GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI
FUNDAMENTOS DE - 1
MATEMATICA
ELEMENTARCONJUNTOS FUNÇÕES
75 Exercícios resolvidos
326 Exercíc...
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
Composição e desenhos
AM Produções Gr...
,
INDICE
CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICA
XProp~çã()' . . . . . . . . . . . . . .. l-A
1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . ...
CAPlIU LO IV - RELAÇOES
I. Par ordenado 59-A
11. Sistema cartesiano ortogonal 60-A
111. Produto cartesiano . . . . . . . ....
Johann F. C. Gauss
(1777 - 1855)
a) 9 *- 5
b) 7> 3
c) 2 E ;Z
d) 3111
e) ;Z C O
De plebeu a príncipe
Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alema...
11. NEGAÇÃO
3. A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construir
outra, denominada negação de p e indicada co...
A conjunçio P Â q é verdadeira sap e q são ambas
verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p  q
é falsa.
8. Vam...
9. Condicional _ 11. Condicional *---+
Colocando o condicional -+ entre duas proposições p
uma nova proposlçao, p -+ q, qu...
Revendo os exemplos dados, temos:
1?) p é V e q é V, então p <-> q é V
2?) pé V e q é F, então p <-> q é F
3~) p é F e q é...
2<:') (pV~q)+-->(~p/q)
p q ~p ~q p V~q ~p/ q (p V ~q)+--> (~p / q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V V F F...
c) da conjunção relativamente à disjunção d) da negação
p / (q V rl = (p/q) V (p/ rl ~(~p)
= p
p V (q / r) = (p V ql / (p ...
EXERCíCIO Exemplos
Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quan-
tificadores:
A.7
ai x...
3'?) sentença:
negação:
4'?) sentença:
negação:
(Vx)(~ = x + 1)
(3X)(~ =1= x + 1)
Todo losango é um quadrado
Existe um los...
Criado um novo paraíso
Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a
maior parte de sua vida...
No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números
ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5...
37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos
a existência de um conjunto U ao qual pertencem tod...
EXERCfclOS
A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos:
A = {x Ix é letra da palavra "matemática"}
B = {x Ix é cor da ban...
VI. SUBCONJUNTO 44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:
A = B -= (f x)(x E A -= x E B)
A C B -= (fx)...
EXERCI'CIOS
VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS
A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se:
a) escrever com os símbolos da teo...
VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS
49. Definição
51. Coniuntgs djsjuntr
Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B n...
A.26 Determinar a reunião das retas de um plano Q que são paralelas a uma dada reta
r de Q.
X. DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A.28...
Exemplos A.35 Provar que (A - B) C A, V A.
admitindo que A e B são conjuntos quaisquer.
Solução
A implicação x E (A-B) ='(...
A.42 Seja E ~ la, {a}}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras.
a) a E E
b) {a} E E
c) a C E
d) {a} C E
e) 0E ...
CAPÍTULO III
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo Pl...
[M.3]elemento neutro da multiplicação
a • 1 = a
para todo a E IW
[D] Distributiva da multiplicação relativamente à adição
...
64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b é
múltiplo de a".
Para um inteiro a qualquer, indicamo...
70. Consideremos o conjunto ([1' formado pelos números racionais com de-
nominador unitário: ([1' = {~ I x E Z}. Temos:
a ...
A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais: 0,4;
0,444. ..; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5...
-2 -1 O 2 3
I I I I I I I I I I I
segmento representa
números racionais.
-3
I
1
2' Na figura abaixo representamos sobre a ...
80. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in-
ferior e extremo superior do intervalo.
EXERCíCIO...
VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
84. Em IR. a radiciação é uma operação, isto é, va E IR. qualquer que
seja o real a não...
29) Dada relação
n3 3n2 7n
3, definida todoa y +- - - + para
6 2 3
n E IW *, temos:
1 = y
13 3. 12 7 . 1
+ 3 =
-1+9-14+18
...
A.77 a I 13
2n
- 11. V n E W A.8S o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é do
nln - 31
-2-'
Soluçãc
10) P...
Desvendado mistério da continuidade
CAPÍTULO IV
-RELAÇOES
Julius W. R. Dedekind
(1831 - 1916)
mas isto ficaria fora do nív...
11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 95. Teorema
c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indi-
cados na f...
96. Definição
111. PRODUTO CARTESIANO
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano
de A por B o c...
EXERCICIOS
IV. RELAÇÃO BINÃRIA
bl B X A
ai A X B
representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produt...
Y, ; , ~ :
6 ----.---.---t--:!J-- .. --
: : : I !
5 l __ .l__cb__ .l L_1 , 'V I I
4 -)--4--~--~---L; : : ; :
3 ~_~--l_--~-...
EXERCICIOS 103. Exemplos
A.l00 Pede-se:
qual
x1_____
D
~
A
x3
R {(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)}
O ; {2, 3,...
A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B {y E IR I 1 ,;; y ,;; 4
definida por
xRy=x~2y
Pede-se:
...
EXERCfclOS
A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos:
ai R = {(l, 2),13,1),12, 31}
b) ...
As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A
existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relaç...
A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.3?) A relação f de A em IR, r...
112. Exemplos
EXERCICIOS
19) f: A __ B
x ~ 2x
é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x.
A.115 Oual é...
Vol 1 conjuntos e funções
Vol 1 conjuntos e funções
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  1. 1. GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI FUNDAMENTOS DE - 1 MATEMATICA ELEMENTARCONJUNTOS FUNÇÕES 75 Exercícios resolvidos 326 Exercícios propostos - com resposta 272 Testes de Vestibulares - com resposta 3! edição ATUAL EDITORA
  2. 2. Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos H.O.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo Impressão e acabamento Gráfica Ed itora Hamburg Ltda. Rua Apeninos, 294 278-1620 - 278-2648 - 279-9776 São Paulo - SP - Brasil CIP-&rasil. CatalogAção-na-Fonte câmara Brasileira do Livro, SP FundBlllentDB dI! matemátlcllI elementar (por] Gel- F977 aon Iezzl (e outros) 5BO Paulo, 'Atul!l1 v.l-2, Ed., 1977- 4-6 CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce e Semuel H!!Izzsn; 8 Butarh dos volumes indi- viduais vada entre 08 4 autores. Conteúdo; v.l. Con1untos, funçeea.-v.2. Logsrltmos.-v.4. SeQÜencias, mB~rize8 determl Mantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bl- lidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsçoes. 1. Metemétlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo, 1938- lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan, Sl!IIIlt1el, 1946- 11. Hurskeml, C8rl08, 1943- 77-1333 1::00-510 tndice para catálogo sistemático: 1. Ket_tlce 510 Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA l TOA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil '( APRESENTACÃO• "Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao nível da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha das ciências". No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aquinossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um{ apre- ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quai's--agra- decemos. Os autores
  3. 3. , INDICE CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICA XProp~çã()' . . . . . . . . . . . . . .. l-A 1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-A '1.1.1'. Proposição composta - conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-A IV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-A V; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B-A VI. Proposições logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-A VII. Relação de implicação 10-A VIII. Relação de equivalência ll-A IX. ~tenças abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l2-A X. CÔi!íÔ negar proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l4-A CAPiTU la 11 - CONJUNTOS I.~njunto, elemento, pertinência . 11. ~escrição de um conjunto . 1I1.(Ç,?)'ljunto unitário, conjunto vazio . IV. -obnjunto universo . V. ~~juntos iguais . VI. Subconjuntos . VII.' ~eunião de conjuntos . VIII. 1.lltersecção de conjuntos . IX'.tr0priedades . X;uiferença de conjuntos . X( ~mplementarde B em A . CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOS I. CoMunto dos números naturais )) . 11. cqJVunto dos números inteiros . Z. . 111. C&r'junto dos números raciona is .. ;.. . IV. (onjunto dos números reais ti".:. . V. Ii4térvalos . VI. ConiJnto dos números complexos. <- .VII. Re~o . VIII. Princípiq'da indução finita . 19-A 20-A 22-A 23-A 25-A 26-A 29-A 30-A 3l-A 33-A 33-A 39-A 40-A 43-A 46-A 49-A 52-A 52-A 53-A G·I
  4. 4. CAPlIU LO IV - RELAÇOES I. Par ordenado 59-A 11. Sistema cartesiano ortogonal 60-A 111. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-A IV. Relação binária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65-A V. Dom(nio e imagem 68-A VI. Relação inversa 70-A VII. Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71-A CAPlIU LO V - FU NÇOES I. Conceito de função 73-A 11. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74-A 111. Notação das funções 77-A IV. Dom(nio e imagem 80-A V. Funções iguais 84-A APÊNDICE SOBRE INEQUAÇÕES 86-A CAPlIULO VI - FUNÇOES DO 19 GRAU I. Função constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A 11. Função identidade 94-A 111. Função linear 94-A IV. Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-A V. Gráfico 96-A VI. Imagem 100-A VII. Coeficientes da função afim 101-A VIII. Zero da função afim 102-A IX. Funções crescentes e decrescentes 103-A X. Teorema 105-A XI. Sinal de uma função 106-A XII. Sinal da função afim 108-A XIII. Inequações simultâneas 112-A XIV. Inequações-produto 113-A XV. Inequações-quociente 120-A CAPliULO VII - FUNÇAO QUADRATICA I. Definição 123-A 11. Parábola 123-A 111. Concavidade 125-A IV. Forma canônica 125-A V. Zeros 126-A VI. Máximos e m(nimos 130-A V11. Vértice da parábola 131-A VIII. Imagem 133-A IX. Eixo de simetria 136-A X. Gráfico " 136-A XI. Sinal 140-A XII. Inequações do 2? grau 144-A X111. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-A XIV. Comparação de um número real com as ra(zes da equação do 2? grau. . 150-A XV. Sinais das ra(zes da equação do 2<:' grau 155-A CAPrrULO VIII - FUNÇAO MODULAR I. Função definida por várias sentenças abertas 159-A 11. Módulo 161-A 111. Função modular 161-A IV. Equações modulares 166-A V. Inequações modulares 168-A CAPliULO IX - OUTRAS FUNÇOES ELEMENTARES I. Função f(x) = x3 • . . . . . . . . . . . . . . . • • . • • . . . . . . . . . . . . . 171-A 11. Função rec(proca 172-A 111. Função máximo inteiro 177-A CAPliuLO X - FUNÇAO COMPOSTA - FUNÇAO INVERSA I. Função composta 181-A 11. Função sobrejetora 187-A 111. Função injetora 188-A IV. Função bijetora 189-A V. Função inversa 195-A APÊNDICE I Equações irracionais 208-A APÊNDICE II Inequações irracionais 217-A - ..RESPOSTAS DOS EXERCICIOS 225-A TESTES 269-A RESPOSTAS DE TESTES 315-A
  5. 5. Johann F. C. Gauss (1777 - 1855)
