Santiago Relos - Cuaderno de Cálculo 1

2
CÁLCULO I
Facultad de Ciencias y Tecnología
DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:...........................
CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:.......................
Carrera: ..................................................................
Tiempo: 90 minutos
1. 10 puntos (-S) Determinar intervalos donde f(x) es positiva y donde es negativa.
f(x) =
−4x2
− 4x − 1
x
−
5
x2 − 5x
+ 3x + 3
2. 10 puntos (A-S) Determinar intervalos donde f(x) es positiva y donde es negativa.
f(x) =
6x − 5
|x + 3|
+
|x − 6|
2x + 6
.
3. 20 puntos (A-S) Se tiene la necesidad de construir un tanque cilíndrico de altura h con semiesferas de
radio x agregadas en los extremos. Si el volumen del tanque debe ser 59 m3
, determinar el costo de
construcción de este tanque, en términos de x, si los extremos cuestan $31 y los lados cuestan $17 por
metro cuadrado.
AAA hhh BBB
2x2x2x
DDD
CCC
AB = altura del cilindro = h
CD = diámetro de la semiesfera = 2x
4. 30 puntos
a) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→−1
√
3x2 + 4x + 4 −
√
5x3 + 3x2 + 5x + 10
4x3 − 3x2 + 5x + 12
b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular:
L = l´ım
z→−3
8 − 8 cos(−3z − 9) + sen(5z + 15)
−4z3 − 12z2 − 8z − 24

3
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
5x6 + 5x4 − 3x2 + 2x + 2 + 4x − 5
√
5x6 + 5x4 − 3x2 + 2x + 2


2x3
−3
5. 20 puntos (A-S) Considere la elipse de ecuación:
(x + 1)2
16
+
(y − 3)2
16
= 1. Determinar el área del
triángulo situado en el tercer cuadrante construido con una recta tangente de pendiente m y los ejes
coordenados
x
y
1
, elegido entre:1.06e+37 posibilidades diferentes
1
S.Relos Programa AMARU (fase alpha),11-Oct-2017 06:26:30, Construido en0.31 Seg.

4
Soluciones 2
1. (-S) Determinar intervalos donde f(x) es positiva y donde es negativa.
f(x) =
−4x2
− 4x − 1
x
−
5
x2 − 5x
+ 3x + 3
Sol.: Puntos Clave={−∞, −0.82843, 0, 4.8284, 5, ∞}.
−∞
−0.82843
0
4.8284
5
∞
+ − − + −
2. (A-S) Determinar intervalos donde f(x) es positiva y donde es negativa.
f(x) =
6x − 5
|x + 3|
+
|x − 6|
2x + 6
.
Sol.: Puntos Clave={−∞, −3, 0.36364, ∞}.
−∞
−3
0.36364
∞
− − +
Pasos intermedios para cada caso: (a) f(x) =
−13x2
− 23x + 48
(x + 3)(2x + 6)
, (b) f(x) =
11x2
+ 29x − 12
(x + 3)(2x + 6)
, (c)
f(x) =
13x2
+ 23x − 48
(x + 3)(2x + 6)
3. (A-S) Se tiene la necesidad de construir un tanque cilíndrico de altura h con semiesferas de radio x
agregadas en los extremos. Si el volumen del tanque debe ser 59 m3
, determinar el costo de construc-
ción de este tanque, en términos de x, si los extremos cuestan $31 y los lados cuestan $17 por metro
cuadrado.
AAA hhh BBB
2x2x2x
DDD
CCC
AB = altura del cilindro = h
CD = diámetro de la semiesfera = 2x
Sol.: C(x) =
236πx3
+ 6018
3x
. Pasos intermedios:
4
3
πx3
+ πx2
h = 59, C(x, h) = 31 4πx2
+ 17 (2πxh)
2

5
4. a) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→−1
√
3x2 + 4x + 4 −
√
5x3 + 3x2 + 5x + 10
4x3 − 3x2 + 5x + 12
Sol.: L=
−8
23
√
3
L = l´ım
z→−3
8 − 8 cos(−3z − 9) + sen(5z + 15)
−4z3 − 12z2 − 8z − 24
Sol.: L = −
5
44
.
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
5x6 + 5x4 − 3x2 + 2x + 2 + 4x − 5
√
5x6 + 5x4 − 3x2 + 2x + 2


2x3
−3
Sol.: L = ∞.
5. (A-S) Considere la elipse de ecuación:
(x + 1)2
16
+
(y − 3)2
16
= 1. Determinar el área del triángulo situado
en el tercer cuadrante construido con una recta tangente de pendiente m y los ejes coordenados
x
y
Sol.: Area: A(m) =−
m + 3 −
√
16m2 + 16
2
2m
.

