Dinamica rotacional 2017

CONTENIDOS
MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.
Momento de inercia de un sistema de partículas y de un cuerpo rígido.
Torque y momento de inercia, aplicaciones
Torque y momento angular.
Conservación del momento angular.
FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR.
GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER.
Fuerza Tangencial y Centrípeta.
Fuerzas en el movimiento vertical.
Fuerzas en el movimiento horizontal.
Teorías Geocéntrica e Heliocéntrica.
Campo Gravitacional.
Satélites en órbitas circulares.
Leyes de Kepler.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Sólido rígido. Es el cuerpo cuyas partículas conservan invariantes en el tiempo
las distancias relativas que las separan.
 En el movimiento de rotación las partículas del sólido rígido describen
trayectorias circulares con centro en el eje de rotación y situadas en
planos perpendiculares a dicho eje.
 El movimiento general de un cuerpo rígido es la composición de un movimiento de
traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje
que pasa por el centro de masa.
1. En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en
trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la
velocidad del centro de masas.
2. En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de
masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional al radio de la
circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.

21/06/2017 GUSTAVO SALINAS E. 4
CENTRO DE MASAS. El centro de masas de un cuerpo es un punto que describe la misma trayectoria que
una partícula sometida a las mismas fuerzas que el cuerpo.


i
ii
cm
m
rm
r

1m
2m
3m
4m
nm1r

2r

X
Y
Z
O
CM
CMr

LX
LY
LZ
O
SL
CX
CY
CZ
SC
4m1m
2m
3m
nm
CM
S
C

Propiedades de los centros de masa.
 La resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre un sistema puede considerarse aplicada sobre
el centro de masas.
 La cantidad de movimiento de un sistema es igual a la de su centro de masas.
 Fext = m acm
CENTRO DE MASAS DE:
Cuerpos
discretos
Cuerpos
continuos


i
ii
cm
m
rm
r




i
ii
cm
m
vm
v




i
ii
cm
m
am
a




dm
dmr
rcm




dm
dmv
vcm




dm
dma
acm



INERCIA EN LAS ROTACIONES
El concepto de inercia en el movimiento de traslación
Inercia: Resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su estado de movimiento.

Un objeto en
movimiento
Inercia la masa
es una medida
de la inercia
momento lineal
P = mv
Si no actúan fuerzas externas, se
conserva el momento lineal
posee
depende
Se cuantifica

¿Como se produce o se modifica una rotación?
Para que un cuerpo gire Se le debe aplicar una Fuerza F
Para que un cuerpo
modifique su rotación
(cambios en )
Se le debe aplicar un Torque 
El torque mide la capacidad de una
fuerza para producir una rotación sobre
los objetos

La inercia también se
manifiesta en las
rotaciones
Un objeto que gira, en
torno a un eje tiende
a seguir girando
INERCIA ROTACIONAL
 Propiedad de los objetos de resistirse a
cambios en sus rotaciones
 Un objeto que gira, tiende a seguir
girando
La inercia rotacional
La masa
La distribución de la masa,
respecto del eje de giro

MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO
Es una magnitud que da cuenta como es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas
alrededor de uno de sus puntos. Es análogo a la masa de un cuerpo. Representa la inercia de un objeto a rotar.
Para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las
masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia
r de cada partícula a al eje de giro escogido. Matemáticamente se expresa como:
I = m r2
m
r


INERCIA DEPENDE SOLAMENTE DE LA MASA DEL CUERPO
MOMENTO DE
INERCIA
DEPENDE DE LA MASA DEL CUERPO Y DE LA
DISTRIBUCIÓN DE ÉSTA RESPECTO AL EJE DE ROTACIÓN
INERCIA Y MOMENTO DE INERCIA
CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE INERCIA
 Es una medida de la inercia del cuerpo al giro sobre ese eje.
 No es propio del cuerpo, depende del eje.
 Es una magnitud tensorial.
 Su unidad es kg·m2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula
que tenemos que aplicar es , dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje
de rotación.

MOMENTO DE INERCIA (CONTINUACIÓN)

TEOREMA DE STEINER.

