Pêndulo Invertido Automatizado para Laboratório de Controle

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ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL DOM BOSCO FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA COM ÊNFASE EM ELETRÔNICA ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL BRUNO CARVALHO DOS SANTOS ENOQUE DE JESUS SILVA ESTUDO, CONSTRUÇÃO E MODELAGEM DE UM PÊNDULO INVERTIDO PARA O LABORATÓRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE RESENDE/RJ
2011

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ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL BRUNO CARVALHO DOS SANTOS ENOQUE DE JESUS SILVA ESTUDO, CONSTRUÇÃO E MODELAGEM DE UM PÊNDULO INVERTIDO PARA O LABORATÓRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE
Orientador: Prof. MSc. André Tomaz de Carvalho RESENDE/RJ 2011
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Associação Educacional Dom Bosco como requisito parcial para a obtenção dos graus de Engenheiros Eletricistas com Ênfase em Eletrônica.

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ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL BRUNO CARVALHO DOS SANTOS ENOQUE DE JESUS SILVA ESTUDO, CONSTRUÇÃO E MODELAGEM DE UM PÊNDULO INVERTIDO PARA O LABORATÓRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE
BANCA EXAMINADORA ______________________________________________ Prof. M.Sc Leandro Coimbra da Fonseca ______________________________________________ Prof. M.Sc André Tomaz de Carvalho ______________________________________________ Prof. M.Sc Vinicius Maciel Pinto APROVADO COM A NOTA:______ Resende, ____ de _____________ de 2011
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Associação Educacional Dom Bosco como requisito parcial para a obtenção dos graus de Engenheiros Eletricistas com Ênfase em Eletrônica.

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DEDICATÓRIA
Aos nossos familiares que sempre compreenderam nossa ausência e nos deram todo o apoio necessário dedicamos este trabalho.

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AGRADECIMENTOS
Aos nossos mestres e amigos que nos transmitiram seus conhecimentos e experiências profissionais com dedicação e carinho propiciando o desenvolvimento deste trabalho, expressamos os nossos maiores agradecimentos.

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EPÍGRAFE
"Paciência e perseverança têm o efeito mágico de fazer as dificuldades desaparecer e os obstáculos sumirem."
John Quincy Adams

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RESUMO O controle automatizado está presente em nosso dia-a-dia, principalmente nas fábricas onde podemos encontrar diversas malhas cada qual com os mais diversos algoritmos de controle. Com o objetivo de solidificar e aplicar o conhecimento e as técnicas de controle adquiridas ao longo do curso, foi desenvolvido um sistema de controle para uma planta de características não lineares, ou seja, oferece um alto grau de complexidade para o controle. O pêndulo invertido é um ótimo exemplo de um sistema não linear sendo por isto nosso objeto de estudo. Devido a suas características de instabilidade a planta do pêndulo invertido é um modelo ideal para avaliar o desempenho de diferentes técnicas de controle. Este trabalho apresenta a construção e modelagem de uma planta de um pêndulo invertido. O controle do pêndulo invertido é um dos exemplos mais importantes na teoria de controle e é freqüentemente citado em diversas literaturas de controle. Consiste em uma haste solidária a um eixo livre de um carro deslizante em trilhos, sendo o carro sobre trilhos o elemento responsável por equilibrar o pêndulo na posição vertical por meio do deslocamento da base do pêndulo. Esta estrutura é o que podemos chamar de um sistema não linear cuja complexidade torna o controle por vezes impraticável e a implementação de um controlador para este sistema requer uma série de considerações e simplificações. Pode-se associar a esse modelo ao controle de posição de um foguete na fase de lançamento, onde o objetivo do problema de controle de posição é manter o foguete na posição vertical. Palavras-chave: Pêndulo invertido, controle automatizado, sistema não linear.

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ABSTRACT The automatized control is present in ours day-by-day, mainly in the plants where we can will find diverse meshes each one with the most diverse algorithms of control. With the aim to make solid and to apply the knowledge and the acquired techniques of control along the course, was developed a system of control for a plant of not linear characteristics, that is, it offers one high degree of complexity for the control. The inverted pendulum is an optimum example of a not linear system being for this our object of study. Due to its characteristics of instability the plant of the inverted pendulum is an ideal model to evaluate the performance of different techniques of control. This work presents the construction and modeling of a plant of an inverted pendulum. The control of the inverted pendulum is one of the examples most important in the control theory and frequently is cited in diverse literatures of control. It consists of a solidary rod to a free axle of a slippery car in tracks, being the car on tracks the element responsible to balance the pendulum in the vertical position by means of the displacement from the base of the pendulum. This structure is what we can call a not linear system whose complexity returns the impracticable control sometimes and the implementation of a controller for this system requires a series of considerations and simplifications. It can be associated with this model to the control of position of a rocket in the launching phase, where the aim of the problem of position control is keeps the rocket in the vertical position. Key words: Inverted pendulum, automatized control, not linear system.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 2.1: Pêndulo simples ...........................................................................................14 Figura 2.2: Equilíbrio corda bamba e equilíbrio de pratos .............................................14 Figura 2.3: Planta de pêndulo invertido ..........................................................................15 Figura 2.4: Eixo de rotação de um corpo qualquer .........................................................16 Figura 2.5: Momento de Inércia de um Paralelepípedo ..................................................17 Figura 2.6: Funcionamento das transmissões por roda de fricção e engrenagens ..........17 Figura 2.7: Esquema de funcionamento das transmissões por correias e correntes .......19 Figura 2.8: Pinagem do PIC 16F628A ...........................................................................21 Figura 2.9: Esquema do circuito para a comunicação RS232 ........................................22 Figura 2.10: Vista superior da placa NI USB-6009 ........................................................23 Figura 2.11: Vista em corte do potenciômetro ...............................................................24 Figura 2.12: Diagrama de blocos de um potenciômetro .................................................24 Figura 2.13: Funcionamento do encoder incremental ....................................................25 Figura 2.14: Equivalente elétrico de um motor DC ........................................................26 Figura 3.1: Pêndulo livre ................................................................................................28 Figura 3.2: Programa em Labview para medir o atrito do potenciômetro .....................31 Figura 3.3: Forma de onda do movimento oscilatório característico do pêndulo...........31 Figura 3.4: Média do valor final deslocando o sinal para eixo zero ...............................32 Figura 3.5: Resposta natural retificada e com filtro de 5Hz ...........................................32 Figura 3.6: Curva amortecida e fator de amortecimento ................................................33 Figura 3.7: Diagrama do modelo matemático usando o Simulink .................................34 Figura 3.8: Curva de resposta através do Simulink ........................................................34 Figura 4.1: Planta do pêndulo invertido .........................................................................35 Figura 4.2: Dispositivo de acoplamento do pêndulo ......................................................36 Figura 4.3: Projeto da estrutura do carro ........................................................................36 Figura 4.4: Estrutura do carro .........................................................................................37 Figura 4.5: Projeto conjunto de transmissão de movimento ..........................................37 Figura 4.6: Conjunto de transmissão de movimento extremidade 1 ..............................38 Figura 4.7: Conjunto de transmissão de movimento extremidade 2 ..............................38 Figura 4.8: Projeto fixação do potenciômetro ................................................................39 Figura 4.9: Fixação do potenciômetro ............................................................................39 Figura 4.10: Montagem do encoder ................................................................................40 Figura 4.11: Montagem do limite fim de curso 1 ...........................................................41 Figura 4.12: Montagem do limite fim de curso 2 ...........................................................41 Figura 4.13: Diagrama eletrônica do drive de potência ..................................................42 Figura 4.14: Circuito montado do drive de potência ......................................................42 Figura 4.15: Circuito eletrônico completo ......................................................................44 Figura 4.16: Gravador de PIC .........................................................................................44 Figura 6.1: Pulsos aplicados ao motor ............................................................................51 Figura 6.2: Aquisição do sinal do encoder .....................................................................52 Figura 6.3: Sinal do encoder variável .............................................................................52 Figura 6.4: STFT aplicada ao sinal do encoder ..............................................................53 Figura 6.5: Extração da curva de velocidade do carro ...................................................53 Figura 6.6: Curva de velocidade do motor......................................................................54 Figura 6.7:Curva de resposta do sistema ........................................................................54 Figura 6.8:Função de transferência estimada pelo Labview ..........................................55 Figura 6.9: Root Locus da planta com pólos no semi plano direito................................55 Figura 6.10: Root Locus da planta com controle.............................................................56 Figura 6.11: Resposta ao degrau sem o controle.............................................................57 Figura 6.12: Resposta ao degrau com o controle.............................................................57

