CALCULO VECTORIAL NIVEL 3 GUIA 1
1
GUIA DE APRENDIZAJEGUIA DE APRENDIZAJEGUIA DE APRENDIZAJEGUIA DE APRENDIZAJE
UNIDADUNIDADUNIDADUNIDAD 1 : SUPERFICIES EN EL ESPACIO1 : SUPERFICIES EN EL ESPACIO1 : SUPERFICIES EN EL ESPACIO1 : SUPERFICIES EN EL ESPACIO
Objetivos especíObjetivos especíObjetivos especíObjetivos específicosficosficosficos
Identificar y graficar superficies cuadráticas y cilíndricas
Representar ecuaciones de superficies en coordenadas cilíndricas y esféricas
Identificar superficies dadas en ecuaciones cilíndricas y esféricas
Esquematizar regiones formadas por intersecciones de superficies
Encontrar representaciones paramétricas de superficies
1.1.1.1. PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :PREREQUISITOS :
Los temas necesarios para esta unidad son :
Rectas y cónicas
Planos
Curvas en coordenadas polares
Sistemas de ecuaciones lineales y de segundo grado
2.2.2.2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO
Libro de texto: STEWART J., “Cálculo de Varias Variables: Trascendentes tempranas”, Editorial
Cengage Learning , Séptima edición, México, 2012.
Tabla de derivadas e integrales
Software matemático
Calculadora con CAS
3.3.3.3. ACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICAS
Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase.
Elaboración de las respuestas de los ejercicios propuestos de la guía, justificación de cada etapa
del desarrollo de ejercicios.
Análisis sobre resultados de los ejercicios desarrollados.
4.4.4.4. METODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO
El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo
cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad usando el texto
recomendado por el Docente.
En clase los estudiantes organizan grupos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para
desarrollar los ejercicios propuestos de la guía
El docente solucionará las dudas referentes a la guía y orientará su desarrollo.

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2
5.5.5.5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)
5.15.15.15.1 Identifique el tipo de sección cónica cuya ecuación se da. Justifique su respuesta
a) x2 = y + 1
b) y2 + 2y = 4x2 + 3
c) x2 = 4y - 2y2
d) x2 – y2 + 2x – 2y = 0
5.25.25.25.2 Bosqueje la curva con la ecuación polar dada
a) θ= - π/6
b) r = -3 cos(θ)
5.35.35.35.3 Encuentre una ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana
a) x2 + y2 = 9
b) y2 + x2 = 2cx
5.45.45.45.4 Graficar en un mismo plano M
N = 3 ∙ cos(P)
N = 1 + cos(P)
Q . Determine los puntos de intersección y sombrear el
área común entre las curvas.
5.55.55.55.5 Encontrar las ecuaciones cartesianas que representen la región formada por las curvas que se ve en la
siguiente gráfica :
5.65.65.65.6 Identifique y grafique las siguientes ecuaciones en R
3
a) x = 3
b) 4x – y + 2z = 4
c) x=2+3t , y =2 – t , z = 2t
6.6.6.6. REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASEREVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE
1.11.11.11.1 SUPERFICIES CILÍNDRICASSUPERFICIES CILÍNDRICASSUPERFICIES CILÍNDRICASSUPERFICIES CILÍNDRICAS
La superficie cilíndrica está generada por una recta (recta generatriz) que se mueve manteniéndose
paralela a sí misma, apoyada en una curva (curva directriz) dada. En el espacio tridimensional, la gráfica
de una ecuación en dos de tres variables x,y,z es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje
1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
x
y

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3
asociado con la variable faltante y cuya directriz es una curva en el plano asociado con las dos variables
que aparecen en la ecuación.
1.1.1.1.1.1.1.1.1 Cilindro circular recto1 Cilindro circular recto1 Cilindro circular recto1 Cilindro circular recto
Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un
Cilindro.
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1 ST
+ UT
= 3T
Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá
paralelo al eje z.
Código en Matlab :Código en Matlab :Código en Matlab :Código en Matlab :
% se utiliza el comando cylinder
[x,y,z]=cylinder
% dibuja un cilindro
x = 0 + 3 * x; y = 0 + 3 * y; z = 5* z;
% se establece las longitud del radio y centro, x = x0 + r * x; y = y0 + r *y; z = z0 + r * z;
surf(x,y,z)
% grafica el cilindro
title('Cilindro de radio 3 que se abre en el eje z');
box on
Fig.1 Cilindro recto
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2 Considere la ecuación: ST
+ T
= 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
Cilindro de radio 3 que se abre en el eje z

