Algebra linealtema1 1-1_3

Sistemas de Ecuaciones Lineales y
Matrices

Oscar G Ibarra-Manzano, DSc

´
Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de Ingenier´as
´ ı
´ ´ ´
Facultad de Ingenier´a, Mecanica, Electrica y Electronica
ı

Trimestre Invierno 2008,
10 de enero de 2008

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Contenido

1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
Gauss-Jordan
Resumen

2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen

3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan

Propiedades de la lńea recta
ı

y La lńea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la lńea
ı
recta son:

(x2 , y2 )
Propiedad:
La pendiente m de una recta que pasa por
∆y
(x1 , y1 ) ´
los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) esta dada por:
y2 −y1 ∆y
∆x m= x2 −x1 = ∆x si x1 = x2
x


´

ı

y La l´nea recta
ı
ı
recta son:

(x2 , y2 ) Propiedad:

∆y Si x2 − x1 = 0 y y2 = y1 , entonces la recta
es vertical y se dice que la pendiente es
∆x = 0 (x1 , y1 ) indeﬁnida.
x


´

ı

y La l´nea recta
ı
ı
recta son:
b
Propiedad:
Cualquier recta (excepto una con pendiente
y = mx + b indeﬁnida) se puede describir escribiendo
m= ∆y ´
su ecuacion en la forma
∆x
x pendiente-ordenada y = mx + b, donde m
es la pendiente de la recta y b es la
ordenada.


´

ı

y La l´nea recta
ı
ı
recta son:
b2
y = mx + b Propiedad:
´
Dos rectas distintas son paralelas si y solo
L2 : m2
b1 si tienen la misma pendiente.
L1 : m1
x


´

ı

y La l´nea recta
ı
ı
recta son:

ax + by = c Propiedad:
a
m = −b ´
Si la ecuacion de la recta se escribe en la
forma ax + by = c (b = 0), entonces, se
´
puede calcular facilmente la pendiente de
a
x la recta como, m = − b .


´

ı

y La l´nea recta
ı
ı
recta son:
1
m2 = − m1
Propiedad:
Si m1 es la pendiente de la recta L1 , y m2
L1 : m1
L2 : m2 es la pendiente de la recta L2 , m1 = 0 y L1
y L2 son perpendiculares, entonces
1
x m2 = − m1 .


´

ı

y La l´nea recta
ı
ı
recta son:

Propiedad:
L:m=0
Las rectas paralelas al eje x tienen una
pendiente de cero.

x


´

ı

y La lńea recta
ı
ı
recta son:

Propiedad:
L : m → indefinida Las rectas paralelas al eje de las y tienen
una pendiente indefinida.

x


´

´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas

´ ´
Un sistema con una solucion unica
Considere el sistema
Sistema de ecuaciones
x −y =7
Consideremos el sistema de
x +y =5
dos ecuaciones con dos
´
incognitas:
´
Solucion
a11 x + a12 y = b1 ´
Sumando ambas ecuaciones y despues
´
restandolas, obtenemos:
a21 x + a22 y = b2
x =6
y = −1


´

´

Un sistema con un numero inﬁnito de
´
soluciones
Sistema de ecuaciones Considere el sistema
x −y =7
2x − 2y = 14
´
incognitas:

a11 x + a12 y = b1 ´
Solucion
Para este sistema podemos observar que
a21 x + a22 y = b2
2(x − y = 7), por lo tanto la solucion es de la
´
forma:
y =x −7


´

´

´
Un sistema sin solucion
Considere el sistema
Sistema de ecuaciones
x −y =7
2x − 2y = 13
´
incognitas:
´
Solucion
a11 x + a12 y = b1
En este caso tenemos 2(x − y = 13 ), por lo
2
a21 x + a22 y = b2 tanto las rectas son paralelas y diferentes.


´

´
Representacion matricial de sistemas lineales

´
Deﬁnicion
La matriz de coeﬁcientes, A es:
  Una Matriz es un arreglo rectangular de
2 4 6 numeros. Por ejemplo, para el sistema de
´
A= 4 5 6  ecuaciones lineales:
3 1 −2
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4


´

´
Representacion matricial de sistemas lineales

´
Deﬁnicion
La matriz aumentada del sistema
es: Una Matriz es un arreglo rectangular de
  numeros. Por ejemplo, para el sistema de
´
2 4 6 | 18 ecuaciones lineales:
 4 5 6 | 24 
3 1 −2 | 4 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4


´

Operaciones elementales en una matriz:

Operaciones elementales con renglones
1 ´
Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
´
2 ´ ´
Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
´
3 Intercambiar dos renglones.

