Matematica I

1. 1
Vectores
.vuyvu,vuvu
→→→→→→→→
+−+−−
2
1
2dibujavectores,siguienteslossonySia)
Ejercicio nº 1.-
( ) :descoordenadalasObtén2,
2
1
y32,sonvectoresdosdescoordenadaLasb) .





−−
→→
ba






−+−+−
→→→→→→
bababa
3
1
;
2
1
;23
:figuralamuestraquelosysiendo,32y
2
1
vectoreslosDibujaa)
→→→→→→→→
++−− vuvuvu,vu
Ejercicio nº 2.-
( ) :descoordenadalasobtén,23,y1,
3
2
vectoreslosDadosb) −





−
→→
ba
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba
3
1
223

2. 2
:
→→→→→→→→
−−++− vuvu,vuvu
3
1
y
3
2
2dibujafigura,lamuestraquevectoreslossonySia)
Ejercicio nº 3.-
( )
→→→→→→
→→
−+−+
−





−
ba;ba;ba
ba
2
1
2
5
1
5
:vectoreslosdescoordenadalasobtén,31,y3,
5
2
sonydescoordenadalasSib)
:
3
2
y2,
dibujaellos,departirAfigura.lamuestraquelossonyvectoresLosa)
→→→→→→
→→
++−−− vuvuvu
vu
Ejercicio nº 4.-
( )
→→→→→→
→→
++−+−






−−
ba;ba;ba
ba
2
2
1
43
:descoordenada
lasobtén,
4
1
1,y12,sonyvectoreslosdescoordenadalasSib)

3. 3
→→→→→→
−++− vu;vu;vu 2
2
1
2
Ejercicio nº 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
( ) :descoordenadalasobtén,22,y2,
4
3
vectoreslosDadosb) −




 − →→
ba
→→→→→→
+−+−− ba;ba;ba 42
2
1
:vuz,y,x
→→→→→
ydelinealncombinaciócomovectoreslosEscribea)
Ejercicio nº 6.-
( ) ( ).21,y3,
5
1
delinealncombinaciócom170,vectorelEscribeb) −




 →→→
cba
:
→→→→→
vucb,a yvectoreslosdelinealncombinaciócomoyvectoreslosExpresaa)
Ejercicio nº 7.-
( ) ( ) .





−−
→→→
2,
2
1
y21,delinealncombinaciócomo25,vectorelExpresab) zyx

4. 4
:
→→→→→
yxcyb,a edelinealncombinaciócomovectoreslosEscribea)
Ejercicio nº 8.-
( )
( )23,y1,
2
1
porformadabaselaarespectocon01,vectordelscoordenadalasHallab)
−





−
→→
→
vu
w
( ) vectoreslosporformadabaselaarespectocon32,vectordelscoordenadalasHallaa) −−u

Ejercicio nº 9.-
( )11,y
3
1
2, −





− wv

:yvectoreslosdelinealncombinaciócomo,,vectoreslosExpresab) bazyx

( ) ( ) .1,
2
1
y32,vectoreslosdelinealncombinaciócomo14,vectorelExpresaa) 





− zyx

Ejercicio nº 10.-

5. 5
( ) ( ) ( ):1,y23,,45,Dados kzyx
→→
−
Ejercicio nº 11.-
.x
zxk
→
→→
quesentidomismoelydirecciónmismalaconunitariovectorunHallab)
.90ángulounformenyqueparadevalorelHallaa) 
( ) ( ):2,y31,Si mba
→→
−
Ejercicio nº 12.-
( ).24,siendoyporformadoánguloelCalculab)
lares.perpendicuseanyqueparadevalorelHallaa)
→→→
→→
cca
bam
( ) ( ) ( ):32,y3,,41,vectoreslosDados −−
→→→
wmvu
Ejercicio nº 13.-
.
→→
→→
wu
um
yformanqueánguloelHallab)
lares.perpendicuseanvyqueparaCalculaa)
( ) ( ) equeparaydevaloreslosHalla.1,e3,vectoreslosConsidera
→→→→
− yxbabyax
Ejercicio nº 14.-
5.xqueylaresperpendicusean =

( )11,y
5
4
,
5
3 →→





 −
ba
Ejercicio nº 15.-
a) Halla el ángulo que forman los vectores
( ) ?
5
4
,
5
3
alarperpendicufuera1vectorelqueparadevalorelsería¿Cuálb) 




 −→→
ax,ux

6. 6
Soluciones ejercicios de Vectores
.vuyvu,vuvu
→→→→→→→→
+−+−−
2
1
2dibujavectores,siguienteslossonySia)
Ejercicio nº 1.-
( ) :descoordenadalasObtén2,
2
1
y32,sonvectoresdosdescoordenadaLasb) .