RADIO DE GIRO: Es una cantidad física, donde I es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto a determinado eje y
M su masa. Físicamente, el radio de giro R. representa la distancia medida desde el eje, a la cual se
puede concentrar la masa del cuerpo sin variar su momento de inercia.
2
I MR
1 2 3
1 2 3
.......,
......
i
i
I I I I
M m m m
I I
M m
   
   
 
 
I
R
M


EJEMPLO 1:
Calcule el momento de inercia para:
a) Una barra de largo 50 cm y masa 5 Kg que gira sobre un eje que:
i) pasa por su centro
ii) pasa por su extremo
b) Un cilindro de radio 10 cm y alto 20 cm, cuya masa es de 800 g. si gira sobre un eje central:
i) a su altura
ii) a su diámetro
c) Una esfera que gira sobre su diámetro, de masa 2,5 Kg y diámetro 25 cm.
d) Un cascaron esférico de masa 1000 g y radio 50 cm que gira sobre su diámetro.

Calcúlese el momento de inercia de la siguiente distribución de 8 masas idénticas respecto a los dos ejes que se
muestran en la figura:
EJEMPLO 2:
a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribución.
b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.
Determinar el momento de inercia del sistema mostrado en la figura, las masas son
puntuales unidas por varillas rígidas de masa despreciable. Asumir que el eje pasa
por la masa m y es perpendicular al plano del papel.
EJEMPLO 3:

SEGUNDA LEY DE NEWTON,
tanto para torques internos como externos.
El momento de las fuerzas exteriores para un sólido rígido que gira alrededor de un eje
principal de inercia que pasa por O se expresa
ext
O
I 
. si multiplicamos ambos miembros por .F m a r
. . pero .rxF m a r a r 
2 2
. . . pero =
. . pero .
m r r rxF
m r I m r
  
 

 

EL MOVIMIENTO COMBINADO DE TRANSLACIÓN Y
ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
donde IP es el momento de inercia alrededor de un eje
que pasa por P. Se puede demostrar que Ip = Icm + MR2 y
al reemplazar en Ec se tiene:
La energía cinética total del cilindro rodante es Ec = ½IPω²

p =
MOMENTO ANGULAR (𝑳) El momento angular tiene la misma dirección que la velocidad
angular para un sólido plano.
, pero cantidad de movimiento = m.L rx p p v
. . , pero . .L r m v v r 
2
. . .
.
L r m r
L mr




L I

 Lo anterior implica que:
 Aplicación:
 Generalizando

¿Cuál es la energía cinética rotacional de la
figura, si rotan con una rapidez angular de 600
rpm?.
Una persona está de pie en el centro de una plataforma circular (sin fricción)
manteniendo sus brazos extendidos horizontalmente con una pesa en cada mano.
Está girando alrededor de un eje vertical con rapidez angular de 3.0 rad/s. El
momento de Inercia de la persona más los de la plataforma y las pesas extendidas
es de 4.5 kgm². cuando la persona acerca las pesas a su cuerpo el momento de
inercia disminuye a 2.2 kgm².
a) ¿Cuál es la nueva rapidez angular de la plataforma?.
b) ¿Cuál es la variación de la energía cinética experimentada por el sistema?.
EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2:

Sobre un cilindro macizo radio de 2 m y de masa M = 8 kg, está enrollada una cuerda
que se desenrolla por medio de un cuerpo de m = 5 kg como muestra la figura.
Partiendo del reposo desciende 3 m, determinar:
a) La aceleración tangencial de un punto de la cuerda.
b) La tensión de la cuerda.
c) La aceleración angular de la rueda.
d) La velocidad final de un punto de la cuerda.
e) La velocidad angular final de la rueda.
f) La aceleración centrípeta final de un punto del borde de la rueda.
g) El momento de inercia del cilindro con respecto a su eje de rotación.
h) El tiempo que se demora en descender el cuerpo de masa m.
EJEMPLO 3:

El trompo mostrado en la figura, tiene un momento de
inercia de 4.0 x 10−4
kg.m² y está inicialmente en reposo.
Es libre de rotar alrededor del eje estacionario AA’. Una
cuerda, enrollada en la parte superior del mismo, es jalada
de tal forma que ejerce una tensión constante de 5.57 N. Si
la cuerda no se resbala en lo que se desenrolla, ¿cuál es la
rapidez angular del trompo después de que se han
desenrollado 80.0cm de la cuerda?
EJEMPLO 4:
R: 149 rad/s.