Ejemplo:
   
2 4 6 | 18 1 2 3 | 9
1 
 4 5 6 | 24  R1 → R1 4 5 6 | 24 
2
3 1 −2 | 4 −− − −
− − −→ 3 1 −2 | 4


´


1 ´
´
2 ´ ´
´

Ejemplo:

   
2 4 6 | 18 2 4 6 | 18
 4 5 6 | 24  R2 → R2 − 2R1  0 −3 −6 | −12 
−− − − − −
− − − − −→
3 1 −2 | 4 3 1 −2 | 4


´


1 ´
´
2 ´ ´
´

Ejemplo:
   
2 4 6 | 18 4 5 6 | 24
 4 5 6 | 24  R1 R2  2 4 6 | 18 
−− −→
−−−
3 1 −2 | 4 3 1 −2 | 4


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
2 4 6 | 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4

Procedimiento:
1 Se selecciona el pivote.
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
2 4 6 | 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4

R1 → 1 R1
− − −2−
− − −→
Procedimiento:  
1 2 3 | 9
1 Se selecciona el pivote.  4 5 6 | 24 
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 3 1 −2 | 4


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 3R1
Procedimiento: −− − − − −
− − − − −→
Se selecciona el pivote.
1
 
1 2 3 | 9
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  0 −3 −6 | −12 
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 −5 −11 | −23


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 −3 −6 | −12 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 −5 −11 | −23
1
R2 → − 3 R2
−− − −→
−−−−
1 2 3 | 9
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 −5 −11 | −23


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 −5 −11 | −23
R3 → R3 + 5R2
−− − − − −
− − − − −→
1 2 3 | 9
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 0 −1 | −3


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 0 −1 | −3

R3 → − 1 R3
− − − 1−
−− − −→
1 2 3 | 9
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 0 1 | 3


´

´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 0 1 | 3
1x1 + 2x2 + 3x3 = 9
1x2 + 2x3 = 4
Procedimiento:
1x3 = 3
1 Se selecciona el pivote.    
x1 9 − 2x2 − 3x3
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  x2  =  4 − 2x3 
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri x3 3


´

´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
2 4 6 | 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24 
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30

Procedimiento:
1 Se selecciona el pivote.


´

´

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
2 4 6 | 18

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24 
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30

R1 → 1 R1
− − −2−
− − −→
1 Se selecciona el pivote. 1 2 3 | 9
 4 5 6 | 24 


´

´

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24 
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30
R2 → R2 − 4R1
Procedimiento: R3 → R3 − 2R1
−− − − − −
− − − − −→
1 Se selecciona el pivote. 
1 2 3 | 9

2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  0 −3 −6 | −12 
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 3 6 | 12


´

´

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 −3 −6 | −12 
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 3 6 | 12

R2 → − 1 R2
3
−− − −→
−−−−
1 Se selecciona el pivote. 1 2 3 | 9
 0 1 2 | 4 


´

´

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 2 3 | 9

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4 
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 3 6 | 12
R → R1 − 2R
−1− − − − − 2
− − − − −→
Procedimiento: R3 → R3 − 3R2
−− − − − −
− − − − −→
1 Se selecciona el pivote.  
1 0 −1 | 1
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  0 1 2 | 4 
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 0 0 | 0


´

´

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 
1 0 −1 | 1

4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4 
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 0 0 | 0
1x1 − x3 = 1
Procedimiento: 1x2
+ 2x3 = 4
   
1 Se selecciona el pivote. x1 1 + x3
 x2  =  4 − 2x3 
x3 x3


Resumen

Resumen

Teorema
El sistema
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2

Tiene una solucion unica si y solo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
´ ´ ´
´
No tiene solucion o tiene un numero inﬁnito de soluciones si y
´
solo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
´


Resumen

Resumen

´
Reduccion de Gauss & Gauss-Jordan
´ ´
En la eliminacion Gaussiana se reduce por renglon la matriz de
coeﬁcientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el
´ ´ ´
valor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia
´
´ ´ ´
atras para las demas incognitas.
´ ´
En la eliminacion de Gauss-Jordan se reduce por renglon la
matriz de coeﬁcientes a la forma escalonada reducida por
renglones usando el procedimiento descrito.