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LISTA DE TABELAS Tabela 5.1: Medições de tensão e velocidade para determinação de Ke ........................49

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SUMÁRIO 1 – INTRODUÇÃO ........................................................................................................12 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................14 2.1 – PÊNDULO .............................................................................................................14 2.2 – MOMENTO DE INÉRCIA ...................................................................................15 2.3 – MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO .................................17 2.3.1 – Parâmetros de um Sistema de transmissão de Movimento .................................19 2.3.2 – Polia Correia .......................................................................................................19 2.4 – SISTEMA DE PROCESSAMENTO ....................................................................19 2.4.1 – Microcontroladores .............................................................................................19 2.4.1.1 – Microcontrolador PIC ......................................................................................20 24.1.1.1 – PIC 16F628 ....................................................................................................20 2.4.2 – Comunicação RS-232 .........................................................................................21 2.4.3 – Placa NI-USB-6009 ............................................................................................22 2.5 – TRANSDUTORES ................................................................................................23 2.5.1 – Potenciômetro .....................................................................................................23 2.5.1.1 – Modelo Matemático do Potenciômetro ...........................................................24 2.5.2 – Encoder Relativo ou Incremental .......................................................................25 2.6 – MOTOR DC ..........................................................................................................26 2.7 – CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE ......................................................................27 3 – MODELAGEM DO PÊNDULO INVERTIDO .......................................................28 3.1 – MODELAGEM TEÓRICA ...................................................................................28 3.2 – ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS ...................................................................30 3.3 – VALIDAÇÕES DOS PARÂMETROS OBTIDOS ..............................................34 4 – CONCEPÇÃO DO PROJETO .................................................................................35 4.1 – ESTRUTURA MECÂNICA .................................................................................35 4.1.1 – Fixação da Haste .................................................................................................35 4.1.2 – O carro ................................................................................................................36 4.1.3 – Dimensões do Redutor do Motor ........................................................................37 4.1.4 – Fixação dos Sensores ..........................................................................................38 4.1.4.1 – Potenciômetro ..................................................................................................38 4.1.4.2 – Encoder ............................................................................................................39 4.1.4.3 – Limites Fim de curso .......................................................................................40 4.2 – DRIVER DE POTÊNCIA .....................................................................................41 4.2.1 – Programação do PIC 16F298 ..............................................................................44 5 – MODELAGEM DO CONJUNTO CARRO MOTOR .............................................45 5.1 – EQUAÇÕES DO MOTOR ....................................................................................45 5.2 – RELAÇÕES DE FORÇA E VELOCIDADE NO CONJUNTO ...........................45 5.3 – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ELETROMECÂNICA ...........................................46 6 – DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS.............................................................49 6.1 – PARÂMETROS DO CARRO................................................................................49 6.2 – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANFERÊNCIA ..........................................51 6.3 – ROOT LOCUS DA PLANTA ...............................................................................55 6.4 – SIMULAÇÃO DO CONTROLE ..........................................................................56 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................58 7.1 – CONCLUSÃO .......................................................................................................58 7.2 – IMPLEMENTAÇÕES FUTURAS ........................................................................58 8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................59 9 – ANEXO 1 –PROGRAMA DO PIC ..........................................................................61
9.1 – ANEXO 2 – CÓDIGO FONTE PARA PLOTAR ROOT LOCUS.......................67

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1 – INTRODUÇÃO O pêndulo invertido é um sistema mecânico muito útil no estudo de controle de posição de sistemas instáveis como o controle de posição de veículos espaciais na fase de lançamento (OGATA 2003). Este trabalho tem como objetivo a construção da planta física do pêndulo invertido, a modelagem teórica do sistema, a obtenção dos parâmetros da planta e a modelagem real do sistema. Visando estruturar o laboratório de controle da Faculdade de Engenharia de Resende, proporcionando mais recurso para a disciplina de controle de servomecanismos. Durante a construção da planta física e na modelagem do pêndulo invertido foi percebido a interação das áreas de eletrônica, mecânica, cálculo e outras que se interagem de forma harmoniosa para que seja possível a aplicação do controle automatizado na engenharia. Com a planta montada foi possível à identificação dos parâmetros do pêndulo para realização de simulações no Matlab®. Os parâmetros do pêndulo invertido foram basicamente obtidos através da utilização do PIC 16F628A e uma placa da National NI USB-6009, ambos com interface com o Labview®, software utilizado para a programação dos ensaios no pêndulo invertido. O controle do pêndulo invertido é análogo a brincadeira de equilibrar o cabo da vassoura com as pontas dos dedos, o cabo tende a cair para o lado e para manter o cabo na posição vertical, então, desloca-se a mão de uma lado para outro, no nosso caso o sistema carro-motor que vai manter o pêndulo em equilíbrio. A estabilidade do pêndulo invertido se dá por meio de seu posicionamento em paralelo com eixo vertical, contudo devido a não linearidade do modelo matemático uma vez posicionado na vertical ele não irá manter-se em equilíbrio tendendo a cair. Para evitar sua queda buscou-se através do controlador manipular um atuador, no nosso caso um motor CC, para que haja um deslocamento horizontal do ponto em que está fixado o pêndulo, este deslocamento tende a manter o ângulo de inclinação próximo à zero mantendo assim o pêndulo na posição vertical.
No capítulo 2 serão abordados alguns conceitos teóricos para que se possa entender melhor todo o conteúdo da monografia, serão apresentados conceitos de pêndulo, momento de inércia e mecanismos de transmissão de movimento, para um melhor entendimento da parte mecânica do projeto. Também serão descritos os conceitos, características e funcionamento dos microcontroladores, inclusive um detalhamento do PIC 16F628A utilizado no projeto, da comunicação RS232 utilizada entre o PIC e o PC, da placa da National NI USB-6009 utilizada como aquisição de dados, do potenciômetro e do encoder incremental, para um melhor

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entendimento da parte eletrônica do projeto e também serão abordados conceitos sobre controle de sistemas instáveis. O capítulo três apresenta uma modelagem do pêndulo invertido onde é possível ter uma ideia da complexidade dos sistemas não lineares. De posse dessa modelagem é chegada a hora da estimação dos parâmetros do modelo através de ensaios realizados em laboratório com o pêndulo invertido para a determinação da função de transferência do sistema e simulação no Matlab®. O capítulo quatro trata de forma detalhada como foi realizada a concepção da planta. Na parte mecânica, será mostrada toda a metodologia e as técnicas empregadas para a construção da planta do pêndulo invertido. Ainda nessa ideia de concepção segue com a descrição da parte eletrônica da planta, onde são mencionados com detalhes os componentes e ferramentas utilizadas. O capítulo cinco apresenta uma modelagem teórica do conjunto carro-motor e os ensaios realizados para a determinação dos parâmetros necessários para se obter a função de transferência do conjunto carro-motor. Por fim, segue a conclusão do trabalho e também ideias para projetos futuros que podem usar este trabalho como base e além de servir como mais uma ferramenta para análise de sistemas de controle.

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2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 PÊNDULO
Existem dois tipos de pêndulo, Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade; o movimento é periódico e oscilatório. (http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pêndulo/PênduloSimples_HTML.htm) Figura 2.1: Pêndulo simples Fonte: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pêndulo/PênduloSimples_HTML.htm> O outro tipo de pêndulo é chamado de pêndulo invertido e para entendimento pode ser feita uma analogia com um equilibrista de pratos ou de corda bamba, onde cada um busca controlar a posição do centro de gravidade mantendo-se em cima da corda ou não deixando cair os pratos. Figura2.2: Equilíbrio corda bamba e equilíbrio de pratos Fonte:<http://minhasaladeestudos.blogspot.com/2011/05/na-corda-bamba.html>
Para o estudo de algoritmos de controle existem algumas opções de plantas para implementação do pêndulo invertido e em geral a mais utilizada é a que tem como elemento

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atuador um carro que se desloca no eixo X e tem fixo uma haste com eixo livre, conforme mostrado na figura 2.3. Figura 2.3:Planta de pêndulo invertido Fonte: <http://paginas.fe.up.pt/~ei02009/projectos/Pêndulo.pdf> O pêndulo invertido é um sistema mecânico muito útil no estudo de controle de posição de sistemas instáveis como o controle de posição de veículos espaciais na fase de lançamento. Ogata(2003apud<http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2010/CarlosK-Saa_F609_RF2.pdf>) Como pode ser observado o pêndulo invertido é um sistema naturalmente instável cujo controle só pode ser exercido em uma pequena região, somente consegue-se estabelecer o controle do pêndulo se a variação de sua posição vertical for muito pequena, isto quer dizer que se houver uma perturbação muito grande não seria possível mantê-lo na posição vertical. Matematicamente o objetivo é manter o ângulo da haste bem próximo a zero, este controle é feito através dos movimentos do carro que buscam equilibrar a haste.
2.2 MOMENTO DE INÉRCIA
BEER; JOHNSTON (2010) define o momento de inércia como a resistência que um corpo oferece ao movimento e consideram para exemplo um corpo com uma pequena massa Δm presa a uma haste de massa desprezível que pode girar livremente em torno de um eixo AA’ conforme figura 2.4.