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4
Cilindro circular recto con eje en el eje y
Código en Matlab :Código en Matlab :Código en Matlab :Código en Matlab :
% se utiliza el comando cylinder
[x,z,y]=cylinder
% dibuja un cilindro en este caso cambiamos las variables en el vector
% para q el cilindo se abra en y.
x = 0 + 2 * x; z = 0 + 2 * z; y = 5 * y;
% se establece las longitud del radio y centro, x = x0 + r * x; y = y0 + r *y; z = z0 + r * z;
surf(x,y,z)
% grafica el cilindro
title('Cilindro de radio 2 que se abre en el eje y');
colormap(gray);
% color del gráfico; también: gray, jet, pink
box on
Fig.2 Cilindro recto
1.1.21.1.21.1.21.1.2 Cilindro parabólicoCilindro parabólicoCilindro parabólicoCilindro parabólico
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3 Considere la ecuación ST
+ U = 0, que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z
se obtiene la superficie que se ve en la figura derecha
-2
-1
0
1
2
01
2
34
5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Cilindro de radio 2 que se abre en el eje y

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5
Fig.3 Cilindro parabólico
1.1.31.1.31.1.31.1.3 CilinCilinCilinCilindro elípticodro elípticodro elípticodro elíptico
EEEEjemplo 4jemplo 4jemplo 4jemplo 4 Considere la ecuación de la elipse _`
+ ab`
= a en el plano yz , al recorrer el eje x se obtiene
la superficie de cilindro elíptico que se ve en la figura....
Fig. 4 Cilindro elíptico
1.21.21.21.2 SUPERFICIES CUÁDRICASSUPERFICIES CUÁDRICASSUPERFICIES CUÁDRICASSUPERFICIES CUÁDRICAS
Las curvas en el plano xy definidas por ecuaciones en “x” y “y” de segundo grado son las secciones cónicas
: círculo, elipse, parábola, hipérbola. Las superficies en el espacio tridimensional definidas por ecuaciones
en x,y,z de segundo grado
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Hx + Iy + Jz + K=0 ,
x
y
z
(2.00,0.00,-3.00)
(-2.00,-4.00,3.00)
x
y
z
(1.00,1.00,-0.50)
(-1.00,-1.00,0.50)

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Son llamadas las superficies cuádricas. Los términos en xy, xz, yz se pueden eliminar por transformación
de coordenadas. Por tanto, para nuestro estudio, las superficies cuádricas están dadas por ecuaciones de
la forma
Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + H=0
Con A,B,C, no todas cero.
Las superficies cuádricas pueden ser vistas en 3 dimensiones análogamente como las secciones cónicas.
Ellas se categorizan en algunos tipos :
Elipsoide
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico
Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico
Aquí se mostrará la gráfica de cada una, junto con su ecuación en la forma estándar y alguna información
acerca de sus propiedades especiales. Hay algunas cosas que se deben buscar como:
(a) Las intersecciones (los puntos en los cuales la superficie intersecta los ejes coordenados)
(b) Las trazas (las intersecciones con los planos coordenados)
(c) Las secciones(las intersecciones con planos generales)
(d) El centro(algunas cuádricas lo tienen)
(e) Simetría
(f) Limites de la cuádrica
La identificación de una superficie está determinada por sus trazas o secciones transversales
En general las trazas son cónicas o rectas, que definen el nombre de la superficie.
En esta sección las constantes a,b,c se pueden tomar positivas.
1.2.11.2.11.2.11.2.1 ElipsoideElipsoideElipsoideElipsoide
Tiene por ecuación
fg
hg +
ig
jg +
kg
lg = 1
Fig. 5 Elipsoide
x
y
z
(2.00,4.00,-2.00)
(-2.00,-4.00,2.00)