  6. 6. a) 9 *- 5 b) 7> 3 c) 2 E ;Z d) 3111 e) ;Z C O De plebeu a príncipe Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(lia humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta - 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aI' houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética. Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duque de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando se tornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente com o aux(lio de régua e compasso. Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de HelmsÜidt e sua tese foi a demonstração do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equação polinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginária e para isso baseou- se em considerações geométricas. Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensando nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano. Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritméticas) é o principal responsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresen- tando a notação b=c (mod al, para relação de congruência, que é uma relação de equivalência. Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classifi- cada por ele como a "jóia da aritmética" e demonstrando o teorema segundo o qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de primos. Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Arit- mética como a rainha da Matemática. No começo do séc. XI X abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astrono- mia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje, e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gottingen, onde passou 40 anos. Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometria aplicada ã teoria de Newton. Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e o telégrafo elétrico. Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até o momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca. Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática". CAPiTULOl NOÇÕES DE LÓGICA I. PROPOSiÇÃO 1. Definição Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa. Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias: 1~) sendo oração, tem sujeito e predicado; 2~) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) 3~) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F). 2. Exemplos São proposições: (Nove é diferente de cinco) (Sete é maior que três) (Dois é um número inteiro) (Três é divisor de 11) (O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos racionais) Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d. Não são consideradas proposições as frases: f) 3· 5 + 1 (onde falta predicado) g) V2 E O? (que é oração interrogativa) h) 3x - 1 = 11 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa) l-A
  7. 7. 11. NEGAÇÃO 3. A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p. Exemplos a) p: 9 "* 5 b) p: 7 > 3 ~p: 9 = 5 ~p: 7 ~ 3 c) p: 2EZ d) p: 3 1 11 ~p: 2gZ ~p: 3111 e) p: ;z.C(} -p: Zrj.O 4. Para que ~p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de classificá-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o segu inte cri tér io de classificação: A.2 Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras? ai 3 • 7 = 21 b) 3 • 111 - 71 "* 5 cl 3'2+1>4 di 5'7-2~5'6 el (2..)7<1~)3 fi V2 <1 2 2 91 - 1-41 ;;;. 7 hl 317 111. PROPOSiÇÃO COMPOSTA - CONECTIVOS A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo 1 (lê-se: e) e o conectivo V (lê-se: ou). 5. Conectivo 1 Colocando o conectivo 1 entre duas proposlçoes p e q, obtemos uma nova proposição, p 1 q, denominada conjunção das sentenças p e q. Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~ p é verdadeira no exemplo d e ~p é falsa nos demais. A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p, isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsa quando p é verdadeira. Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição ~ p. p ~p V F F V Exemplos 10) p: 2> O q: 2"* 1 p 1 q: 2 > O e 2"* 1 2?) p: -2 < -1 q: (_2)2 < (_1)2 p 1 q: -2 < -1 e (_2)2 < (_1)2 3?) p: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a q: um quadrado de lado a tem área a2 p 1 q: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e área a2 • EXERCICIOS A.l Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições quais são verdadeiras? 4?) p: 2 I 5 (2 é divisor de 5) q: 315 (3 é divisor de 5) p 1 q: 215 e 315 (2 e 3 são divisores de 5). 2-A ai 5' 4 o 20 cI 2+7,305,4+3 el 1 + 3 "* 1 + 6 91 3 + 4 > O bl 5 - 4 o 3 di 5(3 + 1I o 5 • 3 + 5 • 1 fi (-2)S;;;' 1_213 h)11-4'2 6. Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (Vou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: 3-A
  8. 8. A conjunçio P  q é verdadeira sap e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p  q é falsa. 8. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (Vou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: 1~) p: 5> O q: 5 > 1 p Y q: 5 > O ou 5> 1 ~) p: 3 = 3 q: 3 < 3 p V q: 3';;; 3 Colocando o conectivo Y entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p y q, denominada disjunção das sentenças p e q. Exemplos Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 1~) p é V e q é V, então pÂq é V 2~) p é V e q é F, então PÂq é F 3~) p é F e q é V, então pÂq é F 4~) pé F e q é F, então pÂq é F 7. Conectivo Y A disjunção P Y q é verdadeira se ao menos urna das pro· posições p ou q e verdadeira; se p e q são ambas falo sas, então p y q é falsa. p q Pyq V V V V F V F V V F F F Revendo os exemplos anteriores, temos: 1~) p é V e q é V, então Pyq é V 2~) p é V e q é F, então pyq é V 3~) p é F e q é V, então pyq é V 4~) p é F e q é F, então p yq é F EXERCICIO A.3 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a) 3> 1 e 4> 2 b) 3> 1 ou 3 = 1 c) 2 I4 ou 2 I(4 + 1) d) 3(5 + 2) = 3 • 5 + 3 • 2 e 3 I7 e).!. < ~ ou 5111 2 4 t) (_1)6 = -1 e 2s < (_2)7 g) ...,riS = 6 ou mdc (4, 7) = 2 Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela· -verdade da proposição p Y q. p q PÂq V V V V F F F V F F F F Este critério está resumido na tabela ao lado, onde são e~aminadas todas as possibilidades para p e q. Esta tabela é denominada tabela-ver- dade da proposição p  q. :1,» p: 10 é número primo q: 10 é número composto p y q: 10 é número primo ou número composto IV. CONDICIONAIS 4~) p: ~ < 26 q: 22 < (_3)s p V q: 34 < 26 ou 22 < (_3)s Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposlçoes através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se ... então ... (símbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ... (símbolo: +-+) 4-A 5-A
  9. 9. 9. Condicional _ 11. Condicional *---+ Colocando o condicional -+ entre duas proposições p uma nova proposlçao, p -+ q, que se lê: "se p então q", necessária para q", "q é condição suficiente para p". Exemplos e q, obtemos "p é condição Colocando o condicional *---+ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p <--+ q, que se lê: "p se e somente se q", "p é condi- ção necessária e suficiente para q", "q é condição necessária e suficiente para p" ou "se p então q e reciprocamente". 2?l 1?) 2?) 3?l p: 214 q: 4112 p -+ q: 2 I 4 -+ 4 I 12 p: 10 = 5 • 2 q: 3110 p -+ q: 10 = 5·2 -+ 3110 p: 5 < 2 q: 2 E Z p -+ q: 5 < 2 -+ 2 E Z. Exemplos l?l p: 2112 q: 2.7112· 7 p<--+q: 2112<--+2.7112·7 p: -ª- = 6 2 4 q: 3·4 *6· 2 3 6 p <--+ q: 2" = 4" 4?l p: 7';;; 3 q: 3 = 6·2 p -+ q: 7';;; 3 -+ 3 = 6·2 10. Vamos postular um critério de classificação para a proposição p -+ q baseado nos valores lógicos de p e q: o condicional p -+ q é falso somente quando p é ver- dadeira e q é falsa; caso contrário, p -+ q é verdadeiro. 3?l p: 6 = 12: 3 q: 3· 6 = 18 p <--+ q: 6 = 12: 3 <--+ 3·6 = 18 4?l p: 4';;; 3 q: 4·5';;; 3·5 p <--+ q: 4';;; 3 <--+ 4 . 5 O;;; 3· 5 12. Vamos postular para o condicional p <--+ q o seguinte critério de clas- sificação: Revendo os exemplos dados, temos: 1?) p é V e q é V, então p -+ q é V 2?) pé V e q é F, então p-+q é F 3?) pé F e q é V, então p -+ q é V 4?) pé F e q é F, então p-+q é V 6-A 7-A o condicional +---> é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não a- contecer o condicional +---> é falso. Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-ver- dade da proposição p -+ q p q p-+q V V V V F F F V V F F V Assim, a tabela-verdade da pro- posição p +---> q é a que está ao lado. p q p <--+ q V V V V F F F V F F F V
  10. 10. Revendo os exemplos dados, temos: 1?) p é V e q é V, então p <-> q é V 2?) pé V e q é F, então p <-> q é F 3~) p é F e q é V, então p <-> q é F 4?) p é F e q é F, então p <-> q é V EXERCICIOS A.4 Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposições abaixo a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 • 4 b) 22 = 4 <-> (_2)2 = 4 c) 5 + 7 • 1 = 10 -->- 3·3 = 9 d) mdc (3, 6) = 1 <-> 4 é nÚmero primo e) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2 f) 6';;; 2 <-> 6 - 2 ;;;. O g) 1. < ~ -->- 3' 7 = 2 • 5 5 7 A.5 Admitifldo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (Vou F) de cada proposição abaixo. a) p -->- r b) p <-> q c) r -->- p d) (p V rl <-> q el p -->- (q -->- ri f)p-->-(qVrl g) -p <->-q h) ~p <-> r V. TAUTOLOGIAS 13. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... ), mediante emprego de conectivos (Vou 1) ou de modificador (_) ou de condicionais (-->- ou +-». Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira .quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. -Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v. 8-A Exemplos 1'?) (p 1 ~p) -->- (q V p) é ';Ima tautologia pois p q ~p p 1 ~p qV p (p 1 -p) -+- (q V f)} V V F F V V: V F F F V V' F V V F V V F F V F F V. 2?) ~ (p 1 q) <-> (-p V -q) é uma tautologia pois p q plq ~(plq). ~p -q ~pV~q ~(p Iq)+-+ (_pV _q) ..... V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V VI. PROPOSiÇÕES LOGICAMENTE FALSAS 14. Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...L mediante emprego de conectivos (Vou 1) ou de modificador (-) ou de condicionais (-->- ou <-». Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresenta só F na coluna de f. Exemplos 1?) p 1 ~p é proposição logicamente falsa pois: p -p p I-p V F F F V F 9-A
  11. 11. 2<:') (pV~q)+-->(~p/q) p q ~p ~q p V~q ~p/ q (p V ~q)+--> (~p / q) V V F F V F F V F F V V F F F V V F F V F F F V V V F F VIII. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA 18. Dadas as proposições p e q, dizemos que "p é equivalente a q" quando p e q têm tabelas·verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. Ouando p é equivalente a q, indicamos: p <=> q. 19. Observações 1a ) Notemos que p equivale a q quando o condicional p <-+ q é verdadeiro. 2~) Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência hipótese <=> tese VII. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO 15. Dadas as proposições p e q, dizemos que tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma temos simultaneamente p verdadeira e q falsa. Ouando p implica q, indicamos p ""' q. p implica q" quando na linha, isto é, quando não 20. Exemplos 16. Observações 1~) Notemos que p implica q quando o condicional p -+ q é verdadeiro. 2~) Todo teorema é uma implicação da forma hipótese ""' tese 855jm dewgpstrft[ 11m tegrema significa mgsTra' Que 030 PEque 9 GaBO da hipótese ser verdadeira e a tese falsa. 17. Exemplos p q p-+q ~q ~p ~q -+ ~p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F I F V V V V 2<:') 2 I 8 <=> mdc (2, 8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bi· condicional "2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 8 é 2". A.6 Verificar, através das tabelas-verdades, a valid3de das equivalências abaixo: EXERCICIO 10 1 2 I 4 ""' 2 I 4 • 5 significa dizer que o condicional "se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de 4 . 5" é verdadeiro. 2<:') p té pOSitiVO e primo ""' mdc (p, p2) = P quer dizer que o condicional "se p é número primo e positivo, então o máximo divisor comum de p e p2 é p", é verdadeiro. 10-A a) da conjunção p/q <=> q/p (p / q) / r <=> p / (q / r) p/p<=>p p/v <=>p p/I<=>f b) da disjunção pVq <=>qV p (p V q) V r <=> p V (q V rl pVP<=>P P Vv <=>v P VI <=>p ll-A