−−
→→
ba






−+−+−
→→→→→→
bababa
3
1
;
2
1
;23
Solución:
a)
( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,
2
1
23,2323b) −=−+−=





−+−−=+−
→→
ba
( ) ( ) 




 −
=





−+−=





−+−−=+−
→→
4,
4
9
1,
4
1
3,22,
2
1
2
1
3,2
2
1
ba
( ) 




 −
=





−=











−−−=





−
→→
3
5
,
6
5
5,
2
5
3
1
2,
2
1
3,2
3
1
3
1
ba
:figuralamuestraquelosysiendo,32y
2
1
vectoreslosDibujaa)
→→→→→→→→
++−− vuvuvu,vu
Ejercicio nº 2.-

7. 7
( ) :descoordenadalasobtén,23,y1,
3
2
vectoreslosDadosb) −





−
→→
ba
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba
3
1
223
Solución:
a)
( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,
3
2
323b) −=−+−=−+





−−=+−
→→
ba
( ) ( ) 




 −
=−−





−=−−





−=−
→→
0,
3
5
2,32,
3
4
2,31,
3
2
22 ba
( ) 




 −−
=




 −
−





−=−−





−=−
→→
3
1
,
3
1
3
2
,11,
3
2
2,3
3
1
1,
3
2
3
1
ba
:
→→→→→→→→
−−++− vuvu,vuvu
3
1
y
3
2
2dibujafigura,lamuestraquevectoreslossonySia)
Ejercicio nº 3.-

8. 8
( )
→→→→→→
→→
−+−+
−





−
ba;ba;ba
ba
2
1
2
5
1
5
:vectoreslosdescoordenadalasobtén,31,y3,
5
2
sonydescoordenadalasSib)
Solución:
a)
( ) ( ) 




 −
=




 −
+−=−+





−=+
→→
5
72
,
5
9
5
3
,
5
1
15,23,1
5
1
3,
5
2
5
5
1
5b) ba
( ) ( ) 




 −
=−+





−=−+





−−=+−
→→
9,
5
12
6,23,
5
2
3,123,
5
2
2ba
( ) ( ) 




 −
=−−




 −
=−−





−=−
→→
2
9
,
5
6
3,1
2
3
,
5
1
3,13,
5
2
2
1
2
1
ba
:
3
2
y2,
dibujaellos,departirAfigura.lamuestraquelossonyvectoresLosa)
→→→→→→
→→
++−−− vuvuvu
vu
Ejercicio nº 4.-
( )
→→→→→→
→→
++−+−






−−
ba;ba;ba
ba
2
2
1
43
:descoordenada
lasobtén,
4
1
1,y12,sonyvectoreslosdescoordenadalasSib)

9. 9
Solución:
a)
( ) ( ) ( ) ( )4,101,43,6
4
1
,141,2343b) −=−+−=




 −
+−−=+−
→→
ba
( ) ( ) 




 −
=




 −
+−=




 −
+−−=+−
→→
4
5
,3
4
1
,11,2
4
1
,11,2ba
( ) ( )0,1
2
1
,2
2
1
,1
4
1
,121,2
2
1
2
2
1
=




 −
+





−=




 −
+−=+
→→
ba
→→→→→→
−++− vu;vu;vu 2
2
1
2
Ejercicio nº 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
( ) :descoordenadalasobtén,22,y2,
4
3
vectoreslosDadosb) −




 − →→
ba
→→→→→→
+−+−− ba;ba;ba 42
2
1

10. 10
Solución:
a)
( ) ( ) 




 −
=−−




 −
=−−




 −
=−
→→
3,
4
7
1,12,
4
3
2,2
2
1
2,
4
3
2
1
b) ba
( ) ( ) 





−=−+





−=−+




 −
−=+−
→→
6,
2
7
2,24,
2
3
2,22,
4
3
22 ba
( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,
4
3
44 −=−+−=−+