Resumen

Resumen

Problemas - Tarea
1 Pruebe que la distancia entre un punto (x1 , y1 ) y la recta
´
ax + by = c esta dada por:
|ax1 +by1 +c|
d= √
a2 +b2

2 Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto de
interseccion de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12.
´


Resumen

Resumen

´
Problemas - Tarea - Reduccion de Gauss-Jordan
1 ´ ´
¿Para que valor de k tendra soluciones no triviales el siguiente
sistema?:

1x + 1y + 1z = 0
2x + 3y + 4z = 0
3x + 4y + kz = 0
2 ´
Comprueba el resultado aplicando la reduccion de Gauss-Jordan



´
Deﬁniciones y operaciones basicas

´
Vector renglon de n componentes
´
Se deﬁne a un vector renglon de n componentes como un
conjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera:
´

x1 x2 ··· xn

´
Ejemplo: 5-vector renglon

x= 2 1 3 5 −1



´

Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado
de n numeros escritos de la siguiente manera:
´
 
x1
 x2 
 
 . 
 . 
.
xn

Ejemplo: 3-vector columna
 
−1
u= 1 
0



´

Espacio vectorial Rn
Se usa el s´mbolo Rn para denotar al conjunto de todos los
ı
n-vectores:
 
a1
 a2 
 
 . 
 . 
.
an
cada ai es un numero real
´



´

Matriz
Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn numeros
´
agrupados en m renglones y n columnas.
 
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
 a21 a22 a2j a2n 
 . . . . 
 
 . . .
. .
. . 
. 
A=  ai1 ai2 · · · aij · · · ain 
 
 . . . . 
 . . .
. .
. . 
.
am1 am2 · · · amj · · · amn



´
Suma y multiplicacion de matrices

Suma de matrices
Consideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces la
suma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por:

A+B = aij + bij
 
a11 + b11 a12 + b12 ··· a1n + b1n
 a21 + b21 a22 + b22 ··· a2n + b2n 
= 
 
.
. .
. .
. 
 . . . 
am1 + bm1 am2 + bm2 ··· amn + bmn

Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar las
componentes correspondientes de A y B.



´

´
Multiplicacion de una matriz por un escalar
Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces la
matriz m × n, αA, esta dada por:
´

αA = (αaij )
 
αa11 αa12 ··· αa1n
 αa21 αa22 ··· αa2n 
=  .
 
. .
 . . . 
. . . 
αam1 αam2 ··· αamn

Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cada
componente de A por α.



´

Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA



Producto escalar

´
Deﬁnicion: Producto escalar
   
a1 b1
 a2   b2 
Sean a =  .  y b =  .  dos vectores. Entonces el
   
 . 
.  . . 
an bn
producto escalar de a y b, representado por a · b, esta deﬁnido
´
como:
a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn
Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el
mismo numero de componentes
´



Producto escalar

Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a·0=0
2 a · b = b · a (ley conmutativa)
3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4 (αa) · b = α(a · b)



Producto de dos matrices

´
Deﬁnicion:
Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p.
Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), en
donde:

cij = (renglon i de A) · (columna j de B)
´

´
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglon i de A
y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
Si el numero de columnas de A es igual al numero de renglones de B, entonces se
´ ´
´
dice que A y B son compatibles bajo la multiplicacion.



Producto de dos matrices

´ ´
Ejempliﬁcacion de la multiplicacion matricial

a11 a12 ··· a1n
 
 a21 a22 ··· a2n  b b12 ··· b1j ··· b1p

11
. . .
 

 .
. .
. .
.
 b
  21 b22 ··· b2j ··· b2p 
(cij ) =   . . . .

ai1 ai2 ··· ain  . . . .

. . . .
 