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La elipsoide esta centrada en el origen y es simétrica respecto a los 3 ejes coordenados. Intersecta los ejes en
los 6 puntos : (±a,0,0), (0,±b,0), (0,0,±c). Estos puntos se llaman vértices. La superficie es limitada. Todas
las 3 trazas son elipses; así por ejemplo la traza en el plano-xy (z=0) es la elipse
ST
nT
+
UT
oT
= 1
Las secciones paralelas a los ejes coordenados también son elipses; por ejemplo, tomando U = Up , se tiene
ST
nT
+
T
qT
= 1 −
Up
T
oT
Esta elipse es la intersección del elipsoide con el plano U = Up. Los números a,b,c se llaman semiejes del
elipsoide. Si dos de ellos son iguales, entonces se tiene un elipsoide de revolución. Si todos los semiejes
son iguales, la superficie es una esfera.
1.2.21.2.21.2.21.2.2 Hiperboloide de una hojaHiperboloide de una hojaHiperboloide de una hojaHiperboloide de una hoja
Tiene por ecuación
ST
nT
+
UT
oT
−
T
qT
= 1
Fig.6 Hiperboloide de una hoja
La superficie es ilimitada. Esta centrada en el origen y es simétrica respecto a los 3 planos coordenados.
Intersecta los ejes en los 4 puntos : (±a,0,0), (0,±b,0). La traza en el plano-xy (z=0) es la elipse
ST
nT
+
UT
oT
= 1
Las secciones paralelas al plano-xy son elipses. La traza en el plano-xz (y=0) es la hipérbola
ST
nT
−
T
qT
= 1
Y la traza en el plano-yz (x=0) es la hipérbola
x y
z
(4.08,4.08,0.00)
(-4.08,-4.08,15.00)

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UT
oT
−
T
qT
= 1
Las secciones paralelas al plano-xz y al plano-yz son hipérbolas. Si a=b, las secciones paralelas al plano-xy
son círculos y se tiene un hiperboloide de revolución.
1.2.31.2.31.2.31.2.3 Hiperboloide de dos hojasHiperboloide de dos hojasHiperboloide de dos hojasHiperboloide de dos hojas
Tiene por ecuación
ST
nT
+
UT
oT
−
T
qT
= −1
Fig.7 Hiperboloide de dos hojas
La superficie intersecta los ejes coordenados solamente en 2 vértices (0,0,±c). La superficie consta de 2
partes : una para z≥c, y otra para z≤ - c. Se puede reescribir la ecuación como
ST
nT
+
UT
oT
=
T
qT
− 1
La ecuación requiere
T
qT
− 1 ≥ 0, T
≥ qT
, || ≥ q
Cada una de las partes es ilimitada. Las secciones paralelas al plano-xy son elipses : estableciendo = p se
tiene
ST
nT
+
UT
oT
=
p
T
qT
− 1
Si a=b, las secciones paralelas al plano-xy son círculos y se tiene un hiperboloide de revolución. Las
secciones paralelas a otros planos coordenados son hipérbolas; por ejemplo, dando U = Up se tiene
T
qT
−
ST
nT
= 1 +
Up
T
oT
La superficie completa es simétrica con respecto a los 3 planos coordenados y está centrada en el origen.
x y
z
(4.00,4.00,-4.00)
(-4.00,-4.00,4.00)

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1.2.41.2.41.2.41.2.4 Cono elípticoCono elípticoCono elípticoCono elíptico
La superficie tiene por ecuación
ST
nT
+
UT
oT
= T
Fig.8 Cono
La superficie intersecta solamente en el origen. La superficie es ilimitada. Hay simetría con respecto a los 3
planos coordenados. La traza en el plano-xz es un par de líneas intersección z=±x/a. La traza en el plano-
yz es también un par de líneas intersección z=±y/b. La traza en el plano-xy es solo el origen. Si a=b, estas
son círculos y se tiene un superficie de revolución, que comúnmente se llama doble cono circular o
simplemente cono.
1.2.5 Paraboloide elíptico1.2.5 Paraboloide elíptico1.2.5 Paraboloide elíptico1.2.5 Paraboloide elíptico
Tiene por ecuación
x`
y`
+
_`
z`
= b
Fig.9 Paraboloide elíptico
x
y
z
x
y
z

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La superficie no se extiende bajo el plano-xy, es ilimitada por arriba. El origen se llama el vértice. Las
secciones paralelas al plano-xy son elipses; las secciones paralelas a los otros planos coordenados son
parábolas, por eso el nombre paraboloide elíptico. La superficie es simétrica con respceto al plano-xz y
plano-yz. Es simétrica también con el eje-z. Si a=b, entonces la superficie es un paraboloide de revolución.
1.2.61.2.61.2.61.2.6 Paraboloide hipParaboloide hipParaboloide hipParaboloide hiperbólico.erbólico.erbólico.erbólico.
Tiene por ecuación
ST
nT
−
UT
oT
= b
Fig.10 Paraboloide hiperbólico
En este caso hay simetría con respecto al plano-xz y plano-yz. Las secciones paralelas al plano-xy son
hipérbolas; las secciones paralelas a los otros planos coordenados son parábolas. Por tanto el nombre
paraboloide hipérbólico. El origen es un punto mínimo para la traza en el plano-xz pero un máximo para la
traza en el plano-yz. El origen se llama un punto silla de la superficie.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 6666 La ecuación (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z −1)2 = 9 , tiene como lugar geométrico ?
Se trata de una esfera con centro en (3,2,1) y radio 3
Fig.11 Esfera desplazada
x
y
z
(-1.00,1.00,-1.00)
(1.00,-1.00,1.00)
x
y
z
(6.00,5.00,-3.00)
(0.00,-1.00,3.00)

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EjemploEjemploEjemploEjemplo 7777 Graficar el lugar geométrico cuya ecuación es: 4x2 −3y 2 +12z 2 +12 = 0
Traza plano xy : 4x2 −3y 2 =- 12 hipérbola
Traza plano yz : −3y 2 +12z 2 =- 12 hipérbola
Traza plano xz : 4x2 +12z 2 =-12 no existe
Secciones xz : 4x2 +12z 2 =3k2 -12 elipses
Por lo tanto la superficie es un hiperboloide de dos hojas. El eje de simetría corresponde al eje “Y”
Fig.12 Hiperboloide
EEEEjemplojemplojemplojemplo 8888 Identificar la superficie de ecuación y+2 = x2 +z2 .
La traza en el plano xy : y+2 = x2 parábola
La traza en el plano yz : y+2 = z2 parábola
La traza en el plano xz : 2 = x2 +z2 circunferencia
Las secciones “xz” : k+2= x2 +z2 son circunferencias
Se trata de un paraboloide circular con eje principal “Y” y vértice desplazado (0,-2,0)
Fig.13 Paraboloide desplazado
x
y
z
(2.00,-3.00,-2.00)
(-2.00,3.00,2.00)
x
y
z
(3.00,-2.00,-3.00)
(-3.00,2.00,3.00)

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EjemploEjemploEjemploEjemplo 9999 Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación 9x 2 − z 2 + 9y 2 = 0 .
Ordenando y reescribiendo la ecuación : 9x 2 + 9y 2 =z2
Se identifica que es un cono circular con eje principal “z”.
Fig.14 Doble Cono
EjemploEjemploEjemploEjemplo 10101010 Representar gráficamente la siguiente superficie = ST
− UT
en el software matemático Matlab.
Código en Matlab.Código en Matlab.Código en Matlab.Código en Matlab.
x=-4:.1:4;
% dominio de la función para el ejemplo.
y=-4:.1:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% X, Y: matrices que contienen cada par ordenado x,y.
z=X.^2-Y.^2;
% puntos de la función z = x2 – y2
mesh(x, y, z)
% gráfico de malla
title('Silla de Montar');
% título para el gráfico
colormap(gray);
% color del gráfico; también: gray, jet, pink
x
y
z
(1.00,1.00,-3.00)
(-1.00,-1.00,3.00)

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Fig.15 Paraboloide hiperbólico
1.2.7 Proyecciones1.2.7 Proyecciones1.2.7 Proyecciones1.2.7 Proyecciones
Suponiendo que S1 : z=f(x,y) y S2 : z= g(x,y) son superficies en el espacio que se intersectan en
una curva espacial C.
La curva C es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) con z=f(x,y) y z= g(x,y).
El conjunto de todos los puntos (x,y,z) con f(x,y) = g(x,y) (z no restringido) es el cilindro vertical
que pasa a través de C.
El conjunto de todos los puntos (x,y,0) con f(x,y) = g(x,y) se llama la proyección de C sobre el
plano-xy.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 11111111 El paraboloide de revolución = ST
+ UT
y el plano z = 2y + 3 se intersectan en una
curva C. ver figura 16. La proyección de esta curva sobre el plano-xy es el conjunto de todos los
puntos (x,y,0) con
ST
+ UT
= 2U + 3
Esta ecuación puede ser escrita como
ST
+ (U − 1)T
= 4
La proyección de C sobre el plano-xy es un círculo de radio 2 centrado en (0,1,0)
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-20
-10
0
10
20
Silla de Montar