En el sistema de la figura el momento de inercia de la rueda es 10 kg.m2. Hallar:
a) La aceleración del bloque de masa M, si el sistema se abandona partiendo del reposo.
b) El tiempo en que el bloque M desciende una distancia de 1 m, después que es
abandonada en reposo.
c) La tensión de la cuerda en la sección horizontal y la sección vertical.
EJEMPLO 5:
DATOS
I = 10 kg.m2
H = 1 m
Vo = 0
a) a = ?
b) T = ?
c) t = ?

EJEMPLO 6:
Para el sistema que se muestra en la figura, m1 = 8.0 kg, m2 = 3.0 kg,  = 30° y el radio y la masa
de la polea son 0.10 m y 0.10 kg, respectivamente.
a) ¿Cuál es la aceleración de las masas?.
b) Si el torque de la polea es constante de 0.50 N.m cuando el sistema está en movimiento, ¿cuál
es la aceleración?.

Un cilindro de 10.0 kg de masa rueda sin deslizarse sobre un plano inclinado de 30°, partiendo del reposo. Si la altura de dónde se
deja caer es 2 m. Determinar:
a) La aceleración del centro de masa.
b) La velocidad del centro de masa con la que llega al final del plano inclinado.
c) La pérdida de energía en el punto más bajo.
EJEMPLO 7:
a) 1,81 m/s2; b) 3,79 m/s; c) 88,27 [J].

EJEMPLO 8:
m

r
R
Un carrete tiene una masa M = 3,0 kg, y un momento de inercia respecto al centro instantáneo de rotación Io = 0,05 kgm2, un
radio exterior R = 3,1 cm y un radio interior de r = 1,7 cm. Al carrete se enrolla una cuerda a su alrededor, luego el extremo de
la cuerda pasa por una polea ideal y se une a una masa m = 1,0 kg la misma cuelga verticalmente. El plano sobre el que se
mueve el carrete está inclinado con un ángulo de 37° sobre la horizontal. Determinar:
a) La aceleración del centro del carrete.
b) La tensión en la cuerda.
a) 0,37 m/s2; b) 10,39 [N].

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
FUERZA CENTRÍPETA Y FUERZA TANGENCIAL
FUERZA TANGENCIAL (FT).- Es la componente de la fuerza
neta en la dirección tangencial que comunica en la
partícula una aceleración tangencial y determina que la
velocidad cambie de módulo.
De acuerdo a la segunda Ley de Newton, un partícula que gira con movimiento circular, tiene las fuerzas:
Tangencial y Centrípeta, como se observa en la figura.
. , de donde
( )
t c
t c
t c
F m a a a a
F m a a
F F F
  
  
  



mg
T
x
y
, pero = .
, si el movimiento es circular uniforme, =0.
= 0.
t
t t
F ma
mgsen ma a r
mgsen m r
mgsen
 
  

 





mg
T
x
y
FUERZA CENTRIPETA (Fc).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección central que comunica a
la partícula una aceleración centrípeta y determina que la velocidad cambie de dirección.
2
2
cos , pero =
cos .
c
c c
F ma
v
T mg ma a
r
v
T mg m
r


 
 
 
De la ecuación anterior, despejando T de ésta ecuación se tiene:
2
cos .
v
T mg m
r
 
En la parte más baja la ecuación anterior se resume a:
2
.
v
T mg m
r
 
En la parte más alta la ecuación anterior se resume a:
2
.
v
T m mg
r
 
Pero en el punto más alto la velocidad es crítica y la tensión es igual a cero ( T = 0 ):
La velocidad crítica se define como la mínima velocidad que debe tener un cuerpo que se mueve sobre una
trayectoria circula vertical, en la posición superior, a fin de que se complete la trayectoria.
.v rg