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Figura 2.4: Eixo de rotação de um corpo qualquer Fonte: BEER; JOHNSTON; Mecânica Vetorial para Engenheiros (P.655) Se for aplicado um binário ao sistema, a haste e a massa, consideradas inicialmente em repouso, começaram a girar em torno de AA’. Deseja-se indicar o tempo necessário para o sistema alcançar uma velocidade de rotação proporcional a massa Δm e ao quadrado da distância r. O produto r2Δm fornece, portanto, uma média da inércia do sistema, isto é, da resistência que o sistema oferece quando tentamos colocá-lo em movimento. Por esta razão, o produto r2Δm é denominado momento de inércia da massa Δm em relação ao eixo AA’ Então o momento de inércia é dado pela integral a seguir: dm (2.1) Para algumas geometrias básicas os momentos de inércia já são tabelados para fins de praticidade. No caso da haste do pêndulo podemos considerá-la como sendo um paralelepípedo cujo momento de inércia é dado conforme equação 2.2. Paralelepípedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces, conforme figura 2.5. Figura 2.5: Momento de Inércia de um Paralelepípedo Fonte: <http://www.fisica.ufs.br/egsantana/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm>

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Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx. O
momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria é dada pela equação 2.2.
(2.2)
2.3 MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO
Engrenagens que inter–relacionadas entre si ou através de correia de modo coerente para
produzir ou transmitir forças e movimentos, dotada de dentes, transmite sem deslizamento os
movimentos e forças diretamente á outra engrenagem através dos seus dentes com a finalidade de
gerar trabalho.
Exemplo:
Figura 2.6: Esquema de funcionamento das transmissões por roda de fricção e engrenagens.
Fonte: Apostila de transmissão de movimentos do Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo.
Eficiência na transmissão do movimento:
( )
( )
Potência entrada
Potência saída
(2.4)
*Valores típicos 75% a 95%
Potência mecânica de um motor = Torque x velocidade = Tx
Relação de engrenagens e seus ângulos de deslocamento
( )
( )
out
in
N (2.5)
2
1
N
N
N , sendo N1 e N2 o número de dentes (2.6)
2 2. 2
1 1. 1
T F R
T F R
, como F1 F2, logo N
R
R
T
T
2
1
2
1
(com o sistema parado) (2.7)

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Pout xPin (2.8)
i Tout. .Ti. 0 (2.9)
Sendo índice ―0‖ = índice 1 e índice‖i‖=índice 2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
R
R
R
V
R
V
( com o sistema em movimento ) (2.10)
i N
N
Ti
N
N
T
.
1
2
.
2
1
0
0
(2.11)
T T N
N
N
Ti
N
N
. 1 . 2.
1
2
. .
2
1
1 (sistema para 0 ) (2.12)
. 2
²
1 J
N
J Sendo J o momento de inércia (2.13)
A velocidade das engrenagens não é influenciada pelas perdas, só o torque é influenciado
pelas perdas. Isso porque as velocidades 1 e 2 estão ―amarradas‖ entre si pela relação entre os
raios R1 e R2 das engrenagens e devido à própria ligação entre elas.

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2.3.1 Parâmetros de um sistema de transmissão de movimento
Relação de transmissão Efetiva = N
Eficiência= - Pode ou não depender do sentido da transmissão do movimento. No caso
das engrenagens, independe do sentido (tanto faz girar uma engrenagem ou a outra, ou
seja, usar uma ou outra como entrada e saída).
Folga - Em ângulo (mecânica rotação) e em distância linear (mecânica translação). Afeta
a precisão.
Rigidez - De torção e de translação.
Capacidade de acionamento reverso - Pode ou não apresentar.
2.3.2 Polia - correia
Figura 2.7: Esquema de funcionamento das transmissões por correias e correntes.
Fonte: Apostila de transmissão de movimentos do Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo.
N
1
2
1 (2.14)
N
T
T
.
2
1
(2.15)
A desvantagem da polia para engrenagem é que na polia a correia pode deslizar, já a
corrente fica acoplada aos dentes da engrenagem.
2.4 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO
2.4.1 Microcontroladores
Os microcontroladores são chips inteligentes programáveis. É composto de um
processador, pinos de entradas/saídas e memória. Com a programação podemos controlar suas
saídas, baseada nas entradas como referência ou uma programação interna.
As principais diferenças entre os diversos tipos de microcontroladores estão na quantidade
de memória interna, velocidade de processamento, pinos de entrada/saída e as instruções de
programação.

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2.4.1.1 Microcontrolador PIC
O PIC (Controlador de Interface programável) é um circuito integrado, que em um único
dispositivo integra todos os circuitos necessários para realização de um sistema digital
programável, podendo apenas ser visto externamente como um circuito integrado TTL ou
CMOS, mas internamente tem a capacidade de interpretar as instruções de programas através de
uma unidade de processamento central ou Central Process Unit (CPU), armazenar as instruções
de programa em uma memória programável somente para leitura ou Programmable Read Only
Memory (PROM), armazenar as variáveis do programa em uma Memória de Acesso Aleatório ou
Random Access Memory (RAM), além de linhas de entrada e saída (I/O) para aquisitar dados e
controlar dispositivos externos, uma serie de periféricos internos,etc.
O PIC pode ser encontrado em modelos pequenos que são os PIC12xx de 8 pinos, até
chegar a modelos maiores que são os PIC18Cxx de 40 pinos e podem variar a capacidade de
processamento de dados de 8, 16 ou 32bits, possuem núcleos de processamento de 12, 14 ou 16
bits, velocidade de até 48MHz e alimentação de 2 à 6v.
Existem processadores com arquitetura CISQ, ou seja, trabalha com um conjunto de
instruções complexas e em grande quantidade como por exemplo PC’s e os processadores com
arquitetura RISQ que trabalha com um conjunto reduzido de instruções as quais são mais
simples.
2.4.1.1.1 PIC 16F628A
O PIC 16F628A possui 18 pinos, sendo que o pino SS V é destinado para o GND (ponto de
massa) e o DD V é destinado a alimentação do circuito, como esses pontos são simétricos em
relação a terra, não podem ser invertidas as suas polaridades.
A maioria dos pinos possuem múltiplas funções, as quais são definidas pela programação,
com por exemplo se não usar o clock externo existem disponíveis 16 entradas ou 15 saídas
digitais, se utilizar o clock externo existem disponíveis 14 entradas ou 13 saídas digitais. O pino
RA5 é o único que só pode ser utilizado como entrada.
A tensão de alimentação é de 5V, podendo esse valor variar de 2V à 6V.
A freqüência de clock opera em até 20Mhz , possui 128bytes de memória não volátil
(EEPROM) para gravar dados permanentemente, uma memória de 2048bytes não volátil
(PROM) para armazenar o programa, uma memória de 224bytes volátil (RAM) para armazenar
os estados das variáveis utilizadas durante a execução do programa, somente 35 instruções no seu
microcódigo, instruções de 14 bits com 200ns de tempo de execução, dados de 8 bits por

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endereço de memória, 15 registradores especiais e outras características especiais. Pinagem do pic é mostrado na figura 2.8. Figura 2.8: Pinagem do PIC 16F628A. Fonte: Introdução ao PIC – André Tomaz.
2.4.2 Comunicação RS232
Responsável por fazer a interface entre a porta serial (ligado a um PC) e o PIC, convertendo os níveis de tensão utilizados pelo PC nos níveis de tensão utilizados pelo PIC. Esse tipo de comunicação também é chamado de full-duplex, por ter uma linha de transmissão (TX) e outra de recepção (RX). Os pinos 10 (entrada) e 12 (saída) fazem a comunicação com o PIC. Para que esse processo seja possível faz-se necessário a montagem do circuito da figura 2.9 para transformar o nível de tensão TTL para o padrão RS232 ou vise e versa, para TTL de 5Vcc corresponde no padrão RS232 à tensão de -3 até a15V e para TTL de 0Vcc corresponde no padrão RS232 à tensão de 3 até 15V.