 
 .
. .
. .
.

bn1 bn2 ··· bnj ··· bnp
 . . . 
am1 am2 ··· amn


Resumen

Resumen

´
La notacion Σ
´
El producto escalar y la multiplicacion de dos matrices puede ser
expresada de la siguiente forma:
Producto escalar

a·b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
n
= ai bi
i=1

´
Multiplicacion de dos matrices

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
n
= aik bkj
k=1


Resumen

Resumen

Problemas - Tarea
1 Sean a11 , a12 , a21 y a22 numeros reales dados tales que
´
a11 a22 − a12 a21 = 0. Encuentre los numeros b11 , b12 , b21 y b22
´
a11 a12 b11 b12 1 0
tales que = .
a21 a22 b21 b22 0 1
−1 2
2 Calcule A2 si A = .
3 4
3 Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.
Determine todos los umeros α y β tales que los vectores
   n´
1 4
 −α   5 
 2  y  −2β  sean ortogonales.
   

3 7



´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales

´
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
´
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm

La matriz de coeﬁcientes es:
 
a11 a12 ··· a1n
 a21 a22 ··· a2n 
A= .
 
. .
 . . . 
. . . 
am1 am2 ··· amn



´

´
´

a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm

Los vectores x y b son:
   
x1 b1
 x2   b2 
x= b=
   
.
.  .
. 
 .   . 
xn bm



´

´
´

a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm

´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones:

Ax = b
´
Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo si:

Ax = 0



´

´
´

a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm

Ejemplo:
 
1x1 + 4x2 − 2x3 = 10 1 4 −2
2x1 + 5x2 + 3x3 = 8 A= 2 5 3 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2



´

´
´

a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm

´
Ejemplo (continuacion):
  
1x1 + 4x2 − 2x3 = 10 x1 10
2x1 + 5x2 + 3x3 = 8 x =  x2  , b =  8 
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 x3 4



´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo

´
La representacion de la matriz aumentada
de Ax = b es:
Ejemplo:
 
1 1 −1 | 7
 4 −1 5 | 4 
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 6 1 3 | 18
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18



´ ´

Reduciendo la matriz aumentada a la forma
escalonada, tenemos:
Ejemplo:
 
1 1 −1 | 7
 4 −1 5 | 4 
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 6 1 3 | 18
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 6R1
−− − − − −
− − − − −→
 
1 1 −1 | 7
 0 −5 9 | −24 
0 −5 9 | −24



´ ´

´
escalonada, tenemos (continuacion):
Ejemplo: 
1 1 −1 | 7

 0 −5 9 | −24 
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 0 −5 9 | −24
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R2 → − R2
5
−− − −
− − −→
 
1 1 −1 | 7
 0 1 −9 |
5
24 
5
0 −5 9 | −24



´ ´

´
escalonada, tenemos (continuacion):
Ejemplo: 
1 1 −1 | 7

 0 1 −9 |
5
24 
5
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 0 −5 9 | −24
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R1 → R1 − R2
R3 → R3 + 5R2
−− − − − −
− − − − −→
4 11
 
1 0 5 | 5
9 24
 0 1 −5 | 5

0 0 0 | 0



´ ´

´
La reduccion queda como:
4 11
 
1 0 5 | 5
Ejemplo:  0 1 −9 | 24 
5 5
0 0 0 | 0
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 ´
La solucion ser´a:
ı
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 11
− 4 x3
   
x1 5 5
24
 x2  = 
5 + 9 x3 
5
x3 x3



´ ´

Considerando las soluciones x1 y x2 para
x3 = 1 y x3 = 2, respectivamente:
Ejemplo:    11 4 
x1 5 − 5 x3
x1,2 =  x2  =  24 + 9 x3 
5 5
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 x3 x3
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 La soluciones ser´an:
ı
 7   3

5 5
33 42
x1 =  5
 x2 =  5

1 2



´ ´

Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
 7   3   4 
5 5 5
Ejemplo: x= 33 − 42 =  −9 
5 5 5
1 2 −1
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 ´
efectuando la multiplicacion Ax:
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18   4   
1 1 −1 5 0
 4 −1 5   −9  =  0 
5
6 1 3 −1 0



´ ´

Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
 7   3   4 
5 5 5
Teorema x= 33 − 42 =  −9 
5 5 5
Sean x1 y x2 soluciones al 1 2 −1
´
sistema no homogeneo.
Entonces su diferencia x1 − x2 , ´
efectuando la multiplicacion Ax:
´
es una solucion al sistema   4   
´
homogeneo relacionado 1 1 −1 0
5
 4 −1 5   −9  =  0 
5
A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = 0
6 1 3 −1 0

Algebra linealtema1 1-1_3

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