PÉNDULO CÓNICO
Para analizar este movimiento, partiremos de la figura que
representa un pequeño cuerpo de masa m , sujeto al extremo de
una cuerda de longitud L, que describe un circulo horizontal con
velocidad v de magnitud constante. Cuando el cuerpo describe su
trayectoria, la cuerda engendra la superficie de un cono (péndulo
cónico). La cuerda forma un ángulo  con la vertical.
2
x cF ma
v
Tsen m
r

 

0
cos 0
yF
T mg
 
 

Resumiendo, tenemos movimientos horizontales y verticales que hacemos girar un cuerpo de masa “m” con ω =
cte, de donde v = cte, en una circunferencia de radio r.

PERALTES
Se denomina peralte al ángulo de inclinación que tiene una vía en una
curva, respecto al plano horizontal. Proporciona mayor seguridad a los
vehículos, permitiendo que se mantengan en la trayectoria porque
incrementa el valor de la fuerza centrípeta en la curva.
Velocidad Mínima.- Para ésta condición el auto tenderá a deslizarse
lentamente hacia abajo de la carretera, por lo que la fuerza de rozamiento
sobre los neumáticos estará en sentido opuesto a tal tendencia
( cos )
cos
Rg sen
mín senv   
  


Velocidad Máxima.- Para ésta condición el auto tenderá a deslizarse
hacia arriba de la carretera, por lo que la fuerza de rozamiento sobre los
neumáticos actuará en sentido opuesto a tal tendencia.
( cos )
cos
Rg sen
máx senv   
  


Velocidad Optima.- Es la velocidad que deberá tener el auto en la
curva, a fin de que no tienda a deslizarse lateralmente hacia ningún
lado, la fuerza de rozamiento es nula (Fr = 0).
tanóptv Rg 

R

Un cuerpo de 8 Kg. atado a una cuerda de 1,3 m de longitud, gira por una trayectoria circular
horizontal a 720 RPM. Determinar.
a) La velocidad tangencial.
b) La aceleración centrípeta.
c) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo.
EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2:
Un cuerpo de un péndulo cónico es de 2 kg. y cuelga de una cuerda de 8 m de longitud, describiendo una
trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpo se desvía de la vertical hasta que la cuerda forme un
ángulo de 30º con la vertical. Determinar.
a) La tensión de la cuerda.
b) Cuál es la rapidez del cuerpo.

Una masa de 2 Kg está colgada del techo mediante una cuerda de 1 m de longitud, y gira en circunferencias
horizontales ( péndulo cónico) con un radio de 30 cm. Siendo g = 9´8 N/Kg se pide:
a) Las fuerzas que actúan sobre “m” así como su resultante.
b) La tensión de la cuerda.
c) Velocidad angular con la que gira y frecuencia de dicho movimiento.
d) Si la velocidad angular se hace el doble ¿ qué ángulo forma la cuerda con la vertical y cuál es ahora su
tensión?
e) El momento angular o cinético de “m” con respecto al centro de la circunferencia descrita en ambos casos.
EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4:
Un cuerpo de 1 Kg. describe una circunferencia vertical atado al extremo de una
cuerda de 1,2 m de longitud, con una rapidez constante de 5 m/s. Determinar la
tensión de la cuerda, cuando:
• El cuerpo se encuentra en el punto más bajo de la trayectoria.
• El cuerpo se encuentra en el punto más alto de la trayectoria.
• El cuerpo se encuentra en el mismo nivel que el centro de la circunferencia.
• Esta forma un ángulo de 60º sobre la horizontal.
EJEMPLO 5:
Un vehículo de 800 kg, describe una curva horizontal de 35 m de radio. Si  = 0,2.
a) La máxima velocidad en km/h con qué podrá tomar la curva sin derrapar, si no hubiese peralte.
b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 108 km/h.