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Figura 2.9: Esquema do circuito para a comunicação RS232. Fonte: ScienceProg.
2.4.3 Placa NI USB-6009
É uma placa de aquisição da National Instruments, que tem a capacidade de aquisitar, controlar e monitorar via USB-PC, utilizada principalmente com o software Labview. Possui 8 entradas analógicas com a resolução de 14 bits e taxa máxima de amostragem de 48 KS/s, 2 saídas analógicas com a resolução de 12 bits e taxa máxima de amostragem de 150 S/s, 12 entradas ou saídas digitais, contador de 32 bits, faixa de entrada -5V a 5V,etc

34
Figura 2.10: Vista superior da placa NI USB-6009. Fonte: Própria.
2.5 TRANSDUTORES
2.5.1 Potenciômetro
Um potenciômetro é um transdutor eletromecânico que converte energia mecânica em energia elétrica. A entrada do dispositivo é do tipo deslocamento linear ou rotacional, quando uma tensão é aplicada através dos terminais fixos do potenciômetro, a tensão de saída é mensurada através do terminal variável e do terra e esta é proporcional ao deslocamento da entrada, para um potenciômetro de resposta linear. (KUO 1995) Potenciômetros rotacionais são comercialmente encontrados dos tipos uma volta ou multi-voltas, com movimentos rotacionais limitados ou não. Os potenciômetros são geralmente formados por um fio resistivo ou um material plástico de resistência condutiva. Para precisão do controle o potenciômetro de plástico condutivo é preferível devido a sua infinita resolução, suavidade de saída e baixo ruído estático. (KUO 1995)

35
Figura 2.11: Vista em corte do potenciômetro Fonte: KUO, Benjamim C. Automatic Control System (p. 161)
2.5.1.1 Modelo matemático do potenciômetro
Quando o terminal variável é fixado como referência; a tensão de saída e(t) será proporcional a posição do eixo Ө(t), no caso de um potenciômetro de movimento rotacional. Então: e(t) = K Ө(t) (2.16) Onde K é a constante proporcional. Para N voltas no potenciômetro, o deslocamento total do terminal variável é 2πN radianos. A constante proporcional K é dada por: (2.17) Onde E é a magnitude da tensão de referencia aplicada aos terminais fixos. Então o diagrama de blocos fica:
Figura 2.12: Diagrama de blocos de um potenciômetro Fonte: Própria.
K
Ө(t).
e(t)

36
2.5.2 Encoder relativo ou incremental
É um sensor de velocidade de alta precisão que está acoplado ao eixo do motor, desta forma pode se obter informação de posição. A figura 2.13 ilustra o encoder e suas formas de onda na saída e funciona da seguinte forma: O encoder incremental possui um disco perfurado que medida que o motor gira, um feixe de luz infravermelha, gerado por um emissor que se encontra em um dos lados do disco incide ou não no sensor fotoelétrico através do orifício, a saída do sensor fotoelétrico será então um trem de pulso de determinada frequência, a partir da qual meço a velocidade do motor ou sentido de rotação. Para saber o sentido de rotação do motor usam-se as duas fontes de luz e dois sensores A e B, e vice-versa. Se o motor estiver girando no sentido horário o sinal A está defasado em 90º em relação ao sinal B, e vice-versa. O sinal Z serve de referência, ou seja, a cada volta gera um pulso, fornecendo a velocidade do motor. A resolução do encoder incremental é dada por pulsos/revolução, isto é, o encoder gera certa quantidade de pulsos por uma revolução dele próprio, no caso de um encoder rotativo a revolução é 360º. Figura 2.13: Funcionamento do encoder incremental.
Fonte: Automation Engineering.

37
2.6 MOTOR CC
Há muito tempo os motores CC são extensivamente utilizados no controle de sistemas, para fim de análises é necessários estabelecer um modelo matemático para motores CC para aplicações de controle. Usaremos o circuito equivalente mostrado na figura 2.14 para representar um motor CC. (KUO) Figura 2.14: Equivalente elétrico de um motor DC. Fonte: http://www.fatecmm.edu.br/sistema/file/doc/9MOTORESCC.pdf. O controle de velocidade do motor é feito através da variação do fluxo magnético na armadura, este controle é exercido com a variação da tensão, Ua aplicada ao circuito. Para uma análise linear podemos assumir que o torque desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo de entreferro e à corrente de armadura. (KUO) Então: (2.18) Se o fluxo for constante podemos dizer : (2.19) Onde Ki é constante de torque dada em N.m/A A partir do circuito equivalente da figura 2.14 podemos estabelecer as equações que regem o comportamento do motor. (2.20) (2.21) (2.22)

38
(2.23) Onde Tl representa o torque de carga oferecido pelo atrito. Através das equações 2.20 e 2.23 podemos considerar que ea(t) é uma causa, ou seja provoca um efeito. E também pela equação 2.20 podemos dizer que é um efeito imediato da tensão aplicada ea(t),então na equação 2.21 a corrente causa o torque . A equação 2.22 define a força contra eletromotriz, e finalmente, na equação 2.23 o torque causa a velocidade angular e o deslocamento As variáveis de estado podem ser definidas como , e . Por substituição direta e eliminação das variáveis de não estado da equação 2.20 através da equação 2.23, as equações de estado de um motor CC podem ser escrito como um vetor matriz da seguinte forma: (KUO) (2.24)
Neste caso é tratado como uma segunda entrada na equação de estados3 PROJETO 2.7 CRITÉRIOS DE ESTABILIDADE Sistema BIBO Estável - Um sistema relaxado é BIBO estável (Bounded-Input —Bounded- Output) (Entrada-Limitada – Saída-Limitada) se para qualquer entrada limitada a saída também for limitada. Teorema: Um sistema SISO (Entrada Única Saída Única) com função de transferência racional própria G(s) é BIBO estável se e somente se todos os polos de G(s) têm parte real negativa ou, equivalentemente, estão no semi-plano esquerdo do plano complexo.

39
3 – MODELAGEM DO PÊNDULO INVERTIDO 3.1 MODELAGEM TEÓRICA A figura 3.1 mostra os vetores V= força referente ao eixo vertical, H= força referente ao eixo horizontal e mg= força peso do pêndulo e também as variáveis =comprimento da haste do pêndulo até o centro de gravidade, = deslocamento referente ao ponto onde está fixada a haste até o eixo de referência vertical y, =deslocamento referente ao centro de gravidade até o eixo de referência vertical y e =deslocamento referente ao centro de gravidade até o eixo de referência horizontal x. A partir dos vetores e das variáveis demonstradas foi feita a modelagem do pêndulo. Figura 3.1: Pêndulo Livre Fonte: Propria Primeiramente são mostradas as equações de movimento do pêndulo nos eixos horizontal e vertical. A segunda derivada do movimento equivale à aceleração do eixo horizontal e vertical respectivamente conforme as equações 3.1 e 3.2. Equações de movimento do pêndulo no eixo horizontal: ; (3.1) Equações de movimento do pêndulo no eixo vertical: (3.2) Fazendo a somatória das forças no eixo horizontal temos a equação 3.3, definida como H.

40
(3.3) Fazendo a somatória das forças no eixo vertical temos a equação 3.4, definida como V. (3.4) Fazendo a somatória dos momentos de inércia temos a equação 3.5, que define a relação entre o momento de inércia do pêndulo com as forças H e V. (3.5) Substituindo os valores de V e H encontrados anteriormente tem-se a equação 3.6. (3.6) Simplificando tem-se a equação 3.7. (3.7) Aplicando a relação trigonométrica e simplificando, tem-se a equação 3.8. ; ; (3.8) Como a haste é uniforme, possui momento de inércia igual à e assumindo que , logo e . Assim tem-se a equação 3.9. ; (3.9) Dividindo todos os termos por , tem-se a equação 3.10. ; (3.10) Aplicando a transformada de Laplace tem-se a função de transferência do pêndulo invertido conforme equação 3.11.

