Cap. 3 equilíbrio de um ponto material

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Cap. 3 equilíbrio de um ponto material

  1. 1. EQUILÍBRIO DE UM OBJETIVOS DO CAPÍTULO o Introduzir o conceito de corpo livre para pontn material. o Mostrar como resolver problemas de equilibrio d ponto material usando as equações de equilíbric 3.1 CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL Um ponto material encontra-se em equilíbrio desd que esteja em repouso, se originalmente se achava ei repouso, ou tenha velocidade constante, se originalmenl estava em movimento. Mais freqüentemente, entretanto, termo “equilíbrio” ou, mais especificamente, “equilíbri estático” é usado para descrever um objeto em repouso. Pa¡ manter o equilíbrio, é necessário que seja satisfeita a pr meira lei do movimento de Newton, pela qual a for; resultante que atua sobre um ponto material deve ser igu: Quando são usados_ cabos para elevar uma-carga, ele: devem ser a zero_ Essa condição é expressa matematicamente com. selecionadas de »rodo que não falhem quando posicionados em ' ' i í v : i g _ «V seus pontos de acoplamento. Neste capítulo, será mostrado como EF = 0 (3.1 ~ n l l l calcular as cargas nos cubos em mis casas. onde EF é o vetor soma de rodas as forças que atuam sob¡ o ponto material. A Equação 3.1 não é apenas uma condição necessária do equilíbrio, z também uma-condição suficiente. Isso decorre da segunda lei do movimenl : de Newton, escrita como EF = ma. Como o sistema de força satisfaz Equação 3.1, então ma = 0 e, portanto, a aceleração, do ponto material a 0. Conseqüentemente, o ponto material move-se com velocidade constante c permanece em repouso. 3.2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE Para aplicarmos a equação de equilíbrio, devemos considerar rodas as fo ças conhecidas e desconhecidas (EF) que atuam sobre o ponto material. - melhor maneira de fazer isso é desenhar o diagrama de corpo livre do pon material. O diagrama é simplesmente um esboço que mostra o ponto materi j *livre* de seu entorno e com todas as forças que atuam sobre ele. j Antes de apresentarmos o procedimento formal para desenhar o diagr ma de corpo livre, vamos primeiro considerar dois tipos de conexõ j encontradas freqüentemente nos problemas de equilíbrio do ponto materia l
  2. 2. o. _w u. . . wvvournv Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 69 Molas. Se for usada para apoio a mola elástica linear, o comprimento da mola variará em proporção direta com a força que atua sobre ela. Uma caracterís- tica que define a 'elasticidade' é a constante da mola ou rigidez k. A intensidade da força exercida na mola elástica linear que tem rigidez k e está deformada (alongada ou comprimida) de uma distância s, medida a partir de sua posição sem carga, é: (w Nesse caso, a distância s é definida pela diferença entre o comprimento deformado da mola l e seu comprimento sem deformação Io, isto é, s = l - lo. Se s for positivo, F 'puxa'a mola; se for negativo, F a “empurra”. Por exemplo, a mola mostrada na Figura 3.1 tem comprimento sem deformação Io = 0,4 e rigidez k = 500 N/ m. Para esticá-la de modo que l = 0,6 m, é necessária uma força F = ks = (500 N/ m)(0,6 m - 0,4 m) = 100 N. Da mesma maneira, para comprimi-la a um comprimento l = 0,2 m, é necessária uma força F = ks = (500 N/ m)(0,2 m - 0,4 m) = -100 N (Figura 3.1). 0) Figura 3.1 Cabos e Polias. Ao longo deste livro, exceto na Seção 7.4, será considerado que todos os cabos (ou cordas) têm peso desprezível e são indeformáveis. Além disso, o cabo suporta apenas uma tensão ou força de 'tração', que atua sempre na direção do cabo. No Capítulo 5 será mostrado que a força de tensão atuando em um cabo contínuo que passa sobre uma polia sem atrito deve ter intensi- dade constante para manter o cabo em equilíbrio. Portanto, para qualquer ângulo 9 mostrado na Figura 3.2, o cabo está submetido a uma tensão constan- te T ao longo de todo o seu comprimento. A caçamba é mantida em equilíbrio pelo cabo, e, instin- tivamente, sabentos que a força na cabo deve ser igual ao peso da caçamba. Desenhando a diagrama de corpo livre da caçamba podemos compreender por que isso ocorre. Esse diagrama ¡nostra qtte há apenas duas far- ças atuando sobre a caçamba, ou seja, seu peso W e a força T da cabo. Para manter o equilíbrio, a resultante dessas forças deve ser igual a zero e, assim, T = W. O importante é que, isolando-se a caçamba, a força tlesco- nltecida do cabo T tonta-se 'exposta' e deve ser cortsiderada requisito para o equilíbrio. T O cabo está em tensão Figura 3.2