EJEMPLO 6:
Un auto de 15 toneladas toma una curva de 40 m de radio cuyo ángulo de peralte
es de 15°. Si el auto viaja a 72 km/h, ¿se necesitará fuerza de fricción?. ¿En caso
afirmativo, cuanta y en que dirección?
EJEMPLO 7:
Dado que la fuerza real que actúa sobre un piloto depende del propio peso del
piloto, los efectos centrípetos generalmente se miden como aceleración. Si la
aceleración máxima que un ser humano puede soportar es 7 veces la gravedad
(7g). Determinar la velocidad máxima que puede picar un piloto para salir en una
curva de 300 ft de radio.
R. 259,23 ft/s.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER
CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
El campo gravitatorio de la Tierra es la perturbación
que ésta produce en el espacio que la rodea por el
hecho de tener masa.
Los campos gravitatorios quedan caracterizados por la
intensidad de campo y el potencial en cada punto.
Campo gravitatorio

P
g
RT
h
r
u
INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
En el punto P, que dista una distancia r del centro
de la Tierra, el vector intensidad de campo es:
T
2
M
g G u
r
  
Dónde MT es la masa de la Tierra. La distancia r la
podemos poner en función del radio de la Tierra RT y
de la altura h: r = RT + h
T
2
T
M
g G u
(R h)
  

𝑴 𝑻 = 𝟓, 𝟗𝟖 · 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝒌𝒈
𝑹 = 𝟔𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒎 = 𝟔, 𝟑𝟕 𝐱 𝟏𝟎 𝟔 𝒎

El módulo de este vector es:
INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
T
2
T
M
g G
(R h)


Para puntos situados sobre la superficie de la Tierra a nivel del
mar donde h = 0:
T
2
T
M
g G
R

Todos los cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa
Constante de Gravitación Universal,
cuyo valor es 6,67·10-11 N· m2/kg2
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

PESO DE UN CUERPO
Peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra (o el planeta en el que se
encuentre) lo atrae.
r
Tierra,cuerpoF p (peso)
Tierra
Cuerpo de masa m
p
p
La fuerza peso, al igual que la intensidad de
campo, tiene en cualquier punto dirección radial
y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra.
T
Tierra,cuerpo 2
M m
F p G u
r

     p m· g
p

El peso de cuerpo situado a cierta distancia de la Tierra puede:
► Hacer caer el objeto sobre la superficie terrestre
PESO DE UN CUERPO
g =9,8 m/s2
g =9,8 m/s2
g =9,8 m/s2
g =9,8 m/s2
g =9,8 m/s2
La caída tiene lugar con una aceleración a
la que llamamos aceleración de la gravedad
, que tiene el mismo valor que la intensidad
del campo gravitatorio en ese punto.
La aceleración de la gravedad (y la
intensidad del campo gravitatorio ) no es
constante sino que disminuye con la
distancia al centro de la Tierra.
T
2
M
g G u
r
   

► Mantener el objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra.
PESO DE UN CUERPO
p En este caso, el peso actúa como fuerza
centrípeta
La fuerza centrípeta es imprescindible para
que cualquier objeto describa una órbita
cerrada ( circular, elíptica, … )
Esto ocurre con la Luna o con los satélites
artificiales.
c GF F
2
2
2
.
.
c
M m
ma G
r
v M m
m G
r r


2 M
v G
r


ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE
Un cuerpo de masa m sometido al campo gravitatorio terrestre, adquiere cierta energía potencial, que nos
viene dada por la fórmula:
r
RT
m
h
TM m
Ep G
r

 
r = RT + h
T
T
M m
Ep G
R h

 

Como podemos expresar r en función del radio de la Tierra y de
la altura:
A la energía potencial que tiene el cuerpo m cuando está
infinitamente alejada de la Tierra, le asignamos valor cero (La Tierra
no interacciona con ella). Cuando se acerca a la Tierra, su energía
potencial disminuye y es negativa.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE
m
Ep m g h  
T
T
M m
Ep G
R h

 

h
La variación de energía potencial que tiene lugar cuando un cuerpo cae es:
2
1 1
( ) ( ) T T
p p T T
T T T T T T
M m M m h
E h E suelo G G GM m GM m
R h R R R h R R h
     
            
       
