ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN MARACAY
ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR
Autores:
Barrios Alberto C.I: 28.431.061
Contreras Laura C.I: 27.204.806
Fernández Manuel C.I: 16.055.292
Pernía Simón C.I: 16.714.435
Tovar Naomy C.I: 27.895.475
Agosto, 2020

ÍNDICE GENERAL
Pp.
INTRODUCCIÓN..............................................................................................1
DESARROLLO
ESTADOS DE ESFUERZOS............................................................................2
ESTADOS DE DEFORMACIONES..................................................................9
CÍRCULO DE MOHR......................................................................................19
CONCLUSIONES...........................................................................................26
BIBLIOGRAFÍA..............................................................................................27
ANEXOS........................................................................................................28

INTRODUCCIÓN
El desarrollo del presente trabajo investigativo está basado en temas de
intereses para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base
los esfuerzos y deformaciones mediante el círculo de Mohr para su análisis.
Se pudo constatar que todo cuerpo al soportar una fuerza aplicada trata de
deformarse en el sentido de aplicación de la fuerza. Al construir una estructura
se necesita tanto un diseño adecuado como elementos que sean capaces de
soportar las fuerzas, cargas y acciones a las que va a estar sometida. Los tipos
de esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras.
En la presente investigación trataremos a detalle los siguientes temas:
Estados de esfuerzos, estados de deformaciones y círculo de Mohr, entre otros
aspectos.
Asimismo podemos constatar objetivos de estudio en el ámbito de la
ingeniería, que el uso de los materiales en las obras industriales hace
necesario el conocimiento de las propiedades físicas de aquello. El método de
Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante
el dibujo de un círculo en el planos T.
El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el
esfuerzo cortante (τ) marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal (σ) en el
eje horizontal. A continuación se hará una breve explicación sobre este método
haciendo énfasis en los conceptos más importantes.

2
I. ESTADOS DE ESFUERZOS
Estado general de esfuerzo
Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que
éste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo
normal y dos esfuerzos cortantes.
En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras
visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la
misma magnitud y sentido contrario para que el elemento esté equilibrado.
Esfuerzo plano y cómo se determinan
El estado plano de los esfuerzos ocurre cuando todos los esfuerzos que
actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una
representación plana, como se muestra en la figura. Note que en el
elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las
caras visibles, de forma análoga al caso anterior.

3
Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de
esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él,
deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal ( ) y uno
cortante (xy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo 
indica la dirección normal al plano de corte.
Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos
establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el
elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que
ejercen x, y y xy sobre el elemento:
𝑃𝑥 = − 𝜎𝑥 . 𝑑𝑦 − 𝜏 𝑥𝑦 . 𝑑𝑦 . tan 𝜃
𝑃𝑦 = − 𝜎 𝑦 . 𝑑𝑦. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝜏 𝑥𝑦 . 𝑑𝑦

4
Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos obtener el
valor del esfuerzo :
∑ 𝐹𝜃 = 𝑃𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑃𝑦 . 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝜎 𝜃 .
𝑑𝑦
𝑐𝑜𝑠𝜃
= 0
Luego, al desarrollar la expresión nos queda:
𝜎 𝜃 = 𝜎𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝜎 𝑦 . 𝑠𝑖𝑛2
𝜃 + 2 . 𝜏 𝑥𝑦 . 𝑠𝑖𝑛𝜃 . 𝑐𝑜𝑠𝜃
Si utilizamos las identidades trigonométricas:
𝑐𝑜𝑠2
𝜃 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
; 𝑠𝑖𝑛2
𝜃 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
; 2𝑠𝑖𝑛𝜃 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃
Podemos plantear finalmente:
𝜏 𝜃𝜃′ = − (
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
) . 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝜏 𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃
Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier
plano de un elemento diferencial con una inclinación  respecto a la
dirección x.
Si planteamos la misma expresión para un ángulo ’=+90º, nos queda:
𝜏 𝜃′ 𝜃 = − (
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
) . sin(2𝜃 + 180) + 𝜏 𝑥𝑦 . cos(2𝜃 + 180)
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos( 𝛼) + cos( 𝛼 + 180) = 0
sin( 𝛼) + sin( 𝛼 + 180) = 0
Si sumamos los esfuerzos cortantes para  y ‘ veremos que se cumple:
𝜏 𝜃𝜃′ + 𝜏 𝜃′ 𝜃 = 0 ; 𝜏 𝜃𝜃′ = −𝜏 𝜃′ 𝜃