  12. 12. c) da conjunção relativamente à disjunção d) da negação p / (q V rl = (p/q) V (p/ rl ~(~p) = p p V (q / r) = (p V ql / (p V rl ~(p / q) = ~pV ~q p/(pVq) = p ~(p Vq) = ~p/ ~q p V (p / q) = p onde p, q, r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição logicamente falsa. Exemplos 1l?) (V xlix + 1 = 7) que se lê: "qualquer que seja o número x, temos x + 1 2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se lê: "para todo número x, x3 = 2xz". (Falsa) 7". (Falsa) IX. SENTENÇAS ABERTAS, QUANTI FICADORES 30 ) (Va) ((a + 1)z = a2 + 2a + 1) que se lê: "qualquer que seja o número a, temos (a + 1)z = aZ + 2a + 1". (Verdadeira) 40 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se lê: "para todo número y, temos yZ + 1 positivo". (Verdadeira) 25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ::J I que se lê: "existe um único, "existe um e um só", "existe só um". o quantificador existencial é indicado pelo slmbolo 3 que se lê: "existe", "existe pelo menos um", "existe um". 24. O quantificador existencial 2l?) (3 x)(x 3 = 2xz) que se lê: "existe um número x tal que x3 = 2xz". (Verdadeira) 3l?) (3a)(az + 1 ~ O) que se lê: "existe um número a tal que aZ + 1 é não positivo". (Falsa). 4l?) (31m) (m(m + 1) *' m Z + m) que se lê: "existe pelo menos um número m tal que mIm + 1) i m Z + m". (Falsa) (Verdadeira) Exemplos 1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se lê: "existe um número x tal que x + 1 = 7". Exemplos 22. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico (Vou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)ças abertas em pro· posições: la) atribuir valor às variáveis 2a) utilizar quantificadores. 21. Há expressões como: a) x + 1 = 7 b) x> 2 c) x3 = 2xz que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuldo à variável. Nos exemplos citados temos: a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x; b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para c) x3 = 2xz é verdadeira se trocarmos x por O (03 = 2 • OZ) ou 2 (23 = 2 • 2z ) e é falsa para qualquer outro valor dado a x. o quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo V que se lê: "qualquer que seja", "para todo", "para cada" 2l?) (3Ix)(x 3 = 2xz) que se lê: "existe um só número x tal que x3 = 2xz" que se lê: x tal que x + 2 > 3". 23. o quantificador universal 1l?) (3Ix)(x + 1 = 7) lI ex iste um só número 3l?) L3Ix)(x + 2 > 3) "existe um só número que se lê: x tal que x + 7". (Verdadeira) (Falsa) (Falsa) 12-A 13-A
  13. 13. EXERCíCIO Exemplos Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quan- tificadores: A.7 ai x 2 - 5x + 4 = O c).::L + .::L '" .::L 3 4 7 e) -(-x) = x g) H= x b) (a + 1)(a - 11 = a 2 - 1 di y;;r+ 9 '" m + 3 1)5a+4';;11 2 h) a - a = a _ 1 a 1?) p: O triângulo ABC é isósceles q: o triângulo ABC é equilátero p V q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero -(p V q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero 2?) p: a = O q: b = O P V q: a = O ou b = O -(p V q): a", O e b '" O X. COMO NEGAR PROPOSiÇÕES Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II deste capítulo. Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais cons- tituem processos para negar proposições compostas e condicionais. 26. Negação de uma conjunção Tendo em vista que ~ (p 1 q) <= -p V -q, podemos estabelecer que a negação de p 1 q é a proposição -p V -q. Exemplos 1?) p: a '" O q: b'" O p 1 q: a '" O e b '" O -(plq): a=O ou,b=O 2<:» p: 2 1 4 q: 319 p 1 q: 214 e 319 ~(p 1 q): 2A'4 ou 3A'9 28. Negação de um condicional simples Já que -(p -+ q) <= P 1 -q, podemos estabelecer que a negação de p -+ q é a proposição p 1 -q. Exemplos 1<:» p: 2 E ;Z q: 2 E O p -+ q: 2 E;Z -+ 2 E O _(p-+q):2EZ e 2f:-0 2<:» p: 52 = (_5)2 q: 5 = -5 p -+ q: 52 = (_5)2 -+ 5 = -5 -(p -+ q): 52 = (_5)2 e 5"'-5 29. Negação de proposições quantificadas a) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo (fx)(p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x), obtendo: (3x)(-p(x)). Exemplos Tendo em vista que - (p V q) <= (-p f - q). podemos estabelecer que a negação de p V q é a proposição - p 1 - q. 27. Negação de uma disjunção 1?) sentença: negação: 2?) sentença: negação: (fx)(x + 3 = 5) (3 x)(x + 3 '" 5) (fx)(x(x + 1) = x2 + x) (3x)(x(x + 1) '" x2 + x) 14-A 15-A
  14. 14. 3'?) sentença: negação: 4'?) sentença: negação: (Vx)(~ = x + 1) (3X)(~ =1= x + 1) Todo losango é um quadrado Existe um losango que não é quadrado b) Uma (3x)(p(x)), nega-se p(x), sentença quantificada com o é negada assim: substitui-se obtendo: (Vx)(-p(x)). quantificador existencial, do tipo o quantificador pelo universal e Exemplos 1'?) sentença: (3 x)(x = x) negação: (Vx)(x =1= x) 2'?) sentença: (3 a)(a + 1 ;;;. .1.) 2 3 negação: . (va)(a + ..!... < .1.) 2 3 3'?) sentença: (3a)(..!... E iR) a negação: (va)(..!... fJ. IR) a EXERCICIO A.S Dizer qual é a negação de cada proposição abaixo: a) rode (2, 3) = 1 ou mme (2, 3) =1= 6 b) ~ = ~ ou 3· 10 =1= 6 • 5 5 10 e) ~ ;;;. 1 e -3;;;' - 7 7 d) 22 = 4 .... v'4= 2 e) (_3)2 = 9 .... Y9 =1= -3 t) 2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52 g) IVx)(x > 2 .... 3 x > 3 2 ) h) (3 x)(...tx" <O i) Todo número inteiro primo é Impar j) Todo triângulo isósceles é equilétero k) Existe um losango que não é quadrado I) Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes A.9 16-A Classificar em V ou F as ne9;:ões constru (das no exerc(cio anterior.
  15. 15. Criado um novo paraíso Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval. Estudou em Zürich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, FIsica e Matemática. Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números. Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de "infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemá- tica mas sem se chegar a uma conclusão precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a proprie- dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências. Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potência que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a po- tência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o própio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao esta- belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática comple- tamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino. Georg F. L. P. Cantor (1845 - 1918) Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas, construiu toda uma aritmética transfinita. Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância, nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker. o reconhecimento de suas real izações mereceram a exclamação de Hilbert: "Nin- guém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós". CAPITULO II CONJUNTOS Faremos aqui uma revlsao das principais noções da teoria dos conjuntos, naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noções para apresentar os principais conjuntos de números. I. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA 30. Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas: ta) conjunto b) elemento c) pertinência entre elemento e conjunto A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis alguns exemplos: 1) conjunto das vogais 2) conjunto dos algarismos romanos 3) conjunto dos nú.meros ímpares positivos 4) conjunto dos planetas do sistema solar 5) conjunto dos números primos positivos 6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho 7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 1) a, e, i, o, u 2) I, V, X, L, C, D, M 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte, 5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 6) paus, ouro, copas, espada 7) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro 19-A
  16. 16. No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números ímpares e 2 não pertence. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por "exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores. 31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, ... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, .... Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos xEA Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos x ri. A 33. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves. Exemplos 1) conjunto das vogais {a, e, i, o, u} 2) conjunto dos algarismos romanos {I, V, X, L, C, O, M} 3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} Esta notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a lei de formação e em seguida colocamos reticências. Exemplos 1) conjunto dos números ímpares positivos {1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... } 2) conjunto dos números primos positivos {2, 3, 5, 7, 11, 13, ... } 32. É habitual representar um conjun- to pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim, na representação ao lado temos: a E A, b E A e d 1= A. No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando os assim chamado diagrama de Euler-Venn. C)a•.•••• A . .• c ·b .d 3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3 {O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... } A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re- ticências e indicamos o último elemento. Exemplos 1) conjunto dos números inteiros de O a 500 {O, 1, 2, 3, ... , SOO} 2) conjunto dos divisores positivos de 100 {1, 2, 5, 10, ... , 100} 11. DESCRiÇÃO DE UM CONJUNTO Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto. 2o-A 34. Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda- de característica P de seus elementos x, escrevemos A = {x I x tem a propriedade P} e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P". 21-A
  17. 17. 37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto· universo é IR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjunto-universo é um certo plano a, {o, 1,2,3, .. ,' 500} 3) {x I x é inteiro e O.,;; x .,;; 500} pode também ser indicado por: 2) {x I x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto: {1. -1, 3, -3} Exemplos IV. CONJUNTO - UNIVERSO 1) {x I x é estado da região sul do Brasi I} é uma maneira de indicar o conjunto: {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 111. CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO 38. Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo U em que estamos trabalhando. Consideremos a questão: "qual é o conjunto dos pontos P que ficam a igual distância de dois pontos dados A e B, sendo A i' B?" 35. Definição Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. 1) Se U é a reta AB, o con- junto procurado é formado só por P; A • p • ~I B • Exemplos 1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: { 1} 2) conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3} 3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai: {Rio Grande do Sul} 2) Se U é um plano contendo A e B, o conjunto procurado é a reta mediatriz do segmento AB; p B , A 36. Definição Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, O símbolo usual para o conjunto vazio é 0. Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de 'Ima propriedade P logicamente falsa. Exemplos 1){xlxi'x}=0 2) {x I x é ímpar e múltiplo de 2} 3) {x I x > O e x < O} = 0 3) Se U é o espaço, o conjunto procurado é o plano mediador do segmen- to AB (plano perpendicular a AB no seu ponto médio).. 39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto A propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U trabalhando, escrevendo A = {x E U I x tem a propriedade p} através de uma em que estamos 22-A 23-A
