4.  Método de sustitución
 1.- identificar la integral y la derivada
 2.-verificar que se estén multiplicando
 3.- La derivada debe ser resultado de
una integral
 4.- Sustituyo las funciones por letras
 U=integral
 du=derivada de la función
 n= Exponente de la integral
 5.- resolver aplicando la formula
Un+1
n+1

5.  Ejemplos
1.-ʃ 14 x² + 20x · (14x + 10)dx
14x³+20x² + c = 14x³ + 10x² + 10
3 2 3
2.-ʃ 16x³ + 12x² · (24x² + 12) dx
ʃ 16 x³ + 12x²· (24x²+12x) dx
16x⁴ + 12x³ + c
4 3
4x⁴+ 4x³ + c

6.  ʃ (2x⁴+3x⁵+2x²)·(15x⁴+4x+8x³)
ʃ (3 x⁵+2x⁴+2x²)·(15x⁴+8x³+4x) dx
U=3x⁵+2x⁴+2x²
du=15x⁴+8x³+4x
ʃ u · du = Un+1 = U1+1 = U²
n+1 1+1 2²
(3x⁵+2x⁴+2x²) ½ (3x⁵+2x⁴+2x²)² + c

8.  Integración por partes
 1.- se presentan dos variables diferentes
Inversas
Logarítmicas
Algebraicas
Trigonométricas
Exponencial
 2.- Primera será “U”
segunda “du”

9.  3.- Resuelve con la formula
ʃ u dv = u v- ʃ v du
 4.-resuelvo mas derivadas e integrales
hasta terminar con el símbolo de
integración

10.  Ejemplos
 1.- ʃ x · e ͯ dx
I L A T E
x e ͯ
u= x³ v= e ͯ
du= 3x dv= e ͯ
ʃ u dv = u v- ʃ v du
x · eͯ - ʃ e ͯ dx
x · eͯ - eͯ + c

12.  Método por partes
 1) 2 funciones diferentes ( ILATE)
 2) deben multiplicarse
 3) clasifico con ILATE las funciones
 4) quien aparezca primero deberá de
ser “u”
 5) encontrar la derivada que le
corresponde a “u”
 6) la otra función será “dv” y la
integramos para obtener “v”
 7)aplico la formula
 8) aplica los pasos anteriores hasta que
no existan integrales

13.  ʃ ( x² - 1 ) e ͯ dx
u= x² - 1 v= e ͯ
du= 2x dx dv= e ͯ
ʃ ( x² - 1 ) e ͯ dx = ( x² - 1 ) e ͯ - ʃ e ͯ 2x dx
= x² e ͯ - e ͯ -2 ʃ e ͯ x dx
u=x du= dx
dv= e ͯ dx v= e ͯ
= x² e ͯ - e ͯ -2 x e ͯ- ʃ e ͯ dx
x² e ͯ - e ͯ -2 x e ͯ- e ͯ + c
= x² e ͯ - 2 x e ͯ + eͯ + c
= e ͯ ( x² - 2x + 1 ) + c

15.  Las coordenadas del punto medio
son:r=apM = APM = 1 PMB APMXm=
Xi+x2 o yi+y2 2 2

16.  Ejemplo: dados los puntos a(3,-2,5)
b(3,1,7) hallar las coordenadas del
punto medio del segmento que
determinan
m=(3+3,-2+1,5+7) 2 2 2m=(3,-1/2,6)