Si consideramos puntos próximos a la superficie, h<<RT:
( )pE h mgh
Expresión válida para puntos cercanos a la superficie, h << RT, dónde puede considerarse
g constante y tomamos como referencia Ep (suelo) = 0.
Para calcular la energía potencial gravitatoria en cursos anteriores se
utilizaba la expresión:

POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE
El potencial en un punto del campo gravitatorio terrestre es el trabajo que realiza la fuerza
del campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito.
r
RT
h
P
TM
V G
r
 
T
T
M
V G
R h
 

Cuando expresamos r en función del radio de la Tierra y de la altura, el potencial es:
Como vimos en el tema anterior, el trabajo para trasladar un cuerpo de masa m desde
un punto A a otro B es:
B
A A BW m (V V )  
siendo VA y VB el potencial gravitatorio en los puntos A y B.

MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
VELOCIDAD ORBITAL es la velocidad que tiene el planeta en su movimiento alrededor del Sol (o del satélite
alrededor del planeta).
Como la fuerza gravitatoria le proporciona al planeta o al satélite la fuerza
centrípeta necesaria:
gravitatoria centrípetaF F
T LM m
G

2
r
Lm
2
v
r

La velocidad orbital es: TG M
v
r


Vemos que la velocidad orbital del satélite NO depende de su masa.

VELOCIDAD DE ESCAPE es la velocidad ve que debe adquirir un cuerpo (un satélite artificial) para escapar
de la atracción terrestre.
MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
inicial inicialEc Ep Ec Ep   
1
m
2
2 T
e
G M m
v
  
  0 0
r
 
Obtenemos para la velocidad de escape, la expresión:
T
e
2 G M
v
r
 


EJEMPLO 2.
EJEMPLO 1.
Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio sobre la superficie de la Tierra.
¿Y en la cima del Everest, cuya altura es de 8 850 m ?
Determinar a qué altura sobre la superficie de la Tierra debemos subir un cuerpo para su peso se reduzca un 20 %.

Dos partículas de masas m1 = 4 kg y m2 = 0,5 kg que están situadas a una distancia de 20 cm se separan hasta una distancia
de 40 cm. Calcular la energía potencial asociada a las dos posiciones relativas y el trabajo realizado durante el proceso.
EJEMPLO 2.
EJEMPLO 3.
Un satélite de 250 kg de masa, está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula su
velocidad y su periodo de revolución. ¿Cuál es la energía involucrada en el proceso de poner al satélite en órbita con esa
velocidad?
Datos: Radio de la Tierra = 6370 km y g = 9,8 m/s².

EJEMPLO 4.
La intensidad del campo gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre es 9,8 N/kg, y el radio de la Tierra es 6,38 x106 m.
(a) Utiliza la fórmula de Newton para comprobar que la masa de la Tierra es 5,98 x 1024 kg.
(b) Calcula el volumen de la Tierra y su densidad media, suponiendo que es una esfera.
(c) ¿Cómo se explica el valor hallado de la densidad media, si la densidad de los materiales de la superficie terrestre es alrededor de
2500 kg/m3?
La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT, siendo RT el radio de la Tierra, igual a 6 400 km. Calcula:
a) La velocidad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra.
b) El correspondiente periodo de rotación en días.
Datos. G = 6,67×10-11 Nm2kg-2; masa de la Tierra: M = 5,98×1024 kg.
EJEMPLO 5.
R.: a) v = 1,0×103 m/s; b) T = 27 dias

EJEMPLO 5.
La luz del Sol tarda 5×102 s en llegar a la Tierra y 2,6×103 s en llegar a Júpiter. Calcula:
a) El periodo de Júpiter orbitando alrededor del Sol.
b) La velocidad orbital de Júpiter.
c) La masa del Sol.
Datos: T período de Tierra alrededor del Sol: 3,15×107 s; c = 3×108 m/s; G = 6,67×10-11 Nm2kg-2. (Se suponen las orbitas circulares).
R: a) TJ = 3,74×108 s; v = 1,31×104 m/s; b) M = 2,01×1030 kg.

TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA
La antigua Astronomía
Breve Historia de los defensores
de los Modelos Geocéntrico e
Heliocéntrico a través del
tiempo.