 −
−=+−
→→
ba
:vuz,y,x
→→→→→
ydelinealncombinaciócomovectoreslosEscribea)
Ejercicio nº 6.-
( ) ( ).21,y3,
5
1
delinealncombinaciócom170,vectorelEscribeb) −




 →→→
cba
Solución:
a)
b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:
:decires,
→→→
⋅+⋅= cnbma

11. 11
( ) ( )
( ) ( )
( ) 





+−=
−+





=
−⋅+





⋅=
nmn
m
nnm
m
nm
23,
5
17,0
2,3,
5
17,0
2,13,
5
1
17,0
1171721517
5
2317
50
2317
5
0
=→=→+=
=



+=
−=




+=
−=
nnnn
mn
nm
nm
nm
n
m
55 == nm
Por tanto:
:decires,15
→→→
⋅+⋅= cba
( ) ( )2,13,
5
1
517,0 −+





=
:
→→→→→
vucb,a yvectoreslosdelinealncombinaciócomoyvectoreslosExpresaa)
Ejercicio nº 7.-
( ) ( ) .





−−
→→→
2,
2
1
y21,delinealncombinaciócomo25,vectorelExpresab) zyx
Solución:
a)
b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que:
:decires,
→→→
⋅+⋅= znymx

12. 12
( ) ( )
( ) ( )
( ) 





+−+=−






+−=−






+−=−
nm
n
m
n
n
mm
nm
22,
2
2,5
2,
2
2,2,5
2,
2
1
2,12,5



+−=
−=



+−=−
−=



+−=−
+=




+−=−
+=
mn
mn
nm
mn
nm
nm
nm
n
m
1
210
1
210
222
210
222
2
5
3
8
3
11
11;
3
11
11310121210 =+−=+−==→−=−→−−=−−→+−=− mnmmmmmm
Por tanto:
:decires,
3
8
3
11 →→→
+= zyx
( ) ( ) 





+−=− 2,
2
1
3
8
2,1
3
11
2,5
:
→→→→→
yxcyb,a edelinealncombinaciócomovectoreslosEscribea)
Ejercicio nº 8.-
( )
( )23,y1,
2
1
porformadabaselaarespectocon01,vectordelscoordenadalasHallab)
−





−
→→
→
vu
w
Solución:
a)
b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
:decires,
→→→
⋅+⋅= vnumw

13. 13
( ) ( )
( ) ( )
( ) 





+−−=
−+





−=
−+





−=
nm,n
m
,
n,nm,
m
,
,n,m,
23
2
01
23
2
01
231
2
1
01
2
1
4
2
42
622
2
62
20
3
2
1
−=
−
=→−=
−=



=−
−−=




+=
−−=
nn
nn
mn
nm
nm
n
m
m = -2n = 1
Por tanto:
:decires,
2
1
1
→→→
⋅





−+⋅= vuw
( ) ( )23
2
1
1
2
1
01 ,,, −−





−=






−
→→→
2
1
,1:sonyporformadabaselaarespectodescoordenadaLas vuw
( ) vectoreslosporformadabaselaarespectocon32,vectordelscoordenadalasHallaa) −−u

Ejercicio nº 9.-
( )11,y
3
1
2, −





− wv

:yvectoreslosdelinealncombinaciócomo,,vectoreslosExpresab) bazyx

Solución:
a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que:
:decires,
→→→
⋅+⋅= wnvmu
( ) ( )
( ) ( )
( ) 





−−+=−−
−+





−=−−
−⋅+





−⋅=−−
n
m
nm
nn
m
m
nm
3
,23,2
,
3
,23,2
1,1
3
1
,23,2
( )


−−−−=−
=−−



−−=−
+=−




−
−
=−
+=−
mm
nm
nm
nm
n
m
nm
2239
22
39
22
3
3
22
46222
3515669669
=+−=−−=
−=→=−→+−=−−→++−=−
mn
mmmmmm

14. 14
Por tanto:
:decires,43
→→→
+−= wvu
( ) ( )1,14
3
1
,233,2 −+





−−=−−
( )43sonyporformadabaselaarespectocondescoordenadaLas ,wvu −
→→→
.
b)
( ) ( ) .1,
2
1
y32,vectoreslosdelinealncombinaciócomo14,vectorelExpresaa) 





− zyx

Ejercicio nº 10.-
Solución:
a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
:decires,
→→→
⋅+⋅= znymx
( ) ( )
( ) ( )
( ) 





+−+=






+−=






+−=
nm
n
m
n
n
mm
nm
3,
2
21,4
,
2
3,21,4
1,
2
1
3,21,4



+=−
+=−



=+
=−



+−=
+=




+−=
+=
mm
mm
nm
nm
nm
nm
nm
n
m
4318
3148
31
48
31
48
31
2
24

15. 15
43131
177
=+=+=
=→=
mn
mm
Por tanto:
:decires;41
→→→
⋅+⋅= zyx
( ) ( ) 





+−= 1
2
1
43214 ,,,
b)
( ) ( ) ( ):1,y23,,45,Dados kzyx
→→
−
Ejercicio nº 11.-
.x
zxk
→
→→
quesentidomismoelydirecciónmismalaconunitariovectorunHallab)
.90ángulounformenyqueparadevalorelHallaa) 
Solución:
dehaescalarproductosulares),perpendicu(sean90deángulounformenyqueParaa) 
zx
:ceroaigualser
( ) ( )
4
5
045,14,5 =→=−=⋅−=⋅
→→
kkkzx
→
xdemóduloelHallamosb)
( ) 41162545
22
=+=−+=
→
x
:seráquesentidoydirecciónmismalaconunitariovectorEl
→
x





 −
41
4
,
41
5
( ) ( ):2,y31,Si mba
→→
−
Ejercicio nº 12.-
( ).24,siendoyporformadoánguloelCalculab)
lares.perpendicuseanyqueparadevalorelHallaa)
→→→
→→
cca
bam

16. 16
Solución:
:ceroserdebeescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParaa) ba

( ) ( ) 6062,3,1 =→=−=⋅−=⋅
→→
mmmba
( ) ( )
( )
=
−
=
⋅
−
=
+⋅−+
⋅
=
⋅
⋅
=







 ∧
→→
→→
→→
200
2
2010
64
2431
2,43,1
,b)
2222
ca
ca
cacos
''48'798,14,0 
=







 ∧
→−=
→→
ca
( ) ( ) ( ):32,y3,,41,vectoreslosDados −−
→→→
wmvu
Ejercicio nº 13.-
.
→→
→→
wu
um
yformanqueánguloelHallab)
lares.perpendicuseanvyqueparaCalculaa)
Solución:
:decirescero,serdehaescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParaa)
→→
vu
( ) ( )
4
3
043341 =→=+−=⋅−=⋅
→→
mmm,,vu
( ) ( )
94,0
221
14
1317
14
3241
122
,b)
2222
−=
−
=
⋅
−
=
−+⋅+−
−−
=
⋅
⋅
=







 ∧
→→
→→
→→
wu
wu
wucos
'.'46'20160,Así, 
=







 ∧
→→
wu
( ) ( ) equeparaydevaloreslosHalla.1,e3,vectoreslosConsidera
→→→→
− yxbabyax
Ejercicio nº 14.-
5.xqueylaresperpendicusean =

Solución:
:decirescero,serdehaescalarproductosulares,perpendicuseanequePara)1.º
→→
yx
( ) ( )
3
0313
a
bbab,,ayx =→=+−=−⋅=⋅
→→
:5aigualamosedemóduloelHallamos)2.º
→
x
259593 2222
=+→=+=+= aaax


17. 17






−=→−=
=→=
→±=→=−=
3
4
4
3
4
4
16169252
ba
ba
aa
Por tanto, hay dos posibilidades:
3
4
,4;
3
4
,4 2211 −=−=== baba
( )11,y
5
4
,
5
3 →→





 −
ba
Ejercicio nº 15.-
a) Halla el ángulo que forman los vectores
( ) ?
5
4
,
5
3
alarperpendicufuera1vectorelqueparadevalorelsería¿Cuálb) 




 −→→
ax,ux
Solución:
→−=
−
=
−
=
+⋅+
−
=
⋅
⋅
=







 ∧
→→
→→
→→
14,0
25
1
2
5
1
11
25
16
25
9
5
4
5
3
,a)
ba
ba
cacos
''48'798, 
=







 ∧
→
→→
ca
:ceroserdebeescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParab)
→→
au
( )
4
3
0430
5
4
5
3
5
4
,
5
3
,1 =→=−→=−=




 −
⋅=⋅
→→
xx
x
xau