. VETOR NULO
Vetor nulo é o vetorrepresentado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0 .
No 2
 , 0 = (0,0) e no...
No 3
 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 , z1 + z2)
PROPRIEDADES:
a) Comutativa : u + v = ...
b) v e v tem o mesmo sentido se  >0 e sentido contrário se  <0
c) o comprimento de  v é igual ao comprimento de v mult...
VETORES COLINEARES
Vetores colineares são vetores que possuemrepresentantes numa mesma reta.
E10) Quais vetores abaixo são...
também é nula.
c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos.
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  1. 1. . VETOR NULO Vetor nulo é o vetorrepresentado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0 . No 2  , 0 = (0,0) e no 3  , 0 = (0,0,0). VETORES IGUAIS Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. No 2  , se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v  x1 = x2 e y1 = y2 . No 3  , se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v  x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 . E5) Encontre x e y para que os vetores u e v sejam iguais. a) u =( x2 , -1) e v = ( 1, y3 ) b) u = ( x –2 , 3, 5) e v = (2x + 1, y +5, 5) VETORES OPOSTOS Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. Indica-se o vetor oposto de v por -v. No 2  , se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no 3  , se v = (x,y,z) , -v = (-x,-y,-z). OPERAÇÕES COM VETORES 1. ADIÇÃO u v Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal B D B v C u u + v u u + v A v C A No 2  , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ).
  2. 2. No 3  , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u + v = ( x1 + x2 ,y1 + y2 , z1 + z2) PROPRIEDADES: a) Comutativa : u + v = v + u b) Associativa : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w c) Elemento neutro : u + 0 = u d) Elementos Oposto : u + (- u ) = 0 2. SUBTRAÇÃO A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u - v = u + (- v ). No 2  , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 ,y1 – y2 ). No 3  , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 , z1 – z2) E6) Determine o vetor x nas figuras abaixo : a) b) x u x u v v w E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ). a)Determine as componentes dos vetores AB  , AC  e BC  . b) Determine o vetor v , tal que v =   BCAB . c)Determine o ponto P, tal que   PBAP . 3. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR . - Se  = 0 ou v = 0 , então v = 0 - Se   0 e v  0 , então v é tal que a) v e v tem a mesma direção
  3. 3. b) v e v tem o mesmo sentido se  >0 e sentido contrário se  <0 c) o comprimento de  v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de  .| Exemplo: v 2v -3v No 2  , se u(x1,y1) e  então α u = (α x1 , α y1 ). No 3  , se u(x1,y1,z1) e  então α u = (α x1 , α y1 , α z1). PROPRIEDADES: a) ( u + v ) = u + v b) ( +  ) u = u + u. c) 1. v = v d) ( v. ) = v)( =  ( v ) E8) Dados os vetores abaixo, obtenha : u v w a) u + v + w b) u - v c) u - w + v d) 2u - 2 w e) 2v - w - 2u E9) Dados os vetores u =(1,-2,3) , v =(4,-1,-5) e w =(0,2,1), calcular: a) u + v b) u - v c) 2u + 3v - w d) t, tal que 3 u + v = 5 w - 4t e) x , tal que w - v = u + 2x
  4. 4. VETORES COLINEARES Vetores colineares são vetores que possuemrepresentantes numa mesma reta. E10) Quais vetores abaixo são colineares? y v1 v2 v3 0 v4 x v5 Importante: As expressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado. 2.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES Se dois vetores u e v são paralelos, então existe um número  , tal que u = v . No 2  , se u = ( x1 , y1 ) e v = ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) e portanto x1 =  x2 e y1 =  y2 . Logo 2 1 2 1 y y x x α  , isto é u // v  2 1 2 1 y y x x  No 3  , u // v  2 1 2 1 2 1 z z y y x x  Observações: a) O vetornulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção). b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a v
  5. 5. também é nula. c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos. E11) Encontre o valor de x para que os vetores v e u ,sejam paralelos : a) u = ( x - 2 , 1,0 ), v = ( 1 , 3,0 ) b) u = ( 0 , 5, 10 ), v = ( x , 2, 4 ) c) u = ( 5 ,0 ), v = ( x , 2 ) E12) Determinar m e n de modo que os vetores u =(1,-2,m) e v =(4,n,-5) sejam paralelos. E13) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares. E14) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ? . RESPOSTAS E1) (-3,-1); (0,0); (1,-2); (2,1); (3,-1) E2) (-2,1); (1,2); (2,0); (3,3); (4,1) E3) (1,2) E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); (-1,9,-2) E5) a) x = 1 e y = –1 b) x = –3 e y = –2 E6) a) x = u – v b) x = w – u – v E7) a) AB  = (0,-2,2) , AC  = (1,3,-2) , BC  = (1,5,-4) b) (-1,-7,6) c) (2,0,1) E9) a) (5,-3,-2) b) (-3,-1,8) c) (14,-9,-10) d) ) 4 1 , 4 17 , 4 7 ( e) ) 2 3 , 2 5 , 2 5 ( E10) TODOS E11) a) x = 3 7 b) x = 0 c) NÃO EXISTE E12) n = -8 e m = 4 5  E13) a = 2 1 e b = 2 5  E14) SIM

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