41
(3.11)
3.2 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS
Comparando a função de transferência da modelagem teórica com a função genérica de
controle de segunda ordem da equação 3.12, é possível obter os parâmetros de controle conforme
a equação 3.13.
(3.12)
(3.13)
Extraindo as raízes do denominador da equação 3.12 são encontrados os polos, cujos
valores são dados pela a equação 3.14.
j 1 2
n n s (3.14)
Depois de feito a decomposição do denominador e sabendo que 1 2
d n , logo a
função de transferência ficará conforme a equação 3.15.
(3.15)
Rearranjando o denominado e aplicando um degrau unitário na entrada , a saída
apresentará uma resposta no domínio da frequência segundo a equação 3.16.
(3.16)
Aplicando a transformada de Laplace Inversa tem-se a uma resposta subamortecida no
domínio do tempo conforme a equação 3.17.
.cos (3.17)
Através da dedução teórica referente à resposta no domínio tempo feito anteriormente,
concluímos que o fator de amortecimento é igual à .
Para a obtenção do fator de amortecimento foram realizados ensaios posicionando-se a
haste do pêndulo na posição 90º e soltando-a para que a haste pudesse realizar livremente o
movimento oscilatório característico do pêndulo. O potenciômetro, responsável por indicar a
posição da haste, foi ligado à placa de dados NI USB 6009 e foi feito um programa em
Labview® para aquisitar os dados conforme figura 3.2.

42
Figura 3.2: Programa em Labview para medir o atrito do potenciômetro. Fonte: Própria. O sinal obtido é mostrado na figura 3.3 e representa a resposta natural do pêndulo quando o mesmo é solto a partir de 90º que é considerado uma condição inicial. Figura 3.3: Forma de onda do movimento oscilatório característico do pêndulo. Fonte: Própria Como pode ser observado na figura 3.3 o sinal não é simétrico em relação ao nível zero de tensão para facilitar no processamento foi feito a média do valor final do sinal para que o mesmo ficasse em torno de zero conforme mostrado na figura 3.4

43
Figura 3.4: Média do valor final deslocando o sinal para eixo zero. Fonte: Própria Foi então retificado o sinal e aplicado um filtro passa baixa de 5Hz para eliminar possíveis ruídos ficando conforme a figura 3.5. Figura 3.5: Resposta natural retificada e com filtro de 5Hz. Fonte: Própria Aplicou-se então um dector de picos a partir do qual foi obtido o gráfico da figura 3.6 e foi também possível obter o valor da frequência natural e o fator de amortecimento.

44
Figura 3.6: Curva amortecida e fator de amortecimento. Fonte: Própria Sendo assim o valor do fator de amortecimento é dado segundo a equação 3.18 e sabendo que a frequência natural do pêndulo é igual á 1,07 Hz de acordo com a equação 3.19 foi encontrado o valor de . (3.18) (3.19) O comprimento e a massa do pêndulo foram obtidos através de medição feito no laboratório, sendo 0,06 Kg e . Com os valores dos parâmetros encontrados anteriormente foi possível obter o atrito e a constante conforme as equações 3.20 e 3.21. N/rad/s (3.20) (3.21) Em fim com todos os parâmetros obtidos a função de transferência do pêndulo pôde ser complementada conforme a equação 3.22. (3.22)
3.3 VALIDAÇÕES DOS PARÂMETROS OBTIDOS
Após a obtenção dos parâmetros da planta foi elaborado um diagrama no Simulink que representa o modelo matemático do pêndulo conforme mostrado na figura 3.7.

45
Figura 3.7: Diagrama do modelo matemático usando o Simulink. Fonte: Própria O resultado obtido com esta simulação é mostrado na figura 3.8, comparando com a figura 3.4, que é o sinal obtido através de ensaio prático, é possível o observar que as mesmas são similares. O que valida os estudo e dedução dos parâmetros do pêndulo. Figura 3.8: Curva de resposta através do Simulink. Fonte: Própria 4 – CONCEPÇÃO DO PROJETO 4.1 ESTRUTURA MECÂNICA Para que pudéssemos modelar o sistema foi primeiramente necessário o projeto e construção de uma estrutura mecânica que proporcionasse a uma haste as características de instabilidade de um pêndulo invertido.

46
Este trabalho visa efetuar a obtenção dos parâmetros do pêndulo apenas no plano X-Y então a estrutura mecânica proporciona apenas o movimento de translação linear no eixo X. Pensando nisto foi elaborada uma estrutura em alumínio com 75mmX1000mm de comprimento e sobre a qual foi acoplado um motor com redução, além de uma correia sincronizada também com comprimento útil de 1000mm, passo de 2,032mm e largura de 6mm esta tem por objetivo transferir o movimento de rotação da saída do conjunto motor redutor para o carro do pêndulo. A figura 4.1 mostra a planta já montada e com o carro acoplado. Figura 4.1: Planta do pêndulo invertido. Fonte: Própria. 4.1.1 Fixação da Haste A haste foi acoplada ao carro através de um eixo livre, utilizando um rolamento, neste mesmo eixo foi acoplado também um potenciômetro multivoltas que serve como sensor de posicionamento do pêndulo. A figura 4.2 mostra o eixo livre onde é feito o acoplamento da haste do pêndulo. Na estrutura mostrada somente o rolamento e o a base de potenciômetro são as partes que ficam fixadas a o carro o restante do eixo gira livremente limitando-se as 10 voltas do potenciômetro.
Figura 4.2: Dispositivo de acoplamento do pêndulo. Fonte: Própria.
Potenciômetro Multivoltas
Rolamento 608
Eixo

47
4.1.2 Carro O carro é considerado nesta planta parte do elemento atuador, pois é através dele, de seus movimentos harmônicos no eixo X, que será possível manter a haste na posição vertical. Trata-se de um conjunto simples composto por um perfil de aproximadamente 80mm e com 4 rolamentos 608 em suas extremidades este perfil em alumínio possui um furo no centro com diâmetro de 220mm que é a medida do rolamento mostrado na figura 4.2 e local onde o conjunto do eixo da haste deve encaixar. O carro em sua totalidade possui 0,232Kg.
Figura 4.3: Projeto da estrutura do carro. Fonte: Própria Figura 4.4: Estrutura do carro. Fonte: Própria.

48
4.1.3 Dimensões do Redutor do motor A engrenagem do eixo motor possui um diâmetro de 9,8mm e está acoplado por meio de uma correia sincronizada a outra engrenagem de 25,3mm de diâmetro, essa engrenagem é acoplada através de um eixo a uma engrenagem menor com diâmetro de 15,7mm sobre a qual, esta ultima, é o elemento que transmite movimento para correia. Conforme mostrado na figura 4.5.
Figura 4.5: Projeto conjunto de transmissão de movimento. Fonte: Própria. Figura 4.6: Transmissão de movimento extremidade 1. Fonte: Própria
Transmissão por correia
Correia de tração do carro
Coroa livre

49
Figura 4.7: Transmissão de movimento extremidade 2. Fonte: Própria 4.1.4 Fixação dos Sensores 4.1.4.1 Potenciômetro Nesta planta são montados 3 sensores para proporcionarem realimentação ao controlador, o principal deles é o potenciômetro que está montado com a base solidária ao carro de tração e com o eixo acoplado ao eixo livre do pêndulo conforme mostrado na figura 4.8 e 4.9.
Figura 4.8: Projeto fixação do potenciômetro. Fonte: Própria.
Base do
Potenciômetro

50
Figura 4.9: Fixação do potenciômetro. Fonte: Própria. 4.1.4.2 Encoder O encoder utilizado é do tipo incremental montado na base da armadura do motor, ele proporciona ao controle três sinais analógicos que permitem ao controle estabelecer maior precisão no posicionamento do motor. Dos três sinais, um é tido como referência, um pulso por revolução do motor, já os outros dois são defasados de 180° e definem o sentido de rotação do motor. Para o caso do pêndulo apenas o sinal de um pulso por revolução será o suficiente para o processamento da lógica de controle. O local de montagem do Encoder é mostrado na figura 4.10.
Figura 4.10: Montagem do encoder. Fonte: Própria.
Encoder
Conjunto de transmissão

51
4.1.4.3 Limites fim de curso Na planta foram ainda instalados dois limites fim de curso tipo micro switch que enviarão sinal para o placa de aquisição de dados estes limites serão úteis em alguns ensaios para definir por exemplo a velocidade que o carro leva para atravessar todo o percurso da planta, além de informar ao controle o final do curso do carro. As figuras 4.11 e 4.12 mostram os sensores instalados na planta. Figura 4.11: Limite fim de curso 1. Fonte: Própria. Figura 4.12: Limite fim de curso 2 Fonte: Própria 4.2 DRIVER DE POTÊNCIA