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Fig.16 Paraboloide –plano
1.3.11.3.11.3.11.3.1 COORDENADAS CILÍNDRICASCOORDENADAS CILÍNDRICASCOORDENADAS CILÍNDRICASCOORDENADAS CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio
mediante un ángulo acimutal “θ”, una distancia radial “r” con respecto al origen y una altura en la dirección
del eje z. Las variaciones de estas coordenadas pueden ser
N > 0, 0 ≤ P ≤ 2• , − ∞ < < +∞
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que
tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas
polares de la geometría analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas está denotado como (r,θ,z) donde r y θ son las Coordenadas
Polares.
z
P(r,θ, z)
•
x θ r
y
Fig.17 Coordenadas cilíndricas
Las relaciones entre los sistemas rectangular y cilíndrico son :
x
y
z
(x,y,z) = (ucos(t),usin(t),uu)
(x,y,z) = (u,1+2sin(t),5+2sin(t))
(x,y,z) = (2cos(t),1+2sin(t),5+2sin(t))

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x=rcos(θ) y=rsen(θ) x2 +y2 =r2 θ = tan‚ƒ
(
„
…
)
En coordenadas cilíndricas la superficie r = r0 (constante) representa un cilindro ilimitado con eje de
simetría z y radio igual al valor de r0.
Fig.18 Cilindro r = r0
La superficie P = Pp representa un semiplano vertical paralelo al eje z . El plano está a un ángulo de θ0
radianes con respecto al eje x positivo.
Fig.19 Plano P = Pp
La superficie z = z0 representa un plano horizontal es decir paralelo al plano-xy.
Fig.20 Plano = p
y
x
z
r = ro
y
x
z
t
y
x
z
z = zo
(0,0,Zo)

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16
Ejemplo 12Ejemplo 12Ejemplo 12Ejemplo 12
Transformar las siguientes ecuaciones de superficies a un sistema cilíndrico:
a) x`
+ U`
= 4 cilindro
N`
= 4
N = 2
b) = 4 − x`
− U`
paraboloide
= 4 − N`
c) = 2†x` + U` cono
= 2†N`
= 2N
1.3.21.3.21.3.21.3.2 COORDENADAS ESFÉRICASCOORDENADAS ESFÉRICASCOORDENADAS ESFÉRICASCOORDENADAS ESFÉRICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para
determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: la distancia radial ρ,
el ángulo polar o colatitud ϕ y el azimut o longitud θ.
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ θ < 2π
0 ≤ ϕ ≤ π
ϕ P(ρ,ϕ,θ)
ρ
θ
Fig. 21 Coordenadas esféricas
Las relaciones entre los sistemas esféricos y rectangular son :
S = ‰Š‹Œ(•) cos(P) U = ‰Š‹Œ(•) sen(P) = ‰qŽŠ(•)
‰ = †ST + UT + T cos(•) =
k
†fg•ig•kg
tan(P) =
i
f
ST
+ UT
= ‰T
Š‹ŒT
(•)
La superficie ‰ = ‰p representa una esfera centrada en el rigen y con radio igual a ‰p . La superficie P = Pp es la misma que e
coordenadas cilíndricas , un plano vertical inclinado una ángulo de Pp.

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Fig.22 Esfera ‰ = ‰p
La superficie • = •p representa un cono superior si 0 < •p <
•
T
y un cono inferior si
•
T
< •p < • ; el cual
es generado por la rotación alrededor del eje z de un rayo que nace en el origen a un ángulo •p medido a
partir del eje positivo z.
Fig.23 Doble cono
Ejemplo 13Ejemplo 13Ejemplo 13Ejemplo 13
Transformar las siguientes ecuaciones de superficies a un sistema esférico:
a) x`
+ U`
+ b`
= 4 esfera
‰T
= 4
‰ = 2
b) = 4 − (ST
+ UT
) paraboloide
= 4 − ‰`
Š‹ŒT
(•)
c) = †x` + U` cono
‰qŽŠ(•) = †‰TŠ‹ŒT(•)
‰qŽŠ(•) = ‰Š‹Œ(•)
tan(•) = 1
• =
•
4
y
x
z
ro
y
x
z