6
CÁLCULO I
Carrera: ..................................................................
Tiempo: 90 minutos
f(x) =
1
x + 1
+
2
x − 1
+
5
x − 4
f(x) = −2 |x − 3| − 4x |x − 6| + 6.
3. 20 puntos (A-S) Considere la parábola de ecuación y = −3x2
+ 7x, con un punto (a, b) de la parábola,
situado al la derecha del vértice, se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes de coordena-
das de modo que el segundo punto también se encuentre en la parábola y los otros dos puntos sobre el
eje x. Determimar el área del rectángulo en términos de a.
4. 30 puntos
a) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→2
√
5x2 − 1 −
√
4x3 + 3x2 + 3x − 31
3x3 + x2 + x − 30
L = l´ım
z→−7
−1 + cos(8z + 56) + sen(−5z − 35)
−2z2 − 13z + 7
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
3x6 + 3x4 − 3x3 + 2x2 − 1 + 4x + 3
√
3x6 + 3x4 − 3x3 + 2x2 − 1


x3
+5
5. 20 puntos (A-S) Hallar los puntos de la curva de ecuación: y = −3x ln (x)+7x donde la recta tangente
tiene pendiente m = −
1
3
. Hallar la ecuación de tal recta.
3
3

7
Soluciones 4
f(x) =
1
x + 1
+
2
x − 1
+
5
x − 4
Sol.: Puntos Clave={−∞, −1, −0.57648, 1, 1.9515, 4, ∞}.
−∞
−1
−0.57648
1
1.9515
4
∞
− + − + − +
Paso intermedio, posiblemente sin simpliﬁcar f(x) =
8x2
− 11x − 9
(x + 1) (x − 1) (x − 4)
f(x) = −2 |x − 3| − 4x |x − 6| + 6.
Sol.: Puntos Clave={−∞, 0, 6, ∞}.
−∞
0
6
∞
+ − −
3. (A-S) Considere la parábola de ecuación y = −3x2
+ 7x, con un punto (a, b) de la parábola, situado
al la derecha del vértice, se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes de coordenadas de
modo que el segundo punto también se encuentre en la parábola y los otros dos puntos sobre el eje x.
Determimar el área del rectángulo en términos de a.
Sol.: Area: A(a) = −
a (3a − 7) (6a − 7)
3
, Dominio: DA =
7
6
,
7
3
.
L = l´ım
x→2
√
5x2 − 1 −
√
4x3 + 3x2 + 3x − 31
3x3 + x2 + x − 30
Sol.: L = −
43
1558
√
19
L = l´ım
z→−7
−1 + cos(8z + 56) + sen(−5z − 35)
−2z2 − 13z + 7
Sol.: L = −
1
3
.
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
3x6 + 3x4 − 3x3 + 2x2 − 1 + 4x + 3
√
3x6 + 3x4 − 3x3 + 2x2 − 1


x3
+5
Sol.: L = ∞.
4

8
5. (A-S) Hallar los puntos de la curva de ecuación: y = −3x ln (x) + 7x donde la recta tangente tiene
pendiente m = −
1
3
. Hallar la ecuación de tal recta.
Sol.: Punto de tangencia: e
13
9 ,
8
3
e
13
9 . Recta tangente: y = −
1
3
x + 3e
13
9

9
CÁLCULO I
Carrera: ..................................................................
Tiempo: 90 minutos
1. 10 puntos (A-S) Resolver
64x + 128 +
4096
9 (x + 5)
+
8000
9 (x − 4)
< 0
f(x) =
−4x |x + 6| − 2x |x + 1|
|x − 4|
.
3. 20 puntos (A-S) Un rectángulo tiene dos vértices en el eje x y dos vértices en el semicírculo de
ecuación y =
841
81
− x2. (a) Determine el área del rectángulo en términos de x, (b) Tomando 10
puntos, igualmente espaciados, del dominio de la función determine el valor x donde la función área
tiene el valor más grande.
4. 30 puntos
a) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→1
√
3x2 + 1 −
√
x3 + 3
3
√
9x2 − 3 −
3
√
3x + 3
b) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→−6
−1 + cos(−2x − 12) + sen(3x + 18)
−8x2 + 288
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
4x6 + 2x4 + 2x2 − 1 + 5x − 4
√
4x6 + 2x4 + 2x2 − 1


x3
+1
5. 20 puntos (A-S) Hallar las rectas tangentes a la gráﬁca de: 36x2
+ 4y2
+ 288x + 64y + 688 = 0 con
pendiente m = 4.
5
5