52
O drive de potência é constituído por quatro componentes eletrônicos, um regulador de tensão LM7805, um conversor de nível MAX232, um microcontrolador PIC 16F628 e uma ponte H dupla L298HN, além de alguns componentes passivos conforme o diagrama da figura 4.13 e a foto da figura 4.14 Figura 4.13: Diagrama eletrônica do drive de potência. Fonte: Própria. Figura 4.14: Circuito montado do drive de potência. Fonte: Própria.
O drive de potência é alimentado por uma fonte ATX com + 12VDC, essa tensão vai diretamente aos pinos de alimentação da ponte H L298N, pino 4 (+12VDC) e pino 8 (GND). A mesma fonte é conectada ao LM7805 que regula a tensão para + 5VDC, que a partir dos pinos 14

53
e 5 do conversor de nível MAX232 respectivamente com +5VDC e GND. O microcontrolador PIC 16F628 através da fonte regulada de +5VDC também é alimentado, quando energizado o pino 16 com +5VDC e o pino 15 com GND. Ao receber o sinal das variáveis de entrada a placa de aquisição de dados NI USB 6009 por meio do software Labview®, instalado no PC executa a lógica de programação. O drive de potência recebe o sinal do PC com nível de tensão serial através de um conector DB15, que converte em nível de tensão TTL a partir do pino 13(RS1 in) e do pino 12(R1 out) do conversor de nível MAX232. O sinal convertido será transferido para o microcontrolador PIC 16F628 que coleta o mesmo através do pino 7(RX) , ao receber o sinal o microcontrolador executa a lógica de programação e envia um trem de pulso de onda quadrada de 0 á +5VDC com uma frequência de 1KHz para a ponte H L298H a partir dos pinos 1 e 2, sendo o primeiro defasado 180° do segundo. A ponte H LN298H possui uma entrada que precisa ser energizada para que a mesma seja habilitada, para que essa situação aconteça o microcontrolador PIC16F628 em seu pino 03 envia uma tensão de +5VDC para que a mesma seja habilitada. A ponte H LN298H é chaveada ao receber os trens de pulsos e ao ser habilitada, os trens de pulso são coletados através do pino 5(Input 1) e pino 7(Input 2) e a habilitação é feita pelo pino 6(Enable).Desta forma o motor cc que está conectado nas saídas pino 2(Output 1) e pino 3(Output 2) recebe a média da tensão dos pulsos é começa a girar .
A velocidade é controlada pelo microcontrolador PIC16F298 através do método de PWM (modulação por largura de pulso) modificando o ciclo de trabalho da onda quadrada através de programação, ou seja, aumentando ou diminuindo o tempo que a onda ficará em T-ON(Nível alto). Assim a média da tensão que alimenta o motor cc modifica de tal forma a diminuir ou aumentar a velocidade do motor cc, para ambos os sentidos, de acordo com as necessidades do controle. A figura 4.15 mostra o circuito eletrônico completo já montado na planta.

54
Figura 4.15: Circuito eletrônico completo. Fonte: Própria. 4.2.1 Programação do PIC 16F298 A utilização do PIC se deu devido a necessidade de uma taxa de transmissão maior do que a apresentada pela placa NI USB-6009. Para isso foi necessário fazer um programa em linguagem C no software CCS C Compiler, para realizar a interface com o PC (software LAbview), PIC e ponte H, conforme programa no Anexo 2. Para realização da gravação do programa no PIC, foi utilizado a placa da PICburner USB conforme figura 4.16. Figura 4.16: Gravador de PIC. Fonte: World PIC. 5 – MODELAGEM DO CONJUTO CARRO MOTOR
5.1 EQUAÇÕES DO MOTOR

55
A equação 5.1 apresenta as relações de tensão em um motor CC onde a tensão U aplicada
ao motor é dada pela soma das quedas de tensão no circuito equivalente, sendo eb a tensão
induzida na armadura iaR a queda na resistência e
dt
di
L a queda de tensão na bobina da armadura.
dt
di
u e i R L b a (5.1)
Já equação 5.2 representa a equação mecânica do motor CC onde o torque, Tm, produzido
pelo motor deve ser o somatório dos torques inerentes ao momento de inércia do eixo, que é
função da taxa de aceleração angular, do atrito oferecido pelo eixo além do torque que é imposto
pela carga, chamada aqui de Tr.
m m m r T
dt
d
B
dt
d
T J 1
2
1 (5.2)
A equação mecânica se relaciona com a elétrica através da equação 5.3 onde o torque
mecânico produzido é função da corrente do motor.
m m a T K .i (5.3)
5.2 RELAÇÕES DE FORÇAS E VELOCIDADE NO CONJUNTO
A equação 5.4 apresenta uma relação de forças no conjunto mecânico onde a força
resultante é o somatório das forças oferecidas pela massa do carro e pelo atrito do conjunto além
da reação do pêndulo quando o carro é movimentado.
H
dt
dx
Bc
dt
dx
F M
2
(5.4)
Como a planta possui um sistema de transmissão por correia é necessário que seja obtida uma
relação de velocidades e de torque pois precisamos referenciar todas as forças a o eixo do motor.
As equações 5.5 a 5.8 apresentam as relações de torque do sistema de correias.
3 3 T F.r Torque na engrenagem 3 (5.5)
3 2 T T Torque na engrenagem 2 (5.6)
Relacionando as equações 5.6 e 5.7 é possível obter o torque aplicado ao eixo do motor na
equação 5.8
F
r
r r
r
T r
T .
. .
2
1 3
2
2 1
1 (5.8)
Para simplificação e melhor entendimento das relações de velocidade chamaremos a partir
de agora a taxa de variação do ângulo do eixo do motor Ө,
dt
d 1 de ω1 da mesma forma faremos
com as velocidades 2 e 3 do conjunto de transmissão conforme mostrado abaixo.
1
1
dt
d
2
2
dt
d
3
3
dt
d

56
As equações 5.9 até 5.12 estabelecem a relação de velocidade angular do eixo do motor e
a velocidade linear do conjunto.
Em 5.9 é apresentada a relação de velocidade angular entre as engrenagens 1 e 2
1
2
1 2 r
r
(5.9)
Como 3 2 então:
1
2
1 3 r
r
(5.10)
Contudo precisamos de uma expressão que relacione a velocidade angular do motor com a
velocidade linear do carro. A velocidade angular do carro é dada por:
3
3 r
dt
dx
(5.11)
Onde dt
dx
é a velocidade linear do carro, então substituindo 5.11 em 5.10 temos uma
expressão que relaciona a velocidade linear do carro com a velocidade angular no eixo do motor,
dada na equação 5.12.
1 3
2
1 r .r
r
dt
dx
(5.12)
5.3 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ELETROMECÂNICA
Os passos a seguir tem por objetivo estabelecer uma relação entre a equação elétrica e a
equação mecânica a fim de obter uma expressão que represente o modelo global do conjunto.
Então podemos começar com a equação 5.13 que é um rearranjo da equação 5.1.
dt
di
u e i R L b a
(5.13)
A equação 5.3 é a chave para estabelecer uma relação entre a mecânica e a elétrica,
podemos então dizer que:
a
m
m i
K
T
(5.14)
Podemos ainda substituir na equação 5.14 equação 5.2 de forma a obter uma relação
completa que é dada em 5.15.
m m r
m
a T
dt
d
B
dt
d
J
K
i 1
2
1 1
(5.15)
Substituindo 5.15 em 5.13 temos:

57
dt
di
T L
dt
d
B
dt
d
J
K
R
u e m m r
m
b
1
2
1 (5.16)
Porem o que queremos é uma relação com a velocidade linear do carro então substituímos
em 5.16 a equação 5.12, o que nos leva a 5.17.
dt
di
T L
dt
dx
r r
r
B
dt
dx
r r
r
J
K
R
u e m m r
m
b
1 3
2
2
1 3
2
. .
(5.17)
O torque que é o produto de 5.8 e 5.4 é agora acrescentado a equação 5.17 que se torna
em 5.18
dt
di
H L
dt
dx
Bc
dt
dx
M
r
r r
dt
dx
B
dt
dx
J
r r
r
K
R
u e m m
m
b
2
2
1 3
2
1 3
2 .
.
(5.18)
Sabemos que:
dt
dx
K
r
r
K
dt
d
e K e
r
b e e . .
.
. .
1 3
1 2
1 (5.19)
Então substituindo 5.19 em 5.18, colocando eb no lado direito da equação e fazendo em
evidencia os termos de derivada temos a equação 5.20
dt
di
H L
r
r r
K
R
B
r
r r
B
r r
r
K
R
K
r r
r
dt
dx
r
r r
J M
r r
r
K
R
dt
dx
u
m
m c
m
m e
m
.
.
. .
.
.
.
. .
.
.
. 2
1 3
2
1 3
1 3
2
1 3
2
2
1 3
1 3
2
2
(5.20)
A parcela H representa a reação da haste ao movimento, nesta modelagem ela será
desconsiderada. Então: H 0
Para facilitar no equacionamento chamaremos a relação de velocidade de Kg.
g K
r
r r
2
1 3 (5.21)
Substituindo 5.21 em 5.20 temos:
dt
di
K B L
K
B
K
R
K
K
dt
dx
M K
K
J
K
R
dt
dx
u g c
g
m
g m
e
g
g
m
m
. . . .
2
(5.22)
Fazendo a transformada de Laplace de 5.22 teremos então 5.23:
m
m
g c
g
m
g m
e
g
g
m
m K
T
K B Ls
K
B
K
R
K
K
M K Xs
K
J
K
R
U(s) Xs . . . . 2 (5.23)
Rearranjando a equação 5.23 chegamos a função de transferência do conjunto.
g c
g
m
g
g
m
m
g c
g
m
g m
e
g
g
m
m
K B
K
B
K M s
K
J
K
L
K B s
K
B
K
R
K
K
M K s
K
J
K
R
s
U s
X s
. . . . .
1
( )
( )
2
.
2 3
(5.24)

