumidores y las demás en cero?
d. ¿Cómo será la distribución de consumidores si la marca A inicia en cero y las demás con 50,000 consumidores cada una?
e. Elabore en Excel la distribución de consumidores para los primeros 10 periodos en las condiciones de los incisos c y d anteriores y compare el comportamiento de ambas series o cadenas de Markov. ¿Parecen tender hacia el mismo límite? ¿Depende el estado final estable de la situación inicial?
Procesos Markovianos finitos
Por M.A., Fís. Jorge Rivera Hernández
Introducción
Aunque hemos visto la forma de obtener la solución del estado estable de una cadena de Markov, eso no significa que se llegue a dicha solución en unos cuantos pasos de la cadena. De hecho, como se revisó en los ejercicios anteriores, incluso ni después de 10 o más pasos del proceso se veía una tendencia clara de la solución estable del proceso markoviano. De hecho, dado que siempre queda una cantidad de probabilidad por transferir entre los diferentes estados del proceso, el número de etapas para llegar al resultado final estable se torna infinito.
El concepto de finitud de una cadena no tiene que ver con el número de transiciones para llegar al estado estable, sino con el número de estados posibles en que puede estar el sistema. Si los estados en que puede estar un sistema son: S1, S2, S3,…, Sn donde n es un número finito, entonces la cadena es finita.
De los diferentes procesos que puede tener una cadena markoviana, sobresalen dos como casos especiales. Se trata del proceso que posee un estado absorbente, lo que significa que tarde o temprano dicho estado terminará por “comerse” toda la probabilidad y el estado final estable será cuando el estado absorbente tenga el 100% de probabilidad de que el sistema se encuentre en él. La probabilidad de estar en cualquiera de los otros estados es naturalmente cero. Si el proceso se refiere a la transferencia de clientes de una marca a otra, el estado absorbente se “come” a todos los consumidores y la marca correspondiente se queda con el 100% del

mercado. Este proceso de absorción puede darse por concluido cuando el número de consumidores de las otras marcas sea menor de uno, ya que deben tener un número entero de consumidores.
El otro proceso es el que se conoce como cíclico, porque en el estado final de equilibrio, el sistema termina con una secuencia predecible de transferencia entre estados.
Otro tipo de proceso que reviste cierto interés es cuando existen dos o más estados absorbentes. Cualquiera de ellos puede constituirse en el estado final de equilibrio, y la probabilidad de llegar a serlo depende del estado inicial del proceso markoviano.
Supongamos que el estado k es absorbente, entonces, si el proceso inicia en el estado k, jamás saldrá de él. Para analizar la probabilidad de que el estado k se constituya en el estado final de equilibrio, debe suponerse que no se inicia en él ni en ningún otro estado absorbente. Para que tenga sentido el problema, debe iniciarse en un estado no absorbente.
Es posible demostrar que la probabilidad que tiene una cadena de Markov de terminar en el estado absorbente k, partiendo del estado no absorbente i, (Pi k), satisface la siguiente ecuación:
Ecuación 1
Donde Pj k = 0 si j es un estado absorbente P
Armando todas las ecuaciones correspondientes a todos los estados no absorbentes i, se llega a un sistema de ecuaciones que permite calcular la probabilidad de terminar en el estado absorbente k si se inició en el estado no absorbente i.
Tiempo de primera pasada
Este es un concepto útil en el estudio de la duración de un proceso. Se define como el número de transiciones para que el proceso vaya por primera vez del estado i al estado j. En el caso especial en que i = j, estaríamos calculando el tiempo de recurrencia del estado i, es decir, el tiempo que necesita para regresar a sí mismo. Conocer este tiempo de recurrencia, medido como número de transiciones, es de interés cuando el estado es absorbente o parte de una secuencia cíclica.
  i ii ki ki jj kji1-pP=p+pP