5
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado
de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera
perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma
magnitud. El cambio de signo se debe a que, en un plano, el esfuerzo
cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro
plano ocurre al revés.
Esfuerzo normal
El esfuerzo normal, también denominado esfuerzo uniaxial, es la
relación que existe entre la fuerza aplicada perpendicularmente sobre
cierta superficie y el área de sección transversal sobre la que actúa, o
bien la carga por unidad de área. Matemáticamente, si P es la magnitud
de la fuerza y A es el área donde está aplicada, el esfuerzo σ es el
cociente: σ = P/A.
Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con
dirección , se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un
ángulo igual a 2  respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte
son los valores de los esfuerzos   y ’ en el plano en cuestión.
Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos
medidos en sentido antihorario. Note que para el caso mostrado, el
esfuerzo   es de tracción (+) y el esfuerzo cortante ’ trata de hacer
girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones
establecidas.

6
El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio
perpendicular al eje de las abscisas. Puede observarse que es posible
determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al
eje x.
Note que para cualquier círculo de Mohr, entre los planos donde
ocurren los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos
existe siempre un ángulo 2 =90º, es decir, =45º
Esfuerzos principales
Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje
de las abscisas ( ). Las orientaciones de los planos principales se miden
desde el eje x hasta el eje horizontal.
Note que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el
esfuerzo cortante es nulo. Observe también que para cualquier círculo de
Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2 =180º, es
decir, =90º

7
Fig. 1.6
Para el estado de esfuerzo plano que ilustra la figura 1.6, determine:
a. Los tres planos y esfuerzos principales
b. El esfuerzo cortante máximo.
Esfuerzos y planos principales. Se
construye el círculo de Mohr para las
transformaciones de esfuerzo en el plano
𝑥𝑥𝑦𝑦 (figura 1.7). El punto X está
representando 6 unidades a la derecha
del eje 𝜏𝜏 y 3 unidades por encima del
eje 𝜎𝜎, ya que el correspondiente
esfuerzo cortante tiende a rotar el
elemento en el sentido de las agujas del
reloj. El punto Y está 3.5 unidades a la
derecha del eje 𝜏𝜏 y 3 unidades por
debajo del eje 𝜎𝜎. Trazando la línea XY,
se obtiene el centro C del círculo de
Mohr para el plano 𝑥𝑥𝑦𝑦; su abscisa es
Como los lados del triángulo CFX son CF =6 - 4.75 = 1.25ksi y FX = 3ksi,
el radio del círculo es
Los esfuerzos principales en el plano de esfuerzos son:
Fig. 1.7

8
Puesto que las caras del elemento que son perpendiculares al eje z
están libres de esfuerzo, éstas definen uno de los planos principales y el
esfuerzo principal correspondiente es 𝜎𝜎z=0. Los otros dos planos
principales están definidos por los puntos A y B en el círculo de Mohr. El
ángulo 𝜃𝜃p que el elemento debe rotar alrededor del eje z para que sus
caras coincidan con estos planos (figura 1.8) es la mitad del ángulo ACX.
Se tiene:
Fig.1.8
Esfuerzo cortante máximo. Ahora se dibujan los círculos de diámetro
OB y OA, que corresponden respectivamente a rotaciones del elemento
con respecto a los ejes a y b (Fig.1.9). Note que el esfuerzo cortante
máximo es igual al radio del círculo de diámetro OA. Se tiene
Fig. 1.9
Como los puntos D’ y E’ que definen los planos de esfuerzo cortante
máximo, están en los extremos del diámetro vertical del círculo que
corresponde a una rotación con respecto al eje b, las caras del elemento

