Matemática I

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
BARQUISIMETO – EDO. LARA
Números Reales
Asignatura: Matemática
Alumno: Luís Lucena
Sección: 0102
Profa.: María Mendoza
Barquisimeto, Febrero de 2021

2. Definición de conjuntos
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas
relaciones.
Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
Los Diagramas de Venn nos ayudan a expresar visualmente los conjuntos para entender
algunas ideas, usualmente se usan círculos para representar conjuntos contenidos en un
universo rectangular. A continuación, usaremos un Diagrama de Venn para expresar
visualmente la unión entre dos conjuntos.
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los
elementos de A y de B.
Ejemplos.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 1. Unión de conjuntos.

3. También se puede graficar del siguiente modo:
Fig. 2. Otra forma de expresar la unión de conjuntos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene
todos los elementos comunes de A y B.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será
A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 3. Intersección de conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la intersección será F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. Fig. 4. Intersección de conjuntos del ejemplo 2.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 5. Diferencia entre dos conjuntos del ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 6. Diferencia entre dos conjuntos del ejemplo 2.

5. • Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto
que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 7. Diferencia simétrica entre dos conjuntos del ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 8. Diferencia simétrica entre dos conjuntos del ejemplo 2.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos
los elementos que no pertenecen a A.

6. Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A'
estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Fig. 9. Complemento de un conjunto del ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto V={x/x
estudiantes que juegan voley}, el conjunto V' estará formado por los siguientes elementos
V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Fig. 10. Complemento de un conjunto del ejemplo 2.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B
que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su
segundo elemento pertenece a B.

7. En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello
necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados, de
ahí salen las n-tuplas ordenadas.
La n-tupla ordenada (a1, a2, a3,…,an) es la colección ordenada dónde su primer elemento
es (a1), (a2) es su segundo elemento, ... y (an)el elemento n-ésimo.
Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado
de cada par es igual, o sea, (a1,a2,a3,…,an) = (b1,b2,b3,…,bn) esto sucede si, y sólo si (ai)
= (bi), para i= 1,2,3,...,n. Las 2-tuplas se llaman pares ordenados (a,b) y (c,d), estos son
iguales si, y sólo si a=c y b=d.
Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos:
El símbolo de esta operación es: ×
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares
ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo
elemento perteneciente a B.
Ejemplo 1.
Si A={3,4} y B={1,3,8} y C={3,8,9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).
Hallamos el producto cartesiano de AxB ={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)}
Hallamos el producto cartesiano deBxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)}
Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3,3),(3,8)}
La representación gráfica de un producto cartesiano se puede hacer con una tabla cartesiana,
diagrama de flechas, diagrama cartesiano o un diagrama de árbol.
Ejemplo 2.

8. Sea A={3,4} y B={5,6,7}, representar gráficamente el producto cartesiano de AxB, con una
tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol.
Hallamos el producto cartesiano de A x B ={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}
Tabla cartesiana:
Tabla 1. Tabla cartesiana.
Diagrama con flechas:
Fig. 11. Diagrama con flechas.
Diagrama cartesiano:
Fig. 12. Diagrama con flechas.
Diagrama de árbol:

9. Fig. 13. Diagrama con flechas.
Para productos cartesianos de más de dos conjuntos, las tuplas estarán formadas por más de
dos elementos, y en estos se suelen nombrar del siguiente modo. Para 3 elementos 3-tupla,
tripla, tripleta, terna o triada, para 4 elementos 4-tupla o cuádrupla, para 5 elementos 5-tupla
o quíntupla, para 6 elementos 6-tupla o séxtupla, para 7 elementos 7-tupla o séptupla, para 8
elementos 8-tupla o óctupla, para 9 elementos 9-tupla y así sucesivamente.
Números reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras
palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Fig. 14. Diagrama con flechas.
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal
periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo,

10. a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real.
Fig. 15. Recta de números reales.
Conjunto de los números reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales se define como la
unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales. A
su vez, los números racionales se clasifican en:
a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, …
b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -
3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente
de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b cona, b enteros y b ≠ 0.

11. d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación
algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo,
√3
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Hay
números racionales que parecen irracionales, como por ejemplo √25.
A simple vista parecen irracionales, pero al observarlos con más detenimiento notamos que
las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales. En efecto, √25 = 5
e) Números Trascendentales, no pueden representarse mediante un número finito de raíces
libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas,
logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no
pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al
escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo
definido.
Para terminar, es recomendable observar con atención el siguiente mapa conceptual, para
reafirmar todo lo anteriormente expuesto a cerca de los números reales.
A partir de ahora, cuando se diga número sin adjetivo calificativo, estaremos hablando de
número real. Puedes estar seguro de eso.
Ejemplos.
1 → es un número entero
4/2 → 4/2 = 2 por lo que es un número entero
1/3 → es un número real racional
-5 → es un número entero
-5,2 → es un número real racional
√2 → es un número real irracional
√-1 → √-1 = i por lo que es un número imaginario
i2= -1 → por lo que es un número entero

12. número π (pi) → es un número real irracional
0 → es un número entero.
Desigualdades
Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de
ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un
conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a
b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que
se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento
mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al
elemento menor.

13. Definición de valor absoluto
En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por |x|, es el valor
no negativo de x sin importar el signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es el valor absoluto
de +3 y de -3.
Fig. 16. Gráfica de la función valor absoluto.
Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Ejemplo 1.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Fig. 17. Conjunto solución del ejemplo 1.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es.
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.

14. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a > -
b .
Ejemplo 2.
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Fig. 18. Conjunto solución del ejemplo 2.
Desigualdades con valor absoluto (>):
Ejemplo 1.
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.

15. Fig. 19. Conjunto solución del ejemplo 1.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a <
- b .
Ejemplo 2.
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
Fig. 20. Conjunto solución del ejemplo 2.

16. Ejercicio propuesto por el estudiante
Valor absoluto
Representar en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:
Solución:
1.
Notemos que, por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes
En donde la última desigualdad implica que .
Fig. 21. Conjunto solución del caso 1.
2.
Notemos que, por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes
En donde la última desigualdad implica que o , lo cual lo
podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como .
Fig. 22. Conjunto solución del caso 2.

17. BIBLIOGRAFÍAS
Arias García, Anthonny (2019). Operaciones entre conjuntos. Consultado el 11/02/2021.
https://totumat.com/2019/10/28/operaciones-entre-conjuntos/
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https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntos
Del Águila Mejía, Luis (2019). Matemática I. Operaciones con conjuntos. Consultado el
11/02/2021. https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
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Valor Absoluto (2021, 13 de Febrero). En Wikipedia. Consultado el 11/02/2021.
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
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https://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_con_conjuntos
Varsity Tutors (2007). Desigualdades de valor absoluto. Consultado el 11/02/2021.
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities