Momento Angular y movimiento giroscopico

1. DINAMICA ROTACIONAL
Nombre y Apellido: Katherynn Ismarydays
Guiche Amaya
Julio del 2014

2. Momento Angular de
una Partícula
Se define como, momento angular de una
partícula respecto del punto O, como el
producto vectorial del vector posición 𝑟
por el vector momento lineal 𝑚𝑣.

3. Como 𝑃 = 𝑚 𝑣; donde m es la masa y 𝑣 la velocidad de la
partícula, se puede reescribir la definición como 𝐿 = 𝑚 𝑟𝑥 𝑣.
El momento angular se mide en SI en KG ∙ 𝑚2 𝑠. 𝐿 es una
magnitud vectorial, perpendicular a r y a v. Su modulo es
L = 𝑚 ∙ 𝑟 ∙ 𝑣 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑋 donde X es el ángulo que forman 𝑟 y 𝑣.
Siempre que 𝑟 y 𝑣 sean paralelos, el momento angular es
cero. El momento angular caracteriza el movimiento de
rotación de la partícula.

4. Momento Angular de un sistema de Partículas
El momento angular de un sistema de
partículas 𝑳 está definido como la suma
de los momentos angulares de las
partículas individuales que lo conforman:
𝑳 = 𝑳 𝑖

5. Momento Angular y Torca
La suma vectorial de todas las torcas externas 𝝉, que
actúan sobre un sistema de partículas es igual a la
velocidad de cambio del momento angular total del
sistema:
𝜏 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Cuando el cuerpo es rígido y rota alrededor de uno de
sus ejes principales, se cumple la siguiente igualdad:
𝐿 = 𝐼𝜔
Donde 𝜔 es la velocidad angular del cuerpo al rotar
alrededor de ese eje. E 𝐼 es el momento de inercia del
cuerpo.

6. Ejemplo:
Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están
montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo
largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud.
El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120
rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del
sistema.
Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5
m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan
por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:
La velocidad angular de rotación cuando los centros de las
esferas se encuentran en los extremos de la varilla.
Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

7. Solución:
Conservación del momento angular
𝐼1 =
1
12
3 ∙ 22
+ 2
2
5
6 ⋅ 0.22
+ 6 ⋅ 0.52
𝜔1=
120 ∙ 2𝜋
60
=4π 𝑟𝑎𝑑 𝑠
𝐼2 =
1
12
3 ∙ 22 + 2
2
5
6 ⋅ 0.22 + 6 ⋅ 12
𝐼1 𝜔1 = 𝐼2 𝜔2 𝜔2 = 1.27𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠
Variación de la energía cinética
𝐸 𝑘1 =
1
2
𝐼1 𝜔2
1
= 330.99𝐽 𝐸 𝑘2 =
1
2
𝐼2 𝜔2
2
= 105.20𝐽

8. Movimiento Giroscópico
De acuerdo con la mecánica del sólido rígido, además de la
rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo
presenta en general dos movimientos principales: la precesión
y la nutación.
En un giroscopio debemos tener en cuenta que el cambio en el
momento angular de la rueda debe darse en la dirección del
momento de la fuerza que actúa sobre la rueda.

9. Giroscopio
Es un dispositivo mecánico que sirve para medir,
mantener o cambiar la orientación en el espacio de
algún aparato o vehículo. Está formado esencialmente
por un cuerpo con simetría de rotación que gira
alrededor del eje de dicha simetría. Cuando la
trayectoria de un objeto es una curva, en cada uno de
sus puntos se define su velocidad lineal 𝑣 como un
vector tangente, en ese punto, a dicha trayectoria.
Esta velocidad lineal o numérica 𝑣, es el cociente entre
el arco recorrido (espacio) y el tiempo empleado. En
símbolos:
𝑣 =
𝐴𝐵
𝑇