  3. 3. 70 ESTÁTICA PROCEDIMENTO PARA TRAÇAR UM DIAGRAMA DE CORPO LIVRE Como devemos considerar todas as forças que atuam sobre o ponto ntaterial ao aplicar as equações de equilíbrio, não devemos dar ênfase excessiva à importância de desenhar primeiro o diagrama de corpo livre. Para construí- lo é necessário seguir estes passos: Desenhe o contorno do ponto trmterial a ser estudado. Imagine que o ponto material esteja isolado, ou “seccionado”, ou 'livre' de seu entorno, e desenhe o contorno de sua forma. Mostre todas as forças. Indique nesse esboço todas as forças que atuam sobre o ponto material. Essas for- ças podem ser ativas, tendendo a pôr o ponto material em movimento, ou reativas, que são o resultado de restrições ou apoios que tendem a impedir o movimento. Para se considerarem todas as forças, é interessante traçar o con- torno em torno do ponto material, anotando cuidadosamente cada força que age sobre ele. Identifique cada força. As forças cottltecidas devem ser marcadas com suas intensidades, direções e senti- dos. São usadas letras para representar as intensidades, direções e sentidos das forças desconhecidas. TB TC Considere a bobina de peso W suspensa pela lança do guindaste. Se quisermos obter as forças nos cabos AB e AC, deve- remos considerar o diagrama de corpo livre do anel em A, visto que as forças atuam sobre a anel, Nesse caso, os cabos AD exercem a força resultante W sobre o anel e a condição de equilíbrio é usada para obter T3 e Tc. EXEMPLO 3.1 A esfera da Figura 33a tem massa de 6 kg e está apoiada como mostra do. Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó em ( SOLUÇÃO Esfera. Verifica-se que há apenas duas forças atuando sobre a esfera: se peso e a força da corda CE. A esfera tem peso de 6 kg (9,81 m/ sz). O diagr: ma de corpo livre é mostrado na Figura 3.3b. FC¡ (Força da corda CE atuando sobre a esfera) 58.9N (Peso ou gravidade atuando sobre a esfera) (b) Figura 3.3
  4. 4. c E l . _ mq-mqrw . .r . .a ç qro/ ç « . x., ›.. .., .¡›_= ._ q» rev-r' Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PoNTo MATERIAL 71 Corda CE_ Quando a corda CE é isolada de seu entorno, seu diagrama de corpo livre mostra somente duas forças atuando sobre ela: a força da esfera e a força do nó (Figura 3.30). Observe que a Fc¡ mostrada nessa figura é igual mas oposta à mostrada na Figura 3.3b, em conseqüência da terceira lei de Newton. Além disso, FC¡ e FEC puxam a corda e a mantêm sob tensão, de modo que não se rompa. Para o equilíbrio, FCE = F EC. Nó, O nó em C está sujeito a três forças (Figura 33d). Elas são causadas pelas cordas CBA e CE e pela mola CD. Como solicitado, o diagrama de corpo livre mostra todas as forças identificadas por suas intensidades, direções e sentidos. É importante observar que o peso da esfera não atua diretamente sobre o nó; é a corda CE que submete o nó a essa força. FEdForça do nó atuando sobre a corda CE) FCM (Força da corda CBA atuando sobre o nó) FCB (Força da mola atuando sobre o nó) f d FC¡ ííãííaadfotãaegâman o FC¡- (Força da corda CE atuando sobre o nó) (c) (d) Figura 3.3 3.3 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES Se um ponto material estiver submetido a um sistema de forças coplana- res localizado no plano x-y (Figura 3.4), então cada força poderá ser desdobrada em seus componentes i e j. Para o equilíbrio (Equação 3.1), podemos escrever: ÉFFI). 217,¡ + ÉFyj = 0 Para que essa equação vetorial seja satisfeita, os componentes x e y devem ser nulos Portanto: ' (3.3)
  5. 5. 72 ESTÁTICA Essas equações escolares de equilíbrio requerem que a soma algébrica c componentes x e y de todas as forças que atuam sobre o ponto material s~ nula. Como resultado, as equações 3.3 são resolvidas no máximo para di incógnitas, geralmente representadas como ângulos e intensidade das for¡ mostradas no diagrama de corpo livre do ponto material. Natação Escolar. Como cada uma das duas equações requer o desdobramx ¡ to dos componentes do vetor ao longo de um eixo especificado x ou y, van , ã usar a notação escalar para representar os componentes ao aplicar as equaçõ í ' Ao se adotar essa condição, o sentido de cada componente é considerado pu l _ sinal algébrico que corresponde ao sentido da ponta da flecha do componei ¡ ao longo de cada eixo. Se a força tiver intensidade desconhecida, o sentido 1 ponta da flecha da força no diagrama de corpo livre poderá ser suposto. C01 a intensidade de uma força é sempre positiva, se a solução der um escalar ne_ tivo, isso indicará que o sentido da força atua no sentido oposto do assumi As correntes exercem três forças sobre o anel em A. 0 anel não se move ou se move com velocidade constante, desde que a somató- ria das forças ao longo dos eixos x e y do diagrama de corpo livre , g ' seja nula. Se uma das três forças for conhecida, as intensidades das u y outras duas podem ser obtidas pelas duas equações de equilíbrio. Por exemplo, considere o diagrama de corpo livre do ponto material s metido às duas forças mostradas na Figura 3.5. Nesse caso, supõe-se que a fo desconhecida F atua para a direita para manter o equilíbrio. Aplicando a eq ção do equilíbrio ao longo do eixo x, temos: i›>: F,, =o +F+'10N=0 l _ . Os dois termos são 'positivos', uma vez que ambas as forças atuam na d' 5 - ção positiva de x. Quando essa equação for resolvida, F = -10 N. Nesse cz o sinal negativo indica que F deve atuar para a esquerda para manter o po material em equilíbrio (Figura 3.5). Observe que, se o eixo +x da Figura for orientado para a esquerda, ambos os termos da equação serão negatia mas, de novo, depois de resolver, F = -10 N, indicando que F deve ser ori tada para a esquerda. _ _ _ _ _ . ., _ ______. ___. ... ... .__. ~._. _,. ... ___ M . ... .. -. ... ._. -.. ._. i l i l Figura 3.5