  18. 18. EXERCfclOS A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A = {x Ix é letra da palavra "matemática"} B = {x Ix é cor da bandeira brasileira} C ={x Ix é nome de estado que começa com "a"} Solução A ~ {m, a, t, e, i, c} B = {branco, azul, amarelo, verde} C = {amazonas, amapá, acre, alagoas} V. CONJUNTOS IGUAIS 40. Definição Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos: 1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a} 2) {l, 3, 5, 7, 9, ... } = {x I x é inteiro, positivo e ímpar} A.ll Descreva através de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... } B = {O, 1, 2, ''', 9} C = {brasllia, rio de janeiro, salvador} Solução A = {x Ix é inteiro, par e não negativo} B = {x Ix é algarismo arábico} C ~ {x Ix é nome de cidade que já foi capital do Brasil} Exemplos A B _ ('v'x)(x EA = X E B) A.12 Escreva com srmbolos: aI conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10 b) conjunto dos divisores inteiros de 42 c) conjunto dos múltiplos inteiros de O d) conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre O e 3 el conjunto dos nomes das capitais da região centro-oeste do Brasil A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6} B = {O, -10, -20, -30, -40, ...} C = {I, 4, 9,16,25,36, ... } O ~ {Lua} 3) {x I 2x + 1 = 5} = {2} Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos, portanto: {a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d} Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo: {a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d} A.14 Ouais dos conjuntos abaixo são unitários? A = {x Ix < ~ e x > ~ }4 5 C = {x I x é inteiro e x' = 3} A.15 Ouais dos conjuntos abaixo são vazios? A = {xlo-x ~ O} B ~ {x Ix > ~ e x < ~ }4 5 C = {x Ix é divisor de zero} O = {x I x é divisrvel por zero} 24-A B = {x IO - x = 2} O = {x 12x + 1 = 7} (para conferir basta usar a definição). Assim, preferimos sempre a notação mais simples. 41. Se A não é igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A é dife- rente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento não pertenctlnte a A. Exemplo {a, b, d} "* {a, b, c, d} 25-A
  19. 19. VI. SUBCONJUNTO 44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos: A = B -= (f x)(x E A -= x E B) A C B -= (fx)(x E A => X E BI o símbolo C é denominado sinal de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim: Se A = {a} os elementos de![J(A) são °e {a}, isto é: &(A) = {g!, {a}} Se A = {a, b} os elementos de fJ(A) são 0, {a}, {b} e {a, b}, 45. Propriedades da inclusão Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: 1~) iz5 C A 2~) A C A (reflexiva) 3~) (A C B e B C A) => A = B (anti-simétrica) 4~) (A C B e B C C) => A C C (transitiva) A demonstração dessas propriedades é imediata com exceção da 1~ que passamos a provar. Para todo x, a implicação xEgJ=>XEA é verdadeira pois x E g! é falsa. Então, por definição de subconjunto, 0 C A. 46. Conjunto das partes Nesta definição está expl ícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, isto é, A C B e B C A, portanto, podemos escrever: A = B -= (A C B e B C A). 2?) isto é: 1?) Exemplos Provaremos mais adiante (capítulo 111) que se A é um conjunto finito com n elementos, então fJ(A) tem 2" elementos. Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notação &(A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos: &(A) = {X I X C A} fJ(A) = {g!, {a}, {b}, {a, b}} 3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) são 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto é: r[iJ(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}} A rj. B 88 é inteiro e primo} Exemplos 1) {a, b} C {a, b, c, d} 2) {a} C {a, b} 3) {a, b} C {a, b} 4) {x I x é inteiro e par} C {x I x é inteiro} 42. Definição Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação A C B indicamos que "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B" ou "A é parte de B". Com a notação A '1- B indicamos que "A não está contido em B", isto é, a negação de A C B. É evidente que A '7'- B somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B. Assim, por exemplo, temos: 1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e} 2) {a, b} çz' {c, d, e} 3) {x I x é intei ro e par} '7'- {)( I x 43. Quando A C B, também podemos escrever B:J A que se lê "B contém A". 26-A 27-A
  20. 20. EXERCI'CIOS VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se: a) escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 47. Definição b) classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} e V ou F cada sentença abaixo e justificar: Solução ai V pois 1 E A, , E O, 2 E A e 2Eo b) F pois lEA e ,ris c) F pois 2EB e 2 ri C . di V pois 2 E B, 2 E O, 3 E B e 3 E O el F POIS 2EO e 2~C fi V pois 2EA e 2riC ®o x E A ou x E B. Exemplos 1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d} 2) {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d} 3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e} 4) ia, b, c} U ~ = {a, b, c} 5) r/J U r/J = </; Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. I A U B ={x I x E A ou x E B} O conjunto A U B (lê-se "A r - - - - - - - - - - - - - - - - - , reunlao B" ou "A u B") é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Notemos que x é elemento de A U B se ocorrer ao menos uma das condições seguintes: c) B C C fi A ri- C o = t 1, 2, 3, 4}. classificar em 2~) não está em B 4~) B é igual a A b) A C B e) C = O 1~) 3 li elemento de A 3~) B li parte de A 5~) 4 pertence a B a) A C O d) O :) B Solução ,a) 3 E A (V) 2a) 1 ri S (VI 3~1 B C A (V) 4~1 B = A (F) 5~) 4 E B (V) A.18 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras? ai la, a, a, b, b} = {a, b} b) {x I x2 = 4} = {x Ix "'" O e x3 - 4x = O} cl {x 12x + 7 = 11} = {2} d)',xlx<o e x;;'O}=r/J A.19 Dizer se é verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo. a) O E{O, 1, 2, 3, 4} fI a E {a, {a}} bl a}E{a,b} gl {a} C {a,~a}} cl 2> E {O} h) 2> C {O, {a}} di O E</; i) çDE{O,{a}} el la} C</; j) {a, b} E {a, b, c, d} A.20 Fazer um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjun- tos não vazios, O C C C B C A. A.21 Construir o conjunto das partes do conjunto A == {a, b, c, d}. 48. Propriedades da reunião Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1~) A U A = A (idempotente) 2a) A U r/J = A (elemento neutro) 3~) A U B = B U A (comutativa) 4~) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa) Demonstração Fazendo A = {x I x tem a propriedade p} ou, simplesmente A=',xip(x)} e,ainda: B={xlq(x)},C={xlr(x)} e r/J={xlf(x)} onde f é proposição logicamente falsa, temos: AUA={xlp(x) ou p(x)}={xlp(x)}=A Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposições vistas no exercício A.6. 28-A 29-A
  21. 21. VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS 49. Definição 51. Coniuntgs djsjuntr Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos. IX. PROPRIEDADES A n B = {x I x EA e x E B} Dados dois conjuntos A e B, chama·se intersecção de A e B o con- junto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. o conjunto A n B (Iê-se"A inter B") é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B) simultaneamente. Se x E A n B, isto significa que x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo e colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo. Exemplos 1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c} 2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b} 3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c} 4) {a, b} n {c, d} = 0 5) {a, b} n 0 = íZ5 50. Propriedades da intersecção 00 52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam a reunião e a intersecção de conjuntos: 1~) A U (A n B) = A 2~) A n (A U B) = A 3~) A U (B n C) = (A U B) n (A U C) (distributiva da reunião em relação à intersecção) 4~) A n (B U C) = IA n B) U (A n C) (distributiva da intersecção em relação à reunião). Demonstremos, por exemplo, a H e a 3~: A U (A n B) = {x I p(x) V (p{x) 1 q(x))} = {x I (p(x))} = A A U (B n C) = {x I p{x) V (q(x) 1 r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1 (p(x) V r{x))} = = {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C) EXERCICIOS A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. c}. B = {c. d} e C = {c. e}. determinar A U B. A U C. B U C e A U B U C. A.23 Provar que A C IA U B). "I A. Solução x E A => x E A ou x E B I! uma implicação verdadeira, "I x. portanto: A C (A U B) Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1~) A n A = A (idempotente) 2~) A n U = A (elemento neutro) 3~) A n B = B n A (comutativa) 4~) A n (B n C) = (A n B) n C (associativa) A.24 Classificar em V ou F: a) 0 C IA U BI c) A E IA U B) e) B C IA U B) admitindo que A. B e C bl IA U B) C A d) IA U B) C IA U BI f) (A U B) C (A U B U C) são conjuntos quaisquer. Como mostramos para a operação de reunião, estas propriedades são também demonstráveis com aux(ljo do exercício A.5. 3O-A A.25 Determinar a reunião dos circulas de raio r. contidos num plano a e que têm um ponto comum O E a. 31-A
  22. 22. A.26 Determinar a reunião das retas de um plano Q que são paralelas a uma dada reta r de Q. X. DIFERENÇA DE CONJUNTOS A.28 Provar que (A () B) C Ao 'ri A. A.31 Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3o 4} e C = {lo 2. 4}o determinar o conjunto X tal que X U B = A U C e X () B = 0. A.27 Dados os conjuntos A = {a. bo c. d}o B = {b. Co do e} e C = {co e o f}, pede-se descrever A () Bo A () C. B () C e A () B () C. @ 00 @ A - B = {x I x E A e x1=- B} XI. COMPLEMENTAR DE B EM A Dados dois conjuntos A e B, tais que B C A, chama-se complementar de 8 em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a jB. 54. Definição Dados dois conjuntos A e B, cha- ma-se diferença entre A e B o con- junto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Com o símbolo C~ ou A indicamos o complementar de B em relação a A. Notemos que C~ só é definido para B C A e aí temos: 53. Definição Exemplos· 1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a} 2) {a. b, c} - {b, c} = {a} 3) {a, b} - {c, d, e. f} = {a, b} 4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = 0 e) L () Q f) pU Q c) L () R d) Q () R a) L () P b) R () P A.32 Determinar o conjunto X tal que {ao b, Co d} U X = {a, b, Co d, e}o {c, d} U X = {a, c, d, e} e {b. Co d} () X = {c}. Solução ai X U B = {1. 20 3. 4} então os posslveis elementos de X são: 1, 2, 3 e 4. b) X () B = 0 "* 3 fÍ. X e 4 ri:. X Conclusão X = {1. 2} Solução x E (A () B) = (x E A e x E B) = x E A é uma implicação verdadeira, 'ri X o portanto (A () B) C A. A.29 Classificar em V ou F a) oC (A () B) bl A C (A () B) c) A E (A () BI d) (A () B) C (A () B) e) (A () B) C B f) (A () B) :) (A () B () C) admitindo que Ao B e C são conjuntos quaisquer. A.30 Consideremos os conjuntos: K = conjunto dos quadriláteros planos P = {x E K Ix tem lados 2 a 2 paralelos} L = {x E K I x tem 4 lados congruentes} R = {x E K I x tem 4 ângulos retos} Q = {x E K Ix tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retos} Pede-se determinar os conjuntos: A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos: a) A () B () C b) A () (B U C) c) A U (B () C) d) A U B U C 32-A 33-A