9
de la figura 1.8 pueden superponerse a los planos de esfuerzo cortante
máximo mediante una rotación de 45°con respecto al eje b.
II. ESTADOS DE DEFORMACIONES
La capacidad más característica del sólido deformable es la de poder
experimentar cambios de forma como consecuencia de las acciones que
se le aplican.
Vamos a considerar la deformación de un sólido como una relación
biunívoca y continua entre la posición que ocupa cada punto material del
sólido en un estado de referencia, que llamaremos estado inicial o
indeformado, y la posición que ocupa en un estado final o deformado.
(Nota: una relación biunívoca y continua excluye que a un punto
material correspondan dos posiciones distintas de destino, lo que podría
darse en situaciones como la propagación de una grieta). Adoptaremos un
sistema de coordenadas cartesianas x1, x2, x3 (fijo) para describir los
puntos del espacio.
Llamaremos A a la posición que ocupa un
punto material del sólido en el estado inicial, y A’
a la posición que ese mismo punto material ocupa
en el estado final. Definimos el movimiento de ese
punto como el vector u, de componentes ui, que
une las posiciones final e inicial. De acuerdo con
las hipótesis básicas, se asume que los
desplazamientos son pequeños comparados con
las dimensiones del sólido. Asumiremos que
los desplazamientos son del orden de magnitud
de los diferenciales de longitud que adoptemos.
Pretendemos obtener una magnitud tal que,
sabido su valor en un punto, permita conocer el
incremento de longitud de cualquier segmento
recto diferencial que pase por ese punto.

10
Consideremos dos puntos del sólido, separados por una distancia
diferencial, que en estado inicial ocupan las posiciones A y B, y que
pasan a las posiciones finales A' y B'. Sean xi las coordenadas de la
posición A, y ui los movimientos del punto correspondiente. La posición B
tendrá coordenadas ligeramente distintas, xi+dxi, y los movimientos del
punto material correspondiente serán también ligeramente distintos,
ui+dui. El diferencial de movimiento, dui, se interpreta físicamente como
la diferencia de movimientos entre esos dos puntos muy próximos.
Admitiremos las siguientes hipótesis:
 u, v, w son funciones continuas, así como sus derivadas primeras. O sea
que dos puntos próximos permanecen próximos después de la
transformación. No pueden producirse ni grietas, ni cavidades, ni
deslizamientos, ni choques.
 u, v, w y sus derivadas primeras respecto de x, y, z son pequeñas.
Las llamadas “Ecuaciones de Compatibilidad”, desde el punto de vista
matemático, garantizan que el campo de deformaciones es continuo y
univaluado. Desde el punto de vista físico, lo que nos dicen es que las
deformaciones del continuo se desarrollan de manera que en el material
no se forman solapes, huecos ni fisuras.
Si la deformación es igual en todos los puntos del material, se le
denomina deformación homogénea.
Las deformaciones pueden ser elásticas en cuyo caso el cuerpo vuelve
a su estado inicial cuando se retiran las fuerzas que actuaban sobre el
mismo. Pueden también ser plásticas, cuando al retirar las fuerzas
El corrimiento AB es un vector
cuyas proyecciones sobre los ejes
designaremos (u, v, w) tal que:

11
quedan deformaciones permanentes en el cuerpo. También es importante
distinguir entre aquellas deformaciones que provocan cambios de
volumen y las responsables del cambio de forma. Las primeras producen
dilatación o contracción, las segundas distorsión.
DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE
La experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento
de una barra, el alargamiento longitudinal va acompañado de
acortamientos transversales que son proporcionales al longitudinal. Si en
un cubo diferencial actúa solamente x tendremos:
εx = x / E
Si además actúa y tendremos un valor adicional:
y lo mismo si actúa z. En consecuencia podemos establecer las
siguientes leyes:
Puede demostrarse que las tensiones tangenciales no provocan
alargamientos ni acortamientos, sólo cambios de forma, de modo tal que
puede establecerse:

12
Las tres constantes elásticas E,  y G no son independientes, sino que
están relacionadas y constituyen la denominada “Ley Generalizada de
Hooke”.
G = E / 2(1 + μ)
DEFORMACIONES EN ESTADO DOBLE
Variación de las tensiones en el punto según la orientación del plano.
Un elemento definido por tres planos normales entre sí, está sometido
a un estado plano, cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas.
Observando la siguiente figura, se deduce:
dx = ds.sen α dy = ds.cos α
Tensiones normales: serán positivas cuando produzcan tracción.
Tensiones tangenciales: serán positivas cuando produzcan un giro de
momento con sentido horario respecto a un punto interior del prisma.
Angulo  : El ángulo se mide a partir del plano vertical y se considera
positivo cuando es antihorario.
El plano definido mediante el ángulo  es paralelo al eje z. Los tres
planos determinados por los ejes x, y, y el ángulo  pasan por el mismo
punto; de allí que no tenemos en cuenta fuerzas de masa sobre dicho
elemento. Recordamos por Cauchy:
|ƭₓᵧ| = |ƭᵧₓ|

13
Tomando en profundidad una distancia unitaria (dz = 1) y
planteando proyecciones de fuerzas sobre la dirección 1, por razones de
equilibrio se obtiene:
Similar a lo anterior, se proyecta las fuerzas sobre la dirección 2:
Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominan
tensiones complementarias. Para calcularlas se reemplaza en las
ecuaciones anteriores, que son válidas para cualquier ángulo , por (
+90º ).

14
Analizando la siguiente suma:
α + ´α = ₓ + ᵧ = Cte. Invariante de Tensiones
Se puede observar que la suma de las tensiones normales
correspondientes a dos planos ortogonales se mantiene constantes, por lo
que a esta suma se la denomina invariante de tensiones.
DEFORMACIONES EN ESTADO SIMPLE
El estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elemento
diferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirse en un estado
triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si hay un
estado doble, por ejemplo, es probable que no se encuentre, por rotación
del elemento, una posición para el cual el estado sea lineal.
MEDIDORES DE DEFORMACION
Lo más normal es medir la deformación para determinar el nivel de
tensión (esfuerzo) de un material; es lo que se denomina análisis
experimental de tensiones. El valor absoluto y la dirección de la tensión
mecánica se determinan a partir de la deformación medida y propiedades
conocidas del material (constante elástica y coeficiente de Poisson).
Los cálculos se basan en la ley de Hooke. En su forma más simple, la
ley de Hooke establece una relación directa entre la deformación ε [m/m] y
el esfuerzo σ [N/mm2] que experimenta un cierto material. El factor de
proporcionalidad es la constante elástica o módulo de Young E [N/mm2].
ε = Δl / lₒ [μm / m]

15
Por tanto, la deformación tiene un valor no dimensional que
representa el cambio en la longitud de un material con respecto a su
longitud inicial. Como los cambios en la longitud suelen ser muy
reducidos, se expresan en los prefijos fraccionales estándar del sistema
internacional. La deformación suele expresarse en micrómetros por
metro (μm/m = 10-6 m/m = ppm).
Existen varios tipos de galgas y sensores capaces de medir
deformaciones. Las galgas extensométricas son el dispositivo más
comúnmente utilizado.
Los metales y los semiconductores son materiales adecuados para los
medidores de deformación. Los semiconductores tienen la ventaja de que
un cambio en el volumen produce un cambio muy notable en la
resistencia.
Esto permite crear medidores de deformación mucho más sensibles.
Una de las desventajas de los medidores de deformación
semiconductores es su cambio no lineal en la resistencia, en el caso de
las fluctuaciones de temperatura. Por lo tanto, se deben evitar los cambios
en la temperatura.
Existen diversos equipos para medir la deformación, los más usados:
galgas extensométricas eléctricas y sensores ópticos de deformación,
aunque en el mercado existen otros, estos son los más usados.
Medición con galgas extensométricas eléctricas: Las galgas
extensométricas se llevan utilizando casi ochenta años y siguen siendo

16
elementos esenciales para medir fatiga y efectuar ensayos de materiales,
con fines de productividad y seguridad.
Son sensores cuya resistencia varía con la fuerza aplicada. Estos
sensores convierten la fuerza, presión, tensión, peso, etc, en un cambio
de la resistencia eléctrica el cual puede ser medido.
Este tipo de sensores son los elementos más importantes en el diseño
de transductores de presión y células de carga. La correcta utilización de
las galgas para medir fuerzas y deformaciones es una de las herramientas
más importantes en la ingeniería o la construcción.
Tipos de galgas extensiométricas:
 La Rejilla Karma o Serie K:
Rosetas T son para diseños de transductores de deformación axial,
materiales Karma de precisión se desempeñan con buena linealidad en
temperaturas de -75 a 200ºC (-100 a 392ºF), tienen un período de fatiga
más largo.
 Galgas Extensiométricas de Precisión:
Propósito general, flexible, mecánicamente fuerte, radio de doblamiento
pequeño, marcas de alineación claras, cables de cinta o terminación de
soldadura, se puede utilizar con adhesivo frío o caliente; para mediciones
de deformación dinámicas o estáticas altamente precisas
 Galgas Extensiométricas Pre cableadas:
Salte el paso de soldadura en el punto de medición con los sensores pre
cableados, sensores lineales de rejillas de 0,3 a 20 mm, Rosetas T,
Rosetas planas de 0º, 45º, o 90º, Sensores totalmente encapsulados para
proteger el dispositivo de condiciones ambientales.
 Galgas extensiométricas de calidad:
La serie SGT de galgas extensiométricas de calidad de transductor tiene
rejillas paralelas dobles, para tensión de dobladura o de eje, Aplicaciones
de corte o torque