  6. 6. .r nocao-n Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 73 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Os problemas de equilíbrio de forças coplanares para um ponto material são resolvidos usando-se este procedimento: Diagrama de Corpo Livre. o Defina os eixos x, y com orientação adequada. c Identifique todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das forças no diagrama. o O sentido da força que tenha intensidade desconhecida é suposto. Equações de Equilíbrio. Aplique as equações de equilíbrio 21'] = 0 e EF, = O. Os componentes serão positivos se forem orientados ao longo do sentido positivo do eixo, e negativos se forem orientados ao longo do sentido negativo do eixo. Se existirem mais de duas incógnitas e o problema envolver mola, deve-se aplicar F = ks para relacionar a força da mola à deformação s da mola. Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre (que foi suposto). Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de 250 kg mostrado na Figura 3.6a. SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre. Para resolver este problema, vamos investigar o equilíbrio do anel em A, porque esse “ponto material' está submetido tanto à força do cabo AB quanto à do AD. Entretanto, veja que o motor tem um peso (250 kg)(9,81 m/ sz) = 2.452 kN que é suportado pelo cabo CA. Portanto, como mostrado na Figura 3.6b, há três forças concorrentes atuando sobre o anel. As forças TB e TD têm intensidades desconhecidas mas sentidos conhe- cidos, e o cabo AC exerce uma força descendente em A igual a 2.452 kN. 2.452 lcN (n) (b) Figura 3.6 Eqltnções de Equilíbrio. As duas intensidades desconhecidas TB e TD são obtidas pelas duas equações escalares do equilibrio, EF¡ = O e ZE. , = 0. Para aplicar essas equações, os eixos x, y são definidos no diagrama de corpo livre e T3 deve ser desdobrada em seus componentes x, y. Assim:
  7. 7. 74 ESTÁTICA ' 133v: «Em» ai# (b) Figura 3.7 ' _. .. wew-: u-errx-. wvwmwnsrrmagapgsr-. qqgywrú i› EF, = o; TE cos 30° ~ TD = o ( +125, = o; TE sen 30° - 2.452 kN = o ( Resolvendo a Equação 2 em TE e fazendo a substituição na Equaçãt para obter TD: TE = 4,90 kN Respos TD = 4,25 kN Respos A precisão desses resultados depende da precisão dos dados, isto é, me das da geometria e cargas. Para a maioria dos trabalhos de engenharia q envolvem um problema como esse, os dados medidos com três dígitos sign cativos são suficientes Além disso, observe que, nesse caso, foram despreza( os pesos dos cabos, hipótese razoável, visto que eles seriam pequenos em co paração com o peso do motor. Se o saco da Figura 3.7a tiver peso de 20 lb em A, determine o peso d em B e a força necessária em cada corda para manter o sistema na posição equilíbrio mostrada. SOLUÇÃO Como o peso de A é conhecido, a tensão desconhecida nas duas corn EG e EC é determinada investigando-se o equilibrio do anel em E. Por qr Diagrama de Corpo Livre. Há três forças atuando sobre E, como. most do na Figura 3.7b. ' Equações de Equilíbrio. Definindo os eixos x, y e decompondo cada fo em seus componentes x, y pelo uso de trigonometria, temos: 35 EF, = 0; TEC sen 30° - TEC cos 45° = I +T2Fy = 0; TEC cos 30° - TEC sen 45° - 20 lb = O I Resolvendo a Equação 1 para TEC em função de TEC e inserindo o res tado na Equação 2 encontramos a solução para TEC. Obtemos então TEC Equação 1. Os resultados são:
  8. 8. Cap.3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 75 Tac = 33,6 lb Resposta Tac = 54,6 lb Resposta Usando-se o resultado obtido para TEC, o equilíbrio do anel em C é então investigado para determinar a tensão em CD e o peso de B. Diagrama de Corpo Livre. Como mostrado na Figura 3.7c, TEC = 38,6 lb 'puxa' C. A razão se torna clara quando se desenha o diagrama de corpo livre da corda CE e se aplica o equilibrio e o princípio de ação e reação, igual mas oposto à força de reação (terceira lei de Newton) (Figura 37d). (Força da corda EC atuando sobre a corda E) E 38,6 l (Força do anel E atuando sobre a corda EC) J Ação- j' reação Ação- f' feaçãü Á (Força do anel C 335 n, atuando sobre o anel EC) ~ (Força da corda EC C atuando sobre o anel C) (c) (d) Figura 3.7 Equações de Equilíbrio. Definindo-se os eixos x, y e observando-se que os componentes de TCD são proporcionais à inclinação da corda, como definido pelo triângulo 3-4-5, tem-se: $2n= m wsmmrw-@ww=0 @ -$zF, =o; @HCD+3&6wn%°w-WE=0 (0 Resolvendo-se a Equação 3 e inserindo-se o resultado 'na Equação 4, btém-Seí TCD = 34,2 lb Resposta WE = 47,8 lb Resposta EXEMPLO 3.4 Determine o comprimento da corda AC da Figura 3.8a, de modo que a luminária de 8 kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não deformado da mola AB é I'M; = 0,4 m e a mola tem rigidez km3 = 300 N/ m. SOLUÇÃO Se a força na mola AB for conhecida, o alongamento da mola será determi- nado usando-se F = Ics. É possível então calcular geometricamente o comprimento de AC.