10. Así mismo, la velocidad angular es una medida de
la velocidad de rotación y corresponde al cociente
entre el ángulo descrito y el tiempo empleado en
describirlo. En símbolos:
𝜔 =
𝛼
𝑡
El vector que se le asocia tiene como módulo el
valor escalar de la velocidad angular y como
dirección, la del eje de rotación, puede probarse
que en el movimiento circular es uniforme a el
módulo de la velocidad lineal 𝑣 y el de la angular 𝜔
se relacionan, a través del radio 𝑟 de la
circunferencia, mediante la siguiente
expresión:
𝑣 = 𝑟𝜔

11. Cuando se ejerce una fuerza sobre
un cuerpo rígido y se modifica su
movimiento de rotación, el origen
de este cambio en el momento de
fuerza, también Llamado
momentum, torque o par.
Llamamos momento de una fuerza
con respecto a un punto, al
producto de la fuerza aplicada por
la distancia al punto considerado.
En el caso del sólido rígido en
rotación, sea cual fuere la dirección
de la fuerza ejercida, ésta puede
descomponerse en dos, una 𝐹𝑛 en
la dirección del radio 𝑟 y la otra 𝐹𝑡
perpendicular al mismo.
El momento de la primera respecto
al punto es nulo y el de la segunda
es un vector que tiene por módulo:
𝑀 = 𝑟 ∙ 𝐹𝑡

12. Siendo su dirección paralela al eje y su sentido el indicado
por la regla del tornillo, de Maxwell o de la mano derecha.
Esta expresión del momento la podemos escribir teniendo en
cuenta que 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎:
𝑀 = 𝑚 ∙ 𝑎 ∙ 𝑟
Llamando 𝛼 a la aceleración angular. Se tiene: 𝑎 = 𝑟. 𝛼(siendo
𝑎 = 𝑑𝑣 , por lo tanto quedaría 𝑎 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜔, y por lo que 𝑎 = 𝑟 ∙ 𝛼),
queda en definitiva:
𝑀 = 𝑚 ∙ 𝑟2 ∙ 𝛼
Cuando se genera el momento de una fuerza sobre un
cuerpo, se le provoca una aceleración
angular que será mayor, cuanto mayor sea el momento que
se le aplique.
Por otro lado el momento de inercia es una medida de la
resistencia que opone un cuerpo a sufrir aceleraciones
angulares, éste se representa con la siguiente ecuación:
𝐼 = 𝑚 ∙ 𝑟2

13. En conclusión podría definirse al momento M de una
fuerza con la ecuación M=Iα, siendo ésta la expresión
fundamental de la Dinámica 𝐹 = 𝑚𝑎 en el movimiento
de rotación. (El momento de inercia depende de la
forma del elemento y del eje escogido) Si multiplicamos
los dos miembros de la fórmula por 𝑑𝑡, teniendo en
cuenta que 𝛼 = 𝑑𝜔, obtendremos:
𝑀𝑑𝑡 = 𝐼𝛼𝑑𝑡 = 𝐼𝑑𝜔 = 𝑑 𝐼𝜔 = 𝑑𝐻
La expresión 𝑀𝑑𝑡 recibe el nombre de impulso
elemental de rotación, y la magnitud 𝐻 = 𝐼𝜔 de
momento cinético. La ecuación nos indica que el
impulso de rotación es un intervalo de tiempo
determinado, el cual es igual a la variación que ha
experimentado el momento cinético durante el mismo
intervalo de tiempo.
De la expresión anterior se deduce:
𝑀 =
𝑑𝐻
𝑑𝑡
=
𝑑 𝐼𝜔
𝑑𝑡

14. Si suponemos 𝑀 = 0, es decir, que el
momento resultante de las fuerzas
aplicadas es nulo, el momento cinético
permanece constante, ya que:
𝑑 𝐼𝜔
𝑑𝑡
= 0
𝐼𝜔 = 𝑐𝑡𝑒
Por ejemplo:
Debido al giroscopio se puede conducir
tanto bicicletas como motocicletas sin
caerse.