1. PROBLEMI ATTUALI E PROSPETTIVE
NELL’INGEGNERIA DELLE STRUTTURE
Convegno in onore di FRANCO MACERI
26-27 Settembre, 2013 – Maratea (PZ)
SULL’ANALISI LIMITE DI PANNELLI IN
MURATURA FIBRORINFORZATI
M. Lucchesi , M. , N. Zani" # "
Š ýilhav
"
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale,
Universita' di Firenze,
Piazza Brunelleschi 6,
50121 Firenze
Italia
#
Institute of Mathematics of the AV CR
Žitná 25
115 67 Prague 1
Czech Republic

2. Sia un corpo rinforzato con fibre. Le fibre sonoH Ԥ #
schematizzate come una famiglia di curve regolari cheY
non si intersecano.
Indicati con e gli stati di sforzo, conX T bb e le forze di
massa, e i carichi esterni di superficie,s s agenti sul corpo e
nella fibra, rispettivamente,
s
s
Ω
il sistema di forze applicate e' in equilibrio se soddisfa
l'equazione dei lavori virtuali:
( (
H
X f? f?† .  † ._ [# "
Y
T =
' ' ' !
H f, = =† .  † .  † .  †? ? ? ?_ [ [# " "
Y b
f`Y
per ogni ? ? œ !− G Ð ß Ñ À Þ
_ #
H ‘ lW
Facciamo l'ipotesi che la matrice del composito sia
costituta da materiale non resistente a trazione e la fibra da
materiale elastico lineare.

3. Analisi limite
Uno stato di sforzo per il composito e' costituito da una
coppia che diremo seÐ ß Ñ +773==3,36/X T
- e ( sono funzioni a quadratoX > >ÑT R Œ
sommabile;
- X B BÐ Ñ Ÿ ! − R quasi per ogni e 0 quasi perS
ogni B − Y
e con i carichi se soddisfa il teorema dei lavori/;?363,<+>9
virtuali.
Diremo che i carichi sono se esiste uno stato-97:+>3,363
di sforzo ammissibile che li equilibra.Ð ß ÑX T
Siano
0Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ œ R
" "
# #
I X I I e f ( )% % %
la densita' di energia di deformazione della matrice e della
fibra. Indichiamo con
fEÐ Ñ œ? ( (
H Y
0 .  ._ [# "
l'energia di deformazione, con

4. WÐ Ñ œ? , =' ' 'H f† .  † .  † .? ? ?_ [ [# " "
Y b
 †!
f`Y
= ?
il e conlavoro dei carichi
F E WÐ Ñ œ Ð Ñ  Ð Ñ? ? ?
l' del composito.energia potenziale totale
Sotto opportune ipotesi si dimostra che il funzionale dell'
energia potenziale e' limitato inferiormente se e solo se i
carichi sono compatibili.
A direct approach to fiber and membrane reinforced bodies.
Part I. Stress concentrated on curves for modelling fiber reinforced
materials. , 537-558Continuum echanics and thermodynamics7 25
(2013).
A direct approach to fiber and membrane reinforced bodies.
Part II. Membrane reinforced bodies. Continuum mechanics and
thermodynamics (in press).

5. p
q
p
x
y
o
q
Ω1
Ω2
γ1
X
/ /
/ /< œ Þ
: Œ
; Œœ
# # "
" " #
in
in
in /
H
H
H #
= ÐBÑ œ B :Ð:  ;Ñ œ B" "
:
;
È É, =
p
x
y
o
Ω1
Ω2
q
γ1
γ2
= ÐBÑ œ :B Ð:  ;Ñ  #RÐ:  ;ÑB  RÐR  #;6Ñ#
#É È È
=#
#
#;
#œ R  #:;B  # #R;B  RÐR  #;6Ñ
È
É È È

6. p
x
y
o
q
p
x
y
o
q

7. p
F
b
y
x
α
p
F
b
γ1
y
x
Ω1
Ω2
X
/ /
/ /< œ
Ð,C  :Ñ Œ
,Ð ÐBÑ  CÑ Œœ
# # "
# # #
in
in
H
= H
= = = =ww w
"
,
J J" "
:
 œ  ß Ð!Ñ œ ! Ð!Ñ œ J, "
= ÐBÑ œ J  -9=2Ð# BÑ  ""
# J:
#, 0
,
Ê Š ‹É
#
,
="
:
#, 0
,
œ =382 B  " ÞŠ ‹Š ‹É