  9. 9. A 76 ESTÁTICA Diagrama de Corpo Livre. A luminária tem peso W = 8(9,81) = 78,5 N. O diagrama de corpo livre do anel em A é mostrado na Figura 3.8b. l Txc 30° x A TAB w = 78.5 N (b) Figura 3.8 i Equações de Equilíbrio. Usando os eixos x, y: f; :h 2px = o; TAB - TAC cos 30° = 0 % +Tgpy= o; TACsen30° -78,5N =0 Í Resolvendo, obtém-se: TAC = 157 N TAE = 136 N O alongamento da mola AB é, portanto, TAE = kAEsAE 136 N = 300 N/ m(sAE) SAE = 0,453 m de modo que o comprimento alongado é: [AE = [AE + sAE , IAB = 0,4°m + 0,453m = 0,853m A distância horizontal de C a B (Figura 3.8a) requer: . ._ . _.. ... ... ... ._. .. - . ... _.. .. . ... .._. ... ... ... . . ... ... .__. ... _.. x.. ..~_ ü#r-cdzirl'›vr%ríÍ 2 m = IAC cos 30° + 0,853 m , , ¡AC = 132m Resposta
  10. 10. _____ _ . ,.__. w _4. m. .. É PROBLEMAS ' _ - nmwwmauaevcuanmksrcxamwsmmasarmsiziemmenmmwmw ? Lnwwñzãa-m . vmszsgmwui. . ;.›-; 3.1. Determine as intensidades de F¡ e F2 de modo que o ponto material P esteja em equilíbrio. _v Pruhlclna 3.1 3.2. Determine a intensidade e o sentido 6 de F de modo que o ponto material esteja em equilíbrio. Problema 3.2 3.3. Determine a intensidade e o ângulo 0 de F¡ de modo que o ponto material P esteja em equilíbrio. . V 300N Problema 3.3 *3.4. Determine a intensidade e o ângulo 9 de F de modo que o ponto material esteja em equilíbrio. . ¡g_, ,_. ,_- fa: : 1,. .s ›, :,_u¡r› ¡V! V ~-›¡ _. _~. .., .v_. _,. Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 77 ~ - : kiàbtxt- : â9“5›¡~t, “3 Níãàã? 7.¡ *M3441 Pruhlcnm 3.4 3.5. As partes de uma treliça são acopladas por pinos na junta O, como mostra a figura. Determine as intensidades de F¡ e F¡ para equilíbrio. Suponha que 9 = 60°. 3.6. Determine agora as grandezas de F¡ e seu ângulo 9 para equilíbrio. Suponha que F2 = 6 kN. Problemas 35/6 3.7. O dispositivo mostrado na figura é usado para desem- pena: a estrutura de automóveis que sofreram uma trombada. Determine a tensão de cada segmento da corrente, AB e BC, considerando que a força que o cilindro hidráulico DB exer- ce no ponto B é de 3,50 kN, como mostrado na figura. Prohlclna 3.7 *3.8. Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o farol de tráfego de 12 kg. 3.9. As cordas AB e AC da figura podem suportar, cada uma. uma tensão máxima de 800 lb. Se o tambor tem peso de 900 lb, determine o menor ângulo 0 em que as cordas podem ser presas a ele.
  11. 11. 78 ESTÁTICA *3.12. O cotovelo de concreto tem peso de 400 lb e o cen- tro de gravidade está localizado no ponto G. Determine a força necessária nos cabos AB e CD para suporta-lo. Prnlblvnrz¡ Hull 3.13. Determine a deformação que cada mola da figura deve ter para equilibrar o bloco de 2 kg. As molas encontram- se em posição de equilíbrio. a Problema 3.9 3-10- A Caixa de 500 lb é erguida 00m “m SUÍHChO Pelas C03' 3.14. O comprimento sem deformação da mola AB é de 2 m. daS AB e AC- Cada 001133 resiste 3 uma ¡Orça de ÍT3Ç5° Com o bloco mantido na posição de equilíbrio mostrada, máxima de 2.500 lb sem se romper. Se AB permanece sem- determine a massa dele em D_ pre horizontal, determine o menor ângulo 6 pelo qual a caixa pode ser levantada. Problema 3.14¡ _ 3.11. Duas esferas carregadas eletricamente, cada uma com massa de 0,2 g, estão suspensas por ños leves de igual com- ' primento. Determine a força horizontal de repulsão resultante F que atua em cada esfera se a distância medida entre elas é r = 200 mm. Prolllclnas 3.l3/l›l 3.15. A mola ABC da ñgura tem rigidez de 500 N/ m e com~ primento sem deformação de 6 m. Detemrine a força horizonta' F aplicada à corda que está presa no pequena anel B, de modo que o deslocamento do anel em relação à parede sejz d = 1,5 m. *3.16. Determine agora o deslocamento d da corda en relação à parede quando uma força F = 175 N é aplicada i lüululeulz¡ . l. ll corda.
  12. 12. Prublunms . US/ In 3.17. Determine o peso máximo do vaso de planta que pode ser suportado. sem exceder uma força de tração de 50 lb nem no cabo AB nem no AC. Problema 3.17 .18. O motor, em B, enrola a corda presa à caixa de 65 lb , om velocidade constante. Determine a força na corda CD ue suporta a polia e o ângulo 9 para equilíbrio. Despreze as _dimensões da polia em C. Prublclnzb . LM/ IU cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PoNTo MATERIAL 79 3.19. Cada uma das cordas BCA e CD pode suportar uma carga máxima de 100 lb. Determine o peso máximo da caixa que pode ser levantado com velocidade constante e o ângu- lo 9 para equilíbrio. *3.20. Determine as forças necessárias nos cabos AC e AB da figura para manter a esfera D. de 20 kg. em equilíbrio. Suponha que F = 300 N e d = 1 m. 3.21. A esfera D tem massa de 20 kg. Se uma força F = 100 N for aplicada horizontalmente ao anel em A, determi- ne a maior dimensão (l de modo que a força no cabo seja nula. Problemas 3.20/2] 3.22. O bloco da figura tem peso de 20 lb e está sendo levan- tado com velocidade constante. Determine o ângulo 9 para equilíbrio e a força necessária em cada corda. 3.23. levantado na posição mostrada, se cada corda suporta uma força de tração máxima de 80 lb. Determine também o ângu- lo 9 para equilíbrio. Pmhlcuiux full/ li Determine o peso máximo W do bloco que pode ser.