Para calcular los tiempos esperados de primera pasada de todos los estados de
una cadena markoviana, tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones
simultáneas:
Ecuación 2
Donde  i j son los tiempos esperados de primera pasada, desde el estado i hasta el
estado j, y los p i j son los elementos de la matriz de transición, es decir, la
probabilidad de que el sistema vaya del estado i al estado j.
En la literatura se demuestra que si  j es la probabilidad que tiene el estado j en la
situación estable, entonces esta probabilidad es igual al inverso del tiempo de
recurrencia, esto es:
Fórmulas
Siendo n el número de estados posibles de un sistema.
Estos ejercicios tienen como finalidad que practique los conceptos anteriores,
relacionados con la duración de un proceso markoviano antes de llegar al estado
de equilibrio. Si bien es cierto que el número de transiciones es infinito, en el caso
de las cadenas de Markov irreducibles y ergódicas, es decir, con estados
recurrentes y no periódicos, si los estados de la cadena de Markov presentan
estados cíclicos o absorbentes, se puede pronosticar cierto comportamiento en un
número finito de transiciones.
Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes ejercicios y resuelva con claridad lo
que se solicita. Puede apoyarse en la hoja de cálculo Excel. Recuerde que con esta
hoja de cálculo pueden realizarse multiplicaciones matriciales y programarse la
solución de sistemas de ecuaciones.
1. Consideremos el caso de tres compañías telefónicas que operan en un estado
benevolente con las grandes compañías, permitiéndoles monopolizar los servicios.
Llamaremos a estas telefónicas T, U y V. La siguiente tabla muestra el número de
 

 i j i k k j
k j
= 1+ p

 j
j j
1
= j = 1, 2,…n

consumidores que actualmente posee cada compañía y los porcentajes de sus clientes que se quedan o cambian a las otras. La compañía T acapara prácticamente toda la infraestructura del estado en materia de comunicación, lo que le permite disminuir notablemente sus gastos operativos y por lo tanto ofrecer tarifas de telefonía extremadamente bajas, lo cual hace prácticamente inexistente cualquier competencia de las compañías U y V, que están viendo notablemente disminuida su clientela en cada estado de resultados.
A:
T U V
T
1
0
0 De: U
0.3
0.6
0.1
V
0.4
0.1
0.5
Con base en esta información:
a. Construya la matriz de transición, ¿detecta algún estado absorbente?
b. Estudie la cadena de Markov correspondiente hasta 15 pasos adelante. Observe que el pez grande se come al chico. De las 15 transiciones, ¿habrá alguna en la que ya se dé por concluido el proceso? Es decir, ¿en alguno de los pasos las compañías U y V se han quedado con menos de un cliente? Suponga que la compañía T tiene 20 millones de clientes, la compañía U 6 millones y la V 2 millones.
c. Calcule mediante el método matricial la situación final de equilibrio y verifique que en verdad el estado absorbente termina por quedarse con el 100% del mercado.
2. La burocracia puede generar malas experiencias. La siguiente tabla muestra la matriz de transición entre cuatro departamentos de una oficina de gobierno que se encarga de autorizar la apertura de pymes.
ASESORÍA REVISIÓN DOCUMENTACIÓN AUTORIZACIÓN Asesoría
0.1
0.2
0.2
0.5 Revisión
0
1
0
0 Documentación
0.3
0.4
0.1
0.2 Autorización
0
0
0
1
Observamos que existen dos estados absorbentes, revisión y autorización. Este último implica los permisos para iniciar el negocio, pero si tenemos la mala suerte de caer en el departamento de revisión, los trámites quedarán estancados, a menos que hagamos algo por cambiar las probabilidades de

transición, pero en este caso estaremos en otra cadena de Markov. Los estados de asesoría y documentación no son absorbentes.
Llamaremos a estos estados 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Utilice la ecuación 1 presentada al principio de esta parte del cuaderno para determinar:
a. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 1, termine estancado en el estado 2.
b. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 1, termine en el estado 4.
c. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 3, termine estancado en el estado 2.
d. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 3, termine en el estado 4.
3. Consideremos la siguiente tabla de transferencia porcentual entre 3 estados.
A:
A: B C
A
0.5
0.3
0.2 De: B
0.2
0.7
0.1
C
0.2
0.2
0.6
Con base en estos datos:
a. Determine la probabilidad de estar en estos estados en la solución estable.
b. Utilice las 2 ecuaciones presentadas al inicio de esta parte del cuaderno, para determinar los tiempos esperados de primera pasada para cada uno de estos estados.
c. Usando los cálculos de los dos incisos anteriores, compruebe la veracidad de las fórmulas presentadas al principio de esta parte del cuaderno.

4. Una brigada de reparación de asfalto utiliza taladros para levantar el piso. Al terminar la jornada, envía los taladros dañados al taller para su reparación o mantenimiento. El resto de los taladros los manda al almacén. En la creencia de que todos los empleados se conocían, se eliminaron las órdenes de trabajo que se intercambiaban el taller y el almacén. Actualmente, el almacenista cree que todos los taladros que le llegan son para enviarlos al taller para su mantenimiento, y al revés, cuando el taller termina el mantenimiento, envía los taladros al almacén bajo el supuesto de que ellos se encargarán de distribuirlos. La siguiente tabla muestra los porcentajes de taladros que se envían de un lado a otro:
A:
BRIGADA TALLER ALMACÉN
Brigada
0
0.3
0.7 De: Taller
0
0
1
Almacén
0
1
0
a. Elabore la matriz de transición.
b. Si la brigada inicia el primer estado con 100 taladros, construya los siguientes 10 estados para ver la historia de éstos.
c. Inicie ahora con los 100 taladros pero en el almacén, ¿qué le está ocurriendo a los taladros?