58
Melhorando o arranjo de 5.23 chegamos a e 5.24 que é uma função de transferência
melhor definida.
g c
g
m
g m
e
m c
g
m
m
g
m g
m
g
g
m
m
K B
K
B
K
R
K
K
K B s
K
B
K
R M K
K K
R J
K M s
K
J
K
L
s
U s
X s
. . .
. . .
1
( )
( )
2
.
3
(5.25)

59
6 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS
6.1 PARÂMETROS DO CARRO
Primeiramente foi verificado a medida de cada raio do conjunto de engrenagens, onde
foram obtidos os seguintes valores:
r 0,0049m 1 ; r 0,01265 m 2 ;
r 0,00785 m 3
Substituindo os valores na equação 5.21 obtemos o valor da relação de transmissão dado
em 6.1
0,0079
2
1 3
g K
r
r r
(6.1)
Outro parâmetro também determinado foi a massa do carro feita através de pesagem.
M 0,232Kg (6.2)
Em seguida foi realizado o ensaio a vazio do motor, a partir do qual foi possível encontrar
a constante Km que relaciona corrente elétrica e torque mecânico.
Foi então acoplado um motor ao motor de planta de forma que ele funcionasse como
gerador, variou-se a velocidade do motor primário e no motor da planta foi medida a tensão
gerada nos terminais da armadura e a velocidade do mesmo através do encoder, gerando a tabela
6.1.
A constante de torque, Km, e a constante de velocidade, Ke, são aproximadamente iguais,
de forma que foi determinado a constante Ke, através da equação 6.2. onde eb é a tensão gerada
nos terminais da armadura
0,02089 b
m e
e
K K (6.3)

60
Esta relação pode ser verificada através dos valores obtidos na tabela 6.1.
Tabela 6.1: Medições de tensão e velocidade para determinação de Ke
Fonte: Própria.
Tensão
gerada
Velocidade
(rad/s)
0,53 23,297
0,98 45,580
1,58 75,338
2,09 99,575
2,65 127,061
3,19 152,320
3,75 178,755
4,30 204,665
4,89 233,144
5,42 258,567
5,79 282,389
6,36 305,006
6,86 328,104
7,40 353,980
8,06 384,296
8,50 406,675
9,08 434,867
9,67 460,310
10,22 485,184
10,78 512,880
11,26 539,319
11,81 568,498
12,48 598,453
13,00 619,048
A corrente do motor foi determinada através da queda de tensão no resistor do drive de
potência de 5,6Ω. Dada em 6.3
i A a 0,535
5,6
3
(6.3)
Após determinada a constante Km em 6.2 e a corrente em 6.3 foi possível determinar o
torque do motor que pode ser obtido através da substituição dos valores na equação 5.14 o que
nos leva a 6.4 que é o valor do torque do motor
T x N m m 0,0022 0,535 0,0012 . (6.4)

61
6.2 ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A saída do sistema é dada pelo deslocamento do carro no trilho e esta variável é medida através do encoder, ou seja, através de uma frequência variável no tempo. Foi então utilizado um aplicativo do Labview chamado STFT, Short Term Fourier Transform, que permite fazer uma análise conjunta no tempo e na frequência. O primeiro passo foi aplicar pulsos positivos e negativos no motor de 100ms e fazer a aquisição dos dados do encoder. Os pulsos são mostrados na figura 6.1 e aquisição de dados do enconder na figura 6.2. Figura 6.1: Pulsos aplicados ao motor Fonte: Própria

62
Figura 6.2: Aquisição do sinal do encoder Fonte: Própria Pulso positivo e negativo aplicado ao motor implica inversão de movimento, contudo a freqüência do encoder permanece em módulo, e neste ponto que houve a necessidade de se utilizar a análise de STFT que foi feita da seguinte forma: Aplicou-se a STFT no sinal do encoder mostrado na figura 6.2 Figura 6.3: Sinal do encoder variável Fonte: Própria Aplicando-se a STFT temos o sinal mostrado na figura 6.4 que é a resposta de frequência em função do tempo. Figura 6.4: STFT aplicada ao sinal do encoder Fonte: Própria

63
A velocidade do carro é proporcional a frequência do enconder, então extraindo-se a curva de velocidade temos a figura 6.5 Figura 6.5: Extração da curva de velocidade do carro. Fonte: Própria Trabalhando essa curva: alternando picos positivos e negativos, e multiplicando por 2PI/200, relação do encoder, temos a velocidade em rad/s mostrada na figura 6.6.: Figura 6.6: Curva de velocidade do motor. Fonte: Própria Com a curva de velocidade obtida foi possível através do Labview verificar a resposta do sistema e estimar a função de transferência, a resposta do sistema é mostrada na figura 6.7.

64
Figura 6.7:Curva de resposta do sistema. Fonte: Própria De posse resposta do sistema foi então estimada uma função de transferência que é mostrada na figura 6.8 Figura 6.8: Função de transferência estimada pelo Labview. Fonte: Própria 6.3 ROOT LOCUS DA PLANTA Fazendo a multiplicação da função do pêndulo dada em 3.22 e da função do carro dada na figura 6.8 chegamos a função de transferência da planta que é dada em 6.5 (6.5)

65
Com o auxilio do Matlab traçamos o Root Locus da planta mostrado na figura 6.9 com
os pólos no semi plano direito caracterizando um sistema instável. O código fonte do programa
utilizado encontra-se no anexo 2.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6 System: planta
Gain: 0
Pole: 0.324 + 6.72i
Damping: -0.0483
Overshoot (%): 116
Frequency (rad/sec): 6.72
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
Figura 6.9: Root Locus da planta com pólos no semi plano direito.
Fonte: Própria

66
6.4 SIMULAÇÃO DO CONTROLE
Como pode ser observado na figura 6.9 os pólos do semi plano direito estão no semi
plano positivo então a estratégia usada foi a de calcular uma função de controle que posicione o
zero em cima do pólo instável da planta de modo a cancelá-lo. A função de controle é mostrada
na equação 6.6
(6.6)
A figura 6.10 mostra o root lócus do sistema com os pólos do semi plano direito
cancelado pela ação do controle.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
Imaginary Axis
Figura 6.10: Root Locus da planta com controle.
Fonte: Própria
A figura 6.11 é possível verificar que a resposta ao degrau para o sistema sem o controle diverge
com o passar do tempo, já com o controle aplicado, conforme mostrado na figura 6.12 a resposta
se lineariza com o passar do tempo.

67
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10
8 Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 6.11: Resposta ao degrau sem o controle .
Fonte: Própria
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 6.12: Resposta ao degrau com o controle
Fonte: Própria

68
7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
7.1 CONCLUSÃO
No desenvolvimento do projeto surgiram vários obstáculos relacionados à obtenção dos parâmetros mecânicos e minimização dos efeitos do atrito e vibração, tais elementos introduzem ruídos nos sinais de controle dificultando o processamento. Para amenizar tais efeitos formam elaborados filtros e buffers para que os sinais lidos fossem o mais próximo do estado real das variáveis. Foi também observado a grande versatilidade do software LabView® que se mostrou uma ferramenta muito robusta na aquisição e processamento de sinais, sendo de grande aplicabilidade principalmente no desenvolvimento de sistemas supervisórios. A planta do pêndulo invertido é ideal para análise e comparação de desempenho de diferentes técnicas de controle sendo assim este projeto se tornará mais uma ferramenta para o laboratório de servomecanismos, pois possui poucos elementos possibilitando uma fácil compreensão do circuito e aplicação das técnicas de controle desejadas. 7.2 IMPLEMENTAÇÕES FUTURAS Neste projeto foi realizada a modelagem do sistema do pêndulo invertido e simulações do sistema. As sugestões para projetos futuros é a implementação de controladores clássicos e modernos aplicados na planta, construir uma placa de aquisição de dados para que possa dar mais robustez para planta e melhorar a taxa de transmissão e posteriormente a implementação em um veículo de transporte autônomo, que utiliza o princípio do pêndulo invertido.