  13. 13. 80 ESTÁTICA *3.24. Determine a intensidade e o sentido da força de equi- líbrio F AB exercida ao longo do elo AB pelo dispositivo de tração mostrado. A massa suspensa é de 10 kg. Despreze as dimensões da polia em A. Problema 3.24 3.25. Os blocos D e F pesam 5 lb cada um e o bloco E pesa 8 lb. Determine o comprimento s para equilíbrio. Despreze as dimensões das polias 3.26. Se os blocos D e F têm peso de 5 lb cada um, deter- mine o peso do bloco E se o comprimento s é de 3 pés. Despreze as dimensões das polias Problemas 325/26' 3.27. A barra de sustentação é usada para levantar um reci- piente com massa de S00 kg. Determine a força em cada um dos cabos AB e AC em função de 9. Se a força máxima em cada cabo for de 5 kN, determine o menor comprimento do cabo AB e do AC que pode ser usado para o levantamento. O centro de gravidade do recipiente está localizado em G. *3.28. A carga da ñgura tem massa de 15 kg e é levantada pelo sistema de polias mostrado. Detennine a força F na corda em função do ângulo 9. Faça um gráfico da função da força F versus o ângulo 9 para O s 9 s 90°. Problema 3.28 3.29. O quadro tem peso de 10 lb e deve ser pendurado n( pino em B. Se um fio for preso à moldura nos pontos A e_ C e a força máxima que ele puder suportar for de 15 lb, deter- mine o menor comprimento do ño que pode ser usado con segurança. l-9po1-P9po1-i Problema 3.29 3.30. O tanque de massa uniforme de 200 lb está suspensn por meio de um cabo de 6 pés de comprimento preso na suas laterais e que passa sobre uma pequena polia localiza da em O. Se o cabo puder ser preso em qualquer um do pontos A e B ou C e D, determine qual acoplamento produ a menor força de tração no cabo e qual é essa força. = ;-u¡_›'t-, -uu›_-, › '-. I›. '.¡: .r. +;'Wf1x-›íã-, - . áraw~vvñ. ~¡cmç-vsarçaaqvvsa-. ,,@ecossistemas-aa - *t- _P_ . -~ ~ - _, r - . - ~ : w
  14. 14. Problema 3.30 56.31. Uma força vertical P = 10 lb é aplicada às extremi- dades da corda AB de 2 pés de comprimento e da mola AC. Se a mola tem comprimento de 2 pés sem defonnação, deter- mine o ângulo 9 para equilíbrio. Suponha que k = 15 lb/ pé. *3.32. Determine o comprimento da mola AC sem defor- mação se uma força P = 80 lb forma o ângulo 9 = 60° para que haja equilíbrio. A corda AB tem 2 pésde comprimento. Suponha que k = 50 lb/ pé. Problemas 331/32 - 1333. O conjunto da figura foi' construído com uma corda 'de 4 pés de comprimento e um bloco D de 10 lb. A corda está presa a um pino em A e passa sobre duas polias peque- nas. Determine o peso do bloco suspenso B se o sistema estiver em equilibrio quando s = 1,5 pé. !3-34. Um carro deve ser rebocado usando-se o arranjo mos- trado na figura. A força de arrasto necessária é de 600 lb. Determine o comprimento mínimo lda corda AB, de modo que a força não exceda 750 lb nem na corda AB nem na AC. Dica: use a condição de equilíbrio no ponto A para detenni- nar o ângulo 9requerido para o acoplamento, depois determine l usando trigonometria aplicada ao triângulo ABC. . ~e, ~--›. ~r-wrg. <-g<: .=wvonnrnr, .q, 2.a¡ ¡vciñwrgr . .- . .;a, g«_. ... - _ . _ . ,-¡. _=V; '., -mr -. - _- v - Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 81 Problema JLÂ. ; Problema 3.34 13.35. A mola tem rigidez k = 800 N/ m e comprimento de 200 mm sem deformação. Determine a força nos cabos BC e BD quando a mola é mantida na posição mostrada. Problema 3.35
  15. 15. 82 EsTATrcA *3.36. A amarra BAC é usada para levantar a carga de 100 3.39. Uma esfera de 4 kg está em repouso sobre a superfí- lb com velocidade constante. Determine a força na amarra, cíe parabólica lisa. Determine a força normal que ela exerce faça o gráfico de seu valor T (ordenada) em função de sua sobre a superfície e a massa m5 do bloco B necessária para orientação 9, sendo O s 9 s 90°. mantê-lo na posição de equilíbrio mostrada na ñgura. 10o lb _v i-OAm-i Problema 3.36 13.37. A luminária de 10 lb está suspensa por duas molas, Pmmclni' 3'” cada uma com comprimento de 4 pés sem deformação e rigi- a l l l N a , _ __ _ _ *3.40. O tubo de 30 kg é suportado em A por um sistem¡ i dez k = 5 lb/ pe' Determme o angum 9 para equúíbna de cinco cordas. Determine a força em cada corda para a con ; à dição de equilibrio. g1 t a. ; : ii * , !i j: 'l A . i¡ A i; « Problema 3.37 . i . l i» , 3.38. O balde e seu conteúdo têm massa de 60 kg. Se o compri- mento do cabo é de 15 m, determine a distância y da polia para , a condição de equilíbrio. Despreze as dimensões da polia ' em A. l % Problcnra 3.40 Problema 3.33 l
  16. 16. 5 z do Cap.3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 83 3,4 SISTEMAS DE FORÇA TRIDIMENSIONAL Para o equilibrio de um ponto material é necessário que: EF = 0 (3,4) Se as forças estiverem decompostas em seus respectivos componentes i, j, k (Figura 3.9), então teremos: 25,¡ + 213,¡ + 215k = o Para se garantir o equibbrio, é necessário que as três equações escalares dos componentes que se seguem sejam satisfeitas: (3.5) i Essas equações representam a soma algébrica dos componentes x, y, z da força que atuam sobre o ponto material. Usando-as, podemos encontrar no máximo três incógnitas, geralmente representadas como ângulos ou intensida- des das forças mostradas no diagrama de corpo livre. Figura 3.9 O anel emA está submetido à força do gancho, bem como às forças de cada uma das três corrente. : Se o eletrofmã e sua carga tiverem peso W, então a força do gancho . terá W e as três equações escalares de equi- líbrio poderão ser aplicadas ao diagrama de corpo livre do anel para derenninur as forças da cor- renle: F5, Fc e FD.