Respuestas
Ejercicio 1
a. La matriz de transición es la siguiente:
T U V T
1
0
0 U
0.3
0.6
0.1 V
0.4
0.1
0.5
Observamos que el estado T es absorbente.
b. La historia de la transferencia de clientes entre las telefónicas, durante los primeros 15 pasos, es la siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
20000000
22600000
24380000
25584000
26392200
26932060
27291528
27530383.4
27688878.62
U
6000000
3800000
2440000
1582000
1032600
677080
445334
293514.2
193718.76
V
2000000
1600000
1180000
834000
575200
390860
263138
176102.4
117402.62
10 11 12 13 14 15
T
27793955.3
27863576.03
27909686.59
27940218.2
27960430.91
27973811
U
127971.518
84590.2294
55937.51212
37000.09681
24478.22797
16196
V
78073.186
51833.7448
34375.89534
22781.69888
15090.85912
9993
Vemos que en el paso 15 la compañía V ha perdido clientes de manera dramática ya que de los 2 millones de abonados sólo le quedan 9,993. Si llegáramos hasta el paso 37 a 41, la historia seguiría como se muestra a continuación:
37 38 39 40 41
T
27999997
27999998
27999998.7
27999999.1
27999999.4
U
1.84182794
1.21892797
0.80669066
0.53387062
0.35331739
V
1.13831205
0.75333882
0.49856221
0.32995017
0.21836215

Aun cuando pudiéramos redondear, la compañía V se ha quedado sin clientes en el periodo 37 y la compañía U lo hará en el periodo 39.
c. Usando el método matricial para representar y hallar la solución final estable, se obtiene que, en efecto, la compañía T se queda con el 100% del mercado.
T
28000000 U
0 V
0
Ejercicio 2
La fórmula a utilizar es la siguiente:
Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad de terminar en el estado absorbente k partiendo del estado no absorbente i. Además Pjk = 0 si j es un estado absorbente.
En el problema tenemos los estados absorbentes revisión y autorización y dos estados no absorbentes. Tenemos que calcular la probabilidad de ir de los estados no absorbentes a los absorbentes. Para mayor facilidad, nos referiremos a estos estados con un número, como se muestra a continuación:
Asesoría
1
Revisión
2
Absorbente Documentación
3
Autorización
4
Absorbente
También necesitamos conocer la probabilidad de ir de un estado al otro, lo cual está en la matriz de transición:
  i ii ki ki jj kj i-pP=p+pP1

p11 p12 p13 p14
0.1 0.2 0.2 0.5 p21 p22 p23 p24
= 0 1 0 0 p31 p32 p33 p34
0.3 0.4 0.1 0.2 p41 p42 p43 p44
0 0 0 1
Calculemos la probabilidad de terminar en el estado 2 (puede ser desde el estado 1 o desde el estado 3):
Partiendo del estado 1: i = 1 k = 2 j diferente de i = 1
(1 - p11) P12 = p12 + Suma (p1j Pj2) donde j diferente de 1
(1 - p11) P12 = p12 + p12 P22 + p13 P32 + p14P42
(1-0.1) P12 = 0.2 + 0.2(0) + 0.2 P32 + 0.5 (0) P22 y P42 son 0 porque 2 y 4 son estados absorbentes.
0.9 P12 = 0.2 + 0.2 P32
(1 - p33) P32 = p32 + suma (p3j Pj2) donde j diferente de 3
(1 - p33) P32 = p32 + p31 P12 + p32 P22 + p34P42
(1-0.1) P32 = 0.4 + 0.3P12 + 0.4 (0) + 0.2 (0)
0.9 P32 = 0.4 + 0.3 P12
Combinemos ahora las ecuaciones:
0.9 P12 - 0.2 P32 = 0.2
- 0.3 P12 + 0.9 P32 = 0.4
La solución de este sistema es:
P12 = 0.34667 P32 = 0.56