  23. 23. Exemplos A.35 Provar que (A - B) C A, V A. admitindo que A e B são conjuntos quaisquer. Solução A implicação x E (A-B) ='(x E A e x ~ BI =>x E A é verdadeira para todo x, então (A - BI C A. 1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então: C~ = {a, b} 2) Se A = {a, b, c, d} B, então: C~ = 0 3) Se A = {a, b, c, d} e B = >t, então: C~ = {a, b, c, d} = A A.36 Classificar em V ou F as sentenças: ai (A - BI ..:) >t cl (A- B) C B bl (A - B) U (A n B) A di (A-BI C (A U BI 55. Propriedades da complementação A.37 Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 4,6, a} e C = {2, 4, 5, 7}, obter um conjunto X tal que X C A e A - X = B n C. Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades: H) C~ n B = 0 e C~ U B = A 2~) C~ 0 eC~ = A 31) CAl C~) B • 41) C~ n CI C~ U C; 5~) C~ U CI C~ n C; A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B são conjuntos quaisquer do universo U. Provemos, por exemplo, a 21 e a 41: C~ = {x E A I x ~ A} = 0 CP = {x E A I x ~ 0} = A C ~ n C) = {x E A I x ~ B n C} = {x E A I x ~ B = {x E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} = ou x ~ C} = C~ U C; A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos: ai à - B bl à - A U B c) li" UA d) A U B e) A n B f) li" nA Solução A implicação x E (A - a) = (x E A e x ~ ai = x E A e x E a ==> ===> )( E A n a é verdadeira, V x, portanto, está provado. A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenças: a) (A - BI U (B - A) = (A U BI - (A n B) b) A C B = ( C BI C ( CAI cl (A - B) C ( CAI d) (A-BI C ( CBI EXERCICIOS SUPLEMENTARES u EXERCICIOS A = {a, b, c. d}, B = {c, d. e. f} C {b d },g e = , ,e. g .A.34 Sejam os conjuntos Determinar: a) A - B bl B - A 34-A cl C - B d) (A U C) - B e) A- (B n C) f) (AUB)-(AnCI A.41 Descrever os elementos dos canju ntos abaixo: A = {x I x2 - 5x - 6 = O} B = {x I x é letra da palavra "exercício"} C = {x Ix2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9} D = {x I2x + 1 = O e 2x2 - x - 1 = O} E = {x I x é algarismo do número 234543} 35-A
  24. 24. A.42 Seja E ~ la, {a}}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras. a) a E E b) {a} E E c) a C E d) {a} C E e) 0E E f) 0 C E A.43 Sejam A e 8 dois conjuntos finitos. Provar que nA U 8" nA + n8 - nA n 8' o símbolo nX representa o número de elementos do conjunto X. A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 es· tudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? A.45 Sendo A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma fórmula para calcular nAU 8 ue· A.46 Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: marca A 8 C Ae8 8ee eeA A,8ee nenhuma das três número de 109 203 162 25 41 28 5 115 consumidores Pede-se: a) número de pessoas consultadas bl número de pessoas que só consomem a marca A c) número de pessoas que não consomem as marcas A ou C d) número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. A.47 Determinar os conjuntos A, 8 e C que satisfazem as segu intes seis condições: 1~) A U 8 U C " {z, x, v, u, t, S, r, q, p} 2a) An 8 {r, s} 3al 8 n C {s, x} 4~) enA {s, t} 5~) AU C {p, q, r, s, t, u, v, x} 6a) AU 8 {p, q, r, s, t, x, z} A.4S Em certa comunidade há indivfduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que 70% são brancos e 210% não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se: a) quantos indiv(duos tem a comunidade? b) quantos são os indivfduos amarelos? 36-A A.49 Dados dois conjuntos A e 8, chama-se diferença simétrica de A com 8 o con- junto A1l8 tal que: A1l8 " (A - 8) U (8 - A) Pede-se: a) determinar {a, b, c, d} II {c. d, e, f, g} b) provar que A1l0" A, para todo A cl provar que AllA" rz5, para todo A d) provar que A1l8" 811A, para A e 8 quaisquer e) assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8: @ooA.50 Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, 8, C e D não vazios de modo que se tenha A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81 e D C (A n 81 37-A
  25. 25. CAPÍTULO III CONJUNTOS NUMÉRICOS I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo PlJ - o conjunto forma- do pelos números O, 1, 2, 3, ... N = {O, 1,2,3, ...} 57. Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais a adição e a mul- tiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: [A.l) associativa da adição (a + b) + c = a + (b + c) para todos, a, b, c E PlJ. [A.2) comutativa da adição a+b=b+a para todos a, b E PlJ. [A.3) elemento neutro da adição a + O = a para todo a E PlJ [M.1] associativa da multiplicação (ab)c = a(bc) para todos a, b, c E PlJ [M.2) comutativa da multiplicação ab = ba para todos a, b E PlJ 39-A
  26. 26. [M.3]elemento neutro da multiplicação a • 1 = a para todo a E IW [D] Distributiva da multiplicação relativamente à adição a(b + c) = ab + ac para todos a, b, c E IW 58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de IW, isto é, contêm til, têm uma adição e uma multiplicação com as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo determinante da ampliação. Assim, dado um natural a *" O, o simétrico de a não existe em til: -a E N. O resultado disso é que o símbolo a - b não tem significado em til para todos a, b E IW, isto é, em til a subtração não é uma operação. Venceremos esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico. [A,4] simétrico ou oposto para a adição Para todo a E Z. existe -a E 1: tal que a +. (-a) = O Devido à propriedade [A41. podemos definir em 1: a operação de sub- tração, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z.. 62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada através do seguinte procedimento: a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem) que representa o inteiro O (zero) o b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário u *" O cuja extremidade passará a representar o inteiro 1 I U .. o 63. Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o con- ceito de divisor. Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b - símbolo a I b - quando existe um inteiro c tal que ca = b. c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento de medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o inteiro - n. O resuItado é este: -4 -3 -2 -1 O 2 3 4 I I I I I I ~ 11. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 59. Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto: ,z = { ••• , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ...} 60. No conjunto Z. distinguimos três subconjuntos notáveis: -l+ = {O, 1, 2, 3, ...} = t.I u u u u u u u u (chamado conjunto dos inteiros não negativos) -l_ = {O, -1, -2, -3, ...} (chamado conjunto dos inteiros não positivos) ,Z* = {... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } (chamado conjunto dos inteiros não nulos) 61. No conjunto ,z são definidas também as operações de adição e multiplicação que apresentam, além de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a proprie- dade: 4O-A Exemplos 1) 2 I 12 2) 3 I -18 3) -5 I 20 4) -2 I -14 5) 4 I O 6) O I O pois pois pois pois pois pois 6·2=12 (-6) • 3 = -18 (-4) (-5) = 20 7·(-2) -14 0·4 O 1 • O O b) 41-A
  27. 27. 64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b é múltiplo de a". Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus di- visores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos. 111. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Exemplos 1) 0(2) {1, -1, 2, -2} M(2) = {O, ±2, ± 4, ±6, ... } 2) 0(-3) {1, -1, 3, -3} M(-3) = {O, ±3, ±6, ±9, ...} 3) 0(0) =;z M(O) = {O} 65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando p *- O, 1 e -1 e O(p) = {1, -1, p, -p}. 66. Dado um número inteiro q *- 1 e -1, o inverso de q não existe em z: ~ rf Z. Porisso não podemos definir em ;Z a operação de divisão, dando q significado ao símbolo p Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme- q ros racionais. 67. Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo lIl- o conjunto dos pares ordenados (ou frações) ~, onde a E Z e b E Z*, para os quais adotam-se as seguintes definições: Exemplos 2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 são primos. EXERCíCIOS A.51 Quais das proposições abaixo são verdadeiras? (j) igualdade: ~=~<==>ad=bc b d Descrever os seguintes conjuntos: 0(6), 0(-18), 0(-24) n 0(16), M(4), M(10) M(-9) n M(6), A.52 a) O E 11 d) 11 U R._ = 71 g) (-4) (-5) E R.+ b) (2 - 3) E 11 e) R.+ n R._ = í25 h) O E 7l c) 11 Cz. f) 1-3)2 E 7l i) (5-11)E7l e (i i) (iii) adição: a c ac multiplicação: b' d = bd A.53 Quais dos seguintes elementos de ;Z não são primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1, 49 e 53? A.54 Sendo a e b dois números inteiros, pergunta-se: a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos? b) Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)? c) Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual é a relação existente entre d) Em que caso ocorre Mia) C M(b)? e) Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)? f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) n M(b) Mln)? Determinar os seguintes números inteiros: III conjunto dos racionais não positivos sãoaeb a é uma fração irredu- b 6 não é: 10 o denominador. Sebé o numerador ea a b' lIl* conjunto dos racionais não nulos Na fração o f_23 7 - ' d o , tive!. Assim, as raçoes 3' 7" e 15 sao Irre utlvelS mas primos entre si, isto é, se mdc(a, b) = 1, dizemos 68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: lIl+ conjunto dos racionais não negativos 69. a e b? b) mdc(-4, 6) d) mmc(2,3) f) mmc(-6, -14) a) mdc(2,3) c) mdc(-6, -14) e) mmc 1-4, 6) A.55 42-A 43-A
  28. 28. 70. Consideremos o conjunto ([1' formado pelos números racionais com de- nominador unitário: ([1' = {~ I x E Z}. Temos: a b <o=a=b 1 [MA) simétrico ou inverso para a multiplicação a a para todo b E ([1 e b '* O, existe : E ([1 tal que ~.: = 1. a b a • b -·-=---<o=a·b=a·b 1 1 1 Devido à propriedade [MAJ. a b + 1 a + b 1 <o=a+b=a+b visão, estabelecendo que não nulos. a • c b d podemos definir em ([1*, a operação de di- a d a c b c para b e d racionais quaisquer portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade, a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o por um número decimal. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: racional x coincidir com o inteiro x, decorre que: ([1' =:l, logo, :l c. ([1 72. Notemos finalmente que todo número racional a b pode ser representado 1Çl) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, é uma decimal exata. 29) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se re- petem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica. Exemplos 3 1 1 27 ,- = 3; "2 = 0,5; 20 = 0,05; 1000 = 0,027 0,285714285714 ... Exemplos 1 2 3' = 0,333 ... ; 7 [A.ll (~ + %) + ~ a c c a [A.2) b + ti = ti + b a a [A.3] b + °= b a a [A.4)b+(-b) ° 71. Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as seguintes propriedades: a c e onde b' d e f são racionais quaisquer, portanto, são vál idas as mesmas pro- priedades formais vistas para os números inteiros. Além dessas, temos mais a seguinte: a c [M.ll (b' d) a ~ [M.2) b d a [M.3) b [o) a b (-=- d ~ a - d b a b e a +-) bf EXERCICIOS A.56 Quais das seguintes proposições são verdadeiras? a) N C O b) ,z C O d) 517 E O e) 0,474747 ... E<ll g) 1 E <ll-'z hl f E O-L. 21 121 131 j) é irredut ível kl 147 < 15014 cl oE O f) {T' !...! } C. <ll 3 i) ~ E <ll-'z 2 I) r E <ll => -r E O 44-A 45-A