  17. 17. 84 ESTÁTlCA PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Problemas de equilibrio de força tridimensional de um ponto material são resolvidos usando-se o procedimento a seguir. [)ia; ,rrnmt1 de (Íurpiy Livre. v Defina os eixos x, y, z numa orientação adequada. - Identifique todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das forças no diagrama. = O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é suposto. Eqiraçíuzy dc Equilíbrio. - Use as equações escalares de equilibrio EE. . = O, EF, = 0,31:: = O nos casos em que seja fácil decompor cada força em seus componentes x, y, z. ° Se a geometria tridimensional parecer difícil, primeiro expresse cada força como vetor cartesiano, faça a substituição pelos vetores na equação EF = 0 e iguale a zero os componentes Lj, k. - Se a solução der resultado negativo. isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre. Uma carga de 90 lb está suspensa pelo gancho mostrado na Figura 3.10a g ~ A carga é suportada por dois cabos e por uma mola com rigidez k = 500 lb/ pé i í N Determine a força nos cabos e a deformação da mola para a condição de equi i líbrio. O cabo AD está localizado no plano x-y e o cabo AC, no plano x-z. Figura 3.10 , SOLUÇÃO l l i I i A deformação da mola poderá ser determinada uma vez que a força sobr O L a mola esteja determinada. | J I I Diagrama de Corpo Livre. O acoplamento em A é escolhido para a anãl se do equilibrio, visto que as forças do cabo são concorrentes nesse ponto. ( diagrama de corpo livre é mostrado na Figura 3.10b. Equações de Equilíbrio. Cada força pode ser facilmente decomposta ei seus componentes x, y, z e, portanto, as três equações escalares de equíhbri ¡ podem ser diretamente aplicadas. Considerando os componentes orientados a longo dos eixos como 'positivos', temos:
  18. 18. Cap.3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERlAL 85 FD sen 30° - gre = o EF. . = 0: (1) En_ z O¡ -FD cos 30° + FB = 0 (2) Enzo: §FC-90Ib=0 (3) Resolvendo a Equação 3 em FC, a Equação l em FD e a Equação 2 em FB, tem-se: FC = 150 lb Resposta FD = 240 lb Resposta FD = 208 lb Rcsporstzt O alongamento da mola é, portanto: FB = kSAB 208 lb = 500 lb/ pé(sAB) s AD = 0,416 pé Resposta EXEMPLO 3.6 Determine a intensidade e os ângulos dos sentidos das coordenadas da força F da Figura 3.11:¡ necessários para o equilíbrio do ponto material 0. SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre. Quatro forças atuam sobre o ponto material 0 (Figura 3.11b). Equações de Equilíbrio. Cada uma das forças é expressa na forma de vetor cartesiano e as equações de equilíbrio são aplicadas para determinar os componentes x, y, z de F. Se as coordenadas de B são B(-2 m, -3 m, 6 m), temos: F¡ = 14003] N m s¡ = ' i-sook) N -2' - 3' + 6k F3 = ñC-Z) = 700 Ni (q); + (J-sf + (ali = I-zoo¡ - 300¡ + 600k; N F = n¡ + 13,¡ + Fzk Para o equilíbrio: 2F=0 F1+F2+F3+F=0 4005 - 800k - 200¡ - 300¡ + 600k + rx¡ + 1a, ¡ + Fzk = 0 . _ uma; , g7_i; ._. aaça; ›-¡ta§at§n; .çv_a; ç
  19. 19. 86 ESTÀTICA Igualando a zero os respectivos componentes i, j, k, temos: 2px = o; -200+ F, =0 F, = 200N 400 - 300 + F), = 0 F, = -100N -800 + 600 + F, = 0 F, 200N F = I200¡ - 100j + 200k] N F = v(200)2 + (-100)2 + (200% = 300N Raposa, F _ 200. 100. 2_09k <°> "F= F'%_3_w'+300 Figura 3.11 a = cos'¡(: %“à> = 48,2” Resposta B = Cos-(EÍBO) z 109o Respostt y = cos'1(%) = 48,2° RBSPOS" A intensidade e os sentidos corretos de F são mostrados na Figura 3.11- EXEMPLO 3.7 Determine a força desenvolvida em cada cabo usado para suportar a cai) de 40 lb mostrada na Figura 3.12a. (a) Figura 3.12
  20. 20. Cap.3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 87 SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre. Corno mostrado na Figura 3.12b, o diagrama de corpo livre do ponto A é considerado a fim de 'expor' as três forças desconhe- cidas nos cabos. Equações de Equilíbrio. Primeiro, vamos expressar cada força na forma veto- rial cartesiana. Como as coordenadas dos pontos B e C são B(-3 pés, -4 pés, g pés) e C(~3 pés, 4 pés, 8 pés), temos: F : Pç -3í-4j+8k ] ” ” vt-sr + <~4›2+ (sr = -0,318F3i - 0,424FDj + O,848F, ,k FC z F4] a» V ('3)' + m' + m' Figura 3.12 = -0,31sFD¡ + 0,424FD_¡ + 0,484Fck FD = FD¡ W = f-40k] lb O equilíbrio requer: gF=0; FD+FC+FD+W=0 -0,318FDi - 0,424FDj + 0,848FDk - O,318FCi + 0,424FCj +0,848F, _~k + FD¡ - 40k = 0 Igualando a zero os respectivos componentes i, j, k, temos: EF, = o; -o,318FD - 03181-2 + FD = 0 (1) EF, = 0, -0,424FD + 0,424Fc = o (2) EF, = 0, 0,s4sFD + 0,848Fc - 40 = 0 (3) Pela Equação 2, FD = Fc. Assim, resolvendo a Equação 3 em F D e Fc e substituindo-os por esse resultado na Equação 1 para obter FD, tem-se: FD = Fc = 23,6 lb 5=uw Resposta Resposta EXEMPLO 3.8 A caixa de 100 kg mostrada na Figura 313a é suportada por três cordas, uma delas acoplada à mola mostrada. Determine a força nas cordas AC e AD e a deformação da mola. SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre. A força em cada uma das cordas é determina- da investigando o equilíbrio do ponto A. O diagrama de corpo livre é mostrado na Figura 3.13b. O peso da caixa é W = l00(9,81) = 981 N.