17
Aplicaciones de transductor personalizadas de curva doble.
Las galgas extensiométricas pueden tener de 1 a 4 rejillas de
medición. Varias compensaciones de temperatura usando aluminio, acero
o materiales no compensados. Hay vatios Estilos de Rejilla: Propósito
General, Puente Completo, Medio Puente, Alta Resistencia, Estándares
Estrechos, Estándares de Miniatura, Delta, Plana y Apilada.
Circuitos de Medida
Con el fin de medir la deformación con una galga extensiométrica
resistiva, esta debe estar conectada a un circuito eléctrico que sea capaz
de medir los cambios en la resistencia correspondientes a la tensión.
Los transductores de galgas extensiométricas, normalmente, emplean
4 galgas extensiométricas conectadas eléctricamente en lo que se conoce
como circuito de puente de Wheatstone.
El número de medidores de galgas activas que deben ser conectadas
al puente depende de la aplicación. Por ejemplo, puede ser útil para
conectar galgas que están en lados opuestos de una viga, una en
compresión y la otra en tensión.
Galgas extensométricas para ensayos experimentales:
La selección de galgas extensométricas para ensayos
experimentales se lleva a cabo de acuerdo con los criterios de selección
siguientes:
Un puente de Wheatstone es un circuito
utilizado para la medición de la resistencia
eléctrica estática o dinámica. La tensión de
salida del puente de Wheatstone se expresa en
milivoltios de salida por voltaje de entrada. El
circuito de Wheatstone es también muy
adecuado para la compensación de
temperatura.

18
1. Geometría: Número y posición de las rejillas (tipo de construcción)
2. Serie de la galga extensométrica: Construcción de la galga extensométrica
3. Conexiones: Tipo y posición
4. Adaptación de la respuesta de
temperatura:
Material al cual está adaptada la respuesta de
temperatura de la galga extensométrica
5. Longitud de la rejilla de medición: en mm
6. Resistencia eléctrica: en Ohm
Medición con Sensores Ópticos de Deformación:
Los sensores ópticos de deformación o bandas extensométricas
ópticas, en concreto los basados en tecnología de red de Bragg en fibra
(FBG) han despertado un interés creciente en las últimas décadas, sobre
todo en el campo de la monitorización de infraestructuras.
λ
Longitud de
onda
Se refiere al pico de longitud de onda que mide un sensor de fibra con rejilla de Bragg.
Normalmente se expresa en nanómetros (nm).
λ0
Longitud de
onda de
referencia
Es el pico de longitud de onda de un sensor de fibra con rejilla de Bragg en unas
condiciones de referencia (deformación cero, a una temperatura de referencia, etc.).
Normalmente se expresa en nanómetros (nm).
Galga Extensométrica de lámina.
La galga es mucho más sensible a las
deformaciones en la dirección vertical que en la
horizontal. Las marcas alrededor sirven para
alinear la galga durante la instalación. El material
de color azul es un conductor, por lo que la
corriente debe fluir a través de los estrechos
canales verticales. Si el indicador se extiende
verticalmente, los canales se hacen más largos y
más estrechos.