10
Soluciones 6
1. (A-S) Resolver
64x + 128 +
4096
9 (x + 5)
+
8000
9 (x − 4)
< 0
Sol.: Puntos Clave={−∞, −5, −1, 4, ∞}.
−∞
−5
−1
4
∞
− + − +
Conjunto solución:
S = (−∞, −5) ∪ (−1, 4)
Lado izquierdo:
(4x + 4)3
(x + 5) (x − 4)
.
f(x) =
−4x |x + 6| − 2x |x + 1|
|x − 4|
.
Sol.: Puntos Clave={−∞, 0, 4, ∞}.
−∞
0
4
∞
+ − −
Pasos intermedios para cada caso(a) f(x) =
6x2
+ 26x
−x + 4
, (b) f(x) =
−2x2
− 22x
−x + 4
, (c) f(x) =
−6x2
− 26x
−x + 4
,
(d) f(x) =
−6x2
− 26x
x − 4
.
3. (A-S) Un rectángulo tiene dos vértices en el eje x y dos vértices en el semicírculo de ecuación
y =
841
81
− x2. (a) Determine el área del rectángulo en términos de x, (b) Tomando 10 puntos,
igualmente espaciados, del dominio de la función determine el valor x donde la función área tiene el
valor más grande.
Sol.: Area : A(x) = 2x
841
81
− x2, dominio: DA = 0,
29
9
, área máxima= 10.3806 en x = 2.2556.
L = l´ım
x→1
√
3x2 + 1 −
√
x3 + 3
3
√
9x2 − 3 −
3
√
3x + 3
Sol.: L =
3
10
62/3
2
= 0.49529
6

11
b) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→−6
−1 + cos(−2x − 12) + sen(3x + 18)
−8x2 + 288
Sol.: L =
1
32
.
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
4x6 + 2x4 + 2x2 − 1 + 5x − 4
√
4x6 + 2x4 + 2x2 − 1


x3
+1
Sol.: L = ∞.
5. (A-S) Hallar las rectas tangentes a la gráﬁca de: 36x2
+ 4y2
+ 288x + 64y + 688 = 0 con pendiente
m = 4.
Sol.: Primera solución: Punto de tangencia: −
28
5
, −
22
5
Recta tangente y = 4x + 18; segun-
da solución: Punto de tangencia: −
12
5
, −
58
5
Recta tangente y = 4x − 2.. Ecuación de la elipse:
(x + 4)2
22
+
(y + 8)2
62
. Los puntos de tangencia se encuentran de:
36x2
+ 4y2
+ 288x + 64y + 688 = 0
−
36x + 144
4y + 32
= 4
−6 −4 −2
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2

12
CÁLCULO I
Carrera: ..................................................................
Tiempo: 90 minutos
19x2
+ 9x + 26
15x2 + 25x + 10
− 1 ≤ 0
f(x) =
3 |x + 5| − 2 |x + 4|
−5x − 4 + 2 |x − 1|
.
3. 20 puntos (A-S) Considere el punto (3, 4), por este punto pasa una recta de pendiente m. Hallar el área
del triángulo formado por esta recta y los ejes coordenados en el primer cuadrante en función de m.
4. 30 puntos
a) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→3
√
9x2 − 9x − 5 −
√
x3 + 22
3√
3x2 − 18 −
3
√
6x − 9
b) (A-S) Calcular:
L = l´ım
y→1
−8 + 8 cos(−4y + 4) + sen(8y − 8)
−5y2 + 5
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
4x6 + 2x4 + 5x + 4 + 3x − 1
√
4x6 + 2x4 + 5x + 4


5x−5
5. 20 puntos (A-S ) Encontrar valores de a, b y c, para que las gráﬁcas de la parábola f (x) = ax2
+bx+c
y la cúbica g (x) = ax3
+ cx2
se intersecten en −
1
2
, 2 y tengan la misma tangente en tal punto.
7
7

13
Soluciones 8
1. (A-S) Resolver
19x2
+ 9x + 26
15x2 + 25x + 10
− 1 ≤ 0
Sol.: Puntos Clave={−∞, −1, −0.66667, 2, ∞}.
−∞
−1
−0.66667
2
∞
+ − + +
Conjunto solución:
S = (−1, −0.66667) ∪ 2
f(x) =
3 |x + 5| − 2 |x + 4|
−5x − 4 + 2 |x − 1|
.
Sol.: Puntos Clave={−∞, −7, −4.6, −0.28571, ∞}.
−∞
−7
−4.6
−0.28571
∞
+ − + −
Pasos intermedio para cada caso(a) f(x) =
−x − 7
−7x − 2
, (b) f(x) =
5x + 23
−7x − 2
, (c) f(x) =
x + 7
−7x − 2
, (d)
f(x) =
x + 7
−3x − 6
.
3. (A-S) Considere el punto (3, 4), por este punto pasa una recta de pendiente m. Hallar el área del
triángulo formado por esta recta y los ejes coordenados en el primer cuadrante en función de m.
Sol.: A(m) = −
(3m − 4)2
2m
, m ∈ (−∞, 0),
L = l´ım
x→3
√
9x2 − 9x − 5 −
√
x3 + 22
3√
3x2 − 18 −
3
√
6x − 9
Sol.: L =
9
4
92/3
7
= 1.3907
b) (A-S) Calcular:
L = l´ım
y→1
−8 + 8 cos(−4y + 4) + sen(8y − 8)
−5y2 + 5
Sol.: L = −
4
5
.
8