  21. 21. 88 ESTÁTICA Figura 3.13 Equações de Equilíbrio. Cada vetor do diagrama de corpo livre é primeiro expresso na forma de vetor cartesiano. Usando a Equação 2.11 para F c e toman- do o ponto D(-1 m, 2 m, 2 m) para FD, temos: FB = F5¡ Fc = Fc cos 120°i + FC cos 135°j + Fc cos 60°k = -0,5FCi - 0,707FCj + 0,5F¡; k FD = FD[ -1i + 2j + 2k ] = -0,333FDi + 0,667FDj + 0,667FDk W = í-98lk) N O equilíbrio requer: FB+FC+FD+W=0 F3¡ - 0,5Fci - 0',707Fcj + Q,5Fck - 0,333FDi + 0,667F¡_¡j + O,667FDk - 981k = 0 Igualando a zero os respectivos componentes i, j, k, temos: EFx = O; F5 - 0,5Fc - 0,333FD = O (1) EF, = O; -0,707FC + 0,667FD = 0 (2) “ EF¡ = 0; 0,5FC + 0,667FD - 981 = 0 (3) Resolvendo a Equação 2 para F D em função de Fc e fazendo a substi- tuição na Equação 3, obtemos FC; FD é determinada pela Equação 2. Finalmente, substituindo na Equação 1 FC e FD pelos resultados encontramos F B. Então: F C = 813 N Resposta F D = 862 N Resposta F, .= 693,7 N ' ? tr Nr-'Víã zvxsçmmnmçsauwas . -
  22. 22. Cap- 3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 89 A deformação da mola é, portanto: ¡. - = ks 693,7 = 1.500s 5 = 0462 m Rcsp(›. s'ra l PROBLEMAS _ ç V_ _ w 3.41. Determine aintensidade eosentido de F¡ necessários *l3.44. Determine a intensidade e o sentido da força P para manter o sistema de força concorrente em equilíbrio. necessarios para manter o sistema de força concorrente em equilíbrio. t-Z m. -6 m. 3 m) 3 (-| .5 m. 3 m, 3 m) P /1 F¡ = 0.75 kN I2o° F3=0,5kN "600 v' A, F¡ = 2 kN › ' l'rol›lL~I1I-. I 3.41 x 3.42. Determine as intensidades de 17,, F¡ e F3 para a con- dição de equilíbrio do ponto material vrvhkllnil HJ I' 3.45. Os três cabos são usados para suportar a luminária de 800 N. Determine a força desenvolvida em cada cabo para a condição de equilíbrio. r Problema¡ 3.42 3.143. Determine as intensidades de F ¡, F2 e F3 para a con- dição de equilíbrio do ponto material. Wliflhàl * 'Í 3.46. Considerando que o cabo AB esteja submetido a uma força de tração de 700 N, determine as forças de tração nos Pro(›! ._›. n.› I. H cabos AC e AD e a intensidade da força vertical F.
  23. 23. 90 ESTÁTICA Problema 3.46 3.47. Determine a deformação necessária em cada uma das molas para manter a caixa de 20 kg na posição de equilíbrio mostrada na figura. Cada mola tem comprimento de 2 m sem deformação e rigidez k = 300 N/ m. A? Problema¡ 3.47 *3.48. Se o balde e seu conteúdo têm peso total de 20 lb determine a força nos cabos de apoio DA, DB e DC. Problema 3.48 s 13.49. A caixa de 2.500 N deve ser levantada com velc dade constante do porão de um navio usando-se o arranjo cabos mostrado na figura. Determine a força de cada um c três cabos para a condição de equilíbrio. F= 2500N Problema 3.49 13.50. A luminária tem massa de 15 kg e é suportada r um poste A0 e pelos cabos AB e AC. Se a força no po atua ao longo de seu eixo, detenriine as forças em AO, A1 AC para a condição de equilíbrio. 3.51. Os cabos AB e AC suportam tração máxima de 50( e o poste, compressão máxima de 300 N. Determine o p( máximo da luminária sustentada na posição mostrada figura. A força no poste atua ao longo do eixo dele. Problemas . iãil/ Él *3.52. Determine a força de tração necessária nos cal AB, AC e AD para manter a caixa de 60 lb em equilíbi
  24. 24. nv u . VE Cap.3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 91 3.55. Determine a força necessária que atua ao longo do eixo de cada uma das três escoras para suportar o bloco de 500 kg. Janis Prnhluiiia¡ 3.51 3.53. O cabo suporta a caçamba e seu conteúdo, que têm massa total de 300 kg. Detemiine as forças desenvolvidas nas escoras AD e AE e a força na parte AB do cabo para a condição de equilíbrio. A força em cada escora atua ao longo de seu eixo. Problcinzi 3.55 *3.56. O vaso é suportado de A pelos três cabos. Determine a força que atua em cada cabo para a condição de equilibrio. Considere d = 2,5 m. 3.57. Determine a altura d do cabo AB de modo que a for- ça nos cabos AD e AC seja metade da intensidade da força no cabo AB. Encontre a força em cada cabo para esse caso. 0 vaso de flores tem massa de 50 kg. Problema 3.53 3.54. Determine a força necessária em cada um dos três , cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8, t. Probluiiiiis . TLSO/ S? 3.58. O candelabro de 80 lb é suportado por três arames. como mostrado na figura. Determine a força em cada arame para a condição de equilíbrio. 3.59. Se cada arame pode sustentar a força máxima de 120 lb, determine o maior peso do candelabro que os cabos supor- tam na posição mostrada na figura. Prnlilt-iiia . X54 1h "Wyhçg . vFIjÍTLTJ r» ' 7a. _- '
  25. 25. 92 ESTÁTICA Pi'iiiilciii; t.~ . i. *3.60. São usados três cabos para suportar o anel de 900 lb. Determine a força em cada cabo para a condição de equilíbrio. l20° 2_pés _y Pinblcin-. i . Mill 3.61. O cilindro de 800 lb é suportado por três correntes. como mostrado na figura. Determine a força em cada cor- rente para a condição de equilíbrio. Considere d = 1 pé. ngrsfawxiu-íivstrwlzàvv- 'in-av , zx-. .Far-l-ge. , immwnrmwm m. "ruliluiiig- im 3.62. Um pequeno pino está em repouso sobre a mola con- tida dentro do tubo liso. Quando a mola é comprimida de modo que s = 0.15 m. ela exerce uma força de 60 N para cima sobre o pino. Determine o ponto de acoplamento A(x, y, O) da corda PA de modo que as tensões nas cordas PB e PC sejam iguais a 30 N e 50 N. respectivamente. n PNDÍDÍOIHH 3.0.' 3.63. Determine a força necessária em cada cabo para suportar a plataforma de 3.500 lb. Considere d = 4 pés. a*3.64. A esfera de 80 lb está suspensa a partir do anel hori- zontal por meio de três molas cada uma com comprimento de 1.5 pé sem deformação e rigidez de S0 lb/ pé. Determine a distância vertical Ii do ponto A do anel para a condição de equilíbrio.