Calculemos ahora la probabilidad de terminar en el estado 4 (puede ser desde el estado 1 o desde el estado 3):
(1 - p11) P14 = p14 + p12 P24 + p13 P34 + p14P44
(1-0.1) P14 = 0.5 + 0.2(0) + 0.2 P34 + 0.5 (0)
0.9 P14 = 0.5 + 0.2 P34
(1 - p33) P34 = p34 + p31 P14 + p32 P24 + p34P44
(1-0.1) P34 = 0.2 + 0.3P14 + 0.4 (0) + 0.2 (0)
0.9 P34 = 0.2 + 0.3 P14
Combinemos ahora las ecuaciones.
0.9 P14 - 0.2 P34= 0.5
- 0.3 P14 + 0.9 P34 = 0.2
La solución de este sistema es:
P14 = 0.65333 P34 = 0.44
En conclusión, la probabilidad de terminar en el estado 2 (revisión) es de:
– 34.67% si se parte del estado 1
– 56% si se parte del estado 3
La probabilidad de terminar en el estado 4 (autorización) es de:

– 65.33% si se parte del estado 1
– 44% si se parte del estado 3
Obsérvese que si partimos del estado 1, sólo habrá dos opciones: terminar en el estado 2 o en el 4, ya que ambos son absorbentes. Nunca se terminará en el estado 3. La probabilidad de lo anterior es de 34.67% y de 65.33%, que suman 100%, como debe ser análogamente. Si partimos del estado 3, sólo podemos terminar en los estados absorbentes 2 o 4. Las probabilidades respectivas son 56% y 44%, que también suman 100%. Esto da la confianza de que los resultados obtenidos son correctos.
Por último, con relación a este caso, podemos aconsejar que para tener más probabilidades de que se autorice nuestro trámite, es mejor partir del estado 1 que del 3. Es decir, es mejor pedir asesoría (estado 1), que intentar entregar directamente la papelería al departamento de documentación.
Ejercicio 3
a. La solución final estable indica las siguientes probabilidades:
ESTADO PROBABILIDAD A
28.57% B
45.71% C
25.71%
b. Las ecuaciones a usar son las siguientes:
El número de transiciones que se necesitan para ir del estado 1 al 1 (a sí mismo), se obtendría desarrollando la fórmula anterior con i = 1 y j = 1: usaremos la letra m en lugar de la griega "mu".
  i ji kk jk j=+ p1

m11 = 1 + suma(p1k)(mk1) con k diferente de j = 1
m11 = 1 + p12 m21 + p13 m31
m11 = 1 + 0.2 m21 + 0.2 m31
Procediendo de manera similar, se llega a las siguientes ecuaciones:
m11 = 1 + p12 m21 + p13 m31
m11 = 1 + 0.3 m21 + 0.2 m31
m11 - 0.3 m21 - 0.2 m31 = 1
m12 = 1 + p11 m12 + p13 m32
m12 = 1 + 0.5 m12 + 0.2 m32
0.5 m12 - 0.2 m32 = 1
m13 = 1 + p11 m13 + p12 m23
m13 = 1 + 0.5 m13 + 0.3 m23
0.5 m13 - 0.3 m23 = 1
m21 = 1 + p22 m21 + p23 m31
es decir:
m21 = 1 + 0.7 m21 + 0.1 m31
0.3 m21 - 0.1 m31 = 1
m22 = 1 + p21 m12 + p23 m32
m22 = 1 + 0.2 m12 + 0.1 m32
simplificando
m22 - 0.2 m12 - 0.1 m32= 1
m23 = 1 + p21 m13 + p22 m23
m23 = 1 + 0.2 m13 + 0.7 m23
0.3 m23 - 0.2 m13= 1
m31 = 1 + p32 m21 + p33 m31
m31 = 1 + 0.2 m21 + 0.6 m31
0.4 m31 - 0.2 m21 = 1
m32 = 1 + p31 m12 + p33 m32
m32 = 1 + 0.2 m12 + 0.6 m32
0.4 m32 - 0.2 m12 = 1
m33 = 1 + p31 m13 + p32 m23
m33 = 1 + 0.2 m13 + 0.2 m23
- 0.2 m13 - 0.2 m23 + m33 = 1
Tenemos un sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas:
m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 = b
1
0
0
-0.3
0
0
-0.2
0
0
=
1
0
0.5
0
0
0
0
0
-0.2
0
=
1
0
0
0.5
0
0
-0.3
0
0
0
=
1
0
0
0
0.3
0
0
-0.1
0
0
=
1
0
-0.2
0
0
1
0
0
-0.1
0
=
1
0
0
-0.2
0
0
0.3
0
0
0
=
1
0
0
0
-0.2
0
0
0.4
0
0
=
1
0
-0.2
0
0
0
0
0
0.4
0
=
1