69
8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] KUO, Benjamim C. - Automátic Control Systems Seventh Edition – John Wiley & Sons, Inc. 1995. [2] BEER, Ferdinand P.; JR, E. Russell Johnston. Mecânica Vetorial para Engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2010. [3] ASTROM, K.J. and K. Furuta, ―Swinging up a Pendulum by Energy Control‖, Automatica, Vol. 36, 2000. [4] EKER, J, and K.J. Astrom, A Nonlinear Observer for the Inverted Pendulum, 8th IEEE Conference on Control Application, 1996. [5] SPIEGEL M.; Manual de Fórmulas, Métodos e Tabelas de Matemática; Makron Books; São Paulo; 1992. [6] DORF R. C., Bishop R.H.; Sistemas de Controle Moderno; 8ª. Edição; LTC – Livros Técnicos e Científicos, Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2000. [7] LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 2ª Edição, Bookman, 2008. [8] OGATA, Katsuhiko, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall, 1982. [9] Automationengineering Disponível em: <http://www.automationengineering.co.uk/wp- content/uploads/2011/06/incremental-encoder1.jpg> Acessado em 15 set. 2011.
[10] UFRJ - Controle automático Disponível em: <http://www.dee.ufrj.br/controle_automatico/ artigos/cobenge2001.pdf > Acessado em 15 set. 2011. [11] USP - Pêndulo simples Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/ pêndulo/PênduloSimples_HTML.htm> Acessado em 15 set. 2011. [12] UNICAMP - Pêndulo invertido Disponível em: <http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi /F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2010/CarlosK-Saa_F609_RF2.pdf > Acessado em: 16 set. 2011. [13] Portal de Eletrônica Disponível em: <http://www.eletromaniacos.com/modules .php?name=News&file=article&sid=58> Acessado em 17 set. 2011. [14] National Instruments - Manual USB-6009 Disponível em :<http://www.ni.com/pdf/ manuals/371303l.pdf> Acessado em 15 nov. 2011. [15] Control of an Invertede pendulum Disponível em: <http://www.ece.ucsb.edu/~roy/ student_projects/Johnny_Lam_report_238.pdf > Acessado em: 17 set. 2011. [16] Simulação do pêndulo Disponível em: <http://csd.newcastle.edu.au/simulations/ pend_sim.html> Acessado em : 17 set. 2011.

70
[17] Inverted Pendulum Virtual Control laboratory Disponível em: <http://bibliotecadigital .ipb.pt/bitstream/10198/1907/1/inverted%20pendulum%20jl-jg-pc-am%20C06.pdf>Acessado em : 17 set. 2011. [18] Control Tutorials for MatLab Disponível em : <http://www.engin.umich.edu/group/ctm/ examples/pend/invpen.html> Acessado em : 17 set. 2011. [19] Biblioteca digital - INVERTED PENDULUM VIRTUAL CONTROLLABORATORY Disponível em: <http://bibliotecadigital.ipb.pt/handle/10198/1907>Acessado em: 18 set. 2011.

71
ANEXO 1 PROGRAMA DO PIC Prog.h #include <16F628A.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #FUSES NOWDT //No Watch Dog Timer #FUSES HS #FUSES NOPUT //No Power Up Timer #FUSES NOPROTECT //Code not protected from reading #FUSES NOBROWNOUT //No brownout reset #FUSES NOMCLR //Master Clear pin used for I/O #FUSES NOLVP //No low voltage prgming, B3(PIC16) or B5(PIC18) used for I/O #FUSES NOCPD //No EE protection #use delay(clock=20000000) #use rs232(baud=9600,parity=N,xmit=PIN_B2,rcv=PIN_B1,bits=8) #define BUFF_SIZE 32 #define In1 PIN_B4 #define In2 PIN_B5 #define In3 PIN_B6 #define In4 PIN_B7 #define EnA PIN_A0 #define EnB PIN_A1 int16 ton1 = 5000; int16 L=0; int8 i=0; char ch; int8 ptr_in; int8 ptr_out; char Buffer[BUFF_SIZE]; int1 new_cmd; int8 k;

72
int8 IdCmdo=0; int8 IdChar=0; char Cmdo[8][9]; //até 8 cmdos de 7 caracteres por string lida int8 TargetCmdo=0; int16 ValorCmdo=0; char Valor[5]; void main(); void leitura_rs232(); void GetComandos(); void ProcessaCmdo(); prog.c #include "C:Documents and SettingspdixDesktopdom boscoProjectsteste interrupcao usart.h" #int_RDA void RDA_isr(void) { leitura_rs232(); } void main() { setup_timer_0(RTCC_INTERNAL|RTCC_DIV_1); setup_timer_1(T1_DISABLED); setup_timer_2(T2_DISABLED,0,1); setup_comparator(NC_NC_NC_NC); setup_vref(FALSE); enable_interrupts(INT_RDA); enable_interrupts(GLOBAL); //Setup_Oscillator parameter not selected from Intr Oscillotar Config tab // TODO: USER CODE!! ptr_in=0; ptr_out=0; new_cmd=0; // TODO: USER CODE!! output_bit(EnB,1); output_bit(EnA,1);

73
While(TRUE) { //Periodo = 10000; output_bit(In1,0); output_bit(In2,1); output_bit(In3,0); output_bit(In4,1); delay_us(ton1); output_bit(In1,1); output_bit(In2,0); output_bit(In3,1); output_bit(In4,0); delay_us(999-ton1); } } void GetComandos() { //Reconhece e separa cmdos entre < > IdCmdo=0; k=0; while( buffer[k]!= 0 ) { if(buffer[k]=='<') { IdChar=0; while((buffer[k+IdChar]!='>')&(IdChar<8)) { Cmdo[IdCmdo][IdChar]= buffer[k+IdChar]; IdChar++; } Cmdo[IdCmdo][IdChar]= buffer[k+IdChar]; Cmdo[IdCmdo][IdChar+1]=0; //printf("nrCmdo%d: %snr",IdCmdo, Cmdo[IdCmdo] ); IdCmdo++;

74
} k++; } //fim da rotina reconhece e separa cmdos } void leitura_rs232() { ch=getc(); if(ch==8) // Backspace { //putc(ch); //putc(' '); //ptr_in--; //Buffer[ptr_in+1]=0; } if((ch == 'r' )|(ch == 'n' )) { Buffer[ptr_in]=0; //printf("rnBuffer: %snr",buffer); new_cmd=1; ptr_in=0; GetComandos(); ProcessaCmdo(); } else //qualquer outro caractere { //putc(ch); if (ptr_in > BUFF_SIZE-2) { ptr_in = 0; buffer[ptr_in]=0; printf("nrErro: Comando muito grande.nr"); } else {

75
Buffer[ptr_in]=ch; ptr_in = ptr_in + 1; } } } void ProcessaCmdo() { for(i=0; i<IdCmdo;i++) { L = strlen(Cmdo[i]); if((Cmdo[i][0]=='<')&(Cmdo[i][L-1]=='>')) { if (Cmdo[i][1]=='M') { Valor[0]=Cmdo[i][2]; Valor[1]=0; TargetCmdo = atoi(Valor); for(k=0;k<L-2;k++) { Valor[k]=Cmdo[i][k+4]; } Valor[k+1]=0; ValorCmdo = atol(Valor); //printf("nrT:%d V:%Ldnr",TargetCmdo,ValorCmdo); if(TargetCmdo==1) ton1 = ValorCmdo; // printf("ton %Ld", ton1); } } } }

76
ANEXO 2 CÓDIGO FONTE PARA PLOTAR ROOT LOCUS E RESPOSTA AO DEGRAU clc clear all num = [-5 0 0 ]; den = [1 -0.649 45.2]; pen = tf(num,den); num = [0 0 104.996]; den = [0.00000296258 0.0706631 1]; car= tf(num,den); planta= pen*car rlocus (planta) num = [1 -0.649 45.2] den = [0 1 0] controle= tf(num,den); sistema = planta*controle rlocus (sistema) step (sistema) step (planta)

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