  26. 26. Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL 93 3.65. Determine a força desenvolvida nos cabos 0D e OB e necessária na escora OC para suportar a caixa de 50 kg. A mola OA tem comprimento de 0.8 m sem deformação e rígi- dBZ kOA = 1.2 kN/ m. A força na escora atua ao longo do eixo dela. Pl'()l›Í“)lI; l 105 Problema 3.64 REVISÃO DO CAPÍTULO Equilíbrio. Quando um ponto material está em repouso ou se move_com velocidade constante. encontra-se em equilíbrio. Essa situação requer que todas as forças que atuam sobre o ponto material tenham força resul- tante nula. Para se considerarem todas as forças é necessário traçar um diagrama de corpo livre. Esse diagrama é o contomo da forma do ponto material que mostra todas as forças, com suas intensidades e sentidos conhe- cidos e desconhecidos. Duas Dimensões. As duas equações escalares de equilíbrio da força EFx = 0 e EF, = 0 podem ser aplica- das quando referidas a um sistema de coordenadas x, y definido. Se a solução para a intensidade de uma força der um escalar negativo, então a força atua no sentido oposto àquele mostrado no diagrama de corpo livre. Se o problema envolve mola elástica linear, então o tracionamento ou a compressão s da mola é relacionado à força aplicada pela expressão F = ks. Três Dimensões. Como a geometria tridimensional é difícil de visualizar, a equação de equilíbrio EF = 0 deve ser aplicada usando-se análise vetorial cartesiana, o que requer primeii'o expressar cada força no diagra- ma de corpo livre como um vetor cartesiano. Quando as forças são somadas e igualadas a zero, OS Componentes 1.1. k também são nulos, de modo que EF, =0, EF, = 0 e EF: = O. _'-"^7~'/ u': 't'›>'ugrxzn+jr§wigwü --u- Í-'_*V*ÍÍ'47ÀLÍ i 'nc-ahi
  27. 27. 94 ESTÁTICA PROBLEMAS m; MREVISÃO 'ssçsw; =:a~«“~'»; v°~~r'r. - * '- 3.66. O tubo é mantido na posição pela morsa. Se o para- fuso exerce uma força de 50 lb sobre o tubo na direção mostrada. determine as forças F A e FB que os contatos lisos em A e B exercem sobre o tubo. Prolvlcnu¡ ',166 3.67. Quando y é nulo, as molas sustentam uma força de 60 lb. Determine a intensidade das forças aplicadas F e -F necessárias para afastar o ponto A do ponto B de uma dis- tância y = 2 pés. As extremidades das cordas CAD e CBD estão presas aos anéis em C e D. *3.68. Quando y é nulo, as molas estão esticadas 1,5 pé. Determine a distância y se uma força F = 60 lb for aplicada nos pontos A e B, como mostrado na figura. As extremidades das cordas CAD e CBD estão presas aos anéis em C e D. f: wrí~rf~íçfr›&wzu$l , .~ , . a / AÍAL I; , -_ , , _ Pruhlcnmn 3.69 $3.70. Determine as intensidades das forças F¡, F2 e F3 necessárias para manter a força F = [-9i - 8j - Sk] em equi- líbrio. n Pmblenins 3117/68 3.69. Romeu tenta alcançar Julieta subindo com velocida- de constante por uma corda amarrada no ponto A. Qualquer um dos três segmentos de corda suporta uma força máxima de 2 kN sem se romper. Determine se Romeu, que tem massa de 65 kg, pode subir pela corda. Em caso positivo, verifique se ele, juntamente com Julieta, que tem massa de 60 kg, pode descer pela corda com velocidade constante. Prublunu 3.70 3.71. O homem tenta puxar a tora em C usando as três cor das. Determine a direção 0 em que ele deve puxar sua cord com uma força de 80 lb de modo a exercer uma força máxi ma sobre a tora e defina qual e' essa força. Determin também a direção em que ele deve puxar a tora a fim d maximizar a força na corda presa em B e defina qual é ess força máxima.
  28. 28. Problema 3.71 *¡3.72. O anel de dimensões desprezíveis está submetido a uma força vertical de 200 lb. Determine o comprimento Ida corda AC necessário para que a força atuando em AC seja de 160 lb. Além disso, determine a força que atua sobre a corda AB. Dica: use a condição de equilíbrio para determinar o ângulo 0 necessário para acoplamento, depois determine l usando trigonometria aplicada ao A ABC. ProhleuI-. I 3.72 3-73. Determine o peso máximo do motor que pode ser 5“P0I1ado sem exceder uma força de 450 lb na corrente AB E de 480 lb na corrente AC. Cap. 3 EQUILÍBRIO DE UM PoNro MATERIAL 95 Prublttlltl 3.73 3.74. Determine a força necessária em cada cabo para suportar a carga de 500 lb. Problema 3.7-l 3.75. A união da estrutura espacial está sujeita às forças dos quatro elementos. 0 elemento OA localiza-se no plano x-y e o elemento 0B, no plano y-z. Determine as forças que atuam em cada um dos elementos necessárias para o equilí- brio da união. Prublcnra 3.75

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