0
0
-0.2
0
0
-0.2
0
0
1
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
1
Resolviendo el sistema con el método matricial de la matriz inversa, obtenemos finalmente los tiempos de primera vez siguientes:
m11 =
3.50 m12 =
3.75 m13 =
6.67 m21 =
5.00 m22 =
2.19 m23 =
7.78 m31 =
5.00 m32 =
4.38 m33 =
3.89
c. Se pide verificar las fórmulas:
Es decir, las probabilidades de los estados m1 m2 m3.
ESTADO TIEMPO DE PRIMERA VEZ PROBABILIDAD DEL ESTADO A
3.50
28.57% B
2.19
45.71% C
3.89
25.71%
Comparando con las probabilidades del inciso (a), vemos que son iguales.
Ejercicio 4
a. La matriz de transición es:
  =j=…njjj11,2,

0 0.3 0.7 0 0 1 0 1 0
b. Los primeros 10 pasos de la cadena muestran las siguientes transacciones, empezando con 100 taladros:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
30
70
30
70
30
70
30
70
30
0
70
30
70
30
70
30
70
30
70
Vemos que sólo en el primer periodo los taladros están en uso, el resto del tiempo se la pasan alternándose entre el almacén y reparaciones. El 70% sale alternadamente para ir de un conjunto a otro y se ha formado un proceso cíclico.
c. Si iniciamos los 100 taladros en el almacén, su historia sería:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100
0
100
0
100
0
100
0
100
100
0
100
0
100
0
100
0
100
0
Vemos que el total de taladros se alterna entre el almacén y el taller. El estado "brigada", que implicaría que están en uso, es inaccesible desde los estados cíclicos.
Aplicación de las cadenas de Markov
Individual
Fís. Jorge Rivera Hernández

En esta tarea aplicará la elaboración de una matriz de transición a partir de datos reales y su análisis con la técnica de las cadenas de Markov.
Instrucciones:
1. Aplique la siguiente encuesta a una muestra de 30 personas consumidoras de refrescos de cola. Si no son consumidoras de este tipo de refresco, no deberán ser consideradas. Sólo interesa tener una muestra de 30 personas que consuman refresco de cola.
Es importante aclarar que esta encuesta sólo intenta detectar la intención del consumidor ante los refrescos de cola, pero no determina la fidelidad a la marca ni su posible cambio de producto, ya que sólo mide intenciones, no hechos consumados.
Para que la matriz de transición sea más acorde a la realidad, se necesitan estudios realizados sobre el cambio de marca que realizan realmente los consumidores de refrescos de cola. Si encuentra una dirección web o un estudio al respecto, úselo en lugar de hacer la encuesta.
Encuesta
a. ¿Cuál es su refresco de preferencia? Elija sólo uno; si le gusta más de uno, elija el que preferiría como primera opción.
REFRESCO MI PREFERENCIA Big Cola
Coca Cola
Pepsi Cola
b. Si el refresco de su preferencia no estuviera disponible, ¿cuál elegiría? (no haga caso al renglón de su refresco preferido).
REFRESCO MI PREFERENCIA Pediría Big Cola
Pediría Coca Cola
Pediría Pepsi Cola

Pediría otra cosa
2. Con la información obtenida en la encuesta, elabore la matriz de transición.
3. Determine la probabilidad de que un consumidor de:
a. Big Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
b. Coca Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
c. Pepsi Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
4. Determine la distribución de probabilidades para el estado final estable.
5. Elabore un informe que contenga lo siguiente:
a. Introducción
b. Resultados de la encuesta
c. Evidencia y explicación de cómo se obtuvo la matriz de transición y los demás resultados solicitados
d. Interpretación de los resultados y conclusiones
Elaboración de red media de actividades, red a tiempo estándar y red a costo óptimo
Recomendaciones generales
1. Antes de responder a cada planteamiento o ejercicio, lea con atención las instrucciones e información proporcionada.
2. Responda con claridad lo que se solicita.

3. Desarrolle el procedimiento que le permita resolver los ejercicios y/o problemas planteados.
4. Coteje sus resultados en la sección de respuestas con la finalidad de autoevaluar su aprendizaje y verificar la compresión de los procedimientos estudiados.
5. Externe al docente/asesor sus dudas sobre los temas tratados en el ejercicio.