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Ejemplo 14Ejemplo 14Ejemplo 14Ejemplo 14 Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación ρ = 3cos(ϕ) ....
ρ2 = 3ρcos(ϕ)
x2 +y2 +z2 =3z
x2 +y2 +z2 - 3z+9/4=9/4
x2 +y2 +(z-3/2)2 =(3/2)2
Por lo tanto se trata de una esfera con centro C=(0,0,3/2) y radio =3/2
Código en MatlabCódigo en MatlabCódigo en MatlabCódigo en Matlab
clc
% se utiliza el comando sphere
[x,y,z]=sphere;
% dibuja una esfera de radio 1 y centro (0; 0; 0).
x = 0 + 3/2 * x; y = 0 + 3/2 * y; z = 3/2 + 3/2 * z;
% se establece las longitud del radio y centro, x = x0 + r * x; y = y0 + r *y; z = z0 + r * z;
surf(x,y,z)
% grafica la superficie
title('Esfera con Centro C=(0,0,3/2) y Radio =3/2');
% título para el gráfico
box on
% activamos la caja con el comando box on q se ajusta a las dimensiones de la caja
Fig.24 Esfera desplazada
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Esfera con Centro C=(0,0,3/2) y Radio =3/2

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19
1.3.31.3.31.3.31.3.3 SUPESUPESUPESUPERFICIES PARAMÉTRICASRFICIES PARAMÉTRICASRFICIES PARAMÉTRICASRFICIES PARAMÉTRICAS
Una función vectorial con dos parámetros representa una superficie en el espacio.
Suponga que:
N’(“, ”) = S(“, ”)• + U(“, ”)– + (“, ”)—
Es una función vectorial definida en región D con proyección en el plano ut. De este modo, x, y,z son
funciones de u,t con dominio en D. El conjunto de todos los puntos (x,y,z) reales tal que
S = S(“, ”) U = U(“, ”) = (“, ”) y u,t varían con el dominio D se llaman superficies paramétricas.
EsferaEsferaEsferaEsfera:::: ST
+ UT
+ T
= nT
Paramétricas : ˜
S = n ∙ Š‹Œ(”)cos(“)
U = n ∙ Š‹Œ(”)sen(“)
= n ∙ cos(”)
” = qŽŽN™‹Œn™n qŽšn“•“”™ “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš
ElipsoideElipsoideElipsoideElipsoide::::
fg
hg +
ig
jg +
kg
lg = 1
Paramétricas : ˜
S = n ∙ Š‹Œ(”)cos(“)
U = o ∙ Š‹Œ(”)sen(“)
= q ∙ cos(”)
” = qŽŽN™‹Œn™n qŽšn“•“”™ “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš
ConoConoConoCono::::
fg
hg +
ig
jg −
kg
lg = 0
Paramétricas: œ
S = n” ∙ qŽŠ(“)
U = o” ∙ sen(“)
= q”
” = qŽŽN™‹Œn™n Nn™•nš “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš
ParaboloideParaboloideParaboloideParaboloide::::
fg
hg +
ig
jg =
k
l
Paramétricas : œ
S = n” ∙ qŽŠ(“)
U = o” ∙ sen(“)
= q”T
” = qŽŽN™‹Œn™n Nn™•nš “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš
Hiperboloide de un mantoHiperboloide de un mantoHiperboloide de un mantoHiperboloide de un manto::::
fg
hg +
ig
jg −
kg
lg = 1
Paramétricas : ˜
S = n ∙ qŽŠℎ(”)cos(“)
U = o ∙ qŽŠℎ(”)sen(“)
= q ∙ senh(”)
” = qŽŽN™‹Œn™n qŽšn“•“”™ “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš

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20
CilindroCilindroCilindroCilindro:::: ST
+ UT
= nT
, − o < < o
Paramétricas : œ
S = n ∙ cos(“)
U = n ∙ sen(“)
= ”
” = qŽŽN™‹Œn™n Œ•ž‹š “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš
DiscoDiscoDiscoDisco:::: ST
+ UT
≤ nT
, = o
Paramétricas : œ
S = ” ∙ cos(“)
U = ” ∙ sen(“)
= o
” = qŽŽN™‹Œn™n Nn™•nš “ = qŽŽN™‹Œn™n nq•›”“nš
Ejemplo 15Ejemplo 15Ejemplo 15Ejemplo 15 Encuentre la representación paramétrica de las siguientes superficies:
a) Una esfera de radio 3 y centro en el (0,0,3) , aplicando coordenadas esféricas :
S = 3Š‹Œ(”)cos(“)
U = 3Š‹Œ(”)sen(“)
= 3 + 3cos(”)
Código en MatlabCódigo en MatlabCódigo en MatlabCódigo en Matlab
clf
u=linspace(0,2*pi,100);
% y = linspace (a, b) genera un vector de fila y de 100 puntos linealmente espaciadas entre a y b.
v=linspace(0,2*pi,100);
% y = linspace (a, b, n) genera n puntos
[U,V]=meshgrid(u,v);
% U, V: matrices que contienen cada par ordenado x,y.
X=3*sin(U).*cos(V)
% Parametrica de x
Y=3*sin(U).*sin(V);
% Parametrica de y
Z=3+3*cos(U);
% Parametrica de z
surf(X,Y,Z)
% Muestra gráfica de la superficie