19
Δλ
Variación de
longitud de onda
La variación en la longitud de onda, también llamada “desplazamiento” o “cambio”, es la
diferencia entre la longitud de onda (medida) y la longitud de onda de referencia (valor de
referencia): Δλ= λ- λ0. Normalmente se expresa en nanómetros (nm).
k Factor k
El factor k (también llamado “factor de galga”) de una galga extensométrica óptica es la
constante de proporcionalidad entre la longitud de onda de Bragg (Δλ/λ0) y la variación de la
deformación Δε. Se mide como: Δλ/λ0 = k·Δε. Es un número adimensional y depende del
encapsulado del sensor y de la fibra óptica característica empleada. En el caso de los
sensores de deformación ópticos de HBM, el factor k se indica en las hojas de
características y de calibración que se entregan con cada sensor individual.
ε Deformación
La deformación es un valor adimensional que representa el cambio relativo en la longitud de
un material con respecto a su longitud inicial. En general es un valor muy pequeño, por lo
cual se expresa en µm/m, ppm o 10-6.
S Sensibilidad
La sensibilidad de un sensor de fibra con rejilla de Bragg es la proporción directa entre la
deformación medida y el cambio en longitud de onda de Bragg: Δε/Δλ= S. Normalmente se
expresa como un valor de microdeformación por nanómetro [(µm/m)/nm)] y es diferente para
cada sensor, puesto que depende de su longitud de onda de base inicial, que es: S=1/(k.
λ0).
TCS
Sensibilidad
cruzada a la
temperatura
Es una deriva en la lectura de un sensor causada por variaciones en la temperatura.
Corresponde a la deformación que se mide de forma errónea cuando la temperatura varía 1
ºC (o 1 K). El valor se expresa en (µm/m)/ºC [o (µm/m)/K] y puede emplearse para
compensar el efecto de la temperatura en el sensor óptico de deformación (sin tener en
cuenta la compensación debida a la dilatación térmica de la muestra).
σ
Tensión
mecánica
La tensión mecánica o esfuerzo se expresa como el cociente de la fuerza F y la superficie
de la sección transversal A del material, σ=F/A. Normalmente se expresa en kilopascales
(KPa).
E Módulo de
elasticidad
El módulo de elasticidad o de Young es la relación entre la tensión y la deformación en un
material elástico lineal. Viene dado por la Ley de Hooke (σ=E.ε). Normalmente se
representa en gigapascales (109 Pa) para correlacionar la deformación expresada en µm/m
(10-6) con la tensión en KPa (103 Pa).
v
Coeficiente de
Poisson
El coeficiente de Poisson es el cociente entre la deformación transversal εt y la deformación
longitudinal εl. Por ejemplo, para las aleaciones de aluminio, ν = 0,33.
III. CÍRCULO DE MOHR
El círculo de Mohr es un método gráfico para analizar y determinar el
estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Es una herramienta
que permite la representación gráfica del infinito conjunto de vectores
tensión ¯𝒕 𝝅⃗ = (𝝈 𝒏, 𝝉 𝒏) en un punto P, expresados a partir de sus
componentes intrínsecas referidas a una orientación ¯ 𝝅⃗ (vector normal al
plano. Su punto de partida viene dado por la matriz de tensiones de
Cauchy (𝝈) 𝒙𝒚 en un punto P, referida a un sistema cartesiano de

20
referencia xy. Esta matriz se corresponde con un estado tensional en un
punto (P) donde el estado tensional se obtiene haciendo pasar en la
proximidad de P cuatro planos ortogonales a los ejes x e y, definiendo un
elemento diferencial plano. En el punto P, asociado a cada uno de tales
planos, existe un vector tensión, cuyas componentes intrínsecas normal (𝝈)
y tangencial (𝝉) se representan en las caras del elemento.
Pasos para la construcción del círculo de Mohr
Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben
tenerse en cuenta los siguientes detalles:
 El sentido de giro del ángulo φ en el círculo se corresponde
con el sentido de giro del plano AB en la realidad.
 El signo de las tensiones tangenciales (τ) se toma como
positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor
del elemento diferencial y negativo en caso contrario.
 El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del
ángulo entre los planos reales correspondientes.
1er Paso:
Identificar los valores de los esfuerzos σx , σy y τxy (Convenciones
de los esfuerzos).

21
2do Paso:
Dibujar un sistema de ejes coordenados σ como abscisa (positivo a
la derecha) y τ como ordenada (positivo hacia abajo).
3er Paso:
Localizar el punto A; las coordenadas de este punto son las que
representan las condiciones de esfuerzo sobre el plano x del
elemento es decir los puntos σx y τxy.
4to Paso:
Localizar el punto B; las coordenadas de este punto son las que
representan las condiciones de esfuerzo sobre el plano y del
elemento σy y -τxy.