  29. 29. A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais: 0,4; 0,444. ..; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5,423423423, A.59 Mostrar que se ri e r2 são racionais e ri < r2, então existe um racional r tal que ri < r < r2' 15 11 18 1 47 A.58 Colocar em ordem crescente os números racionais seguintes: 16' 12' 19' '48 2 e 3' .J2 = 1,4142136 ... rr = 3.1415926, .. a =1,010010001 ... Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é a r irracional e r é racional não nulo, então: a + r, a· r. r e a são todos irracionais. chamados números irracionais. Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo, através da expressão ...;p onde p é primo e positivo. São irracionais: .,[3, v'5. ...[7, etc. 3 -2, -"2' -1, 6 e 2' A.60 Representar sobre uma reta orientada os números racionais seguintes: IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Exemplos .J2 + 1, 3../1 .,[3 --ª-, 2' v'5 são irracionais. ~ é racional. Por exemplo, V2 fi m o que é provado facilmente assim: e um número natural conjunto dos reais não negativos conjunto dos reais não positivos conjunto dos reais não nlilos. Além de m, destacamos em IR três outros subconjuntos75.nem sempren ;;. 2. seja tal que a b a b admitamos que a fração irredutível(i) Dado um número racional73. lii) ~ = ...[2 = a2 = 2b2 = a2 é par = a é par (iii) fazendo a = 2m. com m E z., temos: a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b2 =- b2 2m2 ==> b2 é par =- b é par e isto é absurdo pois ITldc (a, b) = 1. Vamos agora inroduzir um conjunto numérico que contém o. e onde a radiciação pode ser definida. 76. As operações de adição e multiplicação em IA gozam das mesmas pro- priedades vistas para o conjunto m. Em IR é também definida a operação de subtração e em IR* é definida a divisão, Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em IR+. isto é, v-; E IR para todo a E IR+. 77. Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se qui- I , 1 bsermos, por exemp o, representar o numero '2 so re a reta, marcamos a par- 1 tir de O um segmento de medida 2"u no sentido positivo. A extremidade desse 74. Chama-se conjunto dos números reais IR - aquele formado por todos os púmeros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou peribdicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas lJúmeros irracionais). Assim, todo racional é número real. o.elA e, além dos racionais, estão em IR números como: -4 I -3 I -2 I -1 I ° 1 I I u 2 I 3 I 4 I 5 I • 46-A 47-A
  30. 30. -2 -1 O 2 3 I I I I I I I I I I I segmento representa números racionais. -3 I 1 2' Na figura abaixo representamos sobre a reta vários A.63 Mostrar que J4 + 2 v'3 o 1 + v'3. A.64 Mostrar que existem a e b raeionaistaisque V18-8V2 o a + bV2. A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com V o real a "" ~ e chama-se média geométrica o real 9 o;; ..J;;;. Mostrar 2 que a;;;' g para todos x, y E IR+. Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irra- cional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta. -3 -2 -, O 1 2 3 I ~l I I I I I ti I I I I I ..o§. -~ -t , , 9 11 Jr 2 -"2 "2 4 "4 -.../3 ,.fi Esta reta, que representa IR, é chamada reta real ou reta numérica. A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos: A o {x E IR I , ",;; x ",;; 2} B ~ {x E IR I O < x < 3} C ~ {x E IR I x ",;; O ou x > 2} D = {x E IR 1-' .< x < O ou x;;;' 3} V. INTERVALOS 78. Na reta real os números estão orde- nados. Um número a é menor que qual· quer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua es· querda. EXERCfclOS a • --,---~-~/ ',-;~=--,----::--,- {xEIRlx<a} {xEFllx>a} 79. Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ] a, b [ = {x ~ IR I a < x < b} que também pode ser indicado por a - b. A.61 Ouais das proposições abaixo são verdadeiras? a) 3 E IR aI ~ E IR-Ill gl (V2 - 3 v'3) E IR - III b) N C IR e) v'4 E IR-Ill h) 3V2 E IR-m v'5 c) 7L. C IR f) V4 E IR-m i) 3y'2 E m 572 b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a, b] = {x E IR I a ",;; x ",;; b} que também pode ser indicado por af---lb. c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto [a, b [ = {x E IR I a ",;; x < b} A.62 Provar que se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-, então a = c e b = d. Solução a+b~oe+d~<=> (b-dly';;"oe-a Como c - a é racional, a última igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O, isto é, se b - d = O. Neste caso, c - a = O, provando a tese. 4S-A que também pode ser indicado por af--b. d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto ] a, b] = {x E R I a < x ",;; b} que também pode ser indicado por a ---; b. 49-A
  31. 31. 80. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in- ferior e extremo superior do intervalo. EXERCíCIOS ~.67 Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos: 81. Exemplos [-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[ e [1. + 00[. 83. Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue: .. ... .. ..1 3 0111 Ili1111li Ili11111111li111111111110 1 4 01111111111111111111111111111111111111111111111111111110 e A U B c [O. 4] o 3 0111111111111111111111111111111111111111111111111111111o O 4 0'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 A ai [0.2] n [1.3] bl [0.2) n ]1. 3[ cl ]-1. ~[ n )0. ~[ di )-00.2) n [O. + oo[ 9 e) [-1. + oo[ n [-'2,21 t) [1.2] n [O. 3] n [-1, 4) B Solução A U B A n B então A n B ~ [1. 3] A n B e A U B sendo A o [O. 3) e B o [1. 4] ~.68 Utilizando a representação grâfica dos intervalos sobre a reta real, determinar ~.69 Descrever os seguintes conjuntos: 1 1 . ]- 3' v'2] = {x E IR I - 3 < x .;;; v'2} é intervalo fechado à direita. 19) ]2, 5[ = {x E IR I 2 < x < 5} é intervalo aberto 29) [-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} é intervalo fechado [i, 7 [ = {x E IR I ~.;;; x < 7} é intervalo fechado à esquerda39) 49) 82. Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assim definidos: a) ]- 00, a[ = {x E IR I x < a} que podemos também indicar por - 00 - - a. b) ]- 00, a] = {x E IR I x .;;; a} que também podemos indicar por - 00-----1 a. c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a} que também podemos indicar por a - - + 00. d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a} que também podemos indicar por a I--- + 00. e) ]-00, + co[ = IR que também podemos indicar por -00 - - + 00. b - - - - - - - - -..~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo---------1,,- a b ---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_ ai [- 1. 3] U [O. 4] bl ]-2. 1] U ]0. S[ c) [-1. 3] U [3. S] 1 3 1 d) h-, O[ U ]-'2' - '4) ~.70 Determinar os seguintes conjuntos: ... .. a b --------01111111111111111111111111111111111110'--------1... a b 1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo la. b [ [a. b] [a. b[ la. b] ]- 00, a] 1I111111111111111111111111111111111111111111~ la. + oo[ a ---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111. ..71 Sendo A [O. S [ e B )1. 3 [. determinar C~ 50-A 51-A
  32. 32. VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 84. Em IR. a radiciação é uma operação, isto é, va E IR. qualquer que seja o real a não negativo. Assim, por exemplo, .,f2, V'5, .era, sj3! e 6~ _ , . V 7T sao numeros reais. Desde que o índice da raiz seja ímpar, os radicais da forma ~, onde a E IR., também representam números reais. É o caso, por exemplo, de if=1, Z! -32 e Z!"=3 Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical v::a não representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l não é real, pois: v'""=l = x===>- 1 = x 2 e isto é impossível pois se ,x E A, então x 2 ;;;. O. 85. Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo va, para todo número a, introduzindo no volume F desta coleção o con· junto <I: dos nLimeros complexos do qual IR é um subconjunto. Observemos que ~ C ;z C mC IR C <1:. Notemos também que: ;Z - ~ = conjunto dos números inteiros negativos m-;Z conjunto dos números racionais nio inteiros. IR - m = conjunto dos núlleros reais irracionais. Finalmente lembremos das principais operações definidas em cada conjunto: ~: adição e multiplicação z: adição, multiplicação e subtração m: adição, multiplicação, subtração e divisão IR: adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação (para reais não ne- gativos) VIII. PRll'JCfPIO DA INDUÇÃO FINITA 87. A indução vulgar (generalização de propriedade após verificação de que a propriedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganos na Matemática. Vejamos dois exemplos: VIL RESUMO 19) Consideremos a relação y Temos: n 22 + 1 definida para n E ~. 86. Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela figura abaixo: 52-A n 0== y 220 + 1 21 + 1 3 n 1 == y 2 21 + 1 22 + 1 5 n = 2 == y = 2 22 + 1 = 24 + 1 = 17 n 3 ==> y 2 23 + 28 + 1 = 257 n 4 ==> y 2 24 + 216 + 1 = 65 537 Os números y encontrados são números primos. Fermat (1601-1665) acre· :Htou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor inteiro positivo atribuído a n. Esta indução é falsa pois Euler (1707-1783) 1l0strou que para n = 5 resulta y = 2 2S + 1 = 232 + 1 = 4794.967,297 = = 641 X 6700417, isto é, resulta um número divisível por 641 e que, portanto, ,ão é primo. 53-A
  33. 33. 29) Dada relação n3 3n2 7n 3, definida todoa y +- - - + para 6 2 3 n E IW *, temos: 1 = y 13 3. 12 7 . 1 + 3 = -1+9-14+18 2n -- +-- --- 6 2 3 6 2= Y 23 3. 22 7· 2 + 3 -8 + 36 - 28 + 18 3n = --+ -- --- 6 2 3 6 33 3. 32 7· 3 -27 + 81 - 42 + 18 5n 3= y --+-----+3 6 2 3 6 n=4=y= 43 3" 42 7· 4 3 = ~64+ 144-56+ 18 = 7-- +-- --- + 6 2 3 6 Poderíamos tirar a conclusão precipitada: "y é número primo, 'ri n E Esta indução também é falsa pois: 29) Se k E 11I, k ;;. no e P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. 29) Admitamos que P(k), com k E N*, seja verdadeira: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hipótese da indução) e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto é: + 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1] (k + 1}2 ", (n E IW*) 19) Verifiquemos que P(1) é verdadeira n = 1 = 1 = 12 90. Provemos, por exemplo, que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 89. Para provarmos que a relação é válida para todo n E IW* empregamos o princípio da indução finita (P.I.F.) cujo enunciado segue: Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo n E 11I, n ;;. no, quando: 19) P(no) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = no, e 8 -125 + 225 - 70'; 18 6 53 3. 52 7" 5 n = 5 ~ y = --+ -- - -- + 3 6 2 3 (n E N*) 88. ~ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permita decidir sobre a validade ou não de uma indução vulgar. Consideremos, por exemplo, a igualdade: 1 + 3 + 5 +. .. + (2n - 1) = n2 Temos: • 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) J ~ r + k2 + 2k + 1 Vamos verificar se ela é verdadeira: n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102 (V) que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números ímpares positivos , 2 " e n. n 2 == + 3 = 4 22 (V) n = 3 =- + 3 + 5 9 = ~ (V) A.73 A.76 13 + 23 + 33 + + 3 ~ [n(n + 11]2 'ri E."... n 2 ' n '" EXERCíCIOS Demonstrar usando o prind~a indução finita. n(n+ 1) ~A.72 1 + 2 + 3+... + n = --2-' n E 1lJ* n(4 + 3n) A.74 20 + 21 + 22 + ... 2n-1 - 'ri n E 11' ,4.75 2 2 2 2 _ n(n + 11 (2n + 1) '"' E."r- 1+2+3+ ... +n- (6 .v n '" (V)1==n Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificação até n = 1 000000 não estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir um n > 1 000000 em que a fórmula falha. 54-A 56-A
  34. 34. A.77 a I 13 2n - 11. V n E W A.8S o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é do nln - 31 -2-' Soluçãc 10) Pll) é verdadeira pois a I 13 2 - 11 29) Admitamos que Plkl, k E ~', seja verdadeira a I 13 2k - 11 (hipótese da induçãol e provemos que 8 I (32(k + 1) - 11: Solução 10) P(3) é verdadeira pois: n = 3 == d 3 = 3(3 - 3) = O 2 e isto é verdade porque um triângulo não tem diagonais. então 291 Supondo válida a fórmula para um polfgono de k lados Ik;:;' 31: dk -- klk2-3) Ihipótese da indução) provemos que ela vale para um polígono de k + 1 lados: _ Ik + 1I[(k + 11 - 3] = (k + 11 (k - 2) dk + 1 - 2 2 A.79 2 I (n2 + nl, V n E ~. 6ln(n + llln + 21,Vn E~.A.78 A.80 3 I In3 + 2n), V n E ~. A.81 (1 + 11 (1 + ~) 11 + ~I . • 11 + 2.1 n n + 1, V n E W Quando passamos de um polígono com k vértices para um de I:< + 1 vértices, acres- centando mais um vértice, ocorre o seguinte: (i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo; (ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG; (Hi) no segundo há k - 2 novas diagonais las que partem do novo vértice). Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilátero para um pentágono Solução 19) PI1I é verdadeira pois 2· 1 ;:;, 1 + 1 20 1 Admitamos que P(k), k E ~', seja verdadeira: A.83 1· 2 + 2 • 3 + 3. 4 + c -c 8 .8 D AVnEW n In + 1) (n + 2) 3 n : 1 ,V n E ~. + n(n + 11 1 + - - - n(n + 11 + - - + 3-4 A.84 2n ;:;, n + 1, V n E ~. 1 1 A.82 N + 2.3 21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2 > (k + 11 + 1 A.85 2 n > n, V n E ~ e provemos que 2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1 Temos: klk-3) k 2 -3k+2k-2 dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = --2- + k - 1 = 2 (k + 11 Ik - 2) 2 são diagonais ~ AC e BD continuam diagonais ---- AD se transforma em diagonal EB e EC são diagonais AC e BD AD é lado Então: (hipótese da induçãol2k ;:;, k + 4 + n 3 >.':'.- V n E ~'. 4 A.89 A soma das medidas dos ângulos internos de um pol(gono convexo de n lados é Sn = (n - 2) • 1800 . A.87 (1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1 A.90 Se A é um conjunto finito com n elementos, então 'syIA), conjunto das partes de A, tem 2 n elementos. 56-A 57-A