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21
title('Esfera en Parametricas');
% título para el gráfico
Fig.25 Esfera parametrizada
b) La mitad superior del cono b`
= x`
+ _`
y altura de 3.
x = u ∙ cos(t)
y = u ∙ sen(t)
z = u
0 ≤ t ≤ 2pi , 0 ≤ u ≤ 3
Código en MatlabCódigo en MatlabCódigo en MatlabCódigo en Matlab
Clf
u=linspace(0,3,100);
% y = linspace (a, b) genera un vector de fila y de 100 puntos linealmente espaciadas entre a y b.
v=linspace(0,2*pi,100);
% y = linspace (a, b, n) genera n puntos
[U,V]=meshgrid(u,v);
% U, V: matrices que contienen cada par ordenado x,y.
X=U.*cos(V)
% Parametrica de x
Y=U.*sin(V);
% Parametrica de y
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
5
6
Esfera en Parametricas

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Z=U;
% Parametrica de z
surf(X,Y,Z)
% Muestra gráfica de la superficie
title('Semicono Superior');
% título para el gráfico
box on
Fig.20 Cono limitado
c) La superficie generada por la rotacion de la curva y=cos(x) , 0 ≤ x ≤ π/2 , alrededor del eje “x”.
x = u
y = cos (u)cos (t)
z = cos(u) sen(t)
Código en MatlabCódigo en MatlabCódigo en MatlabCódigo en Matlab
clf
u=linspace(0,pi/2,50);
% y = linspace (a, b) genera un vector de fila y de 100 puntos linealmente espaciadas entre a y b.
v=linspace(-6,6,50);
% y = linspace (a, b, n) genera n puntos
[U,V]=meshgrid(u,v);
% U, V: matrices que contienen cada par ordenado x,y.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
Semicono Superior

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23
X=U
% Parametrica de x
Y=cos(U).*cos(V);
% Parametrica de y
Z=cos(U).*sin(V);
% Parametrica de z
surf(X,Y,Z)
% Muestra gráfica de la superficie
box on
Fig.26 Superficie de revolución
7.7.7.7. EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS Y ACTIVIDADESY ACTIVIDADESY ACTIVIDADESY ACTIVIDADES
7.17.17.17.1 ¿Cuáles de las siguientes superficies cuádricas son superficies de revolución? Identifique la superficie e
indicar su eje de revolución.
a) x2 + y2 = z b) 9x2 +36y2 +4z2 =36 c) x2 + y2 − z2 =−4
d) y =4x2 − z2 e) 4x2 +4y2 + z2 =100 f) 9z + x2 + y2 =0
g) y2 +5z2 = x2 h) −9x2 +16y2 =144z2
i) − x2 +9y2 + z2 =9 j) 36x2 − y2 +9z2 =144
Seleccione alguna de las superficies anteriores y realice su gráfica, usando el método de las trazas.
Verifique usando Matlab
7.27.27.27.2 Relacione la ecuación con su gráfica (marcada I-VIII). Dé razones para su elección
0
0.5
1
1.5
2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1

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a) x
2
+ 4y
2
+ 9z
2
= 1; b) 9x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 1; c) x
2
− y
2
+ z
2
=1
d) − x
2
+ y
2
− z
2
=1; e) y = 2x
2
+ z
2
; f) y
2
= x
2
+ 2z
2
g) x
2
+ 2z
2
= 1; h) y = x
2
− z
2
I. II. III. IV.
V. VI. VII. VIII.
7.37.37.37.3 Graficar los sólidos indicados, marcando los cortes con los ejes coordenados.
a) Sólido limitado y2 + x2 = 1 , el plano z= y+3 y el plano-xy
b) Sólido limitado por z2 + x2 = 1 y los planos y=0 y x+y=2
c) El sólido limitado por = †4 − ST − UT y z=0
d) El sólido limitado por z2 + y2 + x2 = 1 y arriba de = †ST + UT
e) El sólido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante.
f) El sólido limitado por z = 9− x2 – y , z =-1
g) El sólido limitado por z = 3− 2x2 − y2 , z = x2 + y2 − 3
h) El sólido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)
7.47.47.47.4 Escriba la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y esféricas.
a) x2 + y2 + z2 =16 b) x2 − y2 − 2z2 = 4 c) x2 + y2 = 2y
d) x + 2y + 3z = 6 e) y2 + z2 = 1 f) x2 + y2 = z2