8. p
F
b
γ1
γ2
y
x
Ω1
Ω2
α
= =ww
#
,
JR JR#
:
 œ  ßcos cos! !
= =ÐB Ñ œ C ÐB Ñ œ! ! !
w :B , .BR
JR, ! "!
B!' = !
!
sin
cos

9. p
b2
h1
b2 b1
h2
q

10. p
h1
h2
b2 b1 b2
q
x
y
o
2
Ω
Ω3
γ2
a
c
F1
d
e
1Ω
γ3
γ1
Uno stato di sforzo equilibrato e compatibile e' dato da:
X
/ /
/ /
!
< œ
: Œ
; Œ
Ú
Û
Ü
# # "
" " #
$
in
in
in
in /
H
H
H
H #
= ÐBÑ œ B :Ð:  ;Ñ œ B" "
:
;
È É, =
= ÐBÑ œ J  : ÐB  +Ñ#
# # #,È
=#
: +: #J-+ :
#J J #J
#
œ B  B 
#
= ÐBÑ œ #+:;B  J  #-J;  + :Ð:  ;Ñ$
# # ,È
=$
J "
; ;
# #œ  #+:;B  J  #-J;  + :;È

11. Mantenendo costante, si incrementa il valore del carico: ;
fino al collasso . Si ha, detti e; 2 œ 2  2 , œ ,  #,- " # " #
b1b2 b2
h2
h1
a
p
q
x
y
o
A
BC
D
1Ω 3Ω Ω1
2
Ω
γ
1
γ2
γ3
+ œ J œ
, 2 , 22 2 2
2
:, 2 2
#2
" " # # " #
"
#
# #
#
#
"
ˆ ‰È Š ‹È È
, ,
; œ :-
, 2 #, , 2 2 2 #, 2 2 2
2 2
# #
" #" " # # # #
"
#
È È ÈŠ ‹ Š ‹È ÈÈ
.
Per , , si ha .2 ,
2 , :
;" "
# #
-
œ $ œ # œ "
h2
b2
h1
b1b2
C
Ι
B
A
Stresses represented by measures in the theory of masonry bodies. III
Canadian Conf. Of nonlinear solids mechanics, Toronto, 25-29 giugno
2008, Canada

12. b1
h1
B
b2
p
h2
q
b2
x
y
o
1Ω γ12
γ
γ3
γ4
γ5
Ω2
3Ω
Analogamente al caso precedente, uno stato di sforzo
equilibrato e compatibile e' dato da
X
/ /
/ /
!
< œ
: Œ
; Œ
Ú
Û
Ü
# # "
" " #
$
in
in
in
in /
H
H
H
H #
con la presenza di 5 curve di singolarita'
= ÐBÑ œ ÐJ  RÑ  : ÐB  +Ñ%
# # #,È
=%
: +:
#ÐJRÑ RJ #ÐJRÑ
# #RÐ-2 Ñ+ :
œ B  B   -#
#
= ÐBÑ œ&
È#+:;B  J  #JÐR  -;Ñ  R  #R;2  + :Ð:  ;Ñ# # #
# ,

13. =& #
JR "
; ;
# # #œ  #+:;B  J  #JÐR  -;Ñ  R  #R;2  + :;È .
Mantenendo costante, si incrementa il valore del carico: ;
fino al collasso . Per , , si ha .; œ $ œ # œ "Þ)$(-
2 ,
2 , :
;" "
# #
-
b1
h1
B
b2
p
h2
q
b2
x
y
o
1Ω γ12
γ
γ3
γ4
γ5
Ω2
3Ω
h2
b2
h1
b1 b2
La soluzione e' nota a meno di un parametro. In figura si
plotta il valore della forza normale sulla fibra in funzione
del parametro.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
T/qh vs c
R
;2
min
œ !Þ#)(Þ