Ejercicio 5. Elaboración de red media de actividades, red a tiempo estándar y red a costo óptimo
En esta unidad ha comprobado que el campo de acción de los métodos de redes PERT-CPM es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a casi cualquier proyecto. Constituyen un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas las actividades que integran un proyecto en un tiempo y con un presupuesto determinados.
Estudió la forma de optimizar uno de los parámetros importantes en la administración de proyectos: el tiempo. También incorporó al análisis de redes el concepto de comprensión o reducción de una red, que en este caso se refiere a la red de tiempo óptimo, que tiene como objetivo conocer el menor tiempo en que puede llevarse a cabo un proyecto.
Por otra parte, revisó que la idea central de la red a costo óptimo consiste en que si únicamente se reducen aquellas actividades que conforman la ruta crítica y que el valor de las pendientes es menor o igual al valor del costo fijo ($F) del proyecto, el resultado será la optimización del costo, lo cual es la finalidad de la red a costo óptimo.

Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios considerando los datos que se proporcionan.
1. Se tiene la siguiente información:
MATRIZ DE SECUENCIA MATRIZ DE TIEMPO MATRIZ DE COSTOS ACTIVIDAD SECUENCIA O N P T $N $L M INICIO
5, 7, 10
-
-
-
-
-
-
-
1
2, 8
2
4
6
1,500
1,800
2
12, 17
3
4
5
2,300
2,420
3
13
2
3
6
4,400
4,600
4
11, 15
3
3
3
3,500
3,500
5
1
3
4
7
4,750
4,930
6
18
3
4
6
3,250
3,580
7
1
3
4
5
2,350
2,625
8
3
2
4
8
2,780
3,305
9
4, 8
4
4
4
1,970
1,970
10
9
4
5
7
4,600
5,180
11
14
2
3
4
2,700
2,835
12
6
1
3
5
1,780
2,070
13
16
3
4
6
2,300
2,900
14
16
3
4
5
3,270
3,390
15
Fin
2
3
4
4,320
4,530
16
18
2
3
6
3,600
3,850
17
Fin
1
2
3
2,850
2,980
18
Fin
0
0
0
2,500
2,500
$F = $150.00 por día
Con base en lo anterior:

a. Elabore la red media de actividades.
b. Determine y trace la ruta crítica.
c. Determine el costo de la red con base en la duración del proyecto.
d. Obtenga la desviación estándar de la ruta crítica e indique cuál sería su duración promedio y entre cuántos días se puede ejecutar el proyecto utilizando un nivel de confianza del 68%.
e. Determine el máximo y trace la red a tiempo óptimo.
f. Determine el costo de la red con base a la duración del proyecto.
g. Trace la red a costo óptimo.
h. Determine el costo de la red a costo óptimo con base a la duración del proyecto.

Respuestas
Ejercicio 1
MATRIZ DE SECUENCIA MATRIZ DE TIEMPO MATRIZ DE COSTOS DESVIACIÓN ESTÁNDAR VARIANZA ACTIVIDAD SECUENCIA O N P T $N $L M INICIO
5, 7, 10
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
2, 8
2
4
6
4
1,500
1,800
150
0.67
0.44
2
12, 17
3
4
5
4
2,300
2,420
120
0.33
0.11
3
13
2
3
6
4
4,400
4,600
100
0.67 0.44
4
11, 15
3
3
3
3
3,500
3,500
#¡DIV/0!
0.00
0.00
5
1
3
4
7
5
4,750
4,930
90
0.67
0.44
6
18
3
4
6
5
3,250
3,580
165
0.50
0.25
7
1
3
4
5
4
2,350
2,625
275
0.33
0.11
8
3
2
4
8
5
2,780
3,305
175
1.00 1.00
9
4, 8
4
4
4
4
1,970
1,970
#¡DIV/0!
0.00 0.00
10
9
4
5
7
6
4,600
5,180
290
0.50 0.25
11
14
2
3
4
3
2,700
2,835
135
0.33
0.11
12
6
1
3
5
3
1,780
2,070
145
0.67
0.44
13
16
3
4
6
5
2,300
2,900
300
0.50 0.25
14
16
3
4
5
4
3,270
3,390
120
0.33
0.11
15
Fin
2
3
4
3
4,320
4,530
210
0.33
0.11
16
18
2
3
6
4
3,600
3,850
125
0.67 0.44
17
Fin
1
2
3
2
2,850
2,980
130
0.33
0.11
18
Fin
0
0
0
0
2,500
2,500
#¡DIV/0!
0.00
0.00
54,720
$F = $150.00 por día

a. Red media de actividades.
b. La ruta crítica se marca en color rojo y comprende las actividades:
10 - 9 - 8 - 3 -13 - 16
c. El diagrama muestra que la duración del proyecto es de 28 días. El costo es igual a la suma de los costos normales, lo cual se calculó en la tabla de información (suma de N) y el costo fijo (28 días por $150.00/día).
Costo total = 54,720 + 28 (150) = $ 58,920.00
d. En la tabla se añadió una columna que registra el cálculo de la desviación estándar de cada actividad, así como la varianza (S^2).

La varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades de la ruta crítica (casillas amarillas). La desviación estándar del proyecto es la raíz cuadrada de su varianza.
S^2 = 2.39
S = 1.55
La duración del proyecto, con una certeza del 68%, es: 28 +/- 1.55. Esto da el intervalo:
26.45
29.55
e. Sumando la duración de las actividades de cada rama pero a tiempo óptimo (mínimo), se llega a la conclusión que la de mayor duración es la rama:
10 - 9 - 4 - 11 - 14 - 16
Ésta será la ruta crítica de la red a tiempo óptimo o mínimo. Construyendo la red, se obtiene:
f. El costo total consiste de los siguientes conceptos: costo normal + costo fijo + costo por comprimir actividades. De esta forma:

Costo normal =
$ 54,720.00 Costo fijo (18 x 150) =
$ 2,700.00 Costo por comprimir =
$ 2,465.00 Costo total = $ 59,885.00
Costo compresión
Total
90
120
145
525
200
300
580
135
120
250 2,465
g. Conforme a lo expuesto en las notas del curso, lo que hay que hacer es apresurar, "comprimir", aquellas actividades de la ruta critica cuyo "costo pendiente" sea menor o igual al costo fijo diario. El resultado es el siguiente:
h. Tomando en cuenta que el proyecto durará 24 días, el costo total es:
Costo compresión

200
250 Total: 450
Costo normal =
$ 54,720.00 Costo fijo (24 x 150) =
$ 450.00 Costo total = $ 58,770.00
Matriz comparativa del costo de las redes
La matriz comparativa se utiliza para saber cuál red es la mejor opción para desarrollar un proyecto. Si es imprescindible realizar el proyecto en el menor tiempo posible y se cuenta con los recursos financieros necesarios para pagar costos extras, deberá emplearse la red a tiempo óptimo, en el caso contrario, el proyecto deberá realizarse a tiempo normal; si lo que se desea es realizar el proyecto en el menor precio, la red de costo óptimo es la indicada.
Instrucciones: Resuelva el siguiente ejercicio considerando los datos que se proporcionan.
1. Una empresa que fabrica maletas y mochilas posee la siguiente información sobre las actividades a realizar para elaborar maletas deportivas.
MATRIZ ACTIVIDAD SECUENCIA TIEMPOS COSTOS O T $N M INICIO
4, 10
---
---
---
---
1
5
2
4
1,000
100
2
7
1
2
850
50
3
13
1
3
2,000
225
4
2, 3
2
2
1,950
0
5
8
1
2
1,300
100
6
1, 15
1
3
2,500
250
7
1, 9
1
3
1,900
200
8
11
2
3
1,620
130
9
14
1
2
1,500
115
10
3, 12
2
2
1,400
0
11
FIN
2
4
2,400
250
12
6
1
2
1,420
100

13
1
2
3
1,500
100
14
11
2
3
1,900
70
15
8
2
4
2,400
200
$F = $250.00 por día
a. Elabore la red media de actividades.
b. Determine el costo de la red con base en la duración del proyecto.
c. Trace la red a tiempo óptimo.
d. Determine el costo de la red con base en la duración del proyecto.
e. Trace la red a costo óptimo.
f. Determine el costo de la red a costo óptimo con base en la duración del proyecto.
g. Determine la matriz comparativa de los costos de la redes y trace la gráfica de la relación tiempo-costo e interprete sus resultados.

Respuestas
Ejercicio 1
MATRIZ ACTIVIDAD SECUENCIA TIEMPOS COSTOS O T $N M INICIO
4, 10
---
---
---
---
1
5
2
4
1,000
100
2
7
1
2
850
50
3
13
1
3
2,000
225
4
2, 3
2
2
1,950
0
5
8
1
2
1,300
100
6
1, 15
1
3
2,500
250
7
1, 9
1
3
1,900
200
8
11
2
3
1,620
130
9
14
1
2
1,500
115
10
3, 12
2
2
1,400
0
11
FIN
2
4
2,400
250
12
6
1
2
1,420
100
13
1
2
3
1,500
100
14
11
2
3
1,900
70
15
8
2
4
2,400
200
25,640
$F = $250.00 por día

a. Red media de actividades.
b. Costo = costo normal + costo fijo = costo normal + días (costo diario)
Costo = 25,640 + 21 (250)
Costo = $ 30,890.00
c. Red a tiempo óptimo.
d. El costo total consiste de los siguientes conceptos: costo normal + costo fijo + costo por comprimir actividades. De esta forma:

Costo normal =
$ 25,640.00 Costo fijo (días x 250) =
$ 2,280.00 Costo total = $ 30,920.00
Compresión
Total:
50
200
450
100
200
100
130
500
100
250
200 2280
e. Para trazar la red a costo óptimo deben comprimirse todas aquellas actividades de la ruta crítica cuya pendiente (costo por comprimir un día) sea menor o igual al costo diario fijo. Si observamos la red a tiempo estándar (inciso a), vemos que el costo pendiente de todas las actividades de la ruta crítica (actividades: 4, 3, 13, 1, 5, 8 y 11) es menor o igual al costo fijo. Esto significa que tendríamos que comprimir todas las actividades al máximo para lograr el costo óptimo del proyecto (según se indicó en las notas de este tema). Pero esto fue lo que se hizo para construir la red de tiempo óptimo (mínimo), inciso c. Por lo tanto, la red de tiempo mínimo es, al mismo tiempo, la red de costo óptimo.
Sin embargo, observamos que el costo resultó mayor que el de la red a tiempo estándar (o normal). Esto se debe a que en las otras ramas del proyecto se tuvieron que hacer más apresuramientos, lo cual incrementó el costo total. Esto nos lleva a una conclusión interesante: Buscar la red de costo mínimo reduciendo sólo las actividades de la ruta crítica, no garantiza que se obtenga la red de costo mínimo. Deben analizarse todas las rutas. Es un análisis que requiere mayor tiempo. Para efectos del ejercicio concluimos que la red de costo óptimo es la misma que la del tiempo óptimo.
f. Tenemos el mismo resultado del inciso d:

Costo total = $ 30,920.00
g. En resumen:
Aplicación de las redes PERT-CPM
Individual
Los problemas que corresponden a proyectos o actividades que deben realizarse en una secuencia específica, implican determinar el grado de esfuerzo para ejecutar una actividad y el momento de programarla, de modo que se optimice una gran parte de la ejecución integral del proyecto.
Las medidas de eficiencia en un problema de este tipo pueden adoptar distintas formas, generalmente las siguientes:
– Minimización del tiempo total transcurrido
– Minimización de los costos del proyecto
La mayoría de los analistas de estos problemas se han interesado en dos preguntas: ¿cómo identificar las actividades de acuerdo al programa, si el proyecto completo va a terminarse según éste, y cómo revisar los avances del proyecto conforme pasa el tiempo? Si es posible reducir el tiempo de duración de alguna o de todas las actividades a costa de un incremento en los costos, ¿cómo se deberían programar las actividades de tal manera que se minimice el tiempo de terminación del proyecto para un costo específico?
El propósito de esta tarea es que aplique las técnicas de redes PERT-CPM y verifique que las preguntas anteriores pueden responderse trazando las redes correspondientes.
Instrucciones: Resuelva el siguiente ejercicio tomando como referencia los datos que se proporcionan.
1. La gerencia de sistemas de una empresa ha propuesto la introducción de un nuevo sistema computarizado que mejorará el procesamiento de información y

las comunicaciones entre oficinas dentro de la empresa. La propuesta incluye una lista de actividades a realizarse para concretar el proyecto.
ACTIVIDAD DESCRIPCIÓN SECUENCIA TIEMPO ESTÁNDAR (SEMANAS) TIEMPO ÓPTIMO (SEMANAS COSTO NORMAL (MILES $) COSTO LÍMITE (MILES $)
Inicio 1
Necesidades del plan
-----
-----
-----
-----
-----
2
Ordenar el equipamiento
1
4
3
30
70
3
Instalar el equipo
2
8
6
120
150
4
Instalar el laboratorio de capacitación
1
7
6
100
160
5
Llevar a cabo el curso de capacitación
4
5
3
40
50
6
Probar el sistema
3, 4
5
4
60
75
a. Desarrolle la red media de actividades del proyecto.
b. Determine las actividades críticas del proyecto y el tiempo de terminación esperado de éste.
c. Si la empresa debe finalizar el proyecto en un plazo menor al promedio, determine el tiempo más rápido en que lo puede realizar y su costo.
d. Si la administración de la empresa le pidiese a la gerencia de sistemas que optimizase costos, determine el costo ideal para realizar el proyecto y su tiempo.
e. Determine la matriz comparativa de los costos del proyecto con las tres opciones propuestas e interprete sus resultados.
f. Trace la gráfica de la relación tiempo-costo.

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