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25
7.57.57.57.5 Identifique la superficie dada en coordenadas esféricas o cilíndricas, cuya ecuación es:
a) r = 3 b) θ = π/3 c) ρ = 3
d) ϕ = π/3 e) r = 4sen θ f) ϕ =π/2
g) ρ cos ϕ = 2 h) ρ = 2 cos ϕ i) ρ sen ϕ = 2
7.67.67.67.6 Encuentre una representación paramétrica para las superficies que se observan debajo :
a)
b)
x
y
z
(2.00,4.00,-2.00)
(-2.00,-4.00,2.00)
x
y
z
radio menor = 2cm , radio mayor = 6cm altura = 4cm
paraboloide altura = 3cm radio = 2cm
cono truncado
(6.00,6.00,4.00)
(-6.00,-6.00,0.00)

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26
c)
7.77.77.77.7 Problemas de aplicación :Problemas de aplicación :Problemas de aplicación :Problemas de aplicación :
Las torres de enfriamiento para los reactores nucleares se construyen frecuentemente en forma de
hiperboloides de una hoja, debido a la estabilidad estructural de esa superficie. Suponga que todas las
secciones transversales horizontales son circulares, con un radio mínimo de 600 m. La torre va a tener
2400 m de alto, con un radio seccional transversal horizontal máximo de 900 m. Halle una ecuación
para la estructura.
(Agregar aplicaciones por parte(Agregar aplicaciones por parte(Agregar aplicaciones por parte(Agregar aplicaciones por parte del Docente)del Docente)del Docente)del Docente)
8.8.8.8. ACTIVIDADACTIVIDADACTIVIDADACTIVIDAD –––– TRABAJO INTEGRADOR SUSTENTADOTRABAJO INTEGRADOR SUSTENTADOTRABAJO INTEGRADOR SUSTENTADOTRABAJO INTEGRADOR SUSTENTADO
Identificación, clasificación y análisis de superficies cuádricas en diferentes edificios y elementos
constructivos
OBJETIVOS ESPECÍFICOS :
Aplicar los conocimientos sobre cuádricas para representar superficies y sólidos reales.
Determinar las ecuaciones del sólido o superficie , tanto cartesianas como paramétricas.
Elaborar mediante programas matemáticos aproximaciones gráficas de las superficies.
Comparar los resultados obtenidos teóricamente con los reales.
x
y
z
radio inf = 1 cm radio sup = 2 cm altura = 6cm
Paraboloide truncado
Cilindro radio = 1cm altura = 3 cm
(2.00,2.00,0.00)
(-2.00,-2.00,6.00)

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27
PASOS A SEGUIR :
1.1.1.1. Seleccionar la superficie o sólido (obra arquitectónica) para realizar el estudio
2.2.2.2. Determinar las ecuaciones cartesianas de las superficies que conforman el sólido a partir de las
dimensiones aproximadas
3.3.3.3. Obtener las ecuaciones paramétricas de las superficies del paso 2 con los intervalos de variación
de los parámetros ( “u “ y “t”)
4.4.4.4. Elaborar gráficas (aplicando software matemático)de las superficies parametrizadas con escalas
adecuadas para verificación de las dimensiones del sólido.
5.5.5.5. Considerar como si se realizara un corte al sólido con un plano horizontal y vertical, determinar
en estos planos las secciones que forma el contorno de las superficie.
6.6.6.6. Realizar el análisis de resultados y posibles errores.
ALGUNAS PÁGINAS DE ENLACE SOBRE SUPERFICIES :
http://en.wikipedia.org/wiki/Saint_Louis_Science_Center
http://www.slideshare.net/magnoni/cuadricas-8402584
http://es.touristlink.com/Estados-Unidos/saint-louis-science-center
9.9.9.9. OBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALES
Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía.
Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente.
Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes
Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios.
Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.