  35. 35. Desvendado mistério da continuidade CAPÍTULO IV -RELAÇOES Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916) mas isto ficaria fora do nível deste curso. I. PAR ORDENADO dc e b(c, dI <=> ala, bl Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações { X+ Y =3 x ~ Y =. 1 x = 2 e Y = 1 é solução ao passo que x = 1 e Y = 2 não é solução. Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l} seria solução e {1, 2} . não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo con- junto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado (2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y. (a, b) = {{a}, {a, b}} 91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2}, {3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con- juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par: {1,2} = {2, 1}, {3, -l} = H, 3}, {a, b} = {b, a}. (*) Poderíamos definir par ordenado como Kuratowski fez: 92. Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca. da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana de Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida. Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou~se no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais célebre, "A Continuidade e os Números Irracionais". Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois 'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 números racionais formam um conjunto denso mas não cont(nuo. Relendo. Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um único ponto sobre a reta. A essa qivisão da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a ser o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado". Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Esta conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind. Mais uma de suas observações foi sobre o teorema fundamental dos Iimites, achando que para obter-se uma demonstração rigorosa deste conceito era necessário desenvolvê-lo somente atra- vés da Aritmética, sem interferência de métodos geométricos embora estes tenham sido responsá- veis por seus brilhantes resultados" Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição expli'cita de corpo numérico como sendo uma co- leção de números Que formam um grupo abel iano (comutativo) em relação à adição e multiplicação, no qual a multiplicação é distributiva em relação à adição. Este conceito, que foi fundamental para o desenvolvimento da Álgebra, também é responsável pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como introduziu na Aritmética o conceito de "ideal". Dedekind viveu tantos anos depois de Sua célebre introdução dos "cortes" que a famosa editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que viveu mais doze anos e escreveu ao editor que passara a data em questão em conversa estimulan- te"·com seu amigo Georg Cantor. 58-A 59-A
  36. 36. 11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 95. Teorema c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indi- cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo. d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox) e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy) f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy g) origem do sistema é o ponto O 94. Exemplo hI plano cartesiano é o plano Ci b) ordenada de P é o número real yp representado por P2 (X p, yp), existem PI E x e representa y p' conforme vimos Iv' p E l r~ . , ;-, I" Ir ri' ordenado de números reais P1 representa x p e P2 A.92 Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI, 1 5 ElO, 5), F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11 2 '2)' A.91 Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo. Dado o par P2 E Y tais que no item 77. Se construirmos x' /I x por P2 e y' li y por P1 , essas retas vão concorrer em P. Assim, a todo par (xp , yp) corresponde um único ponto P, P E Ci. Esquema: (xp, Ypl ------4 (P I, P2) ----> P EXERCíCIOS Demonstração 2? Parte 1? Parte As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci, corresponde um único par de pontos (PI , P2 ) sobre os eixos x e y res- pectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais que xp e yp são representados por P1 e P2 , respectivamente. Esquema: P ------4 (PI , P2 ) -+ (xp, ypl Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívo- ca. Tv ~ - -- . B y C o , y' Ci Y P2 P x' h O P 1 x e dois eixos x e y O, os quais deter- Vamos localizar os pontos 93. Consideremos perpendiculares em minam o plano Ci. Dado um ponto P qualquer, 'P E Ci. conduzamos por ele duas retas: Nestas condições definimos: a) abscissa de P é o número real xp representado por PI x' li x e y' li y Denominemos PI a intersecção de x com y' e P2 a intersecção de y com x'. A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4) 5 9 E(-7, -3), F(4, -5), G( 2' 2) 5 9 H(-2' -2) no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número repre- senta a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. 60-A 61-A
  37. 37. 96. Definição 111. PRODUTO CARTESIANO Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. A X B = {(x, y) I x E A e y E B} o símbolo A X B Iê-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B". Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. . , «I , I I I :,, I ! x 3 39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3} v e B = {2} então temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 ----- A representação gráfica de A X B dá como resu Itado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da figura ao lado. 49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} te- mos A X B = {(x, y) E R2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado gra- ficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Note- mos que B X A = {(x, y) E R2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} é representa- do por um retângulo distinto do anterior.AXcp=0 AXB 97. Exemplos v 5 -------r-----, v BXA 19) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} temos A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)} e 3 - -- - - -,...----------,- B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)} e as representações no plano cartesiano são as seguintes: 29) Se A = {2, 3} então o conjunto A X A (que também pode ser indicado por A2 e lê-se "A dois") é A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)} 2 3 2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2) I I I ______ ~~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~, 1) , I : I , :, ,I I -r----+---+--+----<~ x 1) Se A *' B então A X B *' B X A, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. 2) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A X B é um conjunto finito com m· n elementos. 3) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio então A X B é um conjunto infinito. 5 xx 1 ---- - 1- --_ 3 98. Observações .. x BXA 2 V 3 ~~~~~~-~~, 3) i I I :(1,2) :(2,2) 2 ------f------ ...- I I I I I I i(1, 1) :(2, 1) -------,-------t- I I I I A x Bv 52-A 63-A
  38. 38. EXERCICIOS IV. RELAÇÃO BINÃRIA bl B X A ai A X B representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos: x .. B 432 A 6 - - - - - - - 0- --(1)- - -~-- , , I , 5 -------~---t---t-- , , I ' 4 - - - - - - -(1)- - -~- -0- : : 3 ---- --- --t---G-~-+-- , , , , 2 --------8--+---+--, , , , , : 99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesiano de A por B é o conjunto A X B = {(x, y) I x E A e y E B} formado por 3· 5 = 15 elementos represen- tados na figura ao lado, Se agora considerarmos o conjunto de pares ordenados (x, y) de A X B tais que x I y (lê-se: x é divisor de Y), teremos R = {(x, y) E A X B I xly} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} que é chamado relação entre os elementos de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela- ção binária de A em B. O conjunto R está contido em A X B e é formado por pares (x, y) em que o ele- mento x de A é "associado" ao elemento y de B mediante um certo critério de "relaciona- mento" ou "correspondência". Será bastante úti I a representação da rela- ção por meio de flechas, como na figura ao lado. c) A X C f) c2 cl B X C f) C2 represente pelos elemen-9, C~{-1,O,2} A C B C C. Estabelecer as relações de in- B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A, e bl B X A el B2 bl A X C e) A2 Bc{-2,1} {11,21, (4,2)} C A2 A2 Dados os conjuntos A c {x E IR 11 <; x <; 3} B c {x E IR I -2 <; x <; 2} C - {x E l:l I -4 < x <; 1} representar graficamente os seguintes produtos: ai A X B d) C X A ai A X B d) C X B A.94 A.93 Dados os conjuntos A ~ {1, 3,4} A.95 Dados os conjuntos A - {1, 2,3,4} e B (x E IR I 1 <; x <; 4} representar graficamente os conjuntos: c) IA X BI U (B X A) A.96 Sejam os canju ntos A, B e C tais que clusâo entre os conjuntos A X A, A X C X B e C X C. A.97 Sabendo que tos o conjunto Solução O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado do número de elementos de A, por- tanto 100. Definição Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de A X B. Se A é um conjunto de 3 elementos, 11,2) E A 2 e 14,21 E A 2 , conciu{mos que A~{1,2,4}. R é relação binária de A em B -<= R C A X B. Assim sendo, A X A - {Il, li, 11, 21, (1,4),12,1),12,2),12,41,14, li, 14, 2),14, 4)} A.98 Se {ll,-2), (3, O)} C A 2 e n1A 2 ) ~ 16 então represente A2 pelosseus elemen- tos. Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de A X A é chamado relação binária em A. A.99 Considerando A C B, {to, 51, (-1,2), 12,-1)} C A X B e nlA X B) ~ 12,'e- presente A X B pelos seus elementos. R é relação binária em A -<= R C A X A 64-A 65-A
  39. 39. Y, ; , ~ : 6 ----.---.---t--:!J-- .. -- : : : I ! 5 l __ .l__cb__ .l L_1 , 'V I I 4 -)--4--~--~---L; : : ; : 3 ~_~--l_--~--.L_W I T I t I I I I I I I t i ' 2 + __ +__ +__-+- _-t - I I I I I I ' I I ---~--+--~--~--~-I t i , I " , :: : Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas A = conjunto de partida da relação R B = conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R. Quando o par (x, y) pertence a relação R, escrevemos x R y (lê-se: ". erre y") Ix, yl E R ~ x R y e se o par (x, y) não pertence a relação R escrevemos x fÍ y (lê-se: "x não erre y") 2 3 4 5 x A B Ix, yl !Í R ~ x"y R 39) Se A = {-1, O, 1, 2} quais são os elementos da relação {(x, y) E A2 I x2 = y2}? Fazendo a representação gráfica notamos que R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)} pe- BA e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2} R = {(x, y) E A X B I y = x} y ----~-----e : ', ', , , 2 -~----- , ,, é---1 - ---($)---+, , , , , , , , -1 : : 1 :2 x , ', " I -1 1 I (D----- ---0---+- 49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3} de-se a representação cartesiana de A X B e 101. Exemplos 19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais são os elementos da relação R = {(x, y) I x < y} de A em B? Os elementos de R são todos os pares ordenados de A X B nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela "associação de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que x < y". Temos então y AXB y R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} 29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elemen- tos da relação binária R de A em B assim definida: x R y ~ y = x + 27 Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A, y E B e y = x + 2. , , 2 -~--------D~~, , : :, , , ' Utilizando as representações gráficas 3 x 3 x 66-A 67-A
  40. 40. EXERCICIOS 103. Exemplos A.l00 Pede-se: qual x1_____ D ~ A x3 R {(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)} O ; {2, 3, 4} Im ; {2, 3, 4, 6} A.l05 Estabelecer o domínio e a imagem das relações binárias do exercício A.100. Utilizando a representação cartesiana A.l04 Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações: a) {Il, 1), 11,3),12, 4)} b) {1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)} c) {12, 1), 11, -3), 15, .,j2Ü d) {Il +..;2, ..;2), 11 -.J3, 1)} { 1 5 3 } e) (3, 2'), ("2' -1),1"2' O) EXERCICIOS temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4} B 2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}. é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}? 1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I Y é múltiplo de x}? Utilizando o esquema das flechas é fácil perceber que O é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e que Im é o conjunto dos elementos de B aos quais chegam flechas, portanto: b) x S y <==> x2 = y dI x V y <==> x + y > 2 a) x R y <==> x + y = 2 c) x T y <==> Ixl = Iyl el x W y <===> Ix - yl2 = 1 102. Definição Seja R uma relação de A em B. Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencente a R, x E O ~ 3y, Y E B I (x, y) E R' I Il enumerar pares ordenados 111 representar por meio de flechas 111) fazer o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0,1, 2} em B = {-3, -2, -1,1,2,3, 4} de- finidas por: V. pOMfNIO E IMAGEM A.103 Dado o conjunto A = {m E Z I -7 ~ m < 7}. Construir O gráfico cartesiano da relação binária R em A definida por: x R y <==> x2 + y2 = 25. A.l0l Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Enu merar os pares ordenados e constru ir o gráfico cartesiano da relação R em A dada por: R = {Ix, yl E A2 I mdc Ix, y) = 2} A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o gráfico cartesiano da relação R em A definida por: x R y <====* X e y são primos entre si. Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. A.l06 Sejam os conjuntos A = {-2, -1, O, 1,2,3,4, 5}, B = {-2, -1, 0,1, 2} e R a relação binária de A em B definida por x R y <==> x = y2 Y E Im ~ 3x, x E A I (x, y) E R Decorre da definição que D C A, e Im C B. Pede-se: a) enumerar os pares ordenados de R b) enumerar os elementos do dom(nio e da imagem de R c) fazer o gráfico cartesiano de R 58-A 69-A
  41. 41. A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B {y E IR I 1 ,;; y ,;; 4 definida por xRy=x~2y Pede-se: a) a representação cartesiana de A X B b) a representação cartesiana de R c) o domínio e a imagem de R A.l0S Se R e S são as relações binárias de A ~ {x E;Z I -2 ,;; x ,;; 5} em B ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por: x R y = 2 divide Ix - y) x S y = Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2 A B B A Pedem-se: a) as representações cartesianas de R e de S b) o domínio e a imagem 'de R e de S cl R n S. temos R e R-I {(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7l.f {(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)} VI. RELAÇAo INVERSA 2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4} e B = {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re- presentar no plano cartesiano as relações R {(x, y) E A X B I y = 2x} e sua inversa R-I . y . ' -----~- ---_ ..~- 104. Defi nição Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto w ' = {(V, x) E B X A I (x, y) E R} Como R-I é subconjunto de B X A, então R-I é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R. Iy, xl E R-I = (x, y) E. R 8 2 4 VII. PROPRIEDAQES x 4 2 8 x Decorre dessa definição que R-I é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. São evidentes as seguintes propriedades la) D(W' ) = Im(R) Isto é, o domínio de R-I é igual à imagem de R. 105. Exemplos R 70-A 10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais são os elementos de {(x. y) E A X B I x < y} e de W ' ? Utilizando o esquema das flechas 2~) Im(R-I ) = D(R) isto é, a imagem de R-I é igual ao domínio de R. 3a) (R-I)-I = R isto é, a relação inversa de R-I é a relação R. 71-A
  42. 42. EXERCfclOS A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos: ai R = {(l, 2),13,1),12, 31} b) R = {(l, -1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)} c) R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)} A.l10 Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R-I, .relações binárias em A = {x E rIJ 1 x ,ç lO}, nos seguintes casos: ai R = {(x, y) E A2 1 x + Y = s} b) R = {Ix, y) E A2 I x + 2y = lO} cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I} d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2X} CAPÍTULO V -FUNÇOES I. CONCEITO DE FUNÇÃO e as seguintes relações binárias de A em B: 106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos A = {O, 1, 2, 3} e B = {-1, O, 1, 2, 3} A.lll Dados os conjuntos A = {x E IR 11 ,çx,ç 6}. B = {y E IR 12,ç y,ç lO} e as seguin- tes relações binárias: ai R = {Ix, y) E A X B I x = y} bl S = {(x,y)EAXB I y = 2x} c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2} d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7} pede·se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas. R = {(x, V) E A X B S = {(x, V) E A X B T = {(x, V) E A X B V = {(x, V) E A X B W = {(x, V) E A X B V = x + 1} V2 = x2 } V = x} Iv (x-l)2-1} I V = 2} Analisando cada uma das relações temos: a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)} Para cada elemento x E A, com exceção do 3, existe um só elemento V E B tal que (x, V) E R. Para o elemento 3 E A, não exis- te V E B tal que (3, y) E R. b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1), (2, 2), (3, 3)} Para cada elemento x E A, com exceção do 1, existe um só elemento V E B tal que (x, V) E S. Para o ele· mento 1 E A existem dois elementos de B, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e (1, -1) E S. 72-A 73-A
  43. 43. As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relação", recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B. f não é função. 109. Podemos verificar através da representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y condu· zida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ográfico de f em um só ponto. @:-----o----- - -- A -----. B I não é lu nção ~---a----- A "- ••- B 1?) se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou 2?1 se existir um elemento de A """do qual partam duas ou mais flechas 108. Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função). 1?) é necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par (x, Xl E f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle- aJiJ.---.-- .. --..' 2?) é necessário que cada elemento x E A participe de apenas um único par (x, y) E f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~ única flecha. Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con· dicões acima isto é, 110. Exemplos d) V = {(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)} c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E V. e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)} Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E W. Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E T. 11. DEFINIÇÃ( 107, Dados dois conjuntos A e Bi '), não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) E f. 1?) A relação f de A em IR, com A ~ {x E IR I ..1 < x < 3}, representada ao lado é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x E A encontra sempre o grá- fico de f num só ponto. x f é aplicação de A em B <==> (Ix E A, 31 y E B I (x, yl E f) (li) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e 8 são conjuntos forma- dos de números reais, isto é, A e B contidos em IR. 2?) A relação f de A em IR repre- sentada ao lado, onde A = {x E IR I -2 < x < 2} não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pon- tos. -2 2 x 74-A 75-A
  44. 44. A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.3?) A relação f de A em IR, re- presentada ao lado, onde A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4} não é função de A em IR pois a reta vertical conduzida pelo ponto (1, O) não encontra o gráfico de f. Observemos que f é função de B em IR onde B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}. y 2 3 x ai I" 1..- 1/ 1..- 1..- 1.1 1.1 1.1 x G 1.1 bl y ...1- ... I. x ,... r--,... c) Iv I, 1/ I' 1..- I' 1/ x I' 1/ EXERC(CIOS fi Iv x e) Iv V I~ x 1/ 1.) di Iv 1 I1 -. 1 1I 1 x B(blABlalA A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar. R A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}? 111. NOTAÇÃO DAS FUNÇÕES 111. Toda função é uma relação binária de A em B, portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentença aberta y ~ f(x) que expressa a lei me- diante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, então f ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}. Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de corre~pondência y = f(x). Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B se- gundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações f: A - B x ...---- f(x) ou A -.!..,. B x ..-.. f(x) 76-A 77-A
  45. 45. 112. Exemplos EXERCICIOS 19) f: A __ B x ~ 2x é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x. A.115 Oual é a notação das seguintes funções de IR em IR? a) f associa cada número real ao seu oposto b) 9 associa cada nú.nl"ero real ao seu ·cubo d h associa cada número real ao seu quadrado menos 1 d) k associa cada número real ao número 2 29) f: IR ~ IR x f------* x2 é uma função que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x2 • 39) f: IR+ ~ IR x ~ y-; A.116 Oual é a notação das seguintes funções? aI f é função de <D. em ((} que associa cada número racional ao seu oposto adicionado com 1. b) 9 é a função de Z em Ql que associa cada número inteiro à potência de base 2 desse número. cl h é a função de IR* em IA que associa cada número real ao seu inverso. é uma função que faz corresponder a cada x E IR+ um y E IR tal que y; y-;: A.117 Seja f a função de IR em IR definida por I(x) = x2 - 3x + 4. Calcular: 1 c) f(21 f) f(l - vil 113. Se (a, b) E f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chama- do imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a e indicamos: f(a) ; b que se lê "f de a é igual a b". A.118 Seja f a função de,z em,z definida por I(xl = 3x - 2. Calcular: a) f(2) b) 1(-31 A.119 Seja f a função de IR em IR assim definida a) a imagem de O pela aplicação f é 1, isto é: f( O) o 2 • O + 1 ; 1 A.120 Seja a função f de IR em IR definida por 3 do dom ínio que tem - 4 como imagem? 114. Exemplo Seja a função f: IR --+ IR x f------* 2x + 1 então a) 1(3) d) f (";';1 f(xl = {1 se x E (Q x+lsexrj:.111 bl f(-~) 7 el 1(V3- 1) f(x) c) flV2l f) flO,75) 2x - 3 --5-' Qual é o elemento do basta, portanto, resolver a equação Resposta: o elemento é x 2x - 3 5 x tal que 3 8 3 4(2x-3)=-3'5 <==> 8x-12=-15 <==> xC-a<==> 3 4 2x - 3 5 Resolvendo a equação: Queremos determinar o valor de Solução b) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é: c) analogamente f(-2) ; 2 • (-2) + 1 ; -3 1 1 f("2) = 2 • 2 + 1 2 f(y'2) ; 2 • y'2 + 1 f(O,7) ; 2 • 0,7 + 1 ; 2,4 78-A 79-A

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