Consiste en la observación del cielo nocturno proporcionando datos suficientes de los movimientos de los astros como para
establecer diferentes teorías sobre el universo.
La astronomía ha estado ligada al ser humano desde la antigüedad y todas las civilizaciones han tenido contacto con esta
ciencia.
Personajes como Aristóteles, Tales de Mileto, y Albert Einstein
han sido algunos de sus cultivadores.
Observaron que algunos astros en una época del año parecían
moverse hacia delante, y en otras, hacia atrás. Estos astros se
denominaron planetas, y el estudio de sus movimientos dio lugar
al modelo geocéntrico.

MODELO GEOCÉNTRICO
Es un antiguo modelo de ubicación de la Tierra en el Universo. Coloca la
Tierra en el centro del Universo, y los astros, incluido el Sol, girando
alrededor de ella. El geocentrismo estuvo vigente en las más remotas
civilizaciones, estuvo en vigor hasta el siglo XVI cuando fue reemplazada
por la teoría heliocéntrica.
Aristóteles dividía el universo en dos partes: un mundo celeste y otro terrestre. El
mundo celeste era perfecto y su único movimiento tenía que ser circular, porque el
círculo es la figura perfecta: no tiene ni principio ni fin y es igual en todos los puntos.
Esta teoría no podía justificar que el Sol, la Luna, Venus,
Marte y Júpiter aparecieran unas veces más brillantes y
más próximos a la Tierra y otras, más alejados de ella.

Claudio Tolomeo en el sigo II d. C. publicó el Almagesto. En él afirmaba que el Sol,
la Luna y los cinco planetas visibles desde la Tierra se mueven con sus propias
esferas transparentes describiendo movimientos circulares.
Estableció la hipótesis de que los planetas se desplazan
en pequeños círculos (epiciclos) cuyo centro se mueve en
una órbita circular alrededor de la Tierra.
MODELO GEOCÉNTRICO

MODELO HELIOCÉNTRICO
La Teoría heliocéntrica es la que sostiene que la Tierra y los demás
planetas giran alrededor del Sol. El heliocentrismo, fue propuesto en la
antigüedad por el griego Aristarco de Samos (310 a. C. - 230 a. C.), quien
se basó en medidas sencillas de la distancia entre la Tierra y el Sol,
determinando un tamaño mucho mayor para el Sol que para la Tierra.
LA REVOLUCIÓN DE COPÉRNICO
Es el paso del tradicional sistema ptolemaico geocéntrico al innovador
sistema copernicano heliocéntrico, iniciada en el siglo XVI por Nicolás
Copérnico y culminada en el siglo XVII por Isaac Newton.
En el siglo XVI, la teoría volvería a ser formulada, esta vez por Nicolás Copérnico,
uno de los más influyentes astrónomos de la historia, con la publicación en 1543
del libro “De Revolutionibus Orbium Coelestium” (Las revoluciones de las esferas
celestes).

ESTUDIO DEL UNIVERSO EN LOS SIGLOS
Galileo Galilei
Galileo Galilei
Descubrió las fases de Venus con un telescopio que construyó en 1610, demostrando que
giraba alrededor del Sol y que la teoría de Copérnico era cierta. También descubrió cuatro
de los satélites de Júpiter. Estudió las manchas solares y la vía láctea.
Johannes Kepler
En 1610,Kepler utilizó los datos exhaustivos de Tycho Brahe y adapto la teoría de
Copérnico a un sistema planetario con órbitas elípticas. Descartó la antigua
creencia del movimiento uniforme y supuso que la velocidad de los planetas es
mayor o menor según la distancia al Sol. Sus teorías, válidas para cualquier objeto
en órbita alrededor de una estrella cualquiera, quedan establecidas en las tres
leyes de Kepler.