22
5to Paso:
Localizar el centro del circulo (Punto C); este se localiza en el punto
con coordenadas σprom y τxy=0.
(Ecuación 1)
6to Paso:
Trazar una línea entre los puntos A y B; la longitud de esta línea
corresponde al diámetro del círculo y pasa por el punto C,
correspondiente al centro del círculo.
7mo Paso:
Trazar el circulo; utilizando como centro el punto C, se hace
el trazado del círculo de Mohr, pasando por los puntos A y B.

23
8vo Paso:
Calcular el Radio del circulo; se puede determinar la longitud de las
líneas CA y CB que corresponden al radio del círculo o
también τmax.
(Ecuación 2)
9no Paso:
Calcular Esfuerzos Principales; los esfuerzos principales son los
correspondientes a σmax y σmin y se determinan como:
(Ecuación 3)

24
10mo Paso:
Dirección de los esfuerzos θ
(Ecuación 4)
11vo Paso:
Esfuerzos en elementos inclinados
(Ecuación 5)
(Ecuación 6)
(Ecuación 7)

25
Importancia del Círculo de Mohr
El círculo de Mohr sigue estando vigente para solucionar determinados
problemas de ingeniería, pudiendo obtener las tensiones principales
existentes en un cuerpo cuando es sometido a diferentes formas de
carga, aplicadas sobre ciertos planos del cuerpo, y que a su vez se puede
identificar la resistencia mecánica de la pieza.
Por ejemplo, en la ingeniería estructural se utiliza para determinar la
carga de rotura, así como el ángulo de la rotura de una fractura de
desplazamiento en materiales cerámicos y similares (como el hormigón).
Asimismo, el Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y
geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de
3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones,
adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio,
centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo
absoluto y la deformación máxima absoluta.

26
CONCLUSIONES
En el presente trabajo investigativo se pudo aprender, comprender y
desarrollar el análisis ya estudiado que permiten conocer los estados
tensionales de distintos cuerpos sometidos a esfuerzos.
De igual manera, se puede agregar que el círculo de Mohr continua
siendo de gran valor en las aplicaciones de ingeniería ya que proporciona
una representación clara y simple de un análisis relativamente complicado.
La representación gráfica del círculo de Mohr es de gran utilidad debido a
que permite visualizar las relaciones entre tensiones normales y tangenciales
que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo
sometido a tensiones, permite calcular tensiones principales, tangenciales
máximas y las tensiones en planos inclinados.
La razón para este método este en vigencia con tanta tecnología
actualmente se encuentra en la información, simultáneamente general y
detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas
de la ingeniería. Las aplicaciones de esta construcción grafica tienen su
fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas
llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y
claridad. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas
elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos
problemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una
de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido
importancia con la introducción de las calculadoras y los computadores.

27
BIBLIOGRAFIA
Anónimo (s.f) Fundamentos sobre Galgas extensiometricas. [Documento En
Línea] Disponible https://www.hbm.com/es/7074/fundamentos-sobre-
galgas-extensiometricas/ [Consulta: 2020, Agosto 11]
Anónimo (s.f) Estados de Tensiones [Documento En Línea] Disponible
http://materias.fi.uba.ar/6716/Estado%20de%20tensiones%20y%20de
%20deformaciones_EI.pdf [Consulta: 2020, Agosto 11]
Anónimo (s.f) Sensor óptico [Documento En Línea] Disponible
https://www.hbm.com/es/8120/newlight-fs62-sensor-optico-de-
deformacion/#:~:text=Los%20sensores%20%C3%B3pticos%20de%20
deformaci%C3%B3n,y%20otros%20tipos%20de%20estructuras
[Consulta: 2020, Agosto 11]
Anónimo (s.f) Elementos de la Teoría de Tensiones y Deformaciones
[Documento En Línea] Disponible
http://ing.unne.edu.ar/mecap/Apuntes/Estabilidad_2/Cap03-Tens.pdf
Anónimo (2015) Transformaciones de esfuerzo-deformación [Documento En
Línea] Disponible
https://gc.scalahed.com/recursos/files/r145r/w1450w/U6liga6.htm
Anónimo (2018) Círculo de Mohr [Documento En Línea] Disponible
https://nanopdf.com/download/circulo-de-mohr-5b1069221a10e_pdf
Anónimo (2014) Circulo de Mohr de tensiones [Documento En Línea]
Disponible http://www.mecapedia.uji.es/circulodeMohrdetensiones.htm

ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR

Similar a ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR (20)

Último

Último (20)

ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MEDIANTE EL CIRCULO DE MOHR