14
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
4x6 + 2x4 + 5x + 4 + 3x − 1
√
4x6 + 2x4 + 5x + 4


5x−5
Sol.: L = 1.
5. (A-S ) Encontrar valores de a, b y c, para que las gráﬁcas de la parábola f (x) = ax2
+ bx + c y la
cúbica g (x) = ax3
+ cx2
se intersecten en −
1
2
, 2 y tengan la misma tangente en tal punto.
Sol.: Los valores son a = −80, b = −108, c = −32, tales valores se encuentran resolviendo el sistema



−a + b =
3
4
a − c
1
4
a −
1
2
b + c = 2
−
1
8
a +
1
4
c = 2

15
CÁLCULO I
Carrera: ..................................................................
Tiempo: 90 minutos
−
128
21 (x − 2)
−
144
7 (x + 2)
+
12167
210 (x − 5)
+
6561
70 (x + 5)
≤ 0
f(x) =
8x + 11
|x + 6|
+
|x − 3|
10x + 8
.
3. 20 puntos (A-S) Considere el punto (3, 1), por este punto pasa una recta de pendiente m. Hallar el área
del triángulo formado por esta recta y los ejes coordenados en el primer cuadrante en función de m.
4. 30 puntos
a) (A-S) Calcular:
L = l´ım
x→1
√
5x2 − 4x + 2 −
√
2x3 − 3x2 + 3x + 1
5x3 + 2x2 − x − 6
L = l´ım
w→3
−1 + cos(2w − 6) + sen(3w − 9)
2w2 − 5w − 3
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
x6 + 5x − 1 + x + 5
√
x6 + 5x − 1


x3
+3
5. 20 puntos (A-S) Considere la elipse de ecuación:
(x + 4)2
25
+
(y + 1)2
16
= 1. Determinar el área del
triángulo situado en el segundo cuadrante construido con una recta tangente de pendiente m y los ejes
coordenados
x
y

16
9
9

17
Soluciones 10
1. (A-S) Resolver
−
128
21 (x − 2)
−
144
7 (x + 2)
+
12167
210 (x − 5)
+
6561
70 (x + 5)
≤ 0
Sol.: Puntos Clave={−∞, −5, −2, 0.4, 2, 5, ∞}.
−∞
−5
−2
0.4
2
5
∞
− + − + − +
Conjunto solución:
S = (−∞, −5) ∪ (−2, 0.4] ∪ (2, 5) ∪ 0.4
f(x) =
8x + 11
|x + 6|
+
|x − 3|
10x + 8
.
Sol.: Puntos Clave={−∞, −6, −0.8, ∞}.
−∞
−6
−0.8
∞
− − +
Pasos intermedios para cada caso: (a) f(x) =
−81x2
− 177x − 70
(x + 6)(10x + 8)
, (b) f(x) =
79x2
+ 171x + 106
(x + 6)(10x + 8)
, (c)
f(x) =
81x2
+ 177x + 70
(x + 6)(10x + 8)
3. (A-S) Considere el punto (3, 1), por este punto pasa una recta de pendiente m. Hallar el área del
triángulo formado por esta recta y los ejes coordenados en el primer cuadrante en función de m.
Sol.: A(m) = −
(3m − 1)2
2m
, m ∈ (−∞, 0),
L = l´ım
x→1
√
5x2 − 4x + 2 −
√
2x3 − 3x2 + 3x + 1
5x3 + 2x2 − x − 6
Sol.: L=
1
12
√
3
L = l´ım
w→3
−1 + cos(2w − 6) + sen(3w − 9)
2w2 − 5w − 3
Sol.: L =
3
7
.
10

18
c) (A-S) Calcular:
l´ım
x→∞


√
x6 + 5x − 1 + x + 5
√
x6 + 5x − 1


x3
+3
Sol.: L = ∞.
5. (A-S) Considere la elipse de ecuación:
(x + 4)2
25
+
(y + 1)2
16
= 1. Determinar el área del triángulo situado
en el segundo cuadrante construido con una recta tangente de pendiente m y los ejes coordenados
x
y
Sol.: Area: A(m) =
4m − 1 +
√
25m2 + 16
2
2m
.
Hecho con LATEX

Santiago Relos - Cuaderno de Cálculo 1

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