Isaac Newton
A partir de los descubrimientos realizados por Copérnico, Galileo y Kepler en 1687
Newton formuló en su obra „Principios matemáticos de filosofía natural‟, un conjunto de
leyes universales que explicaban el movimiento de los cuerpos celestes, la caída y el
peso de los cuerpos, el movimiento de los satélites, el movimiento y la periodicidad de
las mareas y la trayectoria de las cometas.
Isaac Newton

LEYES DE KEPLER
 El Sol está inmóvil en el centro de Universo.
 Los planetas, junto a las esferas que los transportan,
giran alrededor del Sol según el siguiente orden:
Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno.
 La Tierra está afectada por dos movimientos
importantes: uno de rotación alrededor de su propio eje
y otro de traslación en torno al Sol.
 La Luna gira alrededor de la Tierra.

Todo planeta gira en torno del Sol describiendo una orbita elíptica, en la cual
el Sol ocupa uno de los focos.
PRIMERA LEY DE KEPLER
LEYES DE KEPLER

LEYES DE KEPLER
PERIHELIO Y AFELIO
Cuando el Planeta describe una elipse, debe moverse más rápidamente
cuanto más cerca se encuentra del sol. La velocidad en el “afelio” es menor
que en el “perihelio”.

SEGUNDA LEY DE KEPLER
El radio que une a un planeta con el Sol “describe” áreas iguales en tiempos iguales.
Para que esto ocurra, Kepler descubrió que los planetas se mueven con mayor rapidez cuando están
mas cercanos al Sol y con mas lentitud cuando están mas alejados de él.
LEYES DE KEPLER

TERCERA LEY DE KEPLER
Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos
de los radios de sus orbitas.
Donde K es una constante para todos los planetas.
LEYES DE KEPLER

LEYES DE KEPLER
TABLA PARA DETERMINAR K
Planeta Periodo de
revolución T (
en años )
Radio de la
orbita r ( en u.a.
)
Mercurio 0,241 0,387
Venus 0,615 0,723
Tierra 1,000 1,000
Marte 1,881 1,524
Júpiter 11.860 5,204
Saturno 29.600 9,580
Urano 83,700 19,140
Neptuno 165,400 30,200
2
3
T
K
R


Calcula el periodo de la estación espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una órbita situada a una distancia
media de 400 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: RT = 6370 km; go = 9,8 m/s².
EJEMPLO 1.
EJEMPLO 2.
Un satélite de 1000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con un periodo de 12 horas. (Datos: G = 6, 67 x 10−11 en unidades
S.I; masa de la Tierra = 5, 98 x 1024 kg).
Calcular
a) El radio de giro.
b) La velocidad del satélite.
c) Su energía total.
R. 2, 662 x 107 m; 3870, 88 m/s; −7, 49 x 109 J
LEYES DE KEPLER

LEYES DE KEPLER
Sabiendo que la Luna tiene una masa de 7, 35 x 1022 kg y que el campo gravitatorio en su superficie es la sexta parte que en
la superficie terrestre. Calcular:
a) El radio de la Luna.
b) La longitud de un péndulo en la Luna para que tenga el mismo período que otro péndulo situado en la Tierra y cuya longitud
es de 60 cm.
c) El momento angular de la Luna respecto a la Tierra.
Dato: G = 6,67 x 10−11 N m2/kg2, distancia Luna-Tierra = 3, 84 x 108 m.
EJEMPLO 3.
R: 1, 732 x 106 m; 0,1 m; 2, 82 x 1034 kg ms−1

Un astronauta de 75 kg gira alrededor de la Tierra (dentro de un satélite artificial) en una orbita situada a 10 000 km sobre la
superficie de la Tierra. Calcula:
a) La velocidad orbital y el periodo de rotación.
b) El peso del astronauta en esa orbita.
Datos: g0 = 9,80 m/s2; RT = 6 400 km .
EJEMPLO 4.
LEYES DE KEPLER
R: a) v = 4,95×103 m/s; T = 2,08×104 s; b) Ph = 1,1×102 N

EJEMPLO 5.
LEYES DE KEPLER
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular
de radio r1 = 108 km con un periodo de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia
más próxima es r1 = 108 km y la más alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura. ¿Cuál es el periodo de rotación del
planeta 2? .
R: 3,3 años.

Mi intención es demostrar que la
máquina celestial no es como un ser
divino, sino como un reloj.

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